La esfera conductora semienterrada en un dieléctrico tiene un potencial constante dentro de ella. El potencial eléctrico fuera de la esfera depende de la distancia r a la esfera y es igual a aφ0/r. El campo eléctrico E y el desplazamiento eléctrico D tienen simetría esférica y dependen de r. La capacitancia de la esfera es 2πa(ε + ε0) y la densidad de carga superficial es (ε + ε0)/a.

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Ejercicios Resueltos
F´ısica
Electromagnetismo
´Ultima edici´on: 21 de julio de 2015
Problema: Esfera conductora
Se tiene una esfera conductora, de radio a, semienterrada hasta la mitad en un diel´ectrico homog´eneo seminfinito,
de constante diel´ectrica ε (suelo). La otra mitad se encuentra rodeada de aire; se puede suponer que la constante
diel´ectrica del aire es ε0. Se pide determinar:
i) Los campos E, D, y el potencial electrost´atico ϕ(r), en todo el espacio.
ii) La capacitancia de la esfera y la densidad de carga superficial sobre la superficie de la esfera.
Nota: Suponga a priori que el campo el´ectrico E tiene simetr´ıa esf´erica.
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ε0
a
ε
FIG. 1: Esfera conductora.
Soluci´on:
i) Debido a que la esfera es conductora posee un potencial constante dentro de ella podemos suponer que est´a a
un potencial ϕ0 y debido a que la simetr´ıa es esf´erica el potencial fuera tiene la forma
ϕ(r) =
A
r
+ B, (r > a)
Considerando el potencial nulo en el infinito ϕ(∞) = 0 tendremos que B = 0 y en el borde ϕ(a) = A
a = ϕ0
implica que A = aϕ0 , entonces
ϕ(r) =
aϕ0
r
, (1.1)

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el campo electrico E
E = − ϕ(r) = −
∂ϕ(r)
∂r
ˆr,
E =
aϕ0
r2
ˆr (1.2)
y el campo D
D =



ε0E = ε0
aϕ0
r2
ˆr, si − π
2 < θ < π
2
εE = ε
aϕ0
r2
ˆr, si π
2 < θ < 3π
2
(1.3)
ii) La carga sobre la esfera conductora se encuentra usando el teorema de Gauss, entonces
Q = D · dS = 2πaV0(ε + ε0).
Finalmente,
C = 2πa(ε + ε0), (1.4)
σ =
(ε + ε0)
a
. (1.5)
2