El documento presenta tres problemas relacionados con la teoría electromagnética. El primero analiza un coaxial que transporta corrientes opuestas y calcula las expresiones para el campo magnético y eléctrico. El segundo considera una esfera dieléctrica cargada y calcula su carga total, el campo eléctrico, la energía de carga y la fuerza sobre una carga puntual externa. El tercero evalúa la fem inducida en una espira por una corriente variable cercana y determina la corriente induc

1. Teoría Electromagnética
Examen | jul 2013
1
Un coaxial tal como indica el dibujo transporta por el cilindro interior
una intensidad de corriente I y por el cascarón cilíndrico una
corriente de igual valor pero de sentido opuesto. Entre cilindro y
cascarón hay vacío así también en la zona exterior al coaxial.
(a) Encuentre una relación entre a, b y c para que las densidades de
corriente de cilindro y cascarón sean iguales en módulo
(b) Encuentre expresiones para el campo magnético en toda zona del
espacio según la dirección radial
(c) Encuentre expresiones para el campo eléctrico en los conductores
suponiendo que ambos tienen una conductividad σ.
2
Una esfera de 9,0cm de diámetro de material dieléctrico de constante 3,5 se carga
de tal forma que la misma se distribuye en capas según ρ=kr siendo k=0,14C/m.
(a) ¿Qué carga contiene la esfera?
(b) Halla y realiza el bosquejo del campo eléctrico de esta esfera en toda región
del espacio
(c) ¿Cuánta energía se uso para cargar la esfera?
(d) ¿Con que fuerza es atraída la esfera a una carga puntual de 18µC ubicada
9,0cm de ella?
3
Una espira se halla próxima de una corriente variable I(t)=100sen(314t)A que
fluye en el alambre largo. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en la
espira. b) Siendo la resistencia de la espira de 1,20Ω, realiza un bosquejo
gráfico de la corriente inducida en la espira al cabo de dos períodos. c) Para que
frecuencia la corriente inducida máxima se equipara con la inductora.
Laplaciano y gradiente en coordenadas cilíndricas
∇
2
f =
1
ρ
∂
∂ρ(ρ
∂ f
∂ ρ )+
1
ρ
2
∂2
f
∂φ
2 +
∂2
f
∂ z
2
∇ f =(
∂ f
∂ρ ,
1
ρ
∂ f
∂ φ ,
∂ f
∂ z
)

2. Soluciones
1- Cilindro coaxial
a) Relación entre a, b y c para que las J sean iguales en módulo
J =
I
S Iint = Iext →
I
πa2
=
I
π(c2
−b2
)
→
π(c
2
−b
2
)
πa2
=
I
I
→
(c2
−b2
)
a2
=1 o
o
o (c
2
−b
2
)=a
2
b) Cálculo de B
• r < a por Ampere → B 2 π r = μ0 J S
B 2 π r=μ0
I
π a
2
π r 2
→ B=μ0
I r
2πa
2
êθ
• a < r < b → por Ampere → B 2 π r = μ0 I
B=μ0
I
2πr
2
êθ
• b < r < c → B2 πr=μ0 I−
I πr2
π(c2
−b2
)
→
B=μ0
I −
I πr2
π(c
2
−b
2
)
2πr
circula según +e ya que I es más grande
• r > c → B 2 π r = μ0(I – I) = 0, pues las corrientes son iguales en módulo o
o
o B = 0
c) Cálculo de E
J = αE →
E=
J
α =
I
π a
2
α
̂i
, en el cilindro interior

3. ECascarón=
J
α=
I
π(c
2
−b
2
)
α
̂i

4. 2- Esfera maciza no conductora.
Datos: diámetro: 9,0 cm, KE = 3,5, ρ = k. r, k = 0,14 C/m
a) Cálculo de la carga
dq=ρ dVol → Q=∮ρdVol → Q=∮k r dVol
VolEsfera=
4
3
π r
3
→
dVol
dr
=4πr
2
→ dVol=4πr
2
dr
Q=∮k r 4π r
2
dr todo lo que es constante sale de la integral → Q=4 π k ∮
0
R
r
3
dr
por tanto: Q=4π k
∣r4
∣
4 0
R
→ Q=πk R
4
que numéricamente es: Q=π.0,14.(4,5.10
−2
)
4
Q = 4,5.10-5
C/m3
b) Cálculo del campo eléctrico y bosquejo
ΦE=∣E∣.S .cos α siendo α el ángulo entre E y n (la normal a la superficie)
Como E y n son paralelos → α = 0º→cos 0º = 1 y queda |E|. S = |E| 4 π r2
Aplicando Gauss → ∣E∣.4.πr
2
=
Qenc
ε0
r < R → ∣E∣.4.πr2
=
π k r4
ε0
→ ⃗E=
k r2
4ε0
̂r
r > R → ∣E∣.4.πr2
=
π k R
4
ε0
→ ⃗E=
k R4
4ε0r
2
^r
para r = R → ⃗E=
k R2
4ε0
̂r
Bosquejo →

5. c) Cálculo de la energía de carga
U E=∫
1
2
∣⃗E∣
2
ε0 dVol → UE=∫ 1
2
∣
k r2
4ε0
∣
2
ε0 dVol = U E=∫ 1
2
k
2
r
4
16ε0
2
ε0 4 πr
2
dr
k
2
π
8ε0
∫
0
R
r
6
dr =
k2
π
8ε0
∣
r7
7
∣
0
R
→
k2
π
56ε0
R7
ci) Que numéricamente es:
(0,14)2
π
56.8,85.10−12
(4,5.10
−2
)
7
= 4,63. 10-2
J
d) Cálculo de la fuerza con que es atraída la esfera a una carga puntual de 18mC ubicada 9,0cm
de ella. Ojo! se debe usar el campo generado por la esfera. Es un error calcular como si
fueran dos cargas puntuales
⃗E=
0,14.4,5.(10
−2
)
4
4.8,85.10−12
.(9.10−2
)2 → FE=⃗E.q = 1,986. 105
x 18. 10-6
= 3,57 N
3- Corriente del alambre: I(t) = 100 sen(314t) A, resistencia de la espira = 1,20Ω
B generado por el alambre → B=
μ0 I
2πr
^ϕ = B=
2.10
−7
I
r
^ϕ
determinar el flujo de B en la espira → ΦB=∮B.ds = ΦB=∮(
2.10−7
I
x
).ds =
ΦB=∮(
2.10−7
I
x
).b.dx .cos 180º = ΦB=−2.10
−7
I. b. ∮
r
r +a
1
x
dx = cte. ln(
r+a
r
)
o
o
o ΦB=−2.10
−7
.I.b.ln(
r+a
r
)
Cálculo de la fem → ε=−N
d ΦB
dt
Se estima la espira constituida por una sola vuelta, entonces
N = 1 quedando ε=−
dΦB
dt
=
ε=−
d(−2.10−7
.100sen(314t).b.ln
(r+a)
r
)
dt
=
ε=−[−314.2.10
−7
.100cos(314 t). b.ln(
r+a
r
)]
=
ε=[314 .2.10−7
.100cos(314t).b.ln(
r+a
r
)]V

6. I= ε
R
=
[314 .2.10
−7
.100cos(314t).b.ln(
r+a
r
)]
1,20
A

7. I= ε
R
=
[314 .2.10
−7
.100cos(314t).b.ln(
r+a
r
)]
1,20
A