El documento explica cómo encontrar la expresión para c(t) cuando la entrada es un escalón unitario y ξ es igual a cero para una planta dada. Se encuentra que la función de transferencia en lazo cerrado es C(s)=ωn2/(s2+ωn2). Al aplicar una entrada de escalón unitario, se obtiene que c(t)=1−(1/2)ejωnt−(1/2)e−jωnt.

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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
Sistemas de control autom´atico
´Ultima edici´on: 7 de abril de 2016
Problema 1: Cuando ξ es igual a cero
Tenemos la siguiente planta:
G(s) =
ω2
n
s(s + 2ξωn)
Encuentre una expresi´on para c(t) cuando ξ = 0 y la entrada es un escal´on unitario.
ξ ωns(s+2 )
ωn
2R(s) C(s)
−
+
Soluci´on:
Como ξ = 0, la funci´on G(s) queda de la siguiente manera:
G(s) =
ω2
n
s2
. (1.1)
Sabemos que la funci´on de transferencia en un lazo cerrado viene dada por:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + H(s)G(s)
(1.2)
pero en este caso H(s) = 1. Reemplazamos la ec. (1.1) en (1.2), y desarrollamos:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + G(s)
=
ω2
n
s2
1 +
ω2
n
s2
=
ω2
n
s2
s2
+ ω2
n
s2
=
ω2
n
s2 + ω2
n
,
C(s)
R(s)
=
ω2
n
s2 + ω2
n
. (1.3)
Como la entrada es un escal´on unitario, sabemos que la Transformada de Laplace de un escal´on unitario es R(s) = 1/s,
entonces, reemplazamos en la ec. (1.3) y obtenemos

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C(s) =
ω2
n
s(s2 + ω2
n)
,
luego, factorizamos para separar esta expresi´on en fracciones parciales,
C(s) =
ω2
n
s(s + jωn)(s − jωn)
,
de modo que
C(s) =
ω2
n
s(s + jωn)(s − jωn)
=
A1
s
+
A2
s + jωn
+
A3
s − jωn
.
Es f´acil notar que las raices del polinomio caracter´ıstico son:
s1 = 0, s2 = − jωn, s3 = jω.
Entonces, calculamos los valores de A1, A2 y A3 usando el m´etodo de l´ımites:
2

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A1 = l´ım
s→s1
(s − s1) · C(s) = l´ım
s→0 ¡s ·
ω2
n
¡s(s + jωn)(s − jωn)
=
ω2
n
(+jωn)(− jωn)
=
ω2
n
− j2ω2
n
=
ω2
n
ω2
n
= 1.
A2 = l´ım
s→s2
(s − s2) · C(s) = l´ım
s→−jωn
@@@@@@
(s − {− jωn}) ·
ω2
n
s$$$$(s + jωn)(s − jωn)
= l´ım
s→−jωn
ω2
n
s(s − jωn)
,
=
ω2
n
(−jωn)(− jωn − jωn)
,
=
ω2
n
(−jωn)(−2jωn)
,
=
ω2
n
2 j2ω2
n
,
=
ω2
n
−2ω2
n
,
= −
1
2
,
A3 = l´ım
s→s3
(s − s3) · C(s) = l´ım
s→ jωn
$$$$$
(s − { jωn}) ·
ω2
n
s(s + jωn)$$$$(s − jωn)
= l´ım
s→ jωn
ω2
n
s(s + jωn)
,
=
ω2
n
( jωn)( jωn + jωn)
,
=
ω2
n
( jωn)(2 jωn)
,
=
ω2
n
2 j2ω2
n
,
=
ω2
n
−2ω2
n
,
= −
1
2
,
en s´ıntesis
A1 = 1, A2 = −
1
2
, A3 = −
1
2
,
Por lo tanto, reemplazamos estos valores en la ec. (1.4)
C(s) =
1
s
−
1
2(s + jωn)
−
1
2(s − jωn)
.
Al aplicar la Anti-Transformada de Laplace obtenemos
c(t) = A1e−s1t
+ A2e−s2t
+ A2e−s3t
,
3

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por lo tanto
c(t) = 1 · e−0·t
−
1
2
e−(− jωn)t
−
1
2
e−(jωn)t
,
c(t) = 1 −
1
2
ejωnt
−
1
2
e− jωnt
. (1.4)
4