El documento presenta la resolución de 6 ejercicios de integrales por sustitución. En cada ejercicio se realiza una sustitución de variable, se integra y se devuelve la expresión en términos de la variable original.

1. www.ejerciciosresueltos.cl
Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
C´alculo aplicado I
´Ultima edici´on: 18 de agosto de 2015
Ejercicios: integrales por sustituci´on
i) 1 − 4ydy
ii) x2
(x3
− 1)10
dx
iii) x2
− 4x + 4
4
3
dx
iv) x
√
x + 1dx
v)
√
3 − 2xx2
dx
vi) cos(x) (2 + sin(x))5
dx
Soluci´on:
i) Realizamos la siguiente sustituci´on
u = 1 − 4y,
du = −4dy,
despejamos dy,
dy = −
du
4
,
y reemplazamos en la integral
1 − 4y dy =
√
u · −
du
4
,
= −
1
4
u
1
2 du,
= −
1
4
·
u
1
2 +1
1
2 + 1
+ c,
= −
1
4
·
u
3
2
3
2
+ c,
= −
1
4
·
2
3
· u
3
2 + c,
= −
2
12
· u
3
2 + c,
= −
1
6
u
3
2 + c,

2. www.ejerciciosresueltos.cl
pero recordemos que u = 1 − 4y, por lo tanto
1 − 4y dy = −
1
6
(1 − 4y)
3
2 + c.
ii) Realizamos la siguiente sustituci´on
u = x3
− 1,
du = 3x2
dx,
despejamos x2
dx,
x2
dx =
du
3
,
y reemplazamos en la integral
x2
x3
− 1
10
dx = x3
− 1
10
· x2
dx,
= u10
·
du
3
,
=
1
3
u10
du,
=
1
3
·
u10+1
10 + 1
+ c,
=
1
3
·
u11
11
+ c,
=
1
33
u11
+ c,
pero, recordemos que u = x3
− 1, entonces
x2
x3
− 1
10
dx =
1
33
(x3
− 1)11
+ c.
iii) En primer lugar, debemos notar que
x2
− 4x + 4 = (x − 2)2
,
entonces la integral queda
x2
− 4x + 4
4
3
dx = (x − 2)2
4
3
dx,
= (x − 2)
8
3 dx.
2

3. www.ejerciciosresueltos.cl
Realizamos la siguiente sustituci´on
u = x − 2,
du = dx,
y reemplazamos en la integral
x2
− 4x + 4
4
3
dx = (x − 2)
8
3 dx,
= u
8
3 du,
=
u
8
3 +1
8
3 + 1
+ c,
=
u
11
3
11
3
+ c,
=
3
11
u
11
3 + c,
pero, recordemos que u = x − 2, entonces
x2
− 4x + 4
4
3
dx =
3
11
(x − 2)
11
3 + c.
iv) Realizamos la siguiente sustituci´on
u = x + 1,
du = dx,
despejamos x,
x = u − 1,
y reemplazamos en la integral
3

4. www.ejerciciosresueltos.cl
x
√
x + 1dx = (u − 1) ·
√
udu,
= (u − 1)u
1
2 du,
= u1+ 1
2 − u
1
2 du,
= u
3
2 − u
1
2 du,
= u
3
2 du − u
1
2 du,
=
u
3
2 +1
3
2 + 1
−
u
1
2 +1
1
2 + 1
+ c,
=
u
5
2
5
2
−
u
3
2
3
2
+ c,
=
2
5
u
5
2 −
2
3
u
3
2 + c,
pero recordemos que u = x + 1, por lo tanto
x
√
x + 1dx =
2
5
(x + 1)
5
2 −
2
3
(x + 1)
3
2 + c.
v) Realizamos la siguiente sustituci´on
u = 3 − 2x,
du = −2dx,
despejamos dx,
dx = −
du
2
,
luego despejamos x
x =
3 − u
2
y reemplazamos en la integral
4

5. www.ejerciciosresueltos.cl
√
3 − 2xx2
dx =
√
u ·
3 − u
2
2
· −
du
2
,
= u
1
2 ·
9 − 6u + u2
4
· −
du
2
,
= −
1
8
u
1
2 9 − 6u + u2
du
= −
1
8
9u
1
2 − 6u1+ 1
2 + u2+ 1
2 dx,
= −
1
8
9u
1
2 − 6u
3
2 + u
5
2 dx,
= −
1
8
9u
1
2 du +
1
8
6u
3
2 du −
1
8
u
5
2 du,
= −
9
8
u
1
2 du +
6
8
u
3
2 du −
1
8
u
5
2 du,
= −
9
8
·
u
1
2 +1
1
2 + 1
+
3
4
·
u
3
2 +1
3
2 + 1
−
1
8
·
u
5
2 +1
5
2 + 1
+ c,
= −
9
8
·
u
3
2
3
2
+
3
4
·
u
5
2
5
2
−
1
8
·
u
7
2
7
2
+ c,
= −
9
8
·
2
3
u
3
2 +
3
4
·
2
5
u
5
2 −
1
8
·
2
7
u
7
2 + c,
= −
3
4
u
3
2 +
3
10
u
5
2 −
1
28
u
7
2 + c,
pero recordemos que u = 3 − 2x, por lo tanto
√
3 − 2xx2
dx = −
3
4
(3 − 2x)
3
2 +
3
10
(3 − 2x)
5
2 −
1
28
(3 − 2x)
7
2 + c.
vi) Realizamos la siguiente sustituci´on
u = 2 + sin(x),
du = cos(x)dx,
y reemplazamos en la integral
cos(x) (2 + sin(x))5
dx = (2 + sin(x))5
· cos(x)dx,
= u5
du,
=
u5+1
5 + 1
+ c,
=
u6
6
+ c,
5

6. www.ejerciciosresueltos.cl
pero recordemos que u = 2 + sin(x), por lo tanto
cos(x) (2 + sin(x))5
dx =
(2 + sin(x))6
6
+ c.
6