El documento describe cómo encontrar la expresión para c(t) cuando la entrada es un escalón unitario para una planta dada con 0 < ξ < 1. Se muestra que c(t) es igual a 1 más dos términos exponenciales que decaen a diferentes tasas dependiendo de los valores de ξ y ωn.

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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
Sistemas de control autom´atico
´Ultima edici´on: 8 de abril de 2016
Problema 3: Cuando ξ est´a entre cero y uno
Tenemos la siguiente planta:
G(s) =
ω2
n
s(s + 2ξωn)
(3.1)
Encuentre una expresi´on para c(t) cuando 0 < ξ < 1 y la entrada es un escal´on unitario.
ξ ωns(s+2 )
ωn
2R(s) C(s)
−
+
Soluci´on:
Sabemos que la funci´on de transferencia en un lazo cerrado viene dada por:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + H(s)G(s)
(3.2)
pero en este caso H(s) = 1. Reemplazamos la ec. (3.1) en (3.2), y desarrollamos:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + G(s)
=
ω2
n
s(s + 2ξωn)
1 +
ω2
n
s(s + 2ξωn)
=
ω2
n
s(s + 2ξωn)
s(s + 2ξωn) + ω2
n
s(s + 2ξωn)
=
ω2
n
s(s + 2ξωn) + ω2
n
,
C(s)
R(s)
=
ω2
n
s2 + 2ξωns + ω2
n
. (3.3)
Como la entrada es un escal´on unitario, sabemos que la Transformada de Laplace de un escal´on unitario es R(s) = 1/s,
entonces, reemplazamos en la ec. (3.3) y obtenemos
C(s) =
ω2
n
s(s2 + 2ξωns + ω2
n)
(3.4)
Ahora, debemos factorizar el denominador para poder descomponer esta funci´on en fracciones parciales. Para ello
buscaremos las raices (soluciones) de la ((ecuaci´on)) que se encuentra entre par´entesis. Dicho c´alculo lo desarrolare-
mos en el siguiente cuadro:

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Usando la f´ormula de Bhaskaraa
, resolvemos la ecuaci´on cuadr´atica
s2
+ 2ξωns + ω2
n = 0,
entonces
s =
−2ξωn ± (2ξωn)2 − 4 · 1 · ω2
n
2 · 1
,
s =
−2ξωn ± 4ξ2ω2
n − 4ω2
n
2
,
s =
−2ξωn ± 4ω2
n(ξ2 − 1)
2
,
s =
−¡2ξωn ± ¡2ωn ξ2 − 1
¡2
,
s = −ξωn ± ωn ξ2 − 1,
s = −ξωn ± ωn −(1 − ξ2),
s = −ξωn ± ωn
√
−1 · 1 − ξ2,
s = −ξωn ± j ωn 1 − ξ2
ωd
,
s = −ξωn ± jωd,
luego, las soluciones de esta ecuaci´on cuadr´atica son −ξωn + jωd y −ξωn − jωd, donde ωd = ωn 1 − ξ2.
aUna ecuaci´on del tipo ax2 + bx + c = 0, tiene como soluci´on x = (−b ±
√
b2 − 4ac)/2a.
separamos esta expresi´on (la ec. (3.4)) en fracciones parciales, de modo que
C(s) =
ω2
n
s(s2 + 2ξωn + ω2
n)
=
ω2
n
s(s − {−ξωn + jωd})(s − {−ξωn − jωd})
,
=
A1
s
+
A2
(s − {−ξωn + jωd})
+
A3
(s − {−ξωn − jωd})
, (3.5)
=
A1
s
+
A2
s + ξωn − jωd
+
A3
s + ξωn + jωd
. (3.6)
Es f´acil notar, de la ec. (3.5), que las raices del polinomio caracter´ıstico son:
s1 = 0, s2 = −ξωn + jωd s3 = −ξωn − jωd.
Entonces, calculamos los valores de A1, A2 y A3 usando el m´etodo de l´ımites:
2

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A1 = l´ım
s→s1
(s − s1) · C(s) = l´ım
s→0 ¡s ·
ω2
n
¡s(s − {−ξωn + jωd})(s − {−ξωn − jωd})
= l´ım
s→0
ω2
n
(s − {−ξωn + jωd})(s − {−ξωn − jωd})
,
=
ω2
n
(0 − {−ξωn + jωd})(0 − {−ξωn − jωd})
,
=
ω2
n
(ξωn − jωd)(ξωn + jωd)
,
=
ω2
n
ξ2ω2
n − j2ω2
d
, pero j2
=
√
−1
2
= −1
=
ω2
n
ξ2ω2
n + ω2
d
, pero ω2
d = ωn 1 − ξ2
2
= ω2
n(1 − ξ2
)
= ω2
n
ξ2
ω2
n + ω2
n(1 − ξ2)
,
=
1
ξ2
+ 1
−ξ2
,
= 1. (3.7)
A2 = l´ım
s→s2
(s − s2) · C(s) = l´ım
s→−ξωn+jωd
@@@@@@@@
(s − {−ξωn + jωd}) ·
ω2
n
s@@@@@@@@
(s − {−ξωn + jωd})(s − {−ξωn − jωd})
,
= l´ım
s→−ξωn+jωd
ω2
n
s(s − {−ξωn − jωd})
,
= l´ım
s→−ξωn+jωd
ω2
n
s(s + ξωn + jωd)
,
=
ω2
n
(−ξωn + jωd)($$$−ξωn + jωd +¨¨ξωn + jωd)
,
=
ω2
n
(−ξωn + jωd)(2 jωd)
,
=
ω2
n
−2 jξωnωd + 2 j2ω2
d
, pero j2
=
√
−1
2
= −1
=
ω2
n
−2ω2
d − 2 jξωnωd
, pero ω2
d = ωn 1 − ξ2
2
= ω2
n(1 − ξ2
)
= ω2
n
−2 ω2
n(1 − ξ2) − 2 jξ ω2
n 1 − ξ2
,
=
1
−2(1 − ξ2) − 2jξ 1 − ξ2
,
=
1
2 −1 + ξ2 − jξ 1 − ξ2
, (3.8)
(3.9)
3

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A3 = l´ım
s→s3
(s − s3) · C(s) = l´ım
s→−ξωn−jωd
@@@@@@@@
(s − {−ξωn − jωd}) ·
ω2
n
s(s − {−ξωn + jωd})@@@@@@@@
(s − {−ξωn − jωd})
,
= l´ım
s→−ξωn−jωd
ω2
n
s(s − {−ξωn + jωd})
,
= l´ım
s→−ξωn−jωd
ω2
n
s(s + ξωn − jωd)
,
=
ω2
n
(−ξωn − jωd)($$$−ξωn − jωd +¨¨ξωn − jωd)
,
=
ω2
n
(−ξωn − jωd)(−2jωd)
,
=
ω2
n
2 jξωnωd + 2 j2ω2
d
, pero j2
=
√
−1
2
= −1
=
ω2
n
2ω2
d + 2 jξωnωd
, pero ω2
d = ωn 1 − ξ2
2
= ω2
n(1 − ξ2
)
= ω2
n
2 ω2
n(1 − ξ2) + 2jξ ω2
n 1 − ξ2
,
=
1
2(1 − ξ2) + 2jξ 1 − ξ2
,
=
1
2 1 − ξ2 + jξ 1 − ξ2
, (3.10)
en s´ıntesis
A1 = 1, A2 =
1
2 −1 + ξ2 − jξ 1 − ξ2
, A3 =
1
2 1 − ξ2 + jξ 1 − ξ2
,
Por lo tanto, reemplazamos estos valores en la ec. (3.6)
C(s) =
1
s
+
1
2 −1 + ξ2 − jξ 1 − ξ2
A2
·
1
s + ξωn − jωd
+
1
2 1 − ξ2 + jξ 1 − ξ2
A3
·
1
s + ξωn + jωd
.
Al aplicar la Anti-Transformada de Laplace obtenemos
c(t) = A1e−s1t
+ A2e−s2t
+ A2e−s3t
,
por lo tanto
c(t) = 1
A1
·e−0·t
+
1
2 −1 + ξ2 − jξ 1 − ξ2
A2
e−(−ξωn+jωd)t
+
1
2 1 − ξ2 + jξ 1 − ξ2
A3
e−(−ξωn− jωd)t
,
c(t) = 1 +
1
2 −1 + ξ2 − jξ 1 − ξ2
e−ωn(−ξ+j
√
1−ξ2)t
+
1
2 1 − ξ2 + jξ 1 − ξ2
e−ωn(−ξ−j
√
1−ξ2)t
. (3.11)
4