Plano cartesiano y gráficas de circunferencias, parábolas, hipérbolas, elipses y cónicas

1. Plano
cartesiano

2. Plano cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
 Distancia entre dos puntos: A partir de conocer la ubicación de dos
puntos en el plano cartesiano, es posible determinar la distancia que hay
entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el eje de las x o de las
abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 –
x 1 ).

3.  Punto medio: En el plano cartesiano dado un segmento, cuyos
extremos tienen por coordenadas: A = (x₁ , y₁) y B = (x₂ , y₂)
El punto medio, Pm tendrá por coordenadas:
Pm =
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
Ejemplo:
• Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
= (2.5 , 6)

4.  Ecuación y trazado de circunferencias
Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro:
1. Se establece la ecuación a emplear:
2. Se reemplaza la ecuación:
3. Se factoriza para obtener de esta forma:
3.1 El 18x² pasa a restar y se suma con los términos reales, dando la
siguiente forma:

5.  Ecuación y trazado de circunferencias
4. Se grafica la circunferencia en el plano cartesiano:

6.  Ecuación y trazado de parábolas
Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática:
f(x) = ax² + bx + c
Se puede representar una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
d (F , P) = d (P, d)
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de
simetría es:

7.  Ecuación y trazado de parábolas
2. Puntos de corte con el eje OX.
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
• Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0
• Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0
• Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY.
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c (0,c)
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3

8.  Ecuación y trazado de parábolas
 1. Vértice
xv = - (-4) / 2 = 2 yv = 2² - 4· 2 + 3 = -1
V (2, -1)
 2. Puntos de corte con el eje OX.
x² - 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
 3. Punto de corte con el eje OY
( 0 , 3 )

9.  Ecuación y trazado de elipses: Es el lugar geométrico de los puntos P
(x,y) del plano cartesiano cuya suma de distancias de los puntos,
llamados focos: F1 y F2 es constante.
Gráfica plano cartesiano
Cuando la elipse tiene forma vertical:
C (h,k) - Centro
V₁V₂ - eje mayor
B₁B₂ - eje menor
A < B

10.  Ecuación y trazado de elipses
Cuando la elipse tiene forma horizontal
C (h,k) - Centro
V₁V₂ - eje mayor
B₁B₂ - eje menor
A >B

11.  Ecuación y trazado de elipses
- Fórmula canónica:
Cuando la elipse tiene forma vertical: El eje focal está paralelo al eje de las
abscisas (y, y1)
(𝑥 − ℎ)²
𝑏²
+
(𝑦 − 𝑘)²
𝑎²
= 1
Cuando la elipse tiene forma horizontal: El eje focal está paralelo al eje de
las abscisas (x, x1)
(𝑥 − ℎ)²
𝑎²
+
(𝑦 − 𝑘)²
𝑏²
= 1
- Ecuación general de la circunferencia
Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

12.  Ecuación y trazado de hipérbolas
 Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen con eje real
horizontal: Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola
cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados, y, por tanto, el centro de
hipérbola con el origen del plano. En este caso consideraremos el eje
real sobre el eje de las abscisas.

13.  Ecuación y trazado de hipérbolas
 Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen con eje real
horizontal
Analicemos las partes de la hipérbola que se muestran en la imagen y
algunas propiedades:
1. El centro es el origen C( 0 , 0 ). El centro siempre será el punto medio entre
los dos vértices, el cual, a su vez, coincide con el punto medio de los focos.
2. Los vértices están dados por los puntos V ( a , 0 ) y V’ ( -a , 0 ). Cada vértice
está a la misma distancia del centro, a unidades.
3. Los focos están dados por los puntos F (c , 0) y F’ (-c , 0). Cada foco está a la
misma distancia del centro, c unidades.
4. Eje real: Es el segmento de recta que une los vértices, esto es VV’ , su valor
(longitud) es igual a 2a. Este eje está sobre las abscisas.
5. Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los puntos B y B’, esto
es BB’ , su valor (longitud) es igual a 2b. Este eje está sobre las ordenadas.
6. Eje focal: Eje imaginario: Es el segmento de recta que une los focos,
esto es FF’ , su valor (longitud) es igual a 2c.
Cada foco está a la misma distancia del centro, unidades.

14.  Ecuación y trazado de hipérbolas
 Ecuación reducida de la hipérbola centrada en el origen con eje real
horizontal
7. Las constantes a, b y c, que definen la hipérbola, satisfacen que:
c² = a² + b²
8. La excentricidad de la hipérbola está dada por: e=
c
a
9. Cada punto, P(x , y) sobre la hipérbola debe cumplir que:
|d(P , F) - d (P , F’)| = 2a, por la definición euclideana entre 2 puntos,
tenemos que esto es igual a: | 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦² - 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦²| = 2a.
Realizando ciertas operaciones algebraicas podemos escribir la igualdad anterior
de la siguiente manera:
x2
a2 -
y2
b2 = 1
Esta última ecuación se conoce como la ecuación reducida de la hipérbola con eje
horizontal.

15.  Cónicas: Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas
resultantes de la intersección del cono y un plano. Este plano no
debe pasar por el vértice (V).

16.  Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta
con el cono y su base:
 Circunferencia: Es la intersección del cono con un plano paralelo a la
base.
 Elipse: Es la intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que
no la corta en ningún momento.
 Parábola: Es la intersección del cono con un plano paralelo a su
generatriz y que corta a la base.
 Hipérbola: Es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo
es menor al de la generatriz del cono.
 ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS
Las cónicas tienen una fórmula general para definir los
puntos (x,y) que la forman. Según las características de los
parámetros A, B, C, D y E, definirán cada uno de los cuatro tipos de
cónica.
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey = 0
donde A ≠ 0 o C ≠ 0