Este documento habla sobre estadígrafos de dispersión como la varianza, desviación estándar, desviación media y coeficiente de variación. Explica cómo calcular estas medidas para datos agrupados y de muestras. También presenta un ejemplo resuelto sobre el cálculo de estas medidas para datos de duración de productos con diferentes conservantes.

1. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
ÍNDICE.
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN. ................................................................................................... 1
VARIANZA. ...................................................................................................................................... 1
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Ó TÍPICA. .............................................................................................. 2
DESVIACIÓN MEDIA. ...................................................................................................................... 2
COEFICIENTE DE VARIACIÓN Ó COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON ........................ 4
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA MUESTRA Y UNA POBLACIÓN. .......................... 4
ANÁLISIS DE LA VARIANZA. .............................................................................................................. 4
TÉRMINOS: ......................................................................................................................................... 5
VARIANZA Y DESVIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS. ................................................................ 5
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 6
EJERCICIO RESUELTO...................................................................................................................... 7
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN.
Los estadígrafos de dispersión son aquellos que nos determinan ó indican como se comportan los
datos alrededor de un promedio.
Los estadígrafos de dispersión son:
VARIANZA.
La varianza es una de las medidas más utilizadas dentro de los estadígrafos de dispersión. La
varianza se define como el promedio de la diferencia de cada uno de los datos respecto a su media,
en otras palabras:
2
n
 __

∑  xi − X 
σ 2 = i =1  
n
Una de las características de la varianza, es que el resultado obtenido se encuentra en una unidad de
medida distinta a la de los datos tomados, por tanto puede no llegar a decirnos mucho sobre la
realidad de la distribución. De igual manera, por estar elevadas al cuadrado cada una de las
observaciones, el valor obtenido podrá llegar a ser más alto que las observaciones mismas.
Ejemplo:
2
 __
  __

W d D  xi − X   xi − X 
   
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
Iván Fernando Suarez Lozano

2. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
2
 __
  __

W d D  xi − X   xi − X 
   
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
W D D D
∑ D
1,352Min 2
σ2 =
23
D
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Ó TÍPICA.
La desviación estándar la definimos simplemente como la raíz cuadrada de la varianza, de esta forma
tenemos:
2

n __

∑  xi − X 

σ = i =1 Representativamente podemos utilizar el término σ 2 para la varianza y σ para la
n
desviación estándar.
1,352Min 2
Continuando con el ejemplo anterior tendríamos: σ 2 = D
23
D
DESVIACIÓN MEDIA.
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3. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
La desviación media tiene un poco menos de importancia que las varianza y la desviación estándar.
La desviación media se define como la media de las desviaciones respecto a la media aritmética,
tomadas en valor absoluto. Su ecuación es:
___
∑ xi − X
D.M =
n
Ejemplo:
Tomando los datos del ejemplo anterior:
 __
 __
W d D  xi − X  xi − X
 
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
W D D
∑
___
∑x i −X
D.M = =
n
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4. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
COEFICIENTE DE VARIACIÓN Ó COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON
Una de las desventajas del análisis de varianza es cuando las variables que se presentan están
expresadas en distintas medidas ó unidades, con lo cual nos interesaría determinar la variación
respecto a una base. De esta forma el coeficiente de variación podemos definirlo como:
S
Cv = ___
x100%
X
Continuando con el ejercicio anterior tendríamos:
0,242°C
Cv = x100% = 4,6 %
5,2
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA MUESTRA Y UNA POBLACIÓN.
La varianza y desviación estándar que se ha presentando hasta el momento, están especificadas
para una población, sin embargo, rara vez podemos realizar un análisis poblacional de estos
estadígrafos, por ello es necesario que tengamos en cuenta el análisis para la muestra.
La formula la para el análisis de la varianza y la desviación estándar es:
2 2
n
 __
 n
 __

∑  xi − X 
 Para la varianza y S =
∑
i =1
 xi − X 

S 2 = i =1 para la desviación estándar
n −1 n −1
(n-1) nos da los grados de libertad. En toda operación estadística, los grados de libertad están
determinados por todas las observaciones menos todas las restricciones impuestas por estas
observaciones.
ANÁLISIS DE LA VARIANZA.
Como ya hemos mencionado, la varianza y la desviación estándar nos mide el promedio de la
diferencia elevada al cuadrado de cada dato respecto a la media. Por tanto debemos tener presente
lo siguiente:
Entre más alta sea la varianza y la desviación estándar, mayor es la desviación de los datos, de igual
manera entre menor sea la varianza y la desviación estándar, menor es la dispersión de los datos
frente a la media.
¿Qué pasa si la varianza ó la desviación estándar es igual a cero?
Solo cuando la diferencia entre cada dato y su promedio es cero, la varianza es cero, por tanto,
podemos decir que cada dato es igual al promedio.
Esto también puede ser aplicado al coeficiente de variación y desviación media.
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5. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
TÉRMINOS:
Teniendo presente lo que hemos expuesto en relación a la diferencia entre la población y la muestra,
podemos resumir el uso de los términos según la siguiente tabla:
Promedio Varianza Desviación
___ 2
Muestra X S S
Población µ σ 2
σ
VARIANZA Y DESVIACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS.
Al igual que se ha especificado para en las clases anteriores, para el caso de los datos agrupados
tendremos:
2
n
 __

∑  yi − Y  ni

σ 2 = i =1 Para el caso de la varianza de la una población,
n
2
n
 __

∑  yi − Y  ni

σ = i =1 Para el caso de la desviación estándar de la población.
n
Para el caso de la muestra debemos dividir por n-1, como lo expresamos anteriormente.
Iván Fernando Suarez Lozano

6. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
BIBLIOGRAFÍA
ANDERSON, D. R., SWEENEY, D. J., & WILLIAMS, T. A. (2001). ESTADÍSTICA PARA
ADMINIISTRACIÓN Y ECONOMÍA (7a ed., Vol. I). (V. GONZALEZ POZO, Trad.) Buenos Aires,
Argentina: Internacional Thomson Editores.
ANDERSON, D. R., SWEENEY, D. J., & WILLIAMS, T. A. (2008). ESTADÍSTICA PARA
ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (10a Edición ed.). (S. R. CERVANTES GONZÁLEZ, Ed.) México
D.F., México: CENGAGE Learning.
LIND, D. A., MARCHAL, W. G., & MASON, R. D. (2004). ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y
ECONOMÍA (11 ed.). (F. D. CASTRO PEREZ, M. CUPA LEÓN, Edits., & M. D. HANO ROA, Trad.)
Bogotá D.C., Colombia: ALFAOMEGA.
MENDENHALL, W. (1990). ESTADISTICA PARA ADMINISTRADORES (1era ed.). (N. GREPE P,
Ed., & D. VALCKX VERBEECK, Trad.) México D. F., México: Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de
CV.
Iván Fernando Suarez Lozano

7. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
EJERCICIO RESUELTO.
1. Para pruebas de duración de un producto, se encontraron los siguientes datos.
^ ^ Usted tiene que decidir cual del conservante va a
utilizar basándose en la varianza, desviación estándar y
desviación media. Grafique los datos obtenidos. Saque
conclusiones.
Desarrollo:
Los primero que debemos hacer es sacar el promedio
de cada una de las mediciones. Utilizando la formula:
n
∑x i
µ= i =1
n
De esta forma tenemos para cada uno de los datos:
^ ^
W
2
 __
  __
 Una vez que hemos hayado los promedios hayamos la
 xi − X   xi − X  varianza para cada uno de los datos. Así:
   
De esta forma tenemos:
21,138Dias2
σ2 = =
20
W
∑
Continuando, para el Sorbato Sódico.
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8. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
2
 __
  __

^  xi − X   xi − X  De esta forma tenemos:
   
11,2Dias2
σ2 = =
20
W
∑
Continuando, para el Sorbato Sódico.
2
 __
  __

^  xi − X   xi − X  De esta forma tenemos:
W    
8,1495Dias2
σ2 = =
20
W
∑
Resumiendo tenemos:
^ ^
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9. ESTADÍSTICA I
ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN
¿Cuál escogería?
Debo asumir que el mayor tiempo de
duración promedio debe ser el elegido,
sin embargo, es importante que
tengamos presente que los tiempos son
muy cercanos entre sí, por tanto
debemos dar prioridad a la desviación
de los datos, teniendo presente que
debemos dar prioridad a la menor
desviación puesto que nos da mayor
seguridad en relación a la duración de
los tiempos. Podemos asumir entonces
que la menor desviación nos dará una
mayor seguridad que los datos se
desviaran muy poco respecto a la media,
por tanto podría asumir que el sorbato
de Potasio seria el elegido.
W
s
Iván Fernando Suarez Lozano