Este documento presenta una introducción al curso de Estadística Avanzada impartido por el Ing. Andrés Alejandro Galvis Correa. Incluye secciones sobre qué es la estadística, realizando el estudio preliminar, teoría de probabilidad y distribuciones de probabilidad. Explica conceptos clave como población, muestra, unidades muestrales, datos cualitativos y cuantitativos, y el análisis unidimensional cuantitativo.
1. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
Realizando el estudio preliminar
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Distribuciones de Probabilidad
Estad´
ıstica Avanzada
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e
Departamento de Matem´ticas
a
Universidad de las Am´ricas
e
27 de septiembre de 2011
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
2. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
Realizando el estudio preliminar
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Distribuciones de Probabilidad
1 ¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
Introducci´n
o
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
2 Realizando el estudio preliminar
Fuente de informaci´n o
Algunas medidas cl´sicas
a
Aplicaci´n
o
3 Teor´ de la Probabilidad
ıa
La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
Definici´n de la Probabilidad
o
Independencia y Condicionalidad
Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Funci´n Generadora de Momentos
o
4 Distribuciones de Probabilidad
Distribuciones Discretas
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
3. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
Problema
Caso 1
Se desea invertir en una acci´n que esta dentro del indice S&P500,
o
¿Qu´ har´
e ıas?
Caso 2
Se desea estudiar el nivel de probreza, eduaci´n y salud de
o
Ecuador, ¿Como lo har´ ıas?
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e Estad´
ıstica Avanzada
4. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ resuelve la estad´
e ıstica?
Descripci´n de datos.
o
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
5. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ resuelve la estad´
e ıstica?
Descripci´n de datos.
o
An´lisis de muestras.
a
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e Estad´
ıstica Avanzada
6. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ resuelve la estad´
e ıstica?
Descripci´n de datos.
o
An´lisis de muestras.
a
Medici´n de relaciones.
o
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e Estad´
ıstica Avanzada
7. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ resuelve la estad´
e ıstica?
Descripci´n de datos.
o
An´lisis de muestras.
a
Medici´n de relaciones.
o
Predicci´n.
o
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ıstica Avanzada
8. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Y la materia prima...?
Poblaci´n o Universo (N, Ω)
o
Es una colecci´n completa de personas, animales, plantas o cosas.
o
Muestra (n, A)
Es un subconjunto de la poblaci´n seleccionado de acuerdo a una
o
regla de probabilidad que le permite ser una colecci´n
o
representativa de la poblaci´n.
o
Unidad muestral (xi , ω)
Es una persona, animal, planta o cosa de la cual se desea obtener
informaci´n relevante para el analista.
o
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e Estad´
ıstica Avanzada
9. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ informaci´n obtengo de las unidades muestrales? I
e o
Datos cualitativos
Tipo de informaci´n que describe caracteristicas o atributos de la
o
unidad muestral, no son medibles y se clasifican en:
Nominales: se les asigna una etiqueta a cada elemento y
pueden ser contados pero no ordenados.
Ordinales: se les asigna una etiqueta a cada elemento y
pueden ser contados y ordenados.
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ıstica Avanzada
10. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ informaci´n obtengo de las unidades muestrales? II
e o
Datos cuantitativos
Tipo de informaci´n que describe caracteristicas medibles de la
o
unidad muestral, se clasifican en:
Discretos: los valores que toma son contables, (1, 2, 3...); Ej:
Numero de personas en la fila de una caja.
Continuos: los valores que toma estan definidos dentro de un
intervalo, (a, b); Ej: Peso o estatura de una persona.
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e Estad´
ıstica Avanzada
11. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ informaci´n obtengo de las unidades muestrales? III
e o
Datos at´
ıpicos
Es una informaci´n que se define como diferente o extrema de una
o
medici´n; a veces es el resultado de una mala observaci´n y
o o
ocasiona distorsi´n en la interpretaci´n de los resultados; NO
o o
ELIMINAR hasta no tener suficientes argumentos para ello.
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ıstica Avanzada
12. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Qu´ deseo analizar o medir de la informaci´n?
e o
El proceso de analisis de datos se enfoca en tres caracter´
ısticas
fundamentales:
An´lisis de localizaci´n: tiene como objetivo determinar la
a o
posici´n relativa de los datos, su punto medio.
o
An´lisis de la dispersi´n: tiene como objetivo determinar la
a o
dispersi´n de los datos respecto a su media, su grado de
o
diseminaci´n.
o
An´lisis de forma: tiene como objetivo determinar la forma
a
en la cual se agrupan los datos respecto a su localizaci´n y
o
dispersi´n.
o
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ıstica Avanzada
13. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
¿Como vendo mi an´lisis estad´
a ıstico?
Todo an´lisis estad´
a ıstico debe necesariamente estar acompa˜ado
n
de sus respectivos graficos, para que el lector puede entenderlo
mejor y visualizar rapidamente el comportamiento de la
informaci´n tabulada; algunos gr´ficos de mayor aplicaci´n son:
o a o
Diagrama de puntos.
Diagrama de tallo y hojas.
Gr´fico de sectores.
a
Gr´fico de barras
a
Histograma (funci´n de probabilidad o densidad)
o
Pol´
ıgono de frecuencias
Ojiva (funci´n de distribuci´n)
o o
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ıstica Avanzada
14. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
El estudio unidimensional cuantitativo
Descripci´n
o
Comprende el an´lisis exploratorio tanto para la informaci´n
a o
discreta como continua para una sola caracter´ ıstica de la poblaci´n
o
X ; donde las medidas de localizaci´n, dispersi´n y forma se
o o
caraterizan por estructuras donde las observaciones tiene la misma
probabilidad de ocurrir.
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ıstica Avanzada
15. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
El estudio multidimensional cuantitativo
Descripci´n
o
Comprende el an´lisis exploratorio tanto para la informaci´n
a o
discreta como continua para un vector de caracter´ ısticas de la
poblaci´n X; donde las medidas de localizaci´n, dispersi´n y forma,
o o o
se calculan con base a la relaci´n de la informaci´n en el espacio
o o
Rn . La representaci´n gr´fica se limita al diagrama de dispersi´n y
o a o
correlaci´n.
o
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ıstica Avanzada
16. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
El estudio unidimensional cualitativo
Descripci´n
o
Comprende el an´lisis exploratorio con base a un atributo de la
a
poblaci´n de estudio, la cual se descompone en diferentes
o
modalidades; las medidas de localizaci´n, dispersi´n y forma se
o o
limitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.
Se destaca la potencia que le da el estudio gr´fico al an´lisis.
a a
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ıstica Avanzada
17. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
El estudio multidimensional cualitativo
Descripci´n
o
Comprende el an´lisis exploratorio con base a varios atributos de la
a
poblaci´n de estudio, la cual se descompone en diferentes
o
modalidades; las medidas de localizaci´n, dispersi´n y forma se
o o
limitan a ciertos conceptos subjetivos fundamentados en conteos.
Se destaca el uso de la tabla de contingencia.
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ıstica Avanzada
18. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
Merlin siglo XX I
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Se fundamenta en el estudio de la medida de los conjuntos y su
interrelaci´n a partir de una estructura de informaci´n llamada
o o
σ-´lgebra (F);es decir, la informaci´n que se obtiene en el estudio
a o
exploratorio provee una descripci´n cuantitativa de la posibilidad
o
de ocurrencia de un evento, una medida de probabilidad (P) que
se define como:
(Ω, F, P)
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ıstica Avanzada
19. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
Merlin siglo XX II
Teorema del l´
ımite central (TLC )
La gran importancia del teorema se debe a que constituye el puente
entre la teor´ de la probabilidad y la estad´
ıa ıstica, y se define como:
Y − E (Y )
Z=
Var (Y )
que se aproxima a una ley normal est´ndar.
a
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e Estad´
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20. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
Merlin siglo XX III
Modelaci´n estoc´stica
o a
Un claro ejemplo de la modelaci´n estoc´stica y el mayor error de
o a
la ultima decada es el modelo de BSM,
∂V 1 ∂2V ∂V
+ σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0
∂t 2 ∂S ∂S
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21. ´Indice
Introducci´n
o
¿Qu´ es la estad´
e ıstica?
An´lisis exploratorio para informaci´n cuantitativa
a o
Realizando el estudio preliminar
An´lisis exploratorio para informaci´n cualitativa
a o
Teor´ de la Probabilidad
ıa
Teor´ de la probabilidad y la inferencia estad´
ıa ıstica
Distribuciones de Probabilidad
Hacia el futuro...
Los modelos d´
ınamicos
Estad´
ıstica bayesiana
Redes neuronales y conjuntos difusos
Estad´
ıstica cuantica y econo-f´
ısica (Finanzas cuanticas)
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ıstica Avanzada
22. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Estudio preliminar
Objetivo
Realizar un estudio descriptivo de tal manera que podamos obtener
informaci´n respecto al comportamiento de la variable de estudio
o
Descriptive statistics
Close
count 6427
mean 63.1698
sample variance 1,203.6428
sample standard deviation 34.6936
minimum 15.15
maximum 179.94
range 164.79
skewness 0.5853
kurtosis -0.5107
coefficient of variation (CV) 54.92%
1st quartile 28.2400
median 58.8800
3rd quartile 88.5000
interquartile range 60.2600
mode 52.0000
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23. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Encuestas
Definici´n
o
Es el m´todo por excelencia para la obtenci´n de informaci´n
e o o
primaria, utiliza una estrategia de consulta mediante un sistema de
preguntas internamente consistentes que responden a una pregunta
de investigaci´n.
o
Portal para dise˜ar y realizar encuestas gratis:
n
http://www.encuestafacil.com/.
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24. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Observaciones subjetivas
Definici´n
o
Es el m´todo qu´ hace uso de los sentidos para obtener
e e
informaci´n de la naturaleza sin instrumento de medici´n, p. ej:
o o
tocar una superficie, degustar de un filete de carne o apreciar una
chica de Medell´
ın.
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e Estad´
ıstica Avanzada
25. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Bases de datos
Definici´no
Te´ricamente, es el m´todo m´s preciso para elaborar estudios
o e a
estad´ısticos, tiene como fundamento la medici´n de las unidades
o
mu´strales mediante alg´n instrumento, se caracteriza por ser una
e u
informaci´n generalmente publicada por alguna instituci´n
o o
gubernamental o instituci´n privada que goza de respeto a nivel
o
general.
Portales de informaci´n confiable:
o
http://www.inec.gob.ec
http://finance.yahoo.com/
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ıstica Avanzada
26. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Descarga de informaci´n
o
Para llevar a cabo la definici´n de las medidas cl´sicas, vamos a
o a
utilizar los registros hist´ricos del precio de la acci´n de Microsoft
o o
(MSFT), que se descarga de la siguiente direcci´n: o
http://finance.yahoo.com/. En su defecto, la carpeta del curso
tiene un archivo Portafolio.xls.
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ıstica Avanzada
27. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
La distribuci´n de frecuencias
o
Definici´n
o
Es una herramienta que resume la informaci´n proveniente de las
o
encuestas, las observaciones, etc; de manera que facilite el estudio
de la localizaci´n, dispersi´n y forma de los datos.
o o
Close cumulative
lower upper midpoint width frequency percent frequency percent
0.0 < 20.0 10.0 20.0 107 1.7 107 1.7
20.0 < 40.0 30.0 20.0 2212 34.4 2319 36.1
40.0 < 60.0 50.0 20.0 966 15.0 3285 51.1
60.0 < 80.0 70.0 20.0 992 15.4 4277 66.5
80.0 < 100.0 90.0 20.0 1167 18.2 5444 84.7
100.0 < 120.0 110.0 20.0 528 8.2 5972 92.9
120.0 < 140.0 130.0 20.0 326 5.1 6298 98.0
140.0 < 160.0 150.0 20.0 101 1.6 6399 99.6
160.0 < 180.0 170.0 20.0 28 0.4 6427 100.0
6427 100.0
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e Estad´
ıstica Avanzada
28. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Un acercamiento visual
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ıstica Avanzada
29. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Medidas de Localizaci´n
o
Promedio Media geom´trica
e
n
1
x= xi √
n
n MG = x1 × x2 × x3 · · · xn
i=1
Mediana Media arm´nica
o
n
Es el punto medio de los MH = n
datos, cuando estos se ordenan 1
xi
de menor a mayor. i=1
Moda Percentiles, cuartiles y quintiles
Se define como el valor que Es dividir el conjunto de datos
tiene mayor frecuencia en 100, 4 o 5 pedazos iguales
absoluta. respectivamente.
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e Estad´
ıstica Avanzada
30. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Medidas de Dispersi´n
o
Desviaci´n est´ndar
o a Rango intercuartil
n
(xi − x)2 RIQ = Q3 − Q1
i=1
s= donde, Qi es el cuartil i
n−1
Coeficiente de variaci´n
o
Varianza s
n CV =
(xi − x)2 x
s2 = i=1 Si
n−1 CV ≤ 1 los datos son
homogeneos.
Rango
CV > 1,5 los datos son
Rango = xmax − xmin heterogeneos
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ıstica Avanzada
31. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Medidas de Forma I
Asimetr´
ıa
n
(xi −x)3
i=1
n
As =
s3
Si
As > 0 Asim´trica a la derecha.
e
As = 0 Sim´trica.
e
As < 0 Asim´trica a la izquierda.
e
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e Estad´
ıstica Avanzada
32. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
Medidas de Forma II
Curtosis
n
(xi −x)4
i=1
n
Ap = −3
s4
Si
Ap > 0 Leptoc´rtica.
u
Ap = 0 Mesoc´rtica.
u
As < 0 Platic´rtica.
u
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ıstica Avanzada
33. ´Indice
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Fuente de informaci´n
o
Realizando el estudio preliminar Algunas medidas cl´sicas
a
Teor´ de la Probabilidad
ıa Aplicaci´n
o
Distribuciones de Probabilidad
MegaStat
Aplicaci´n
o
Con la ayuda del paquete estad´ ıstico para excel MegaStat, realizar
un estudio completo de las acciones del portafolio (Portafolio.xls) y
de las variables categ´ricas del archivo (Caso Atraca Facil.xls)
o
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e Estad´
ıstica Avanzada
34. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Problema
Caso 3
Suponga que vamos a lanzar 2 dados al mismo tiempo y vamos a
realizar una apuesta con respecto a los n´meros que resultan del
u
experimento; ¿A qu´ n´mero le apuestas?
e u
Caso 4
Si lanzamos una moneda, ¿cu´les son los posibles resultados de la
a
prueba?
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
35. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Teor´ de Conjuntos I
ıa
Conceptos B´sicos
a
Conjunto, A. Subconjunto, A ⊂ B
Elemento, a. C. iguales, A = B.
Universo, U. Cardinalidad Card (A)
C. Vac´ ∅.
ıo, C. Potencia P (A)
Uni´n de Conjuntos
o
A ∪ B denota la uni´n de A y B y se define por:
o
A ∪ B = {a | a ∈ A ∨ a ∈ B}
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
36. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Teor´ de Conjuntos II
ıa
Intersecci´n de Conjuntos
o
A ∩ B denota la intersecci´n de A y B y se define por:
o
A ∩ B = {a | a ∈ A ∧ a ∈ B}
Diferencia de Conjuntos
AB denota la diferencia de A en B y se define por:
AB = {a | a ∈ A ∧ a ∈ B}
/
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
37. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Teor´ de Conjuntos III
ıa
Complemento de un Conjunto
Si A ⊂ B, entonces
B A = (BA)
es el conjunto complemento de A en B; algunas notaciones como
Ac o A son muy usadas, pero debe definirse el conjunto al que
hace referencia.
Diferencia Sim´trica de Conjuntos
e
A B, es el conjunto de elementos que est´n en A y en B pero no
a
en ambos, se define por:
A B = {a | a ∈ A ∨ a ∈ B}
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e Estad´
ıstica Avanzada
38. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
¿Sabes Contar?... hagamos la prueba!
¿De cu´ntas formas diferentes me puedo vestir el d´ de
a ıa
ma˜ana?
n
¿De cu´ntas formas diferentes nos podemos ubicar en el aula?
a
¿De cu´ntas formas diferentes puedo seleccionar un presidente
a
y un vicepresidente con las personas que hay en el aula?
¿De cu´ntas formas puedo seleccionar un jurado de dos
a
personas con las personas del curso?
Ing. Andr´s Alejandro Galvis Correa
e Estad´
ıstica Avanzada
39. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
M´todos de Conteos I
e
Arreglo
Se utiliza cuando la relaci´n entre los elementos es de uno a uno,
o
se define por:
Arreglo = m × n × s × · · ·
Variaci´n
o
Se utiliza cuando el tama˜o de los subconjuntos a generar es
n
n ≤ k, sin repetir elementos:
k n!
Vn =
(n − k)!
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e Estad´
ıstica Avanzada
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
M´todos de Conteos II
e
Permutaci´no
Se utiliza cuando el tama˜o de los subconjuntos a generar es el
n
mismo del original sin repetir elementos, se define por:
Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) · · · 1
Combinaci´no
Se utiliza cuando el tama˜o de los subconjuntos a generar es
n
n ≤ k, y no pueden haber conjuntos iguales,
k n!
Cn =
k! (n − k)!
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e Estad´
ıstica Avanzada
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
M´todos de Conteos III
e
Permutaci´n con repetici´n
o o
Se utiliza cuando el tama˜o de los subconjuntos a generar es
n
n ≤ k, y se pueden repetir arbitrariamente los elementos
Pn = n k
k
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u
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Aplicaciones
Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4
delanteros para componer su equipo de f´tbol. El entrenador
u
utilizar´ la t´ctica 5-3-2 en referencia al n´mero de defensas,
a a u
centrocampistas y delanteros a utilizar. ¿Cu´ntos equipos
a
diferentes podr´ formar?
ıa
Hallar n si
1 2
12Cn + Cn+4 = 126
¿Cu´ntos boletos se pueden emitir para jugar el Pozo?
a
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Modelo Probabil´
ıstico de un Experimento
Definici´n
o
Es un modelo que intenta describir el comportamiento de los
posibles resultados de una prueba o experimento aleatorio; en este
punto converge la teor´ de la probabilidad y la teor´ de
ıa ıa
conjuntos.
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u
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Conceptos B´sicos I
a
Experimentos
Es el proceso mediante el cual se lleva a cabo una observaci´n,
o
´ste t´rmino considera las observaciones que se obtienen de
e e
situaciones que no se pueden controlar y las observaciones
obtenidas de situaciones en condiciones controladas de laboratorio.
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e Estad´
ıstica Avanzada
45. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
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e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Conceptos B´sicos II
a
Evento, (A ´ a)
o
Es cualquiera de los resultados posibles de un experimento u otra
situaci´n que involucre incertidumbre, dependiendo del caso puede
o
notarse como un conjunto A, o como un elemento a.
Evento Simple (a): es aquel que no se puede descomponer; a
dicho evento corresponde uno y s´lo un punto muestral.
o
Evento Compuesto (A): es el conjunto o evento formado por
varios eventos simples.
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e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Conceptos B´sicos III
a
Espacio Muestral (Ω)
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento,
o el conjunto de todos los posibles puntos muestrales.
Espacios muestrales finitos:
A = {w1 , w2 , . . . , wk }
Espacios muestrales infinitos numerables:
A = {w1 , w2 , . . . , wn , . . .}
Espacios muestrales continuos:
A = (a, b]
Teor´ de la Probabilidad vsCorrea ıa Estad´Conjuntos
ıa Ing. Andr´s Alejandro Galvis Teor´ de ıstica Avanzada
e
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¿Qu´ es la estad´
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
La probabilidad como Frecuencia Relativa, (fr )
Definici´n
o
Si un un experimento aleatorio resulta de n formas igualmente
probables y mutuamente excluyentes y si ni de estos resultados
tiene una caracter´
ıstica A, entonces la probabilidad de A es la
proporci`n de ni con respecto a n.
o
ni
fr (i) =
n
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u
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) I
o a
Notaci´n I
o
Para a, b ∈ R se define el intervalo:
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
Si a = (a1 , a2 , . . . , an ) y b = (b1 , b2 , . . . , bn ) son puntos en
Rn , a ≤ b significa que ai ≤ bi para todo i; se define el
intervalo n-dimensional:
(a, b] = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R : ai < xi ≤ bi }
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49. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) II
o a
Notaci´n II
o
Si f : Ω → Ω es una funci´n y B ⊆ Ω , la preimagen de B por f o la imagen
o
inversa de B bajo f es el conjunto definido por:
f −1 (B) = {w ∈ Ω : f (w ) ∈ B}
De la definici´n se sigue que:
o
f −1 Bi = f −1 (Bi )
i i
f −1 Bi = f −1 (Bi )
i i
y
f −1 (A B) = f −1 (A) f −1 (B)
por lo tanto,
f −1 A = f −1 (A)
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e Estad´
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) III
o a
La estructura de informaci´n, σ-algebra (F)
o
Sea Ω un conjunto diferente de vac´ una colecci´n F de
ıo. o
subconjuntos de Ω se llama σ-algebra si:
1 Ω ∈ F,
2 Si A1 , A2 , · · · ∈ F, ∪∞ An ∈ F,
i=i
3 Si A ∈ F, A ∈ F
Propiedades elementales de una F
1 Si A1 , A2 , · · · ∈ F, ∩∞ An ∈ F.
i=i
2 ∅ ∈ F.
3 Si A, B ∈ F entonces:
A ∪ B ∈ F, A ∩ B ∈ F, AB ∈F y A B∈F
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e Estad´
ıstica Avanzada
51. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) IV
o a
Espacio medible, (Ω, F)
Sea Ω un conjunto no vac´ Ω = ∅ y F es una σ-algebra en Ω,
ıo
entonces la pareja:
(Ω, F)
recibe el nombre de Espacio Medible; a los elementos de F se les
llama conjuntos medibles.
Hasta el momento se ha introducido la noci´n de espacio medible,
o
a continuaci´n se busca considerar ciertas funciones que le asignen
o
a cada elemento A de la σ-algebra F, un valor no negativo µ (A)
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e Estad´
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52. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad (Ω, F, P) V
o a
Funciones de conjunto: la medida µ
Una medida es una funci´n definida sobre una colecci´n de
o o
conjuntos, que a cada conjunto medible le asigna un n´mero real
u
no negativo; se define como:
µ : F → R = R ∪ {−∞, +∞}
Se dice que µ es σ-aditiva si para toda sucesi´n A1 , A2 , . . . de
o
conjuntos disjuntos dos a dos en F, tal que A = ∪∞ ∈ F,
n=1
∞
µ (A) = µ (An )
n=1
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e Estad´
ıstica Avanzada
53. ´Indice La locura de agrupar las cosas y peor a´n... contarlas!
u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad VI
o a
Espacio de Medida (Ω, F, µ)
Por lo tanto,
1 µ (A) ≥ 0 para todo A ∈ F
2 µ (∅) = 0
∞
∞
3 µ An = n=1 µ (An ) o para el caso finito
n=1
n
n
µ Ai = i=1 µ (Ai )
i=1
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ıstica Avanzada
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad VII
o a
Medida de Probabilidad (Ω, F, P)
Sea Ω = 0 y F una σ-algebra definida sobre Ω. La medida P sobre
(Ω, F) que satisface la condici´n adicional P (Ω) = 1 se llama
o
Medida de Probabilidad sobre (Ω, F). Al espacio (Ω, F, P) se le
denomina espacio de probabilidad. En este caso, los elementos
de F se llaman eventos.
que cumple con los siguientes tres axiomas:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
P(Ω) = 1.
si A y B son incompatibles:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
.
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n Axiom´tica de la Probabilidad VIII
o a
Algunas relaciones importantes
Si A y B no son incompatibles, entonces:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P(A ∩ B)
Si A ⊆ Ω, entonces:
P A = 1 − P (A)
Si A ⊆ B, entonces:
P (A) ≤ P (B)
Si P (A) = 1, entonces es un evento cierto.
Si P (A) = 0, entonces es un evento imposible.
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e Estad´
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
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Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
C´lculo de Probabilidades I
a
Espacios muestrales finitos
Si tenemos el evento A = {w1 , w2 , . . . , wk }, su probabilidad se
define como:
k
P (A) = P (wi )
i=1
Es decir,
Card (A)
P (A) =
Card (Ω)
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e Estad´
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
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Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
C´lculo de Probabilidades II
a
Espacios muestrales infinitos numerables
Sea Ω = {w1 , w2 , . . . , wn , . . .}, su probabilidad se define como:
P (A) = P (wi )
wi ∈A
Ej: los sets necesarios para ganar un partido de tenis.
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
C´lculo de Probabilidades III
a
Espacios muestrales continuos
Sea Ω el area de una cancha de futbol y A el area del circulo de la
mitad de la cancha, entonces:
Medida de A
P (A) =
Medida de Ω
.
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o
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Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Definici´n
o
Definici´n
o
La probabilidad condicional de un evento A dado que ocurri´ el
o
evento B, es igual a:
P (A ∩ B)
P (A | B) =
P (B)
siempre y cuando P (B) > 0
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Independencia
Definici´n
o
Se dice que dos eventos A y B son independientes si cumplen
cualesquiera de las siguientes condiciones:
P (A | B) = P (A)
P (B | A) = P (B)
P (A ∩ B) = P (A) P (B)
de lo contrario los eventos A y B no son independientes.
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
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Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Probabilidad Completa y Bayes I
Probabilidad Completa
Si {B1 , B2 , . . . , Bk } constituye una partici´n de Ω tal que
o
P (Bi ) > 0, para i = 1, 2, 3, . . . , k. entonces para cualquier evento
A,
k
P (A) = P (Bi ) P (A | Bi )
i=1
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u
¿Qu´ es la estad´
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o
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Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Probabilidad Completa y Bayes II
Formula de Bayes
Sea {B1 , B2 , . . . , Bk } una partici´n de Ω tal que P (Bi ) > 0, para
o
i = 1, 2, 3, . . . , k. entonces,
P (Bi ) P (A | Bi )
P (Bi | A) = k
i=1 P (Bi ) P (A | Bi )
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e Estad´
ıstica Avanzada
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u
¿Qu´ es la estad´
e ıstica? Definici´n de la Probabilidad
o
Realizando el estudio preliminar Independencia y Condicionalidad
Teor´ de la Probabilidad
ıa Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Distribuciones de Probabilidad Funci´n Generadora de Momentos
o
Aplicacion
El 35 % de los cr´ditos de un banco es para vivienda, el 50 %
e
para industrias y el 15 % para consumo. Resultan morosos el
20 % de los creditos de vivienda, el 15 % de los cr´ditos para
e
industrias y el 70 % de los cr´ditos para consumo. Calcule la
e
probabilidad de que se pague un cr´dito elegido al azar.
e
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e Estad´
ıstica Avanzada