Este documento describe los modelos matemáticos utilizados para representar el flujo de tráfico vehicular. Introduce las variables de densidad de tráfico y flujo de vehículos, y establece la relación entre ellas mediante la ecuación de conservación del número de vehículos. Además, modela el flujo de tráfico como una ecuación en derivadas parciales cuasi lineal, cuya solución se obtiene mediante el método de las características.

1. Escuela Politécnica Nacional
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Priscila Páez
Cristina Mantilla

3.  El estudio del flujo de
tráfico involucra la
circulación de
vehículos y las
interacciones entre
los conductores.
 Como los conductores suelen comportarse
coherentemente, los flujos de tráfico tienden
a tener una cierta consistencia
razonable y pueden estar representados
matemáticamente.

4.  Para representar mejor el tráfico, se han
establecido relaciones entre el flujo, la
densidad, y la velocidad. Estas relaciones
ayudan en la planificación, diseño, y la
explotación de las carreteras.

5. Ecuación del Tráfico

6. Vamos a modelar el caso de una vía
congestionada unidireccional, para lo que
definimos:
 densidad de tráfico (de vehículos) como
el número de vehículos por unidad de longitud
en un tiempo y en un punto x;
 flujo de vehículos
como el número de autos
que atraviesan en un
instante de tiempo, t, un
punto dado, x, por
unidad de tiempo.

7. Número de
vehículos entre
x=a y x=b

8.  Analizando la parte derecha de la ecuación [2]
e intercambiando la derivada respecto al
tiempo con la integral en la parte izquierda de
la ecuación:

9.  Entonces como a y b son arbitrarios, de [2] se
sigue que:
 Que es la ley de conservación
del número de vehículos
en su forma diferencial.

10.  El número de vehículos que pasan por un
determinado punto
cada hora es igual a la
densidad del tráfico
multiplicada por la
velocidad del mismo.
 Entonces la velocidad
de tráfico es:

11.  Para simplificar el modelo vamos a suponer
que la velocidad del tráfico depende
exclusivamente de la densidad del mismo:
 En este caso la ley de conservación del
número de vehículos [5] se convierte en
(ecuación en derivadas parciales cuasi lineal
homogénea):

12. Por el método de las
características.

13.  Una EDP cuasi lineal es aquella que es lineal
respecto a las derivadas parciales de mayor
orden y en general se puede representar por:
 Sabemos que considerando el siguiente
sistema de ecuaciones:
 Cuyas soluciones son:

14.  Se tiene que la solución general de [E] es:
ó
 En nuestro caso, de la
ecuación [7] tenemos
C=0.
 Se obtiene el sistema de
ecuaciones:

15.  Para analizar el significado
de estos resultados
consideramos la función
. medida por un
observador móvil con
posición , la
variación de es:
 Esto implica que si el observador se mueve
con una velocidad entonces este no
notaria cambios en .

16.  Ahora considerando las condiciones iniciales
 Sabemos que es constante respecto al
tiempo (por [9]), por ello podemos aplicar la
condición inicial en y obtener:
 De esto obtenemos la solución integrando
[10]:

17.  Los diferentes valores de dan lugar a
diferentes rectas características.
 A lo largo de cada característica, la densidad
de tráfico es constante. La densidad en cada
tiempo posterior se determina con la
característica que pasa por el
correspondiente punto de espacio- tiempo.

19.  Considérese el problema de
flujo de trafico:
 Suponga
 Hallar si el dato inicial
es:

20. GRACIAS POR SU ATENCION