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LÓGICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIÓN
La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una discipli-
na que se utiliza para determinar si un argumento es válido,
tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filoso-
fía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya
que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin
embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los
matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e infe-
rir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones .
En la computación, para revisar programas y crear sus
algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Exis-
ten circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con
los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica-
ciones (telefonía móvil, internet, ...)
ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa
una idea.
PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pue-
den calificar como verdaderas o falsas. Se representan con
las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.
Ejemplo:
* Túpac Amaru murió decapitado.
* 9 < 10
* 45 = 3 − 2
ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden
tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.
Ejemplo:
Si : 6x:)x(P >
Se cumple que:
69:)9(P > es verdadero
62:)2(P > es falso
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también,
se le conoce como función proposicional.
CLASES DE PROPOSICIONES:
1. Proposición Simple: Son proposiciones que no
tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de
negación.
Ejemplo:
* Cincuenta es múltiplo de diez.
2. Proposición Compuesta: Formada por dos o más
proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o
por el adverbio de negación.
Ejemplo:
* 29 es un número primo y 5 es impar.
CONECTIVOS LÓGICOS: Símbolos que enlazan dos o
más proposiciones simples para formar una proposición
compuesta.
Los conectores lógicos que usaremos son :
SÍMBOLO
OPERACIÓN
LÓGICA
SIGNIFICADO
~ Negación No p
∧ Conjunción p y q
∨ Disyunción p o q
→ Condicional Si p, entonces q
↔ Bicondicional p si y sólo si q
Δ
Disyunción
Exclusiva
"o ........ o ........"
OBS: La negación es un conector monádico, afecta sola-
mente a una proposición.
OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD
La validez de una proposición compuesta depende de los
valores de verdad de las proposiciones simples que la com-
ponen y se determina mediante una tabla de verdad.
1. Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el
conectivo lógico "y".
Tabla de Verdad
FFF
FVF
FFV
VVV
qpqp ∧
Aritmética
2. Disyunción: Vincula dos proposiciones mediante el
conectivo lógico "o".
Tabla de Verdad
FFF
VVF
VFV
VVV
qpqp ∨
3. Disyunción Exclusiva: Vincula dos proposiciones
mediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............."
Tabla de Verdad
FFF
VVF
VFV
FVV
qpqp Δ
4. Condicional: Vincula dos proposiciones mediante el
conectivo lógico :
"Si ............, entonces .............."
Tabla de Verdad
FFF
VVF
FFV
VVV
qpqp →
V
5. Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante
el conectivo lógico:
".............. si y sólo si .............."
Tabla de Verdad
VFF
FVF
FFV
VVV
qpqp ↔
6. Negación: Afecta a una sola proposición. Es un
operador monádico que cambia el valor de verdad de
una proposición:
Tabla de Verdad
V
F
p~
F
V
p
OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es:
# filas = 2n
Donde n es la cantidad de proposiciones simples.
IMPORTANTE:
* Cuando los valores del operador principal son todos
verdaderos se dice que el esquema molecular es
tautológico.
* Se dirá que el esquema molecular es contradictorio
si los valores del operador principal son todos falsos.
* Si los valores del operador principal tiene por lo menos
una verdad y una falsedad se dice que es contingente
o consistente.
LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esque-
mas moleculares complejos y expresarlos en forma más sen-
cilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen constru-
yendo la tabla de verdad en cada caso.
Principales Leyes:
a. Ley de Idempotencia:
ppp
ppp
≡∧
≡∨
b. Ley Conmutativa:
pqqp
pqqp
∧≡∧
∨≡∨
c. Ley Asociativa:
)rq(pr)qp(
)rq(pr)qp(
∧∧≡∧∧
∨∨≡∨∨
d. Ley Distributiva:
)rp()qp()rq(p
)rp()qp()rq(p
∧∨∧≡∨∧
∨∧∨≡∧∨
e. Ley de la Doble Negación:
p)p(~~ ≡
f. Leyes de Identidad:
FFp;pVp
pFp;VVp
≡∧≡∧
≡∨≡∨
g. Leyes del Complemento:
Fp~p
Vp~p
≡∧
≡∨
h. Ley del Condicional:
qp~qp ∨≡→
i. Ley de la Bicondicional:
)qp(~qp
)q~p(~)qp(qp
)pq()qp(qp
Δ≡↔
∧∨∧≡↔
→∧→≡↔
j. Ley de Absorción:
qp)qp(~p
qp)qp(~p
p)qp(p
p)qp(p
∧≡∨∧
∨≡∧∨
≡∨∧
≡∧∨
k. Leyes de "De Morgan":
q~p~)qp(~
q~p~)qp(~
∨≡∧
∧≡∨
CUANTIFICADORES:
1. Cuantificador Universal: Sea la función
proposicional )x(f sobre un conjunto A, el cuantificador
∀ ("para todo") indica que todos los valores del
conjunto A hacen que la función proposicional )x(
f
sea verdadera.
∀ se lee : "Para todo"
Ejemplo:
Sea : 52x:f 3
)x(
>+ donde Nx ∈
La proposición cuantificada es :
52x;Nx 3 >+∈∀ es falsa.
2. Cuantificador existencial: Sea )x(
f una función
proposicional sobre un conjunto A el cuantificador ∃
(existe algún) indica que para algún valor del conjunto
A, la función proposicional )x(
f es verdadera.
∃ se lee : "Existe algún"
Ejemplo:
Sea 85x:f 2
)x( <− , donde : +
∈ Zx , la proposición:
85x/Zx 2
<−∈∃ +
es verdadera:
CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito conmutador puede estar solamente en dos esta-
dos estables : cerrado o abierto, así como una proposición
puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar
una proposición utilizando un circuito lógico:
1. Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie
representan una conjunción.
p q qp∧><
2. Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en
paralelo representan una disyunción.
p
q
qp∨><
LÓGICA BINARIA
La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores
discretos y con operaciones que asumen significado lógico,
para este propósito es conveniente asignar los valores de 1
y 0.
PRINCIPALES COMPUERTAS LÓGICAS
* Compuerta AND de dos entradas.
p
q qp ∧
* Compuerta OR de dos entradas
p
q qp
* Compuerta NOT
~pp
* Compuerta NAND de dos entradas
p
q qp ∧~ ( )
* Compuerta NOR de dos entradas
p
q qp~ ( )
Aritmética
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. De los siguientes enunciados:
* Qué rico durazno.
* 7 + 15 > 50
* 25yx 22
=+
¿Qué alternativa es correcta?
a) Una es proposición.
b) Dos son enunciados abiertos.
c) Dos son expresiones no proposicionales.
d) Dos son proposiciones.
e) Todas son proposiciones.
02. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son
proposiciones?
* ¡Dios mío .... se murió!
* El calor es la energía en tránsito.
* Baila a menos que estés triste.
* Siempre que estudio, me siento feliz.
* El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero ma-
rino.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. Dadas las siguientes expresiones:
* El átomo no se ve, pero existe.
* Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu-
trias.
* Toma una decisión rápida.
* Hay 900 números naturales que se representan con
tres cifras.
* La Matemática es ciencia fáctica.
* Es imposible que el año no tenga 12 meses.
¿Cuántas no son proposiciones simples?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
04. Hallar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
)1127()523( =−∨=+
)8102()314( −=−→=−
)512()1073( >∧=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+↔⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ =
2
3
2
11212
a) VVFV b) VFVV c) VVVV
d) VVVF e) FVVV
05. Determinar el valor de verdad de cada una de la
siguientes proposiciones:
I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8
II. No es verdad que :
2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.
III. Madrid está en España o Londres está en Francia.
a) VFV b) VVV c) VFF
d) FVF e) FFF
06. Si : r)q~p( →∧ ; es falsa, determinar los valores de
verdad de "p", "q" y "r".
a) VVF b) VFF c) VVV
d) VFV e) FFF
07. Simbolizar:
~p
q
~q
Si la proposición que se obtiene es falsa.
¿Cuáles son los valores de p y q respectivamente?
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) No se puede precisar
08. Si la proposición: )sr(~)q~p( →∨→ es falsa,
deducir el valor de verdad de :
p~)q~p(~ ∨∧
a) V b) F
c) V o F. d) No se puede determinar.
e) Es V si p es F.
09. Si la proposición compuesta:
)tr()qp( ∨→∧
Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:
a) p ; r b) p ; q c) r ; t
d) q ; t e) p ; r ; t
10. Si "p" es una proposición falsa, determina el valor de
verdad de la expresión:
)qpr()]}pq(~r[)qp{( ∧∧→∧→∨→
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Verdadero o falso.
d) Verdadero sólo si q es verdadero.
e) Falso sólo si r es falso.
11. Si la proposición:
)rq()qp( →→∧
es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes
fórmulas:
I. )qp()rp(~ ∨→∨
II. )qr(~)q~p( ∧→∨
III. )r~p()]r~q()qp[( ∨↔∧∨∧
a) VVF b) VFV c) VVV
d) VFF e) FVV
12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r"
y "s" son respectivamente V, F, F y V.
Obtener los valores de verdad de:
I. s]r)qp[( ∧∨∨
II. )ps(r ∧→
III. )s~r()rp( ∧→∨
a) VFF b) FVV c) VVV
d) VVF e) FFF
13. Si la proposición:
)sr(p ∨→
Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. p~)ts(~ ∨∨
II. pr ↔
III. r~t →
IV. )ts()pr( →∨→
a) Ninguna b) Una c) Dos
d) Tres e) Cuatro
14. Si la proposición compuesta:
]q)~r()r~p[(~ Δ→∧
no es falsa. Hallar el valor de verdad de las
proposiciones r, p y q respectivamente.
a) FVV b) VVF c) VFV
d) FVF e) VFF
15. De la falsedad de la proposición :
)sr(~)q~p( →∨→ se deduce que el valor de verdad
de los esquemas:
I. )q(~)q~p(~ ∨∧
II. ]s)rq[(~)qr(~ ∧∨↔∨
III. ]q~)qp[()qp( ∧∨↔→
Son respectivamente :
a) VFV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV
16. Sean las proposiciones:
* 1x,Rx:p 0
)x(
=∈∀
* 0y/Ny:q 2
)y(
≤∈∃
* )3z)(3z(9z,Rz:r 22
)z(
−+=−∈∀
Indique el valor de verdad de:
qp ↔ , rp → , qr ∨
a) FFV b) FVV c) VFV
d) VVV e) FFF
17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal.
Hallar el valor de verdad de:
I. 1yx/y,x 2
+<∀∃
II. 12yx/y,x 22
<+∃∀
III. 12yx/y,x 22
<+∀∀
IV. 12yx/y,x 22
<+∃∃
a) VFVF b) VVFF c) VVVF
d) VVVV e) VVFV
18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes
proposiciones?
I. 4x3x:Ux <∨≥∈∀
II. 6x82x:Ux >⇒<+∈∃
III. 21-x52x:Ux =⇔=+∈∀
a) VVV b) FFV c) VFV
d) FVF e) FFF
19. Hallar los valores de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. x)1x,Rx(x)x,Rx( >+∈∃∧=∈∀
II. 1)-x1x,Zx(x)x,Rx( 2
≠+∈∃∧≠∈∀
III. 0)x,Qx(0)x,Nx( ≠∈∀⇒≠∈∃
IV. x)1x,Rx(x)3x,Nx( ≥−∈∀⇒≤−∈∃
a) FVVF b) FVVV c) VVFF
d) VFFF e) VVVF
20. Sea : A = {1 , 2 , 3}
Determinar el valor de verdad de las siguientes
expresiones:
I. 1yx/Ay,Ax 2
+<∈∀∈∃
II. 12yx/Ay,Ax 22
<+∈∃∈∀
III. 222 z2yxA/z,Ay,Ax <+∈∃∈∀∈∃
IV. 222
z2yxA/z,Ay,Ax ≤+∈∀∈∃∈∃
a) VFVV b) VVFV c) VVVF
d) FVVV e) VVVV
21. Señalar la expresión equivalente a la proposición:
)p~q(~)p~p( ∨∧∨
a) pq →
b) qp →
c) p~)qp( →→
d) )qp(p~ →→
e) p~)pq( →→
Aritmética
22. Indicar el valor de verdad de:
I. )qp(p ∨→
II. )qp()qp( ↔→∧
III. ]p)qp[(~ →∧
a) VVV b) VFV c) VVF
d) FVF e) FVV
23. Indicar el valor de verdad de:
I. ]p)qp[(~ →∧
II. p)qp( →∧
III. )qp()qp( ↔→∧
IV. )qp(p ∨→
a) VFVF b) VVVF c) FVFV
d) VFFV e) FVVV
24. Simplificar el siguiente circuito:
~pq
q
~p
~q
p
A B
a) qp ∨ b) qp~ ∨ c) qp ∧
d) qp~ ∧ e) q~p~ ∨
25. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico:
p
q
~q
~p
p q
a) p b) q~p∨ c) qp ∨
d) qp~ ∨ e) q~p ∧
26. Simplificar la proposición que corresponde al circuito:
q
~p
pq
~q
p
a) qp ∨ b) qp~ ∨ c) qp ∧
d) qp~ ∧ e) q~p~ ∨
27. Simplificar a su mínima expresión:
)]qp()q~p[()qp( ∨∨∧→→
a) p b) q c) qp ∧
d) qp ∨ e) qp →
28. Simplificar:
)qp(~)]pq(~)qp[(~M ∧∧∨→∨=
a) q b) p c) ~p
d) ~q e) qp~ ∨
29. Simplificar:
)]q~p(q[]p~)qp[(~~ →→→↔→
a) q~p∧ b) qp~ ∨
c) )qp(~ ∧ d) )qp(~ ∨
e) qp ∨
30. De la veracidad de:
)]s~r(~)q~p[(~ →∨→
Deducir el valor de verdad de :
I. p~)s~q(~~ →∨
II. )q~p(~)sr(~~ →↔∧
III. )]rs(~q[~p →→→
a) FVV b) VVF c) FFV
d) VFF e) FFF
31. Indicar el valor de verdad de:
I. )qp()q~p(~ ∨↔∧
es una contradicción.
II. )rp()]rq()qp[( →→→∧→
es una tautología.
III. r)q()]qp(p[ Δ→→∧
es una contingencia.
a) VVV b) VVF c) VFF
d) VFV e) FVV
32. De los siguientes esquemas:
* )rp(~)rq( →∨→
* p)]qp(p[ →→∧
* )]q~p(~r[~]r~)qp[(~ ∨∧→→∧
Indicar en el orden dado cuál es Tautología (T),
Contingencia (S) o Contradicción (C):
a) T , C , S b) T , S , C c) C , T , S
d) S , T , C e) S , C , T
33. Dado el siguiente enunciado:
]q)}rq(~)p]qp([[{~~ ∨∧⇒∧∨
Según su tabla de verdad, podemos decir que dicha
proposición es una:
a) Tautología. b) Contradicción.
c) Contingencia. d) Ley lógica.
e) Equivalencia lógica.
34. Si:
)]ba(~b[)ba(b*a →∨∨→≡
a~)]}ba(b[a{ba →∨→∨≡
Reducir :
q)}~(p*{qq)}*p(~*r]q)*{[(p ∧
a) ~p b) V c) F
d) p e) q
35. Si se define:
p)~(qq)~(pqp ∧∨∧≡Δ
Simplificar: ]q~q)~p[(~ →Δ
a) qp ∧ b) qp ∨ c) qp~ ∧
d) ~p e) ~q
36. Se define el operador : (+), por la siguiente tabla:
VFF
FVF
VFV
VVV
qpqp +
Simplificar: (p + q) + p
a) F b) qp ∨ c) qq~ ∨
d) qp ∧ e) V
37. Se definen los operadores # y θ por las siguientes
tablas:
VFF
FVF
FFV
FVV
q#pqp
VFF
VVF
VFV
FVV
qpqp θ
Simplificar:
p)~q(]p)q~#p[( θ∧θ
a) pq → b) pq Δ c) qp ∨
d) qp ∧ e) p~q →
38. Se definen los operadores " ∇ " y " ↑ " por las siguientes
tablas:
VFFF
VFVF
FVFV
VFVV
qpqpqp ↑∇
¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. )q~p(~q~p ∇≡→
II. qpq)p()qp(~ →≡↑∨∇
III. )qp~(~qp~ ∇≡↑
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) I y III e) Todas
39. Si: q~pqp →≡∗
p~)qp(q~#p →↔≡
Simplificar:
)]qp()#qp()qp[( →∨∗∧
a) qp~ ∨ b) p c) ~q
d) q~p~ ∨ e) ~p
40. Si: q~p~q*p ∧=
Expresar ~p usando únicamente el operador (*)
a) (p * p) * p
b) (p * ~p) * p
c) ~(p * q)
d) p * q
e) p * (q * q)
41. La proposición equivalente más simple del siguiente
circuito:
NM
p
q ~p
~q
p q
~q~p
r
r t
Es:
a) p b) q c) r
d) p e) ~q
42. El circuito lógico:
A B
~p
~p
p ~q
~q
q
r s t
r
t
s
r
t
s
r s t
Es equivalente a:
a) p b) q c) ~p
d) ~q e) qp ∧
Aritmética
43. El circuito lógico más simple equivalente al siguiente
circuito:
q
~p ~q
p q r
st
p
q
~p
~q
p
s t
~p
~q
~r
A B
a) A Bp q
b) A Bq
c) A B
s
d) A B
t
e) A B
ts
44. Si:
)]t~p()tp[()]rp()qp[(A ∧∨∧∧∧∨∧≡
≡B
q ~q
~p q
~q
q
El circuito simplificado de BA → es:
a)
~p
~q ~r
b)
~q ~r
p
c)
~p
q r
d)
r~q
p
e)
~r
p q
45. Si la proposición yx ∨ es equivalente al circuito:
p
q ~r
~q
r
q ~p
~q r
p q
~r
~s
~t
p q
r s t
Simplificar el siguiente circuito:
p
y
x
y
xq
q
p
y
x
y
xq
q
p
y
x
y
xq
q
p
p
q
q
y
x
y
x
q
a) qp ∧
b) tsrqp ∧∧∧∧
c) sr ∧
d) ts ∧
e) tsrqp ∨∨∨∨
46. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20.
Cuánto se ahorraría si hacemos una instalación mínima;
pero equivalente a:
p
~p r
~r
~p r
~q p
p q
a) 80 b) 100 c) 140
d) 160 e) 180
47. Para una proposición cualquiera, "p" se define:
⎩
⎨
⎧
=
Falsoespsi0
Verdaderoespsi1
F )p(
Si:
1F )m( = donde s)rp(m →∨=
0F )n(
= donde )pr(pn →∨=
Halle:
)p(~F)sp(F)sr(F)rp(F +→+∨+∧
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
48. La siguiente función:
⎩
⎨
⎧
=
falsaespSi;0
verdaderaespSi;1
F )p(
Si : 0F1F (y))x(
=∧=
Donde :
)ws()r~p(x ↔↔∧≡
s~wy ∨≡
Hallar:
+∨↔↔= )]rp(~)w~s[(FE
))]p~w(t()p~r(~[~F ∧→→→
a) 0 b) 1
c) 2 d) No se puede determinar
e) Tautología
49. Sean las proposiciones:
p: Si +
∈ ZN , entonces:
MCD (N ; 1N2
+ ) =1
q: El conjunto vacío es subconjunto y elemento.
r: MCD 77);0ab( 7 =
s: MCM (a ; b) = ba× ↔ MCD (a ; b) = 1
Además sean las proposiciones x e y:
yxP )y;x(
∧≡
yxQ )y;x(
→≡
⎩
⎨
⎧
=
falsoesxsi;0
overdaderesxsi;1
F )x(
Calcule:
)P(F)Q(F)P(FF )s;r()r;q()q;p( ++=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
50. Sea la función:
f :{p/p es proposición} → {0 , 1} definido
por
⎩
⎨
⎧
=
falsoespsi,0
verdaderoespsi,1
f )p(
Indicar si es verdad la siguiente igualdad:
)q(f1)qp(f −=→ )p(~f⋅
a) Verdadero
b) Falso
c) Depende de q
d) Es contradictorio
e) Es un enunciado abierto
51. Si m y n son números reales, además se define:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
+
=
falsaónproposiciesxSi;1
m
3n
verdaderaónproposiciesxSi;1
n
m3
f )x(
Hallar:
m
n
n
mM +=
Sabiendo que: 21ff )r()q( =+
Siendo:
0134:q =−↔<
0)1(01:r 2
<−→<−
a)
3
1
b) − 3 c)
7
1
d) 1 e) 3
52. Sean r, s, t, i
p , i
q donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n
proposiciones tales que tp ∧ es falsa para todo i = 1 ;
2 ; ......... ; n
n321
p....ppps ∨∨∨∨≡ es verdadera.
)tp(....)tp()tp(r n21
∧∨∨∧∨∧≡
tpq ii
∨≡ es falso para i par y es verdadera para i
impar.
Hallar el valor de verdad de:
t)}(p)q(q~{}pq()tp{( 321)125
∧∨∧Δ∧↔∨
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Faltan datos.
d) No se puede determinar.
e) Depende del valor de verdad de r.
53. Sea "S" una proposición que corresponde a la siguiente
tabla:
FFF
VVF
VFV
FVV
sqp
Y "r" la proposición más simplificada, equivalente a:
q~]q~)qp[( ∧↔→
¿Cuál es el circuito más sencillo, equivalente al que
resulta de conectar en paralelo los circuitos
correspondientes a "~r" y a "s"?
Aritmética
a)
p
~q
b) p q
c)
p
q
d) q~p
e) ~q~p
54. El equivalente de:
p
q
a) p b) ~p c) q
d) ~q e) qp ∧
55. Dado el siguiente circuito:
p
q
s
Si s es falsa.
¿Cuáles son los valores de verdad de p y q
respectivamente?
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Faltan datos
56. Los profesores de Aritmética de la academia TRILCE
han diseñado un circuito integrado que recibe p y q
como entradas y s como salida.
s
p
q
a) p b) q c) V
d) F e) qp ∨
57. Diseñe el circuito que cumple con la siguiente tabla:
1111
0011
0101
0001
0110
0010
0100
1000
Fzyx
Utilice compuertas lógicas:
a)
xy
z
F
b)
x
y
z F
c)
x
y
z
F
d)
x
y
z
F
e) x F
58. Expresar la operación lógica F; según la tabla:
0111
0011
1101
0001
0110
0010
1100
0000
Fzyx
a) xyzzyx + b) (x + y)z
c) x + y + z d) zyxzyx +
e) xyz
59. Dada la siguiente tabla:
1111
1011
1101
1001
0110
0010
1100
0000
Fzyx
Diseñar el circuito:
F
x
y
z
que cumple con dicha tabla utilizando las compuertas:
INVERSOR, AND, OR.
a)
x
y
z
F
b)
x
y
z
F
c)
x
y
z
F
d)
x
y
z
F
e)
x
y
F
60. El circuito lógico permite detectar el estado de 3 aviones
A, B, C de tal manera que la lámpara de alarma en la
base se enciende cuando los tres aviones están
averiados o cuando sólo el avión A está averiado.
Expresar F en función de las entradas A, B y C:
Avión sin averías: 0
Avión con averías: 1
Lámpara apagada: 0
Lámpara encendida: 1
A
B
C
F
Circuito
Lógico BASE
Lámpara
de alarma
A B C
a) BC)CB(AF +=
b) F = A + BC
c) F = ABC
d) F = A (B + C)
e) CBAF =
EL VAGO DE COZ
"En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adivino muy astuto. Toda la población
trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obligaba a algún desdichado ciudadano a
competir contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso
futuro cuya respuesta debía ser simplemente "sí" o "no". En caso de que el vago acertase la respuesta, el desafortunado
concursante se convertía en su esclavo y era obligado a trabajar para él de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste
sería depuesto, convertido en asno y condenado a rebuznar durante mil años. Por desgracia para los pobladores de Coz,
el vago poseía una esfera de cristal, que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda certeza. Si usted
fuera el próximo rival del malvado vago. ¿Qué pregunta le haría?".
Aritmética
ClavesClaves
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
a
b
e
d
a
b
b
b
b
b
c
d
d
a
b
b
e
c
d
e
c
c
e
d
d
c
d
d
c
e
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
a
d
b
c
a
e
a
e
a
b
c
c
e
a
b
d
c
c
c
b
e
a
c
b
b
e
a
d
c
a

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Lógica Proposicional

  • 1. LÓGICA PROPOSICIONAL INTRODUCCIÓN La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una discipli- na que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filoso- fía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e infe- rir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones . En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Exis- ten circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunica- ciones (telefonía móvil, internet, ...) ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea. PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pue- den calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s. Ejemplo: * Túpac Amaru murió decapitado. * 9 < 10 * 45 = 3 − 2 ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad. Ejemplo: Si : 6x:)x(P > Se cumple que: 69:)9(P > es verdadero 62:)2(P > es falso El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional. CLASES DE PROPOSICIONES: 1. Proposición Simple: Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemplo: * Cincuenta es múltiplo de diez. 2. Proposición Compuesta: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación. Ejemplo: * 29 es un número primo y 5 es impar. CONECTIVOS LÓGICOS: Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son : SÍMBOLO OPERACIÓN LÓGICA SIGNIFICADO ~ Negación No p ∧ Conjunción p y q ∨ Disyunción p o q → Condicional Si p, entonces q ↔ Bicondicional p si y sólo si q Δ Disyunción Exclusiva "o ........ o ........" OBS: La negación es un conector monádico, afecta sola- mente a una proposición. OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la com- ponen y se determina mediante una tabla de verdad. 1. Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". Tabla de Verdad FFF FVF FFV VVV qpqp ∧
  • 2. Aritmética 2. Disyunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o". Tabla de Verdad FFF VVF VFV VVV qpqp ∨ 3. Disyunción Exclusiva: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............." Tabla de Verdad FFF VVF VFV FVV qpqp Δ 4. Condicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico : "Si ............, entonces .............." Tabla de Verdad FFF VVF FFV VVV qpqp → V 5. Bicondicional: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si .............." Tabla de Verdad VFF FVF FFV VVV qpqp ↔ 6. Negación: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición: Tabla de Verdad V F p~ F V p OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es: # filas = 2n Donde n es la cantidad de proposiciones simples. IMPORTANTE: * Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es tautológico. * Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos. * Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es contingente o consistente. LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esque- mas moleculares complejos y expresarlos en forma más sen- cilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen constru- yendo la tabla de verdad en cada caso. Principales Leyes: a. Ley de Idempotencia: ppp ppp ≡∧ ≡∨ b. Ley Conmutativa: pqqp pqqp ∧≡∧ ∨≡∨ c. Ley Asociativa: )rq(pr)qp( )rq(pr)qp( ∧∧≡∧∧ ∨∨≡∨∨ d. Ley Distributiva: )rp()qp()rq(p )rp()qp()rq(p ∧∨∧≡∨∧ ∨∧∨≡∧∨ e. Ley de la Doble Negación: p)p(~~ ≡ f. Leyes de Identidad: FFp;pVp pFp;VVp ≡∧≡∧ ≡∨≡∨ g. Leyes del Complemento: Fp~p Vp~p ≡∧ ≡∨ h. Ley del Condicional: qp~qp ∨≡→
  • 3. i. Ley de la Bicondicional: )qp(~qp )q~p(~)qp(qp )pq()qp(qp Δ≡↔ ∧∨∧≡↔ →∧→≡↔ j. Ley de Absorción: qp)qp(~p qp)qp(~p p)qp(p p)qp(p ∧≡∨∧ ∨≡∧∨ ≡∨∧ ≡∧∨ k. Leyes de "De Morgan": q~p~)qp(~ q~p~)qp(~ ∨≡∧ ∧≡∨ CUANTIFICADORES: 1. Cuantificador Universal: Sea la función proposicional )x(f sobre un conjunto A, el cuantificador ∀ ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional )x( f sea verdadera. ∀ se lee : "Para todo" Ejemplo: Sea : 52x:f 3 )x( >+ donde Nx ∈ La proposición cuantificada es : 52x;Nx 3 >+∈∀ es falsa. 2. Cuantificador existencial: Sea )x( f una función proposicional sobre un conjunto A el cuantificador ∃ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional )x( f es verdadera. ∃ se lee : "Existe algún" Ejemplo: Sea 85x:f 2 )x( <− , donde : + ∈ Zx , la proposición: 85x/Zx 2 <−∈∃ + es verdadera: CIRCUITOS LÓGICOS Un circuito conmutador puede estar solamente en dos esta- dos estables : cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico: 1. Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción. p q qp∧>< 2. Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción. p q qp∨>< LÓGICA BINARIA La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico, para este propósito es conveniente asignar los valores de 1 y 0. PRINCIPALES COMPUERTAS LÓGICAS * Compuerta AND de dos entradas. p q qp ∧ * Compuerta OR de dos entradas p q qp * Compuerta NOT ~pp * Compuerta NAND de dos entradas p q qp ∧~ ( ) * Compuerta NOR de dos entradas p q qp~ ( )
  • 4. Aritmética EJERCICIOS PROPUESTOS 01. De los siguientes enunciados: * Qué rico durazno. * 7 + 15 > 50 * 25yx 22 =+ ¿Qué alternativa es correcta? a) Una es proposición. b) Dos son enunciados abiertos. c) Dos son expresiones no proposicionales. d) Dos son proposiciones. e) Todas son proposiciones. 02. ¿Cuántas de las siguientes expresiones son proposiciones? * ¡Dios mío .... se murió! * El calor es la energía en tránsito. * Baila a menos que estés triste. * Siempre que estudio, me siento feliz. * El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero ma- rino. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. Dadas las siguientes expresiones: * El átomo no se ve, pero existe. * Los tigres no son paquidermos, tampoco las nu- trias. * Toma una decisión rápida. * Hay 900 números naturales que se representan con tres cifras. * La Matemática es ciencia fáctica. * Es imposible que el año no tenga 12 meses. ¿Cuántas no son proposiciones simples? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 04. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: )1127()523( =−∨=+ )8102()314( −=−→=− )512()1073( >∧=+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+↔⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 2 11212 a) VVFV b) VFVV c) VVVV d) VVVF e) FVVV 05. Determinar el valor de verdad de cada una de la siguientes proposiciones: I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8 II. No es verdad que : 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10. III. Madrid está en España o Londres está en Francia. a) VFV b) VVV c) VFF d) FVF e) FFF 06. Si : r)q~p( →∧ ; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r". a) VVF b) VFF c) VVV d) VFV e) FFF 07. Simbolizar: ~p q ~q Si la proposición que se obtiene es falsa. ¿Cuáles son los valores de p y q respectivamente? a) VV b) VF c) FV d) FF e) No se puede precisar 08. Si la proposición: )sr(~)q~p( →∨→ es falsa, deducir el valor de verdad de : p~)q~p(~ ∨∧ a) V b) F c) V o F. d) No se puede determinar. e) Es V si p es F. 09. Si la proposición compuesta: )tr()qp( ∨→∧ Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas: a) p ; r b) p ; q c) r ; t d) q ; t e) p ; r ; t 10. Si "p" es una proposición falsa, determina el valor de verdad de la expresión: )qpr()]}pq(~r[)qp{( ∧∧→∧→∨→ a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero o falso. d) Verdadero sólo si q es verdadero. e) Falso sólo si r es falso. 11. Si la proposición: )rq()qp( →→∧ es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes fórmulas: I. )qp()rp(~ ∨→∨ II. )qr(~)q~p( ∧→∨ III. )r~p()]r~q()qp[( ∨↔∧∨∧ a) VVF b) VFV c) VVV d) VFF e) FVV
  • 5. 12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r" y "s" son respectivamente V, F, F y V. Obtener los valores de verdad de: I. s]r)qp[( ∧∨∨ II. )ps(r ∧→ III. )s~r()rp( ∧→∨ a) VFF b) FVV c) VVV d) VVF e) FFF 13. Si la proposición: )sr(p ∨→ Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. p~)ts(~ ∨∨ II. pr ↔ III. r~t → IV. )ts()pr( →∨→ a) Ninguna b) Una c) Dos d) Tres e) Cuatro 14. Si la proposición compuesta: ]q)~r()r~p[(~ Δ→∧ no es falsa. Hallar el valor de verdad de las proposiciones r, p y q respectivamente. a) FVV b) VVF c) VFV d) FVF e) VFF 15. De la falsedad de la proposición : )sr(~)q~p( →∨→ se deduce que el valor de verdad de los esquemas: I. )q(~)q~p(~ ∨∧ II. ]s)rq[(~)qr(~ ∧∨↔∨ III. ]q~)qp[()qp( ∧∨↔→ Son respectivamente : a) VFV b) FFF c) VVV d) VVF e) FFV 16. Sean las proposiciones: * 1x,Rx:p 0 )x( =∈∀ * 0y/Ny:q 2 )y( ≤∈∃ * )3z)(3z(9z,Rz:r 22 )z( −+=−∈∀ Indique el valor de verdad de: qp ↔ , rp → , qr ∨ a) FFV b) FVV c) VFV d) VVV e) FFF 17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de: I. 1yx/y,x 2 +<∀∃ II. 12yx/y,x 22 <+∃∀ III. 12yx/y,x 22 <+∀∀ IV. 12yx/y,x 22 <+∃∃ a) VFVF b) VVFF c) VVVF d) VVVV e) VVFV 18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? I. 4x3x:Ux <∨≥∈∀ II. 6x82x:Ux >⇒<+∈∃ III. 21-x52x:Ux =⇔=+∈∀ a) VVV b) FFV c) VFV d) FVF e) FFF 19. Hallar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I. x)1x,Rx(x)x,Rx( >+∈∃∧=∈∀ II. 1)-x1x,Zx(x)x,Rx( 2 ≠+∈∃∧≠∈∀ III. 0)x,Qx(0)x,Nx( ≠∈∀⇒≠∈∃ IV. x)1x,Rx(x)3x,Nx( ≥−∈∀⇒≤−∈∃ a) FVVF b) FVVV c) VVFF d) VFFF e) VVVF 20. Sea : A = {1 , 2 , 3} Determinar el valor de verdad de las siguientes expresiones: I. 1yx/Ay,Ax 2 +<∈∀∈∃ II. 12yx/Ay,Ax 22 <+∈∃∈∀ III. 222 z2yxA/z,Ay,Ax <+∈∃∈∀∈∃ IV. 222 z2yxA/z,Ay,Ax ≤+∈∀∈∃∈∃ a) VFVV b) VVFV c) VVVF d) FVVV e) VVVV 21. Señalar la expresión equivalente a la proposición: )p~q(~)p~p( ∨∧∨ a) pq → b) qp → c) p~)qp( →→ d) )qp(p~ →→ e) p~)pq( →→
  • 6. Aritmética 22. Indicar el valor de verdad de: I. )qp(p ∨→ II. )qp()qp( ↔→∧ III. ]p)qp[(~ →∧ a) VVV b) VFV c) VVF d) FVF e) FVV 23. Indicar el valor de verdad de: I. ]p)qp[(~ →∧ II. p)qp( →∧ III. )qp()qp( ↔→∧ IV. )qp(p ∨→ a) VFVF b) VVVF c) FVFV d) VFFV e) FVVV 24. Simplificar el siguiente circuito: ~pq q ~p ~q p A B a) qp ∨ b) qp~ ∨ c) qp ∧ d) qp~ ∧ e) q~p~ ∨ 25. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico: p q ~q ~p p q a) p b) q~p∨ c) qp ∨ d) qp~ ∨ e) q~p ∧ 26. Simplificar la proposición que corresponde al circuito: q ~p pq ~q p a) qp ∨ b) qp~ ∨ c) qp ∧ d) qp~ ∧ e) q~p~ ∨ 27. Simplificar a su mínima expresión: )]qp()q~p[()qp( ∨∨∧→→ a) p b) q c) qp ∧ d) qp ∨ e) qp → 28. Simplificar: )qp(~)]pq(~)qp[(~M ∧∧∨→∨= a) q b) p c) ~p d) ~q e) qp~ ∨ 29. Simplificar: )]q~p(q[]p~)qp[(~~ →→→↔→ a) q~p∧ b) qp~ ∨ c) )qp(~ ∧ d) )qp(~ ∨ e) qp ∨ 30. De la veracidad de: )]s~r(~)q~p[(~ →∨→ Deducir el valor de verdad de : I. p~)s~q(~~ →∨ II. )q~p(~)sr(~~ →↔∧ III. )]rs(~q[~p →→→ a) FVV b) VVF c) FFV d) VFF e) FFF 31. Indicar el valor de verdad de: I. )qp()q~p(~ ∨↔∧ es una contradicción. II. )rp()]rq()qp[( →→→∧→ es una tautología. III. r)q()]qp(p[ Δ→→∧ es una contingencia. a) VVV b) VVF c) VFF d) VFV e) FVV 32. De los siguientes esquemas: * )rp(~)rq( →∨→ * p)]qp(p[ →→∧ * )]q~p(~r[~]r~)qp[(~ ∨∧→→∧ Indicar en el orden dado cuál es Tautología (T), Contingencia (S) o Contradicción (C): a) T , C , S b) T , S , C c) C , T , S d) S , T , C e) S , C , T 33. Dado el siguiente enunciado: ]q)}rq(~)p]qp([[{~~ ∨∧⇒∧∨ Según su tabla de verdad, podemos decir que dicha proposición es una: a) Tautología. b) Contradicción. c) Contingencia. d) Ley lógica. e) Equivalencia lógica.
  • 7. 34. Si: )]ba(~b[)ba(b*a →∨∨→≡ a~)]}ba(b[a{ba →∨→∨≡ Reducir : q)}~(p*{qq)}*p(~*r]q)*{[(p ∧ a) ~p b) V c) F d) p e) q 35. Si se define: p)~(qq)~(pqp ∧∨∧≡Δ Simplificar: ]q~q)~p[(~ →Δ a) qp ∧ b) qp ∨ c) qp~ ∧ d) ~p e) ~q 36. Se define el operador : (+), por la siguiente tabla: VFF FVF VFV VVV qpqp + Simplificar: (p + q) + p a) F b) qp ∨ c) qq~ ∨ d) qp ∧ e) V 37. Se definen los operadores # y θ por las siguientes tablas: VFF FVF FFV FVV q#pqp VFF VVF VFV FVV qpqp θ Simplificar: p)~q(]p)q~#p[( θ∧θ a) pq → b) pq Δ c) qp ∨ d) qp ∧ e) p~q → 38. Se definen los operadores " ∇ " y " ↑ " por las siguientes tablas: VFFF VFVF FVFV VFVV qpqpqp ↑∇ ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. )q~p(~q~p ∇≡→ II. qpq)p()qp(~ →≡↑∨∇ III. )qp~(~qp~ ∇≡↑ a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas 39. Si: q~pqp →≡∗ p~)qp(q~#p →↔≡ Simplificar: )]qp()#qp()qp[( →∨∗∧ a) qp~ ∨ b) p c) ~q d) q~p~ ∨ e) ~p 40. Si: q~p~q*p ∧= Expresar ~p usando únicamente el operador (*) a) (p * p) * p b) (p * ~p) * p c) ~(p * q) d) p * q e) p * (q * q) 41. La proposición equivalente más simple del siguiente circuito: NM p q ~p ~q p q ~q~p r r t Es: a) p b) q c) r d) p e) ~q 42. El circuito lógico: A B ~p ~p p ~q ~q q r s t r t s r t s r s t Es equivalente a: a) p b) q c) ~p d) ~q e) qp ∧
  • 8. Aritmética 43. El circuito lógico más simple equivalente al siguiente circuito: q ~p ~q p q r st p q ~p ~q p s t ~p ~q ~r A B a) A Bp q b) A Bq c) A B s d) A B t e) A B ts 44. Si: )]t~p()tp[()]rp()qp[(A ∧∨∧∧∧∨∧≡ ≡B q ~q ~p q ~q q El circuito simplificado de BA → es: a) ~p ~q ~r b) ~q ~r p c) ~p q r d) r~q p e) ~r p q 45. Si la proposición yx ∨ es equivalente al circuito: p q ~r ~q r q ~p ~q r p q ~r ~s ~t p q r s t Simplificar el siguiente circuito: p y x y xq q p y x y xq q p y x y xq q p p q q y x y x q a) qp ∧ b) tsrqp ∧∧∧∧ c) sr ∧ d) ts ∧ e) tsrqp ∨∨∨∨ 46. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20. Cuánto se ahorraría si hacemos una instalación mínima; pero equivalente a: p ~p r ~r ~p r ~q p p q a) 80 b) 100 c) 140 d) 160 e) 180 47. Para una proposición cualquiera, "p" se define: ⎩ ⎨ ⎧ = Falsoespsi0 Verdaderoespsi1 F )p( Si: 1F )m( = donde s)rp(m →∨= 0F )n( = donde )pr(pn →∨= Halle: )p(~F)sp(F)sr(F)rp(F +→+∨+∧ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
  • 9. 48. La siguiente función: ⎩ ⎨ ⎧ = falsaespSi;0 verdaderaespSi;1 F )p( Si : 0F1F (y))x( =∧= Donde : )ws()r~p(x ↔↔∧≡ s~wy ∨≡ Hallar: +∨↔↔= )]rp(~)w~s[(FE ))]p~w(t()p~r(~[~F ∧→→→ a) 0 b) 1 c) 2 d) No se puede determinar e) Tautología 49. Sean las proposiciones: p: Si + ∈ ZN , entonces: MCD (N ; 1N2 + ) =1 q: El conjunto vacío es subconjunto y elemento. r: MCD 77);0ab( 7 = s: MCM (a ; b) = ba× ↔ MCD (a ; b) = 1 Además sean las proposiciones x e y: yxP )y;x( ∧≡ yxQ )y;x( →≡ ⎩ ⎨ ⎧ = falsoesxsi;0 overdaderesxsi;1 F )x( Calcule: )P(F)Q(F)P(FF )s;r()r;q()q;p( ++= a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 50. Sea la función: f :{p/p es proposición} → {0 , 1} definido por ⎩ ⎨ ⎧ = falsoespsi,0 verdaderoespsi,1 f )p( Indicar si es verdad la siguiente igualdad: )q(f1)qp(f −=→ )p(~f⋅ a) Verdadero b) Falso c) Depende de q d) Es contradictorio e) Es un enunciado abierto 51. Si m y n son números reales, además se define: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − + = falsaónproposiciesxSi;1 m 3n verdaderaónproposiciesxSi;1 n m3 f )x( Hallar: m n n mM += Sabiendo que: 21ff )r()q( =+ Siendo: 0134:q =−↔< 0)1(01:r 2 <−→<− a) 3 1 b) − 3 c) 7 1 d) 1 e) 3 52. Sean r, s, t, i p , i q donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n proposiciones tales que tp ∧ es falsa para todo i = 1 ; 2 ; ......... ; n n321 p....ppps ∨∨∨∨≡ es verdadera. )tp(....)tp()tp(r n21 ∧∨∨∧∨∧≡ tpq ii ∨≡ es falso para i par y es verdadera para i impar. Hallar el valor de verdad de: t)}(p)q(q~{}pq()tp{( 321)125 ∧∨∧Δ∧↔∨ a) Verdadero. b) Falso. c) Faltan datos. d) No se puede determinar. e) Depende del valor de verdad de r. 53. Sea "S" una proposición que corresponde a la siguiente tabla: FFF VVF VFV FVV sqp Y "r" la proposición más simplificada, equivalente a: q~]q~)qp[( ∧↔→ ¿Cuál es el circuito más sencillo, equivalente al que resulta de conectar en paralelo los circuitos correspondientes a "~r" y a "s"?
  • 10. Aritmética a) p ~q b) p q c) p q d) q~p e) ~q~p 54. El equivalente de: p q a) p b) ~p c) q d) ~q e) qp ∧ 55. Dado el siguiente circuito: p q s Si s es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de p y q respectivamente? a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos 56. Los profesores de Aritmética de la academia TRILCE han diseñado un circuito integrado que recibe p y q como entradas y s como salida. s p q a) p b) q c) V d) F e) qp ∨ 57. Diseñe el circuito que cumple con la siguiente tabla: 1111 0011 0101 0001 0110 0010 0100 1000 Fzyx Utilice compuertas lógicas: a) xy z F b) x y z F c) x y z F d) x y z F e) x F 58. Expresar la operación lógica F; según la tabla: 0111 0011 1101 0001 0110 0010 1100 0000 Fzyx a) xyzzyx + b) (x + y)z c) x + y + z d) zyxzyx + e) xyz
  • 11. 59. Dada la siguiente tabla: 1111 1011 1101 1001 0110 0010 1100 0000 Fzyx Diseñar el circuito: F x y z que cumple con dicha tabla utilizando las compuertas: INVERSOR, AND, OR. a) x y z F b) x y z F c) x y z F d) x y z F e) x y F 60. El circuito lógico permite detectar el estado de 3 aviones A, B, C de tal manera que la lámpara de alarma en la base se enciende cuando los tres aviones están averiados o cuando sólo el avión A está averiado. Expresar F en función de las entradas A, B y C: Avión sin averías: 0 Avión con averías: 1 Lámpara apagada: 0 Lámpara encendida: 1 A B C F Circuito Lógico BASE Lámpara de alarma A B C a) BC)CB(AF += b) F = A + BC c) F = ABC d) F = A (B + C) e) CBAF = EL VAGO DE COZ "En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adivino muy astuto. Toda la población trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obligaba a algún desdichado ciudadano a competir contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso futuro cuya respuesta debía ser simplemente "sí" o "no". En caso de que el vago acertase la respuesta, el desafortunado concursante se convertía en su esclavo y era obligado a trabajar para él de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste sería depuesto, convertido en asno y condenado a rebuznar durante mil años. Por desgracia para los pobladores de Coz, el vago poseía una esfera de cristal, que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda certeza. Si usted fuera el próximo rival del malvado vago. ¿Qué pregunta le haría?".