Este documento presenta el método de pendiente-deflexión y el método de las deformaciones para el análisis de estructuras hiperestáticas. El método de pendiente-deflexión se basa en determinar las rotaciones y desplazamientos de los nudos para obtener los momentos en las barras. El método de las deformaciones transforma la estructura hiperestática en otra con desplazamientos conocidos y luego aplica fuerzas correctivas para satisfacer las condiciones de equilibrio. Ambos métodos proveen ecuaciones para calcular los momentos y fuerzas en

1. UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y
QUIMICAS
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
INVESTIGACION DE ESTRUCTURAS 2
TEMA:
METODO DE LAS DEFORMACIONES
METODO PENDIENTE - DEFLEXION
ALUMNO:
MARIO VERGARA ALCIVAR
DOCENTE:
ING. JORGE PALACIOS
CURSO:
7MO “C”

2. SEMESTRE:
OCTUBRE 2014 – FEBRERO 2015
ANTECEDENTES:
Desde los comienzos de la humanidad, la ingeniería estructural ha estado
ligada a su historia. Pero sólo fue hasta mediado del siglo XVII que los
ingenieros empezaron a aplicar los conocimientos de la mecánica, en el
análisis y diseño de estructuras y máquinas. Las primeras máquinas simples
como el plano inclinado, la rueda, la polea, el tornillo y la cuña sirvieron para
construir algunas de las magníficas estructuras antiguas. Podemos distinguir
algunos períodos importantes de esta historia y en ellos algunos pueblos,
construcciones, personajes y descubrimientos importantes.
G.A. MANEY desarrollo el método de la pendiente deflexión que se considera
como el método precursor del método matricial de las rigideces.
OBJETIVOS:
GENERAL
Conocer el método de las deformaciones y el método pendiente – deflexión.
ESPECIFICOS
Analizar sus métodos de planteo.
Establecer las ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión

3. METODO PENDIENTE DEFLEXION
En el análisis de estructuras hiperestáticas, los desplazamientos pueden
utilizarse como incógnitas y se les conoce como método de los
desplazamientos. De estos métodos, uno de los importantes es el pendiente
deflexión.
Este método se basa en la determinación de las rotaciones y desplazamientos
de los diferentes nudos, a partir de los cuales se obtienen los momentos en los
extremos de cada barra.
Planteamiento del método.
1) Se plantean los momentos de barra sobre apoyo en los extremos de
cada miembro de la estructura utilizando las ecuaciones del método
pendiente-deflexión. Estos momentos quedan expresados en términos
de las rotaciones θ en los extremos y de los desplazamientos lineales
relativos Δ entre los dos extremos de cada miembro.
2) Planteamos una ecuación de equilibrio que nos da un sistema de
ecuaciones de un número igual a los grados de libertad de la estructura.
Su resolución permite calcular los valores de las rotaciones en los
extremos y de los desplazamientos relativos.
3) Se calculan los momentos finales sustituyendo los valores de θ y de Δ,
obtenidos en el paso anterior, en los momentos planteados en el a.
Ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexión
Consideremos un elemento aislado de una viga o pórtico (FIG. 12-1). El
elemento esta deformado con rotaciones en los extremos θa y θb, una
traslación relativa entre a y b. Los momentos en los extremos los llamaremos
Mab y Mba están relacionados con las deformaciones elásticas en ambos
extremos asi como la carga en el vano ab. Donde f y g son funciones distintas.
Mab = f(θa, θb, Δ, carga sobre la luz)
Mba = g(θa, θb, Δ, carga sobre la luz)
Para encontrar las expresiones de estas ecuaciones establecemos el siguiente
convenio de signos:
1) El momento que actúa en el extremo de una barra es positivo si tiene
sentido horario.

4. 2) La rotación en el extremo de una barra es positiva cuando la tangente a
la curva deformada, en su extremo, gira en el sentido horario desde su
posición inicial.
3) La traslación relativa entre los extremos de una barra es positiva cuando
corresponde a una rotación de la barra en sentido horario.
Ahora refirámonos la FIG. 12-1 y observemos que los momentos en los
extremos Mab y Mba pueden considerarse como la suma algebraica de cuatro
efectos distintos:
1) El momento debido a la rotación θa del extremo a, mientras el otro
extremo esta empotrado.
2) El momento debido a la rotación θb del extremo b, mientras el extremo a
esta fijo.
3) El momento debido a la traslación relativa Δ entre los dos extremos de la
barra sin alterar las pendientes o tangentes existentes en los extremos.
4) El momento producido al aplicar las cargas actuantes sobre el vano sin
alterar las deformaciones existentes en los extremos.
1. Considérese la barra ab soportada como se indica en la FIG. 12-12(a).
La línea de trazos representa la barra deformada. Obsérvese que el
extremo a gira un ángulo θa mientras que el extremo b esta fijo (θb = 0);
no hay desplazamiento relativo entre los extremos a y b (Δ=0). Los
correspondientes momentos en los extremos a y b, que representamos
respectivamente por M’ab y M’ba pueden obtenerse fácilmente por el
método de la viga conjugada, como se indica en la FIG. 12-2(b), con el
diagrama de momentos divididos por EI como carga elástica y con θa
como reacción, de tal manera que la fuerza cortante positiva de la viga
conjugada de la pendiente positiva buscada de la viga real. De las
condiciones de equilibrio:
Σ푴풂 = ퟎ (푴′ 풂풃풍
ퟐ푬푰
) (풍
ퟑ
) − (푴′ 풃풂풍
ퟐ푬푰
) (ퟐퟏ
ퟑ
) = ퟎ (12-3)
Σ푴풃 = ퟎ (휽풂풍) − (푴′풂풃풍
ퟐ푬푰
) (ퟐퟏ
ퟑ
) + (푴′ 풃풂풍
ퟐ푬푰
) (풍
ퟑ
) = ퟎ (12-4)

5. Sustituyendo la EC. 12-5 en la Ec. 12-4 se obtiene
푴′풂풃 = ퟒ푬푰휽풂
풍
(12-6)
Así como
푴′풃풂 = ퟐ푬푰휽풂
풍
(12-7)
2. Considérese la barra ab soportada y deformada como se indica en la
FIG. 12-3, en donde el extremo b ha rotado un ángulo θb y el extremo a
esta fijo. El momento correspondiente en el extremo b, al que
llamaremos M’’ba, y el momento en a, M’’ab, se obtiene en forma similar:
푴′′풂풃 = ퟏ
ퟐ
푴′′풃풂 (12-8)
푴′′풂풃 = ퟐ푬푰휽풃
풍
(12-9)
푴′′풃풂 = ퟒ푬푰휽풃
풍
(12-10)
3. Para encontrarlos momentos que aparecen en los extremos debidos a
una traslación pura o desviación Δ entre los dos extremos sin rotación en
los mismos, consideremos las viga empotrada en sus extremos de la
FIG. 12-4(a). Debido a la simetría de la deformación con respecto al
punto central de la barra, los dos momentos en los extremos deben ser
iguales.

6. Así pues, si llamamos M’’ab y M’’ba a los momentos en los extremos a y b
respectivamente, tendremos:
M’’ab=M’’ba=-M
El signo negativo indica que M’’’ab y M’’’ba tienen sentido antihorario. El valor de
M puede obtenerse por el método de la viga conjugada como se indica en la
FIG. 12-4(b). Obsérvese que, además de las cargas elásticas distribuidas del
diagrama M/EI, actúa un par o momento en el extremo b igual a Δ,
correspondiente a la desviación en b de la viga real. De Σ M=0 tenemos:
( 푴풍
ퟐ푬푰
) (풍
ퟑ
) − Δ= ퟎ
푴 =
ퟔ푬푰Δ
풍ퟐ
Así, pues, los momentos en los extremos de una barra, debidos a un puro
desplazamiento relativo están dados por
푴′′′풂풃 = 푴′′풃풂 = − ퟔ푬푰Δ
풍ퟐ (12-11)
4. Finalmente, los momentos que aparecen en los extremos de una barra
sin causar deformaciones en los extremos, cuando se aplican las cargas
externas sobre el vano, no son otra cosa que los momentos de
empotramiento perfecto, designados corriente por MFab Y MFba .
Mab=M ’ab+M ’’ab+M ’’’ab±MF
ab
Mba=M ’ba+M ’’ba+M ’’’ba±MF
ba
Aplicando las Ecu. 12-6, 12-7, 12-9, 12-10, 12-11, obtenemos
Mab=
ퟒ푬푰휽풂
풍
+ ퟐ푬푰휽풃
풍
− ퟔ푬푰Δ
풍ퟐ ± 푴푭풂풃
Mba=
ퟐ푬푰휽풂
풍
+ ퟒ푬푰휽풃
풍
− ퟔ푬푰Δ
풍ퟐ ± 푴푭풃풂
Ordenando las expresiones anteriores se obtiene:
Mab=ퟐ푬 푰
풍
(ퟐ휽풂 + 휽풃 − ퟑ Δ
풍
) ± 푴푭풂풃 (12-12)
Mba= ퟐ푬 푰
풍
(ퟐ휽풃 + 휽풂 − ퟑ Δ
풍
) ± 푴푭풃풂 (12-13)
Que son las ecuaciones fundamentales de pendiente-deflexión para una barra
deformada de sección uniforme. Las ecuaciones expresan los momentos en los
extremos Mab y Mba en función de las pendientes en los extremos (θa, θb), la

7. traslación relativa o desviación (Δ), entre los dos extremos, y la carga libre la
luz ab. Si hacemos:
푰
풍
= 푲
Δ
풍
= 푹
Siendo K el factor de rigidez de la barra y R la rotación de la barra, las
ecuaciones se convierten en:
Mab=ퟐ푬푲(ퟐ휽풂 + 휽풃 − ퟑ푹) ± 푴푭풂풃 (12-14)
Mba= ퟐ푬푲(ퟐ휽풃 + 휽풂 − ퟑ푹) ± 푴푭풃풂 (12-15)
Los signos y los valores de MFab Y MFba dependen de las condiciones de carga
en el vano ab. Si la barra ab no soporta ninguna carga, MFab= MFba= 0.
En la tabla 12-1 se indican los valores de los momentos de empotramiento en
una barra recta con EI constante, debido a los tipos más usuales de cargas.

8. METODO DE LAS DEFORMACIONES.
También llamado “Método de las rigideces”, plantea una estructura en la que se
satisfagan las condiciones de compatibilidad geométrica, aunque no se
cumplan las condiciones de equilibrio. Estas últimas se logran en una segunda
etapa introduciendo fuerzas correctivas que no alteren las condiciones de
continuidad geométrica.
Planteamiento general del método de las deformaciones.
1. La estructura original hiperestática se transforma en otra cuyos
desplazamientos sean conocidos; la forma más sencilla es plantear que
los nudos no giren y no tengan desplazamientos lineales. La estructura
transformada tiene continuidad geométrica, pero no cumple las
condiciones de equilibrio estático.
2. Se plantean las ecuaciones de equilibrio estático en los nudos de la
estructura y en la estructura en su conjunto, y se determinan los
desequilibrios que resulten.
3. Se aplican deformaciones arbitrarias en los nudos que están en
desequilibrio y se calculan las acciones que producen estas
deformaciones en la estructura.
4. Se calculan los valores que deben tener las deformaciones aplicadas en
los nudos para corregir todos los desequilibrios en el paso 2.
5. Se calculan los valores de las acciones que corresponden a las
deformaciones determinadas en el paso anterior.
6. Se calculan las acciones finales sumando las de los pasos 1 y 5.
ANALISIS DE VIGAS HIPERESTATICAS POR EL METODO DE LAS
DEFORMACIONES
En el siguiente ejemplo suponemos que la deformación por flexión es la única
importante.
Puede considerarse como sobrante una de las reacciones. Escojamos en este
caso la reacción en el apoyo b como hiperestática actuando hacia abajo, como
se indica en la FIG. 9-2(b). Si aplicamos el principio de supersicion, podemos
considerar la viga sometida a la suma de los efectos de la carga uniforme inicial
y la hiperestática Xb como se indica en la FIG. 9-2(c) y (d) respectivamente.
Ahora calculamos la flecha en b debida a la carga uniforme cuya expresión es
FIG.9-2(c):
Δ′풃 =
풘풍ퟒ
ퟖ푬푰

9. La FIG. 9-2(e) representa el diagrama de momentos de la viga.
y la producida en b por una carga unitaria aplicada en el mismo punto cuya
expresión es FIG. 9-2(d).
휹풃풃 =
풍ퟑ
ퟑ푬푰
Aplicando la ecuación de compatibilidad
Δb=Δ’b+ 휹bbXb=0
Obtenemos
풘풍ퟒ
ퟖ푬푰
+ ( 풍ퟑ
ퟑ푬푰
) xb=0
De donde Xb=− ퟑ풘풍
ퟖ
El signo menos indica que la reacción va hacia arriba.
Una vez determinada la reacción en b, se observa que la viga se reduce a una
estáticamente determinada. Las componentes de la reacción en a pueden
determinarse ahora mediante las ecuaciones de equilibrio:
Σ푭풚 = ퟎ 푽ퟒ = 풘풍 − ퟑ
ퟖ
풘풍 = ퟓ
ퟖ
풘풍 (Hacia arriba)
Σ푴풂 = 푴풂 = ퟏ
ퟐ
풘풍ퟐ − ퟑ
ퟖ
풘풍ퟐ = ퟏ
ퟖ
풘풍ퟐ (Sentido antihorario)

10. CONCLUSION:
El método de las deformaciones junto con el método de las fuerzas son los
métodos clásicos para resolver estructuras hiperestáticas.
El método pendiente-deflexión se fundamenta en un análisis de
desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en
función de las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos,
posteriormente estas ecuaciones son solucionadas para obtener los
valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los valores de fuerzas
internas son determinados.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Teoría Elemental de Estructuras – Yuan Yu Hsieh
Análisis Estructural – González Cuevas