ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO

2 junio, 2000 1
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADOLECCIÓN 13. DIMENSIONADO Y COMPROBACIÓN DE MUROS
Y PANTALLAS
© División de Mecánica Estructural - Depto. de Ingeniería Mecánica - Universidad de Zaragoza
ESTRUCTURAS DE
HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO
Lección 14. Dimensionado y comprobación de muros y
pantallas
14.1. Evaluación de empujes del terreno. Teorías de Rankine y Coulomb
14.2. Diseño y comprobación de muros
14.3. Diseño y comprobación de pantallas
14.4. Disposiciones referentes al dimensionado y armado de muros y
pantallas
Bibliografía:
- Soil Mechanics, R.F. Craig. Van Nostrand Reinhold
- Norma EHE (Art. 57)

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14.1. EVALUACIÓN DE EMPUJES DEL TERRENO.
TEORÍAS DE RANKINE Y COULOMB
• Se denomina empuje a la carga con componente horizontal directa (no
producida por rozamiento) transmitida por el terreno a un elemento que lo
sustenta impidiendo la configuración de un talud natural (muro, pantalla).
• La distinción entre muros y pantallas proviene de su grado de rigidez. Los
muros se consideran estructuras rígidas (desplazamiento del terreno muy
reducido), mientras que las pantallas son elemento más flexibles donde el
desplazamiento del terreno es apreciable.
• Si bien es posible obtener los empujes de forma rigurosa mediante la
utilización de modelos de comportamiento del suelo complejos (habitualmente
elastoplásticidad no asociada) y su interacción con la estructura, es habitual,
utilizar teorías simplificadas basadas en el análisis plástico límite (teoremas
límite) que permiten obtener rápidamente estimaciones suficientemente
precisas de los mismos: Teorías de Rankine y Coulomb.

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• El teorema estático (del límite inferior) propone y demuestras que todo estado
estática y plásticamente admisible (EPA) imaginable corresponde a cargas
exteriores inferiores o iguales a la que produce en realidad la rotura.
• El teorema cinemático (del límite superior) propone y demuestras que todo
estado cinemática y plásticamente admisible (CPA) imaginable corresponde a
cargas exteriores superiores o iguales a la que produce en realidad la rotura.
• El estado de rotura de la teoría de Rankine es un EPA, es decir da lugar a
cargas de rotura inferiores a las reales por lo que está del lado contrario a la
seguridad, mientras que, al contrario, el de la teoría de Coulomb es un CPA.
• Los estados de rotura del suelo según una teoría de
plasticidad perfecta corresponden a situaciones que
cumplen el equilibrio (estáticamente admisibles), que
cumplen las condiciones de compatibilidad
(cinemáticamente admisibles) y tales que la tensión de
comparación máxima es igual a la de plastificación en
todos los puntos (plásticamente admisibles).
σ
ε

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TEORÍA DE EMPUJES DE RANKINE
• Supone que no existe rozamiento entre muro y suelo e, inicialmente, que la
pendiente del talud de suelo es horizontal y el muro o pantalla vertical.
• Dependiendo de cual es la tensión principal máxima se plantean dos estados
límite denominados de empuje activo y empuje pasivo, respectivamente.
• Además de ellos, un estado EPA inmediato, corresponde a la solución elástica
del problema (suelo elástico lineal homogéneo e isótropo) haciendo que el
punto más cargado sea el que tiene una tensión igual a la de fluencia (estado
de empuje al reposo). Obviamente, desde un punto de vista elastoplástico
perfecto, esta situación corresponde a desplazamiento nulo.
• Se denomina coeficiente de empuje al factor que relaciona la tensión vertical
con la horizontal. Así, el coeficiente de empuje al reposo K0 permite obtener el
empuje en cada punto de profundidad z mediante la expresión
con γ’ el peso específico aparente.
z'K)z(E γ00 =

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• La situación de empuje activo se produce cuando el muro se desplaza
alejándose del suelo. Con ello, la tensión horizontal se reduce y la tensión
vertical es la tensión principal máxima. La situación (suponiendo, por ejemplo,
un criterio de rotura de Mohr-Coulomb como es habitual en estas teorías) es la
indicada en la figura.
líneas de rotura
θ
avavh KcK
sen
sen
c
sen
sen
2
1
1
2
1
1
−=
+
−
−
+
−
= σ
φ
φ
φ
φ
σσ
σ1=σvσ3=σh
2θθ
φ
c
φ
φ
sen
sen
Ka
+
−
=
1
1
aK'
c
z
γ
2
0 =
distribución de empuje activo
)zH(HK)H(E aa 02
2
1
−= γ

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• La situación de empuje pasivo se produce cuando el muro se desplaza
acercándose del suelo. Con ello, la tensión horizontal aumenta y la tensión
horizontal es la tensión principal máxima. La situación (suponiendo, por
ejemplo, un criterio de rotura de Mohr-Coulomb como es habitual en estas
teorías) es la indicada en la figura.
línea de rotura
θ
PvPvh KcK
sen
sen
c
sen
sen
2
1
1
2
1
1
+=
−
+
+
−
+
= σ
φ
φ
φ
φ
σσ
σ1=σhσ3=σv
2θθ
φ
c
φ
φ
sen
sen
KP
−
+
=
1
1
PKc2
distribución e empuje pasivo
HKcHK)H(E PPP 2
2
1 2
+= γ

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• Relación entre empuje y desplazamiento lateral del muro o pantalla.
• Como limitaciones de la Teoría de Rankine puede decirse que no incorpora el
rozamiento suelo-muro y es complicada de modificar cuandl el talud no es
horizontal o el muro no es vertical.
• Es cómodo, sin embargo, imaginar nuevas situaciones EPA que puedan dar
lugar a cargas de rotura más precisas.
• Los valores de K0, c y φ suelen estar tabulados para suelos habituales.
Ka
KP
K0
Coeficiente de empuje
desplazamiento lateral

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TEORÍA DE EMPUJES DE COULOMB
• Incluye rozamiento entre muro y suelo a través de la expresión
con a la cohesión suelo-muro y δ el ángulo de rozamiento suelo-muro.
• El proceso es considerar una posible línea de deslizamiento (rotura) en función
de un ángulo ξ determinado y obtener el valor de ξ que da lugar a una menor
carga de rotura (recuérdese que la carga real es un límite inferior de todas las
cargas a quedan lugar todos los poibles CPA).
• Para empuje activo, por ejemplo, se tiene la siguiente situación.
δστ tga +=
Línea de deslizamiento
F φ’
β
α
δ W
Ea
2
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
−
−+
++
−
=
)sen(
)'sen()'sen(
)sen(sen
)'sen(
Ka
βα
βφδφ
δαα
φα
2
2
1
H'KE aa γ=

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• Es posible particularizar a casos habituales, por ejemplo el caso α=90º, β=0º y
δ=0º da lugar a un empuje igual al de Rankine, por lo que en esta situación la
solución de Rankine es un EPA y un CPA luego es la solución del problema.
• Asimismo, es posible extender el planteamiento a situaciones más complejas
como sobrecargas sobre el talud, suelos cohesivos, etc.
• Existen multitud de ábacos y tablas que definen el cpeficiente de empuje
activo para situaciones particulares. La normativa española de acciones en
edificación AE88 define estos valores.
• En forma completamente análoga se puede tratar el problema del empuje
pasivo, la dificultad en este caso, estriba que que, así como la línea de
deslizamiento en empuje activo es en realidad una curva (debido al rozamiento
entre suelo y muro) muy similar a una recta, en el caso del empuje pasivo es
difícil asimilarla a una recta
pasivo
activo

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• De cualquier forma, operando exactamente igual que con el empuje activo, es
decir, suponiendo una línea de deslizamiento recta se obtiene la expresión.
• Estas expresiones son razonables para δ≤φ’/3, a partir de lo cual el efecto de la
curvatura es grande y hay que suponer otras formas de rotura (Sokolowski) ya
que si no, se obtiene una estimación excesiva del empuje.
• Además, los valores de φ’ y δ varían a lo largo del proceso de deslizamiento,
siendo el tema de empujes uno de los más importantes e interesantes en
Mecánica del Suelo.
2
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
++
−−
+
=
)sen(
)'sen()'sen(
)sen(sen
)'sen(
KP
βα
βφδφ
δαα
φα
2
2
1
H'KE PP γ=

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14.2. DISEÑO Y COMPROBACIÓN DE MUROS
• Según la función que realizan, los muros pueden clasificarse en muros de
sostenimiento, de contención o de revestimiento.

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• Según la forma de trabajo se clasifican en muros de gravedad y muros
aligerados.

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• Según el material de que están hechos tenemos muros de piedra en seco, de
mampostería, de bloque, de hormigón en masa y de hormigón armado.
• Los muros de hormigón armado son muros aligerados para sostenimiento o
contención y serán en los que nos centremos en lo que sigue.
• La geometría de un muro aligerado es la que se presenta a continuación
trasdosintrados
Alzado, cuerpo o fuste
talón
tacón
puntera

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• Las comprobaciones a realizar sobre un muro son las siguientes:
– Comprobación a vuelco con coeficiente de seguridad mínimo de 2
– Comprobación al deslizamiento en la base con coeficiente de seguridad mínimo de
1,5
– Paso de la reacción vertical pior el núcleo central de la base para evitar que
aparezcan tracciones en la base (habitualmente en estos caso queda garantizada la
seguridad al vuelco).
– Comprobación de que no se produce la plastificación excesiva del terreno (tensión
admisible en la base)
– Estabilidad general del conjunto, evitar deslizamientos del talud que incluyan al
muro (deslizamiento profundo).
– Resistencia estructural (dimensiones y armados suficientes).
– Asientos medios y diferenciales admisibles.
– Comprobación de fisuración en muros aligerados de hormigón armado.

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• Fuerzas actuantes a considerar:
– Empuje en el trasdos
• (Rankine o Coulomb)
• En muros aligerados cimentados sobre ciemntación superficial para sostenimiento o
contención lo habitual es considerar como estado de empuje el activo.
• En muros de gravedad cimentados sobre roca el empuje al resposo
• Se tomará valores intermedios en los casos en los que no se esté seguro que se pueda
desarrollar el empuje activo de forma completa.
– Empuje pasivo sobre la zona del pie.
• Tan solo si se asegura un suelo suficientemente compactado y que la profundidad sea
mayor de 2 m.
• Es habitual minorar, de cualquier forma el empuje pasivo por seguridad considerándolo
con una distribución parabólica en lugar de lineal con el mismo máximo
– Peso propio
– Tensiones en la base para el cálculo de la cimentación.

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EJEMPLO 1. Realizar las comprobaciones de vuelco y deslizamiento en el muro
aligerado de la figura. Los valores a considerar del suelo son c’=0, φ’=40º,
γ’=17KN/m3, δ=30º (en la base) y δ=0º (en la vertical) y γh=23,5KN/m3.
3 m.
5,0 m.
0,4 m.
0,3 m.
1,75 m.
40KN/m2
SOLUCIÓN
Como δ=0º, el talud horizontal y el trasdos vertical, es
posible calcular el empuje mediante la aplicación de
la fórmula de Rankine, teniéndose
Con ello, el empuje tiene una distribución trisngular
cuya resultante es
220
1
1
,
'sen
'sen
Ka =
+
−
=
φ
φ
m/KN,),.,.(,
)H'pH(KE aa
110240517
2
1
40520220
2
1
2
2
=+=
=+= γ

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El momento de vuelco de este empuje respecto del punto extremo de la base de la
puntera viene dado por
En cuanto al momento estabilizante proviene del peso del muro y del peso del
terreno sobre el talón, teniéndose
Con ello, el coeficiente de seguridad al vuelco es de Fv=546,1/226,5=2,4.
m/KNm,)
,,
(,)
H
H'
H
p(KM av 5226
6
45
17
2
45
40220
32
1
2
32
2
2
=+=+= γ
[ ] m/KNm,,.,)..(,).,..,(,).,.,.,(
dPdPdPM sobterrsobterrbasebasefustefusteest
154612527514017551523340115230530 =+++=
=++= ++

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El momento total aplicado a la base (respecto del punto en el que se evalúa el
vuelco) es la diferencia entre el momento estabilizante y el momento de vuelco, es
decir
Por otro lado, la resultante de fuerzas verticales corresponde al peso del muro más
el peso del terreno sobre el talón y la sobrecarga, siendo
Con ello, la excentricidad de la carga respecto de P es MP/Rv=319,6/282,2=1,13m,
y respecto del centro de la base e=1,5-1,13=0,37m<B/6=3,0/6=0,5 m, luego está
dentro del núcleo central.
m/KNm,,,MP 631952261546 =−=
[ ] m/KN,,)..(),..,(),..,(
PPPR sobterrbasefustev
228275140175523340523530 =+++=
=++= +

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Y PANTALLAS
Finalmente, sabiendo que la distribución de tensiones en la base es trapezoidal, se
tiene
y la tensión tangencial tomada como promedio es
En tensiones, el coeficiente de seguridad al deslizamiento viene dado por
ligeramente bajo.
2
4131
3
3706
1
3
52266
1 m/KN,)
,.
(
,
)
B
e
(
B
Rv
max =+=+=σ
2
34
3
1102
m/KN
,
B
Ea
===τ
281
1102
305226
,
,
tg.,
E
tgR
F
a
v
d ===
δ

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Y PANTALLAS
14.3. DISEÑO Y COMPROBACIÓN DE PANTALLAS
• Son elementos flexibles (de poco espesor) que resisten el empuje de terrenos
mediante enterramiento de parte de las mismas únicamente (pantallas en
voladizo utilizadas sólo para pequeñas profundidades del talud) o mediante la
ayuda de anclajes adicionales (pantallas ancladas).

2 junio, 2000 21
Y PANTALLAS
• Pueden ser metálicas, de hormigón “in situ” o prefabricadas.
• Las pantallas de hormigón se ejecutan realizando una zanja larga, profunda y
estrecha donde se disponen habitualmente elementos prefabricados que luego
se unen con hormigón “in situ”.
• A veces se utilizan elementos de cimentación para transmitir cargas verticales
cuando éstas son importantes (pantallas inclinadas por ejemplo). En este caso,
el efecto de las cargas verticales se evalúa considerando las pantallas como
pilotes.
• Sus misiones habituales son contener terrenos, limitar movimientos,
impermeabilizaciones, como elementos de cimentación.
• Aplicaciones habituales serían en sótanos,aparcamientos subterráneos, túneles,
cimentaciones profundas (i.e. Silos), instalaciones portuarias, ..
• Es importante considerar los efectos posibles de las pantallas sobre los
edificios adyacentes.

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• Comprobaciones a realizar:
– Estabilidad frente a empujes.
– Estabilidad del conjunto (incluyendo terreno) ante deslizamientos profundos.
– Rotura del fondo
– Análisis estructural.
• Cargas a tener en cuenta:
– Empuje activo (que se alcanza con facilidad dada la flexibilidad de la pantalla).
Habitualmente se considera el empuje de Rankine dado que es el más simple.
– Empuje pasivo en la zona de movimiento inferior de la pantalla
– Fuerzas de anclaje en su caso.
• Es posible obtener valores más precisos de los empujes teniendo en cuenta la
flexibilidad de la pantalla, los anclajes y modelos de comportamiento más
precisos.

2 junio, 2000 23
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PANTALLAS EN VOLADIZO
• La distribución de empujes en la pantalla es la que se muestra en la figura,
añadiendo una carga horizontal R en la punta de la pantalla.
• Se considera que en rotura, la zona de empuje activo se extiende hasta el pie
de la pantalla, con lo que, tomando momentos respecto del pie de la pantalla se
obtiene que ello se cumple para
αH
θH 1−
a
P
K
K
Hα
H
R
31
a
P
K
K
−=α

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Y PANTALLAS
• Para asegurar la estabilidad, debe cumplirse que α ha de ser menor que este
valor, aumentando la profundidad de enterramiento adecuadamente.
• Definido el α de servicio, y tomando momentos respecto del pie, de nuevo, es
posible obtener θ y, con ello, la distribución de momentos sobre la pantalla
que vienen dados por
Derivando con respecto de η e igualando a 0 se obtiene el punto y valor de
momento máximo.
• Para pantallas muy flexibles los momentos corresponden a prácticamente los
de una pantalla empotrada, con lo que el momento `máximo viene dado por
1
1
con0
1
)21(2
)1(22
−
==
−−
−
+−−
a
P
K
K
κ
ακα
αακ
θαθ
( ) ( ) θη
θα
αχ
χ
θηη
χ
ηα
γ >
−−
−−
==
ù
ê
ë
é −
++
+
= y
1
1)1(
'con
6
'
66
333
3
K
K
KK
HKM
a
P
a
3
)(
6
1
HKM amax αγ=

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14.4. DISPOSICIONES REFERENTES AL
DIMENSIONADO Y ARMADO DE MUROS Y
PANTALLAS
• Una vez obtenidas las distribuciones de momentos y cortantes por unidad de
longitud, los muros y pantallas se armarán siguiendo los requisitos y
disposiciones de armado, anclaje, distancias y valores mínimos de armado
indicados en los artículos y conceptos incluidos en las Lecciones anteriores
para elementos de hormigón armado sometidos a tensiones normales y
tensiones tangenciales.

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