El documento define conceptos clave sobre estructuras, incluyendo que una estructura soporta y transmite cargas actuando sobre una construcción, y debe cumplir con funcionalidad, seguridad, economía y estética. Además, distingue entre estructuras isostáticas e hiperestáticas, siendo las primeras determinadas solo por ecuaciones de equilibrio y las segundas requiriendo condiciones adicionales de compatibilidad.

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CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LAS
ESTRUCTURAS
En esta parte definiremos con mayor precisión algunos conceptos. Muchos de ellos ya
han sido manejados en este curso o en otros anteriores y en estos casos se trata de
realizar un repaso de ideas.
1. Estructura
Una estructura para la ingeniería civil puede tener diferentes características y
funcionalidades. Por ejemplo usualmente se dice que un edificio, un puente, una
represa un muelle o un silo son estructuras.
Muchas veces se usa también el termino estructura para designar aquella parte que
“soporta y trasmite” las diversas “acciones” que actúan sobre la construcción. Esta es
una utilización del termino mas precisa. Las acciones sobre la estructura pueden
provenir del peso propio de la construcción, de las sobrecargas de uso, del viento, del
oleaje, de un sismo, etc.
De manera general se puede decir que cualquier obra civil precisa tener una estructura
debidamente diseñada. Ello implica tener en cuenta los siguientes atributos:
a) Funcionalidad. O sea debe permitir que la construcción cumpla adecuadamente
la función para la cual fue concebida.
b) Seguridad. O sea debe soportar las cargas a las que se verá sometida durante su
construcción y su uso a lo largo de toda su vida útil prevista.
c) Economía. Debe construirse usando materiales y procedimientos constructivos
adecuados y teniendo en cuenta los costos de las diferentes alternativas.
d) Estética. Debe tener una apariencia adecuada que contribuya (o no vaya en
detrimento) con la estética de la construcción.
En muchos casos además de los cuatro atributos mencionados, deben cumplirse otros
requisitos. Un caso muy claro que puede mencionarse es el impacto ambiental que la
construcción puede producir. El peso relativo de cada uno de los aspectos señalados va
a depender de las finalidades que tenga la estructura. Por ejemplo en un teatro tendrán
mayor peso los aspectos estéticos que en un galpón y así podrían mencionarse otros
ejemplos.
2. Elementos que componen una estructura
Una estructura puede estar compuesta de diferentes elementos. Estos pueden ser
elementos lineales o elementos de superficie o elementos espaciales.

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Diremos que un elemento es lineal y le llamaremos barra, cuando una de sus
dimensiones es bastante mayor que las otras dos. Estos elementos estar sometidos a
solicitaciones de flexión, cortante, torsión o directa.
Normalmente cuando su eje es vertical trabajan fundamentalmente soportando una
directa de compresión y los denominamos pilar. En el caso que su posición sea
horizontal normalmente predominan las solicitaciones de flexión, torsión y cortante y se
les llama vigas. Puede haber casos especiales donde las barras juegan un rol mas
complejo que no es posible asimilarlo a los casos anteriormente señalados.
Los elementos de superficie son aquellos donde dos dimensiones predominan sobre una
tercera (espesor). Pueden ser por ejemplo una losa o placa que trabaja
fundamentalmente a flexión o una membrana que trabaja fundamentalmente a tracción o
una cáscara que trabaja a flexión, tracción y compresión.
Los elementos espaciales tienen las dimensiones en las tres direcciones comprables.
Pueden tener formas y estados de solicitaciones que admiten ciertas simplificaciones
como los estados planos o los que tienen simetría de revolución.
Para resolver (hallar estados de tensiones y deformaciones en un punto genérico) los
elementos de superficie o espaciales es necesario el empleo de métodos numéricos que
subdividen el elemento en partes pequeñas. El mas común de éstos es el método de los
elementos finitos.
Para resolver una barra (elemento lineal) se puede usar el método de elementos finitos,
aunque es bastante usual resolverla sin subdividirla, tomando toda la barra como un
elemento.
3. Estructuras de barras
A una estructura compuesta solamente por barras le llamaremos estructura de barras. En
este curso de Resistencia de Materiales II, estudiaremos solamente las estructuras de
barras. Otros estructuras formadas por elementos planos o espaciales serán estudiadas
en otros cursos. Para el análisis de las estructuras de barras consideraremos que cada
barra es un elemento o sea que no las subdividiremos.
En lo sucesivo las consideraciones que se realicen estarán referidas a las estructuras de
barras, salvo que expresamente se indique otra cosa.
4. Vínculos entre las barras
Las barras pueden estar vinculadas entre si o a tierra (a través de los apoyos) por
uniones articuladas o empotradas.
Cuando todas las uniones sean articuladas (no trasmiten momentos), todas las barras
trabajarán a directa y la estructura decimos que es un reticulado. En este caso solo
podría aparecer flexión de las barras cuando haya cargas aplicadas en un punto interior
de alguna de las barras; los esfuerzos de flexión que genera la carga se producen solo en
la barra en la que esta aplicada y su calculo es muy sencillo.
Cuando todas o algunas de las barras están unidas por uniones empotradas (que
trasmiten momentos) aparece flexión en las barras de la estructura y diremos que la
estructura es un pórtico.

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5. Materiales lineales
Para resolver una estructura de barras, normalmente se utiliza la hipótesis de que los
materiales son lineales, o sea que existe una relación lineal entre tensiones y
deformaciones. Esta suposición tiene una aceptación generalizada, pues se considera
que proporciona una aproximación suficiente a la realidad como para determinar las
solicitaciones (momentos flectores, momentos torsores y cortantes) y los
desplazamientos de la estructura.
No obstante ello es necesario destacar que esta hipótesis es razonablemente valida
dentro de ciertos rangos de tensiones, pues es claro que todo material luego de
superadas ciertas tensiones se aparta considerablemente de este comportamiento.
Por otro lado es conveniente señalar que el grado de aproximación depende del material
utilizado. El acero tiene un comportamiento lineal prácticamente perfecto hasta que
comienza a producirse su fluencia. En cambio en el hormigón es mucho menos exacta
la aproximación.
Normalmente en las estructuras de hormigón armado se acepta que para determinar las
solicitaciones se utilicen hipótesis lineales, aunque posteriormente para dimensionar las
secciones se utiliza un comportamiento no lineal del hormigón. La experiencia
internacional, reconocida por las diferentes normas de calculo, ha mostrado que con este
procedimiento se obtiene una razonable aproximación a la realidad. En función de lo
anterior normalmente aceptaremos la hipótesis de linealidad del material para resolver
la estructura.
6. Estructuras estables
En la Ingeniería Civil se trabaja solamente con estructuras estables, pero es conveniente
tener claro que existen estructuras o sistemas que no son estables.
Veremos algunas estructuras para ejemplificar estas ideas:
Figura 1 Sistema inestable
En el caso de la figura 1 se trata de una viga que tiene los dos apoyos deslizantes.
Es claro que si le aplicamos una fuerza en la dirección de la viga, los apoyos no pueden
oponerse a esa fuerza y en definitiva la viga comienza a moverse. Además cuando la

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viga no está sometida a ninguna carga no hay una única posición de equilibrio, pues
cualquier posición (en que pueda haber quedado la viga) es de equilibrio.
Otro caso que podría mencionarse es el sistema compuesto por el eje, las bielas y los
pistones de un motor. En este caso el sistema no tiene forma de contrarrestar una fuerza
que haga girar el eje (la fuerza puede ser externa sobre el eje o puede también ser la
producida por la explosión del combustible cuando el motor se encuentra prendido) y
por otro lado no tiene una solo posición de equilibrio. Cuando se apaga el motor puede
quedar en cualquier posición.
Los sistemas de este tipo son llamados sistemas inestables. También se dice que son un
mecanismo. Desde otro ángulo podríamos decir que le falta un vínculo para tener
estabilidad (en otros casos puede ser incluso mas de uno).
Figura 2 Sistema geométricamente inestable
En el caso de la figura 2 se trata de dos barras horizontales con apoyos fijos en un
extremo y una unión articulada entre ambas en el otro.
Este sistema descargado tiene una sola posición de equilibrio. Podemos decir además
que tiene vínculos suficientes (dos apoyos articulados fijos). Pero la forma que están
colocadas las barras hace que para una fuerza vertical aplicada en la unión articulada
entre ambas barras no existe forma de trasladarla a los apoyos.
Para poder trasladarla es necesario que la estructura se deforme y se produzca un cierto
ángulo α de inclinación de las barras originalmente horizontales. Recién con esta
deformación el sistema comienza a poder trasmitir la fuerza.
Es interesante el resultado que se obtiene si se analiza como se trasmiten las cargas en
este caso.
Si llamamos P a la fuerza aplicada y N a la directa de tracción en las barras tendremos
que se cumple que:

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αseno
P
N
*2
=
Por otro lado si llamamos L a la longitud original de la barra (de sección A y modulo de
elasticidad E) y ∆L a su estiramiento se tiene que:
αcos=
∆+ LL
L
o sea que
α
α
ε
cos
cos1−
=
∆
=
L
L
y
α
α
ε
cos
)cos1( −
== AEAEN
y α
α
α
α senoAENsenoP
cos
)cos1(
22
−
==
Tomando pequeños ángulos α y tomando los primeros términos del desarrollo en series
se tiene que:
αα ≅seno y 2
2
1
1cos αα −≅
y en consecuencia 3
αAEP ≅ y 2
2
1
αAEN ≅
Resultando en definitiva que: 3/23/1
)(
2
1
PAEN ≅
O sea que (aunque estamos asumiendo que el material es lineal, con modulo de
elasticidad E) la relación entre las cargas aplicadas y las solicitaciones en las barras no
es lineal.
Mientras P es pequeña y en consecuencia α también lo es, N crece muy rápidamente.
Este crecimiento a medida que α aumenta comienza a ser mas lento.
Una estructura de este tipo es llamada geométricamente inestable. Se caracteriza por no
tener capacidad en su forma original de trasmitir algún tipo de carga. La estructura tiene
que cambiar su forma para poder trasmitir esas cargas. Eso implica que para cargas (P
en este caso) relativamente pequeñas se producen solicitaciones (N en este caso)
importantes.
Tanto los sistemas inestables como los geométricamente inestables no son deseables en
la ingeniería estructural y los descartaremos en nuestro análisis. Es importante si saber
de su existencia, pues uno debe evitar generar una estructura que tenga esas
características.
En este curso trataremos de estructuras o sistemas estables.
Normalmente diremos que un sistema es estable si:
a) Cuando no esta sometido a cargas tiene una única posición posible.
b) Para cualquier estado de carga (conjunto de fuerzas y momentos aplicados sobre
ella) la estructura es capaz en su estado original de trasmitir las cargas a los
apoyos.

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Una estructura, compuesta por materiales lineales, que cumple las condiciones
anteriormente indicadas, se puede ver que cumple que:
• Para un determinado estado de carga, las solicitaciones que se producen en
las barras y las deformaciones que éstas tienen están determinadas y son
soluciones únicas del problema.
• Las solicitaciones y desplazamientos de la estructura admiten el principio de
superposición. O sea para un estado de carga que es la suma de otros dos
estados de carga, las solicitaciones y los desplazamientos son la suma de las
solicitaciones y desplazamientos que se producen con cada uno de los
estados de carga.
7. Estructuras isostáticas e hiperestáticas
Se dice que una estructura es isostática, o esta estáticamente determinada, cuando es
posible determinar totalmente las solicitaciones en todas las barras utilizando solamente
las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos aplicadas sobre la estructura en
forma global o sobre las partes que la integran.
Cuando esto no es posible hacerlo, se dice que la estructura es hiperestática o esta
estáticamente indeterminada. Para resolver la estructura en estos casos es necesario
imponer además de las condiciones de equilibrio, condiciones de compatibilidad.
Las condiciones de compatibilidad se refieren a los movimientos o deformaciones de la
estructura que están limitados por alguna razón. Estas condiciones pueden provenir de
las limitaciones que impone un apoyo o los vínculos que se generan entre las barras que
concurren en un punto o a condiciones de continuidad de las barras como fue el caso
visto de vigas continuas.
Se llama grado de hiperestaticidad de una estructura a la cantidad de ecuaciones de
compatibilidad que es necesario agregar, a las que provienen de las condiciones de
equilibrio, para resolver la estructura. Lógicamente en una estructura isostática el grado
de hiperestaticidad es cero.
La hiperestaticidad de una estructura puede provenir a veces exclusivamente de los
apoyos que tiene la estructura, cuando no es posible calcular las reacciones existentes en
los apoyos, como en los casos de la figura 3. Se le llama hiperestaticidad externa.
Figura 3 a Estructuras con hiperestaticidad externa

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Figura 3 b Estructuras con hiperestaticidad externa
También puede suceder que las reacciones puedan ser determinadas empleando
condiciones de equilibrio, pero que las características internas de la estructura generen
la hiperestaticidad como se puede ver en la figura 4. Se le llama hiperesticidad interna.
Figura 4 Estructura con hiperestaticidad interna

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En el caso mas general la hiperestaticidad puede ser de ambos tipos como puede verse
en la figura 5.
Figura 5 Estructuras con hiperestacidad interna y externa
El grado de hiperestaticidad puede ser considerado, desde otro ángulo, como el número
de restricciones que es necesario eliminarle a la estructura para convertirla en una
estructura isostática.
Por ejemplo en la figura 3 a si eliminamos un apoyo deslizante desaparece una
incógnita. Mientras que en la 3 b si eliminamos un empotramiento desaparecen tres
incógnitas (el momento, la fuerza vertical y la fuerza horizontal).
Se puede agregar que cuando eliminamos un apoyo fijo desaparecen 2 incognitas (la
fuerza horizontal y la fuerza vertical).
En el caso de la estructura 3 a debiéramos eliminar dos apoyos para que quede
isostática, o sea que la estructura tiene grado de hiperestaticidad 2. En el caso de la
estructura 3 b debemos eliminar un apoyo empotrado de manera que el grado de
hiperesticidad es 3.
En el caso de la figura 4 si realizamos un corte a uno de los marcos eliminamos 3
incógnitas (la directa el cortante y el momento flector). Para convertirla en isostática
debiéramos realizarle un corte a cada uno de los marcos. De manera que el grado de
hiperestaticidad de esta estructura es 6.
En el caso de la figura 5 los grados de hiperesticidad son 6 y 4 respectivamente.

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8. Desventajas y ventajas de las estructuras hiperestáticas
Un primer aspecto que las diferencia (de las estructuras isostáticas) es su
comportamiento frente a los cambios de temperatura o a los descensos de los apoyos. Si
la estructura es isostática estos efectos no producen solicitaciones mientras que si la
estructura es hiperestática se producen solicitaciones en la estructura. Esta sería una
desventaja de las estructuras hiperestáticas. En su defensa (sobre todo en el caso de las
estructuras de hormigón) podemos decir que el hormigón bajo ciertas cargas constantes
se deforma y va perdiendo las tensiones (fenómeno conocido como relajamiento) o sea
que luego de un tiempo el material se acomoda y las tensiones que tenía (producidas por
ejemplo por el descenso de un apoyo) van disminuyendo.
Si se consideran las dificultades para analizar y resolver una estructura se tiene que las
solicitaciones en una estructura hiperestática dependen de las propiedades de las barras
(Área, Inercia y Módulo de elasticidad) mientras que en una estructura isostática las
solicitaciones son independientes de las propiedades de las barras. Es por eso que en las
estructuras hiperestáticas, a veces es necesario realizar un proceso de cálculo iterado
que vaya ajustando las características de las barras a las solicitaciones que se obtienen.
Esta sería una dificultad mayor para las estructuras hiperestáticas.
La necesidad de usar ecuaciones adicionales a las de equilibrio introduce también una
dificultad adicional.
Si se emplean métodos manuales estas pueden significar dificultades importantes pero si
la resolución de las estructuras se hace usando métodos computacionales la dificultad es
prácticamente la misma que cuando resolvemos una estructura isostática. Por eso es que
actualmente esta no puede considerarse una diferencia significativa.
Las estructuras hiperestáticas pueden tener momentos en los extremos de las barras que
se trasmiten en los nudos. Una utilización adecuada de esta propiedad permite disminuir
los valores de las solicitaciones máximas y de las flechas para la misma carga. Con ello
puede diseñarse la estructura con barras de menores dimensiones que las que se
precisaría si la estructura fuera isostática. Esto significa ventajas económicas y también
ventajas espaciales pues la estructura ocupa menos espacio.
Otra ventaja significativa de las estructuras hiperestáticas es que pueden tener una falla
sin producirse el colapso. O sea la estructura continua prestando sus funciones y
redistribuye las cargas internamente. Una estructura isostática en cambio si tiene una
falla colapsa inexorablemente.
Las características de la estructura que se desea diseñar pueden inclinar la decisión
hacia uno u otro tipo de estructura, pero es claro hoy día que las dificultades de análisis
han dejado de ser un elemento que condiciona la decisión.
9. Estructuras espaciales
En el caso mas general de una estructura esta puede tener cualquier forma. No tiene
porque ubicarse en un plano. Diremos en este caso general que se trata de una estructura
espacial. Por otro lado las fuerzas también podrán tener cualquier dirección.

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En esta situación las ecuaciones estáticas de equilibrio de la estructura pasarán, de las
tres que corresponden al caso plano, a seis. Tres surgen de anular la resultante de todas
las fuerzas (en las tres direcciones) y tres de anular el momento resultante (también en
las tres direcciones).
Un apoyo empotrado podrá producir fuerzas y momentos en las tres direcciones o sea
que significará, en vez de las tres incógnitas del caso plano, la existencia de seis
reacciones incógnitas. Por su lado un apoyo fijo articulado podrá producir, en vez de
dos incógnitas como en el caso plano, tres reacciones incógnitas. En forma similar se
puede razonar para otros tipos de apoyo, parcialmente empotrados, deslizantes, etc.
Una estructura espacial isostática deberá tener por lo menos, en vez de tres reacciones
incógnitas como en el caso plano, seis reacciones incógnitas.
Análogamente tendremos que cada nudo de la estructura tendrá en el caso de un
reticulado espacial tres desplazamientos y en el caso de un pórtico espacial tendrá seis
desplazamientos posibles (tres desplazamientos y tres giros).
Una barra de un reticulado espacial estará sometida solamente a directa igual que en el
caso de un reticulado plano. Pero una barra de un pórtico tendrá además de la directa,
momentos flectores en las dos direcciones posibles, dos cortantes y el momento torsor.
O sea seis solicitaciones en vez de las tres del pórtico plano (cortante momento flector y
directa).
Un nudo de un reticulado tendrá tres desplazamientos posibles. Las fuerzas directas, que
concurren al nodo, tendrán que cumplir tres ecuaciones de equilibrio.
En un pórtico un nudo tendrá seis desplazamientos (tres desplazamientos y tres giros) y
se podrán formar 6 ecuaciones de equilibrio (tres de equilibrio de las fuerzas y tres de
equilibrio de los momentos.
Un caso particular de problema espacial es cuando la estructura es plana pero las cargas
son perpendiculares al plano. Este tipo de estructuras son muy comunes y son usadas
generalmente en las plantas horizontales de los edificios. Son llamadas “emparrillados”
y serán vistas mas adelante.
10. Métodos de las fuerzas y de los desplazamientos
Los métodos para resolver una estructura hiperestática pueden ser agrupados en dos
grandes familias.
Una de las familias esta constituida por los llamados métodos de las fuerzas. Estos
métodos se basan en tomar como incógnitas fuerzas, pueden ser algunas reacciones o la
solicitación en algún punto. Para construir las ecuaciones que permiten calcular las
incógnitas se impone que se cumplan condiciones en desplazamientos.
Por ejemplo en las vigas continuas tomamos como incógnitas los momentos flectores en
los apoyos e impusimos la condición (de continuidad de la viga) que los giros de las dos
barras que llegan al apoyo sean iguales. El método empleado pertenece a la familia de
los métodos de las fuerzas.
La otra familia es la de los métodos de los desplazamientos. Estos toman como
incógnitas los desplazamientos de nudos y apoyos de la estructura e imponen
condiciones de equilibrio de fuerzas en nudos y apoyos.

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Los métodos de las fuerzas permiten ver de manera mas clara el comportamiento de las
estructuras. Se ajustan mas a la intuición que uno tiene de las mismas. Son utilizados
fundamentalmente para cálculos manuales.
Sin embargo los métodos de los desplazamientos son los que predominan actualmente.
No requieren adoptar decisiones del ingeniero durante el proceso de calculo. Son mas
sencillos para ser programados. Prácticamente todos los programas de calculo los
utilizan. Algunos métodos como slope deflection que veremos en el curso pueden ser
utilizados para cálculos manuales. Otros como los de análisis matricial son aplicados
por los programas de cálculo pero no son cómodos para su utilización en cálculos
manuales.
Estos apuntes fueron elaborados por:
Dr. Ing. Atilio Morquio
Ing. Agustín Spalvier
Colaboraron en la corrección:
Ing.. María Laura Reboredo