1) El documento habla sobre equivalencias de áreas entre diferentes figuras geométricas como polígonos, triángulos, rectángulos, cuadrados y círculos. 2) Explica cómo resolver problemas de equivalencia mediante construcciones geométricas, proporciones de áreas y aplicando conceptos como la media proporcional. 3) Incluye procedimientos detallados para hallar figuras equivalentes como un cuadrado equivalente a un hexágono o un pentágono equivalente a un cuadrado.

1. EQUIVALENCIAS

2. Área de un polígono

3. Deducciones gráficas de áreas

4. Equicomposición

5. Los problemas de equivalencias se resuelven geométricamente igualando las áreas mediante sus expresiones matemáticas. A partir de aquí hay problemas que pueden resolverse mediante una sencilla construcción geométrica. En otros casos, es necesario trabajar con la proporción que se establece al igualar las áreas, obteniendo su resultado geométricamente mediante laaplicación de la cuarta, tercera o media proporcional. Concepto de equivalencia

6. Principio de equivalencia Dos figuras equivalentes a una tercera son equivalentes entre sí.

7. Triángulos equivalentes Dos triángulos de igual base y altura son siempre equivalentes. Triángulo de base dada equivalente a otro dado.

8. Triángulos equivalentes Dividir un triángulo en dos partes equivalentes por medio de una paralela a a su base. Dividir un triángulo dado en varias partes equivalentes.

9. Triángulos equivalentes

10. Rectángulo equivalente a un trapecio. Rectángulo equivalente a un trapecio.

11. Triángulo equivalente a un rectángulo. Un triángulo cualquiera puede siempre transformarse en un rectángulo de igual base y la mitad de altura o de base mitad e igual altura.

12. Rectángulo equivalente a un cuadrado. Un rectángulo, de lados a y b, siempre puede transformarse en un cuadrado de lado L, pues se cumple que dados un cuadrado y un rectángulo equivalentes, cuando igualamos la expresión de sus áreas, el lado del cuadrado es media proporcional de los lados del rectángulo. Basta por tanto con hacer la media proporcional de la base y altura del rectángulo para determinar el lado del cuadrado de modo que el lado L será la media proporcional de a y b. MP: h lado h M b

13. Cuadrado equivalente a un triángulo. Por el principio de equivalencia podemos transformar un triangulo en un cuadrado equivalente y viceversa utilizando un rectángulo equivalente. Dado un cuadrado hallamos un rectángulo equivalente sabiendo que el lado del cuadrado es media proporcional de los lados del rectángulo. Para ello desde el punto medio de su lado abrimos el compás hasta uno de sus vértices superiores y trazamos una semicircunferencia que nos definirá los dos lados del rectángulo. Trazando una paralela a la base con el doble de la altura del mismo y tomando su misma base podemos construir un triángulo equivalente tomando como vértice superior cualquier punto de esa paralela.

14. Rombo equivalente a un cuadrado.

15. Polígono equivalente a otro de n-1 lados. Construcción basada en la equivalencia de triángulos de igual área y altura. Unimos dos vértices no consecutivos del polígono, es decir trazamos una diagonal y trazamos una paralela a ella por el vértice opuesto ( es decir trazamos la altura del triángulo formado). Tomando como vértice el punto donde la paralela corta a la base obtenemos un nuevo triangulo equivalente cuyo lado es consecutivo a la base y por tanto prolongación suya.

16. Rectángulo equivalente a otro dado conocida su base.

17. Cuadrado equivalente a la suma de otros dos dados.

18. Rectificación de una semicircunferencia

19. Cuadrado equivalente a un círculo dado. Cuadratura del círculo.

20. 1.- Consideramos un triángulo equilátero de los seis que configuran el hexágono. 2.- Hallamos el rectángulo equivalente 3.- Hallamos el cuadrado equivalente al rectángulo 4.-.Por equicomposición hallamos el rectángulo equivalente a seis cuadrados. 5.- Y el cuadrado equivalente al rectángulo anterior es la solución. Cuadrado equivalente a un hexágono dado

21. 1.- La sexta parte del rectángulo equivalente al pentágono será equivalente a un triángulo equilátero cuyo lado será = al lado del hexágono solución. 2.- Hallamos el cuadrado equivalente al triángulo central AOE. 3.- Representamos el rectángulo equivalente al pentágono. 4.- Hallamos la sexta parte del rectángulo equivalente al pentágono. 5.- Hallamos el lado del cuadrado equivalente a 1/6 del rectángulo equivalente al pentágono. 6.- Construimos un triángulo equilátero auxiliar y hallamos el lado del cuadrado equivalente al mismo. 7.- Considerando un vértice del cuadrado centro de homotécia directa, trazamos el cuadrado equivalente al pentágono de modo que 1 vértice coincida con Hd. 8.- Hallamos el triángulo GCF homotético del G'C'F', cuyo lado será el lado del hexágono solución. Hexágono equivalente a un pentágono dado

22. 1.- Sea l4 el lado del cuadrado equivalente al pentágono. 2.- Representamos un pentágono arbitrario y hallamos el triángulo equivalente. 3.- Hallamos el cuadrado equivalente al triángulo, que también será equivalente al pentágono anterior. 4.- Considerando A como centro de homotécia directa (ahorramos trazados y espacio) representamos el cuadrado dado. 5.- Hallamos el pentágono solución por homotécia directa, siendo l'5 homotético de l5. Dado un cuadrado de lado conocido hallar un pentágono equivalente