Modulo de geometria1

INSTITUCION EDUCATIVA
NACIONAL AGUSTIN CODAZZI
MÓDULO DE GEOMETRÍA
GRADO NOVENO
2

TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
2.
CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN
SEGMENTOS PROPORCIONALES
4
5
UNIDAD 2
1.
2.
3.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS
6
6
7
UNIDAD 3
1.
2.
3.
DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO
DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
10
11
13
UNIDAD 4
1.
2.
3.
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS
ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
15
17
20
21
23
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
BIBLIOGRAFÍA
3

UNIDAD 1
1. CONCEPTO DE RAZÓN Y PROPORCIÓN
La razón como concepto geométrico viene definido así: razón
de dos números es el cociente Indicado del primero entre el
segundo.
 es importante el orden en que se dicen o escriben los términos.
 se indica en forma de fracción.
 los dos números se llaman términos de la razón.
 el primer término se llama antecedente y el segundo término
consecuente.
¿Cuándo son dos razones iguales?
Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual al
producto de extremos.
Ejemplo
18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres
veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su
consecuente 6.
La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene
por tanto cuatro términos ordenados:
 los cuatro números se llaman términos de la proporción
 el primero y el último se llama extremos y el segundo y el
tercero se llaman medios.
Propiedades de las proporciones.
1 En cualquier proporción el producto de los medios Es igual al
producto de los extremos.
2. si el producto de dos números es igual al producto de otros dos,
cualquier par puede ocupar los medios de una proporción y el otro
par ocupará los extremos
3. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente
si se invierten el numerador y el denominador de cada una de las
fracciones.
4. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente
si se intercambian los medios o se intercambian los extremos.
5. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si
en cada fracción al
numerador se le suma el denominador de la fracción
6. Una proporción puede convertirse en una proporción equivalente si
en cada fracción al numerador se le resta el denominador de la
fracción
7. Si tres términos de una proporción son iguales a tres términos de otra
proporción el cuarto término de la primera es igual al cuarto término de
la segunda
8. En una serie de razones (fracciones) iguales, si se suman
respectivamente los numeradores y denominadores de dos o más de estas
razones, la nueva razón obtenida es igual a cualquiera de las razones
inicialmente iguales
Ejemplo: la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que
12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto,
según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en
proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee “12 es a
3 como 8 es a 2”.
EJERCICIOS…..
 Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería
en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los
términos más simples.
 Encuentre los extremos y los medios en la siguiente
proporción:
 Determine si el par de razones forman una proporción:
 Resuelva la proporción:
 Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos
galones necesitará Juan para recorrer 720 millas?
 Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto.
¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de
$120,000?
4

2. SEGMENTOS PROPORCIONALESLES
Un segmento es la porción de una recta limitada por dos puntos diferentes de la misma.
PROPORCIONALIDAD. Uno de los teoremas más importantes del trazado geométrico es el llamado Teorema de teorema Thales, que dice
lo siguiente: “Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son
proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta”
Vamos a verlo con un dibujo:
Las rectas secantes son r y s, que se cortan en P. Otras dos rectas t y u, que son
paralelas, cortan a r y s en los puntos A, A’ y B, B’ respectivamente. Thales nos
dice entonces que se cumple esta ley de proporcionalidad:
5

UNIDAD 2
1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
La congruencia de triángulos
estudia los casos en que dos o
más triángulos presentan
ángulos y lados de igual medida
o congruentes.
Condiciones
congruencia
de
y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos
correspondientes del otro.
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos
también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de
dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes
son homólogas.
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que
sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales
son:
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con los del otro, entonces los
triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son
congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de
otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son
respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo,
entonces los triángulos
son congruentes.
Para que se dé la congruencia de dos o más
triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes,
es decir que tengan la misma medida. Esta condición
implica que los ángulos respectivos también tienen la misma
medida o son congruentes.
Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y
el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras
congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar
la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados
correspondientes del otro
2. POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS SEMEJANTES, CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados
del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.
Dos triángulos son semejantes si:
-
-
-
Tienen dos ángulos iguales (A-A).
Tienen los lados proporcionales (L-L-L).
tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual (L-A-L).
EJERCICIOS…………..
1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m.,
respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.
2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.
6

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el
lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.
4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y
30, determina los lados del segundo.
3. TEOREMA DE THALES, DE LA BISECTRIZ Y DE PITÁGORAS
Teoremas de proporcionalidad de segmentos (Teorema de Thales)
Si tenemos dos rectas r y s de un plano, y en una de ellas r , tomamos dos segmentos cualesquiera AB ,BC , al trazar por los extremos de estos
segmentos rectas paralelas entre sí , que corten a la segunda recta s , determinarán en esta otros dos segmentos , proporcionales a los primeros, o
sea que se verifica: Si dos rectas un plano son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus
homólogos de la otra , es decir , la razón entre un segmento y su homólogo es constante
Teorema de la bisectriz. El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una
consecuencia o corolario del Teorema de Tales. O lo que es equivalente: Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, ntonces
se cumple la proporción:
En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado,
BA:AC = BD:DC
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Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. A2
= b2
+ c2
n todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el
duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b2
+ c2
= a2
EJERCICIOS……….
Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta
Calcula AB en la figura adjunta
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m
proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.
Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura
8

Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura
Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6,6 cm y 8,8 cm
Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m, y el otro cateto 16 m
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UNIDAD 3
1. DEDUCCIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se define:
Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.
Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es 1 entre el seno
Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.
Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.
De las definiciones anteriores se deduce que:
EJERCICIOS…………
Dado el anterior triángulo rectángulo, se sabe que los
catetos miden:
a=5
b=8
Calcula la tangente del ángulo A
Se sabe que los catetos miden:
a=7
b=8
Calcula la secante del ángulo A
a=3
b=4
Calcula el seno del ángulo A
a=3
b=8
Calcula la cosecante del ángulo A
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2. GRÁFICAS DE LAS RELACIONES SENO Y COSENO
Seno de un ángulo
El punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1. Al ángulo
de giro lo llamamos A la ordenada del punto P la llamaremos seno de y se representa por: sen
Actividad
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
ángulo
seno
La función seno
Actividad
Representa la función senα. En el eje de abcisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0º hasta 360º.
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida
del ángulo en radianes.
 Es la gráfica de una función continua y definida en R
 Los valores del seno se repiten cada 2π radianes (cada 360º). Este
valor se llama periodo de la función
 Esta gráfica se llama sinusoide.
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Coseno de un ángulo
Ahora en la siguiente figura observaremos la abcisa del punto P. La llamaremos coseno del ángulo
y se representa por: cos .
Actividad
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
ángulo
coseno
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
La función coseno
Actividad
Ahora representa la función cos en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en, intervalos de 30º desde 0 hasta 360º.
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abscisas está la medida del ángulo en
radianes.
 También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua.
 Los valores del coseno también se repiten cada 2π radianes (cada 360º).
 Esta gráfica se llama cosinusoide..
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3. DEFINICIÓN DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".
Radio y diámetro
El radio es la distancia del centro al borde.
El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el
centro y termina en el otro lado.
Así que el diámetro es el doble del radio:
Diámetro = 2 × Radio
Longitud de la circunferencia
La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo.
Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea:
Circunferencia = π × Diámetro
Y estas fórmulas también:
Circunferencia = 2 × π × Radio
Circunferencia/Diámetro = π
Área del círculo
El área del círculo es π por el cuadrado del radio,
se escribe así:
A=π×r2
O, en términos del diámetro:
A = (π/4) × D2
Es fácil acordarse si piensas en el área del
cuadrado en el que cabe el círculo.
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Nombres
Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales.
Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado" cuando
vale con decir "diámetro".
Aquí tienes los nombres especiales más comunes:
Líneas
Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se
llama cuerda.
Si la línea que pasa por el centro se llama diámetro.
Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llama
tangente.
Y una parte de una circunferencia se llama arco.
Trozos
Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo
Un trozo "de pizza" se llama sector.
Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.
Sectores comunes
El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.
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UNIDAD 4
1. ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y ÁREAS SOMBREADAS
Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados.
Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.
Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles congruentes y de vértices
en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos isósceles.
El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:
Área( polígono ) n( AOB ) n AB.OH
2
n ℓ n an /2
 n .ℓ n.an
2
pero n .ℓ n es el perímetro (2 p ) del polígono. Por tanto :
Área polígono  2 p.an
p.an
2
Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio. Un círculo no puede
descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos regulares, pero puede dividirse en sectores
circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior
basta dividir la circunferencia en un número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de
división.
15

Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el círculo en cuatro sectores circulares
congruentes de ángulo central 90° Si a continuación trazamos la s bisectrices. de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos
congruentes y en el círculo ocho sectores circulares congruentes de ángulo central 45° si continuamos en forma similar, obtenemos la
circunferencia; dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares congruentes.
Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos congruentes y al
círculo como la unión de igual número de sectores circulares congruentes, y disponemos estos sectores
como lo muestra la siguiente figura, obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura
igual al radio y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.
Teorema 24.2.3. El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la
región del círculo limitada por un ángulo central.
Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área que corresponde a cada uno de
estos sectores es:
0
16

El área del sector circular puede expresarse como:
RESUELVA
1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2
, la base x + 3 y la altura x + 1.
2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm .
3. En un rombo encuentre:
a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm2
b) El lado, si el área es 54 m2
y las diagonales son entre sí como 4 : 3.
c) El lado, si el área es 100 m2
y una diagonal es el doble de la otra.
d) El lado, si el área es 24 m2
y una diagonal mide 8 m.
e) El lado, si el área es 6 m2
y una diagonal es cuatro veces la otra.
2. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un
cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su
arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3
.
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
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En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo
unidad
1 Milímetro
1 Centímetro
1 Decímetro
1 Metro
1 Decámetro
1 Hectómetro
1 Kilómetro
Unidad de volumen
asociada
Milímetro cúbico
Centímetro cúbico
Decímetro cúbico
Metro cúbico
Decámetro cúbico
Hectómetro cúbico
Kilómetro cúbico
Abreviatura
mm
cm
3
3
dm
m3
3
Dm
Hm
Km
3
3
3
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico,
entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en
centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad
tiene otra unidad de volumen.
Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos
caras paralelas
Volumen de un cubo. Un cubo es cuerpo formados por seis caras
cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente
perpendiculares.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres,
como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3
cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:
Vcubo=(3cm)3
= 33
cm3
= 27cm3
El volumen a · a · a = a3
de un cubo se puede también definir como
el producto del área de la cara basal a · a por la altura a, es decir:
V = a · a · a= (a · a ) · a = a3
El hectómetro cúbico (Hm3
), es una medida de volumen, con la que se
nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase de
agua.
Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de
lado.
1 Hm = 1.000.000 m3
= 106
m3
.
3
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se
calcula a través de la fórmula:
Litro. El litro es una unidad de capacidad, normalmente utilizada para
medir líquidos o sólidos granulares, y que corresponde al volumen que
ocupa1 Kg de agua a 4 °C y a 1 atm de presión.
18

Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar problemas en la
tipografía, cuando la l puede confundirse con el número 1.
Equivale a la capacidad de un contenedor de un decímetro cúbico o a
una milésima de metro cúbico.
1 l = 1 dm3
= 0.001 m3
= 10-3
m3
1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm3 = 0.001 m3
103 ml = 102
cl = 101
dl = 1 l = 1 dm3
= 10-3
m3
Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos el líquido en una
jarra o una botella. Cuando hacemos una torta volcamos el azúcar o la
harina en un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar una jarra
o tantos gramos para llenar una cacerola. Por tanto hay una relación
entre las medidas de volumen, capacidad y peso.
Al igual que la masa, el volumen puede medirse en muchas unidades:
pintas, galones, arrobas, etc. Pero las medidas más usadas son el litro (l)
y la unidad del S.I. el metro cúbico (m3
), que equivale a 1.000 litros
o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un decímetro cúbico (dm3
) o
sea que es la cantidad de agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de
arista. Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos más
habituales del metro cúbico y el litro aparecen en la siguiente tabla:
Además de masa, los cuerpos tienen una extensión en el espacio,
ocupan un volumen. El volumen de un cuerpo representa la cantidad de
espacio que ocupa su materia y que no puede ser ocupado por otro
cuerpo.
Nombre Abreviatura Equivalencia en m3
Equivalencia en l
3
Hectómetro cúbico Hm
metro cúbico
Hectolitro
decímetro cúbico
m
hl
dm
3
10.000 m
1m3
3
10.000.000 l
1.000 l
0'1 m
3
3
100 l
3
0'001 m
3
1l
3
centímetro cúbico c.c. o cm
decilitro
centilitro
mililitro
dl
cl
ml
0'000001 m
0'0001 m
3
0'001 l
0'1 l
0'00001 m
3
0'01 l
3
0'000001 m 0'001 l
Si observas un recibo del agua podrás ver que el agua que gastas no aparece en litros sino en metros cúbicos
Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las medidas de peso y volumen no es
constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por ejemplo 1 dm3
hierro pesa7,8 kg y un dm3
de aceite pesa 0,92 kg.
.Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos
conocer su peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.
19

El volumen de un sólido no es tan fácil de medir. Si se trata de un sólido regular, como un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a
partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con ayuda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de
forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se
desbordará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado
estamos midiendo el del sólido que sumergimos en él. Este método fue descubierto por Arquímedes un sabio griego del, siglo III antes de
Cristo.
3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
El volumen nos indica la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares utilizamos las siguientes
ecuaciones matemáticas:
Ejercicios de áreas y volúmenes
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de
18.000 pesos el metro cuadrado.
a. Cuánto costará pintarla.
b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo,
6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?
4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.
5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2
y 48 l de capacidad.
6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de
diámetro y 20 cm de altura.
7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm.
Calcular:
a) El área total.
b) El volumen
8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará
el agua cuando se derritan?
9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 €, el m2
, ¿A cuánto ascenderá
el presupuesto de la restauración?
20

EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS
ROMPECABEZAS
EL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas de origen chino. Consta de un cuadrado
dividido en siete partes que forman siete figuras geométricas. Estas figuras
son: un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno mediano, dos
grandes y un paralelogramo. Dentro de sus variaciones se encuentran los
cuadrados, que se dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría
de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).
LOS POLIOMINÓS
Los poliominós son polígonos construidos a partir de un conjunto
de cuadrados del mismo tamaño. Éstos se encuentran conectados
entre sí por uno de sus lados (lado adyacente), de tal forma que no
queden espacios huecos en el interior del polígono resultante.
De acuerdo con el número de cuadrados que se emplee podemos
hablar de dominós (2 cuadrados), triminós (3 cuadrados), tetrominós
(4 cuadrados), pentominós (5 cuadrados), etc.
Para que dos poliominós formados con la misma no puede ser
obtenido por reflexiones o rotaciones del otro (Figura 3).
Sin embargo, existen variaciones en las que se consideran diferentes
los poliominós obtenidos por reflexión, por rotación o por las dos
transformaciones
(Figura 4).
Estos rompecabezas son especialmente interesantes porque sus piezas
forman un cuadrado y con ellas se puede armar una amplia gama de
figuras y formas sin superponerlas. Como vemos, la cantidad de poliominós que se puede formar con
cierto número de cuadrados aumenta cuando se emplea mayor número
de ellos.
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BIBLIOGRAFÍA
http://html.rincondelvago.com/transformaciones-geometricas.html
http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-14.htm
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Modulo de geometria1

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