Este documento presenta una guía de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Incluye problemas para verificar si funciones dadas son soluciones de ecuaciones diferenciales, aplicar el método de separación de variables, resolver ecuaciones diferenciales exactas y no exactas, y encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El documento contiene más de 20 ejercicios de diversos tipos para practicar diferentes métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

1. Gu´ıa de ejercicios # 01 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En los siguiente problemas verificar por sustituci´on que cada funci´on dada es una soluci´on
de la ecuaci´on diferencial considerada.
1) y = 3x2
y = x3
+ 7
2) y + 2y = 0 y = 3e−2x
3) y + 4y = 0 y1 = cos(2x) y2 = sen(2x)
4) y = 9y y1 = e3x
y2 = e−3x
5) y = y + 2e−x
y = ex
− e−x
6) y + 4y + 4y = 0 y1 = e−2x
y2 = xe−2x
7) y − 2y + 2y = 0 y1 = ex
cos(x) y2 = ex
sen(x)
8) y + y = 3 cos(2x) y1 = cos(x) − cos(2x) y2 = sen(x) − cos(2x)
9) y + 2xy2
= 0 y =
1
1 + x2
10) x2
y + xy − y = ln(x) y1 = x − ln(x) y2 = 1
x
− ln(x)
En los siguientes problemas, compruebe primero que y(x) satiface la ecuaci´on diferencial
dada. Entonces, determinar un valor de la constante C de modo que y(x) satisfaga la
condici´on inicial dada.
1) y + y = y(x) = Ce−x
y(0) = 2
2) y = 2y y(x) = Ce2x
y(0) = 3
3) y = y + 1 y(x) = Cex
− 1 y(0) = 5
4) y = x − y y(x) = Ce−x
+ x − 1 y(0) = 10
5) y + 3x2
y = 0 y(x) = Ce−x3
y(0) = 7
6) x
dy
dx
+ 3y = 2x5
y(x) = 1
4
x5
+ Cx−3
y(2) = 1
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2. Gu´ıa de ejercicios # 01 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden M´etodo
Separaci´on de variables, Exactas y No Exactas.
M´etodo Separaci´on de variables. Encuentre las soluciones generales (Implicita y Explicita de ser
posible). Recuerde que
dy
dx
≡ y
a) y + 2xy = 0 b) y + 2xy2
= 0
c) y = y sen(x) d) (1 + x)y = 4y
e) 2
√
xy = 1 − y2 f) y = 3
√
xy
g) y = (64xy)1/3
h) y = 2x cos(y)
i) (1 − x3
)
dy
dx
= 2y j) (1 + x)3 dy
dx
= (1 + y)3
k)
dy
dx
= xy3
l) y
dy
dx
= x(y2
+ 1)
m) y3 dy
dx
= (y4
+ 1) cos(x) n)
dy
dx
=
1 +
√
x
1 +
√
y
o)
dy
dx
=
(x − 1)
x2(2y3 − y)
p) (x2
+ 1)dy
dx
tan(y) = x
q)
dy
dx
= 1 + x + y + xy r) x2 dy
dx
= 1 − x2
+ y2
− x2
y2
Encuentre las soluciones particulares (Implicita y Explicita de ser posible) de los problemas con condici´on
inicial.
a)
dy
dx
= yex
; y(0) = 2e b)
dy
dx
= 3x2
(y2
+ 1); y(0) = 1
c) 2y
dy
dx
= x(x2
− 16)−1/2
; y(5) = 2 d)
dy
dx
= 4x3
y − y; y(1) = −3
e)
dy
dx
+ 1 = 2y; y(1) = 1 f)
dy
dx
tan(x) = y; y(
π
2
) =
π
2
g) x
dy
dx
− y = 2x2
y; y(1) = 1 h)
dy
dx
= 2xy2
+ 3x2
y2
; y(1) = −1
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3. Gu´ıa de ejercicios # 01 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
M´etodo E.D.O. Exacta. En los problemas siguiente verifique que la ecuaci´on diferencial sea exacta y
resu´elvala despu´es.
a) (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy = 0 b) (4x − y)dx + (6y − x)dy = 0
c) (3x2
+ 2y2
)dx + (4xy + 6y2
)dy = 0 d) (2xy2
+ 3x2
)dx + (2x2
y + 4y3
)dy = 0
e) x3
+ y
x
dx + (y2
+ ln(x))dy = 0 f) (1 + yexy
)dx + (2y + xexy
)dy = 0
g) (cos(x) + ln(y))dx + x
y
+ ey
dy = 0 h) (x + tan−1
(y))dx +
x + y
1 + y2
dy = 0
i) (3x2
y3
+ y4
)dx + (3x3
y2
+ y4
+ 4xy3
)dy = 0 j) ydx − (x + y3
)dy = 0
k) 2t sen(y) + y3
et
+ (t2
cos(y) + 3y2
et
)
dy
dt
= 0 l) 1 + (1 + ty)ety
+ (1 + t2
ety
)
dy
dt
= 0
m)
y2
2
− 2yet
+ (y − et
)
dy
dt
= 0 n) y sec2
(t) + sec(t) tan(t) + (2y + tan(t))
dy
dt
En los siguientes problemas determine el valor de la constante de “a”para que la ecuaci´on sea exacta y
resuelva la ecuaci´on obtenida.
Ayuda Recuerda el Teorema y despeja.
a) (t + ye2ty
) + (ate2ty
)
dy
dt
= 0 b)
1
t2
+
1
y2
+
at + 1
y3
dy
dt
= 0
c) (eat+y
+ 3t2
y2
) + (2yt3
+ eat+y
)
dy
dt
= 0
Resuelva los siguientes problemas con valor inicial.
a) 2ty3
+ 3t2
y2 dy
dt
= 0 y(1) = 1
b) (2t cos(y) + 3t2
y) + (t3
− t2
sen(y) − y)
dy
dt
= 0 y(0) = 2
c) (3t2
+ 4ty) + (2y + 2t2
)
dy
dt
= 0 y(0) = 1
d) (y cos(2t)ety
) − 2 sen(2t)ety
+ 2t) + (t cos(2t)ety
− 3)
dy
dt
= 0 y(0) = 3
d) 3ty + y2
+ (t2
ty)
dy
dt
= 0 y(2) = 1
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4. Gu´ıa de ejercicios # 01 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
E.D.O. de primer orden No Exactas. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales encontrando
el factor integrante adecuado.
a) (10 − 6y + e−3x
)dx + 2 dy = 0 b) (2y2
+ 3x)dx + 2xy dy = 0
c) (xy + y2
+ y)dx + (x + 2y)dy = 0 d) cos(x)dx + (x +
2x
y
)dy = 0
e) 4y dx + x dy = 0 f) (4x + 3y3
)dx + 3xy2
dy = 0
g) 2xy dx + (y2
− x2
)dy = 0 h) (4x2
+ 3 cos(y))dx − x sen(y) dy = 0
i) (y ln(y) + yex
)dx + (x + y cos(y))dy = 0 j) (4xy2
+ y)dx + (6y3
− x)dy = 0
k) 2x dx + x2
cot(y) dy = 0 l) 1 +
1
x
tan(y)dx + sec2
(y) dy = 0
m) y2
cos(x) dx + (4 + 5y sen(x))dy = 0 n) (3x2
y + 2xy + y3
)dx + (x2
+ y2
)dy = 0
o) 6xy dx + (4y + 9x2
)dy = 0 p) y dx + (x − 2x2
y3
)dy = 0
q) (x − 7)dx + x dy = 0 r) (2xy + y4
)dx + (3x2
+ 6xy3
)dy = 0
E.D.O. de primer orden lineal. Encuentre las soluciones generales de las siguiente ecuaciones
diferenciales, si se dan condiciones iniciales encuentre la soluci´on particular correspondiente.
Forma de la E.D.O. de primer orden lineal
dy
dx
+ P(x)y = Q(x). Recuerde el teorema.
a) y + y = 2; y(0) = 0 b) y − 2y = 3e2x
; y(0) = 0
c) y + 3y = 2xe−3x
d) y − 2xy = ex2
e) xy + 2y = 3x; y(1) = 5 f) xy + 5y = 7x2
; y(2) = 5
g) 2xy + y = 10
√
x h) 3xy + y = 12x
i) xy − y = x; y(1) = 7 j) 2xy − 3y = 9x3
k) xy + y = 3xy : y(1) = 0 l) xy + 3y = 2x5
; y(2) = 1
m) y + y = ex
; y(0) = 1 n) xy − 3y = x3
; y(1) = 10
o) y + 2xy = x; y(0) = −2 p) y = (1 − y) cos(x); y(π) = 2
q) (1 + x)y + y = cos(x); y(0) = 1 r) xy = 2t + x3
cos(x)
s) y + y cot(x) = cos(x) t) y = 1 + x + y + xy; y(0) = 0
u) xy = 3y + x4
cos(x); y(2π) = 0 v) xy + (2x − 3)y = 4x4
w) (x2
+ 4)y + 3xy = x; y(0) = 1 x) y − 3y = e2x
; y(0) = 3
Verifique si las siguiente funciones son homogeneas e indique su grado.
Definici´on: Una funci´on f : D ⊂ IR 2
→ IR se dice homog´enea de grado n si
f(tx, ty) = tn
f(x, y)
para todo t > 0 y todo (x, y) ∈ D.
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5. Gu´ıa de ejercicios # 01 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
a) f(x, y) = 3xy2
+ y3
+ x2
y b) f(x, y) = x2
+ y2
c) f(x, y) = x2
− 2xy + y2
d) f(x, y) = x3
+ xy − y2
e) f(x, y) =
x
2x + y
f) f(x, y) =
x2
− y2
x2 + y2
g) f(x, y) = x2
+ 5xy + y2
h) f(x, y) =
y
x2 + 3 x2 + y2
i) f(x, y) = 3x2
y − x3
cos(y
x
) − y3
j) f(x, y) =
x3
+ y3
xy2
M´etodo de Sustituci´on. Encuentre las soluciones generales de las siguiente ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones homog´eneas
Forma
dy
dx
=
y
x
; sustituci´on v =
y
x
; y = vx
dy
dx
= v + x
dv
dx
Ecuaciones de Bernoulli
Forma
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)yn
donde n tiene que ser: n = 0 y n = 1 sustituci´on v = y1−n
v =
(1 − n)yn
y
a) 2xyy = 4x2
+ 3y2
b) x
dy
dx
+ 6y = 3xy4/3
c) 2xyy = x2
+ 2y2
d) xy = y + 2(xy)1/2
e) xy2
y = x3
+ y3
f) x2
y = xy + x3
ey/x
g) x2
y = xy + y2
h) xyy = x2
+ 3y2
i) y2
y + 2xy3
= 6x j) y = y + y3
k) x2
y + 2xy = 5y4
l) xy = 3y + x−7
cos(x)y4
m) 2xy + y3
e−2x
= 2xy n) 3y2
y + y3
= e−x
o) 3xy2
y = 3x4
+ y3
p) y − 2xy = x3
y5
q) x
dy
dx
+ y = x2
y2
r)
dy
dx
− y = xy2
s) (x + y)
dy
dx
= (x − y) t) (x − y)
dy
dx
= (x + y)
u)
dy
dx
=
x2
− y2
x2 + y2
v)
dy
dx
=
x3
+ y3
xy2
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