1. 1
Daniel Souviron Encabo
TARIFICACIÓN
En una cartera de seguros, la distribución de frecuencias del número de siniestros
observados en un período determinado es la siguiente:
n Nn (nº de pólizas que
han tenido n
siniestros)
0 396.893
1 46.830
2 6.000
3 719
4 85
5 10
6 0
450.537
Se pide:
1) Estudiar si esta distribución empírica de frecuencias se ajusta mejor a un proceso
homogéneo de Poisson o a una distribución de Poisson ponderada por una ley Gamma de
dos parámetros. Emplear el test de adherencia con un nivel de significación del 3%.
Queremos ver cómo se distribuye en términos de probabilidad nuestra variable “número de
siniestros”, N(t).
Pese a que la primera impresión al ver y comparar los gráficos de las distribuciones de
frecuencias teóricas con el gráfico de la distribución de frecuencias observada pudiera ser la de
que ambas distribuciones se ajustan bien a dicha distribución observada, al pasar el

2. 2
correspondiente test de adherencia rechazamos que se ajuste a un proceso estocástico de
Poisson homogéneo y nos quedamos la distribución de Poisson ponderada por una Gamma.
De hecho, si nos fijamos detenidamente en las frecuencias que arroja el proceso de Poisson
homogéneo vemos que se desvían bastante de las frecuencias observadas, mientras que las
frecuencias que arroja la Poisson ponderada por una Gamma se desvían mucho menos.
Distribución observada Poisson homogéneo Poisson ponderada por una Gamma
2) ¿Cuál es a priori la función de probabilidad del parámetro “número medio esperado de
siniestros por póliza y período” en dicha cartera, así como su esperanza matemática?.
¿Cuál será la función de probabilidad de dicho parámetro a posteriori del número n de
siniestros que el asegurado tenga en t períodos observados, así como su esperanza
matemática?.
Calcular los coeficientes de credibilidad de la experiencia individual de siniestros tras 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 períodos. Interprete el resultado.
N(t)~P(λ)
λ es aleatorio, a priori le asignamos una distribución Γ(0,911570125 ; 6,691367604), sus dos
parámetros los hemos estimado a través de la distribución de frecuencias observada y
sabiendo que:
E(N)=E(λ)
V(N)=E(λ)+σλ
2
Nn
396.893,00
46.830,00
6.000,00
719,00
85,00
10,00
0,00
450.537,00
N·P(n)
393.157,16388063
53.560,10105164
3.648,26675972
165,66872341
5,64229422
0,15373081
0,00355958
450.537,000000
N·P(n)
396.817,4756
47.030,2519
5.844,3198
737,4565
93,7614
11,9749
1,7600
450537,0000

3. 3
Es decir, su función de probabilidad será:
0.911570125
0.9115701256,691367604
) e 
   

Y su esperanza matemática:
E(λ) =
6,691367604

= 0,136230765.
Información empírica:
yk = n siniestros en t períodos.
A posteriori de dicha información empírica sabemos que:
λ ~ Γ(0,911570125 + n ; 6,691367604 + t ).
Es decir:
0.911570125
0.911570125 ( )(6,691367604
) e

   
     
 
n
n tt)
n t
n
E(λ/n,t) =
6,691367604


n
t
Coeficientes de credibilidad de la información empírica (k) respecto a la fiabilidad de la
distribución asignada a priori:
E(λ/n,t) = k⋅ + (1-k)⋅ E(λ)
Sabiendo que  =
n
t
,
nos queda que los coeficientes se van a calcular con la expresión k =
t
t+6.691367604
Una vez hechos los cálculos para cada caso, tenemos:

4. 4
t k
1 0,130015889
2 0,230113383
3 0,309553834
4 0,374133614
5 0,427665964
6 0,472762289
7 0,511271058
8 0,54453746
Como se puede ver, cuanto mayor es el número de períodos de información empírica, mayor
será la credibilidad de dicha información empírica (k) y menor la fiabilidad de la distribución
asignada a priori (1-k). Es lógico, puesto que si dispongo de muchos períodos de información
empírica, la estimación  del número medio esperado de siniestros por póliza y período será
más precisa que si dispongo de pocos.
3) ¿Cuál será la función de probabilidad de la variable aleatoria “número de siniestros” a
posteriori del número n de siniestros que el asegurado tenga en t períodos?.
Determinar la probabilidad de que un asegurado que haya tenido 4 siniestros en 3 períodos,
tenga 2 siniestros en el período siguiente. ¿Cuál era esa misma probabilidad conforme a la
distribución teórica a priori?. Interprete el resultado.
Información empírica:
yk = n siniestros en t períodos.
La probabilidad de que dicho asegurado tenga k siniestros en el próximo período (t,t+1)
es:

5. 5
0.911570125
0.911570125 ( )
0
(6,691367604
)
!
e
e
  
    
     
 
k
P k d
k
n
n tt)
n
=
1 6,691367604 1
6,691367604 1 6,691367604 1

       
              
k
k
k
n
n t
t t
Como al calcular los correspondientes factoriales nos encontraremos decimales, lo que
haremos para solucionarlo será usar lo siguiente:
1 1
! 1 !
            
        
k k k
k k k
n n n
n n
Si tenemos yk = 4 siniestros en 3 períodos, nos queda P(2)= 0,078407404. La P(2) que
había a priori de la información empírica era P(2)= 0,012971898. Es decir, vemos que tras esa
información empírica P(2) es más alta. Es normal, puesto que la información que nos dan es de
un asegurado propenso a sufrir siniestros.
4) Si el coste medio esperado de un siniestro es 485,25 € en el primer año, calcular la prima
pura inicial de la cartera.
P0 = E(ξ) = c1
0
⋅ E(N) = 485.25 ⋅ E(λ) = 485.25 ⋅ 0,136230765 = 66.11 € .
5) Sabiendo que se espera que el coste medio por siniestro crezca un 2,45% anual
acumulativo en los años siguientes al primero, calcular la prima pura a posteriori de la
experiencia individual de siniestros. Construir la tabla de los coeficientes correctores de la
prima pura para t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación, construir la
correspondiente tabla de primas puras.

6. 6
Asimismo, construir la tabla de primas de experiencia que corresponderían en dichos
períodos según el número observado de siniestros.
P4,3 = E(ξ) = E(N)⋅ c1
3
= E(λ/4,3) ⋅ c1
0
⋅ (1+0.0245)3 =
=
6,691367604 3
 

⋅ 485.25 ⋅ (1+0.0245)3 = 264.45 € .
Coeficientes correctores de la prima pura:
0,1362307656,691367604 ( /
6,691367 04
)
6
n
t


Los de la parte superior derecha serían para los asegurados menos propensos a tener
siniestros y los de la parte inferior izquierda para los más propensos.
t →
↓ n
1 2 3 4 5 6 7 8
0
0,8699 0,7698 0,6904 0,6258 0,5723 0,5272 0,4887 0,4554
1
1,8243 1,6144 1,4478 1,3124 1,2001 1,1056 1,0248 0,9551
2
2,7787 2,4590 2,2052 1,9990 1,8280 1,6840 1,5610 1,4547
3
3,7331 3,3036 2,9627 2,6856 2,4558 2,2623 2,0971 1,9544
4
4,6875 4,1481 3,7201 3,3721 3,0837 2,8407 2,6332 2,4540
5
5,6418 4,9927 4,4775 4,0587 3,7116 3,4191 3,1694 2,9536
6
6,5962 5,8373 5,2349 4,7453 4,3394 3,9975 3,7055 3,4533

7. 7
Primas puras a posteriori de la información empírica:
Se calculan como la prima que hay al principio de este apartado.
t →
↓ n
1 2 3 4 5 6 7 8
0
58,92 € 53,41 € 49,08 € 45,57 € 42,70 € 40,30 € 38,27 € 36,54 €
1
123,55 € 112,01 € 102,92 € 95,58 € 89,54 € 84,51 € 80,25 € 76,62 €
2
188,19 € 170,61 € 156,76 € 145,58 € 136,39 € 128,72 € 122,24 € 116,71 €
3
252,82 € 229,21 € 210,60 € 195,58 € 183,23 € 172,93 € 164,23 € 156,80 €
4
317,46 € 287,82 € 264,44 € 245,58 € 230,08 € 217,14 € 206,21 € 196,88 €
5
382,09 € 346,42 € 318,28 € 295,58 € 276,92 € 261,35 € 248,20 € 236,97 €
6
446,73 € 405,02 € 372,12 € 345,58 € 323,77 € 305,56 € 290,18 € 277,06 €
Primas de experiencia:
Pe
n,t =  ⋅ c1
t
=
n
t
⋅ c1
t
t →
↓ n
1 2 3 4 5 6 7 8
0
0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 € 0,00 €
1
497,13 € 254,65 € 173,93 € 133,64 € 109,53 € 93,51 € 82,12 € 73,61 €
2
994,27 € 509,31 € 347,86 € 267,29 € 219,07 € 187,03 € 164,24 € 147,23 €
3
1.491,41 € 763,97 € 521,79 € 400,93 € 328,60 € 280,54 € 246,36 € 220,84 €
4
1.988,55 € 1.018,63 € 695,72 € 534,58 € 438,14 € 374,06 € 328,48 € 294,46 €
5
2.485,69 € 1.273,29 € 869,66 € 668,22 € 547,67 € 467,58 € 410,60 € 368,07 €
6
2.982,83 € 1.527,95 € 1.043,59 € 801,87 € 657,21 € 561,09 € 492,72 € 441,69 €

8. 8
6) Formular la expresión de la prima comercial o de tarifa en función de los siguientes
recargos: recargo de seguridad ( l ); recargo para gastos de administración o de gestión
interna (g1); recargo para gastos de gestión externa (g2); y recargo para beneficio (b). A
continuación, construir la tabla de primas de tarifa correspondientes a las primas puras
calculadas en el apartado anterior para l = 8%; g1 = 9%; g2 = 14%; b = 8%.
Prima comercial o de tarifa:
P´´ =
1 21 g g b
 
  
P l P
Prima comercial o de tarifa inicial:
P0´´ = 103,4702273
Primas comerciales o de tarifa a posteriori de la información empírica:
t →
↓ n
1 2 3 4 5 6 7 8
0
92,22 € 83,61 € 76,82 € 71,34 € 66,83 € 63,08 € 59,90 € 57,19 €
1
193,39 € 175,33 € 161,09 € 149,60 € 140,16 € 132,27 € 125,62 € 119,93 €
2
294,56 € 267,05 € 245,36 € 227,86 € 213,48 € 201,47 € 191,33 € 182,68 €
3
395,73 € 358,77 € 329,64 € 306,13 € 286,80 € 270,67 € 257,05 € 245,42 €
4
496,89 € 450,50 € 413,91 € 384,39 € 360,12 € 339,87 € 322,77 € 308,17 €
5
598,06 € 542,22 € 498,18 € 462,65 € 433,44 € 409,07 € 388,49 € 370,91 €
6
699,23 € 633,94 € 582,46 € 540,91 € 506,77 € 478,27 € 454,20 € 433,66 €