Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y los métodos para resolverlos. Explica cómo representar un sistema de ecuaciones como una multiplicación de matrices y define una solución como un conjunto de valores que satisfacen todas las ecuaciones. También resume tres métodos algebraicos para resolver sistemas lineales: sustitución, igualación y reducción.

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
Esto es, m ecuaciones con n incógnitas
La expresión anterior la podemos escribir como una multiplicación de matrices, así:
En forma abreviada escribimos
Donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector columna de las incógnitas y b el
vector columna de los términos libres.
Toda n-tupla ordenada
que satisface cada una de las ecuaciones del sistema
se llama una solución del sistema. Si miramos el sistema en forma de matrices,
escribiremos una solución como el vector columna.
[Escribir texto]

2. Ejemplo:
El sistema
Se puede escribir en forma de matrices, como
Una solución del sistema es
matrices, pues si
,
o
,
, si consideramos el sistema en forma de
y
.
Se satisfacen las tres ecuaciones
anteriores.

Métodos de solución de un sistema de ecuación lineal:
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con
varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada
incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una
contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer
cumplir la igualdad del sistema.
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales
simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas
ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo.
Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (dos
ecuaciones lineales de dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de
tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas).
En
forma
[Escribir texto]
escrita matemáticamente, las variables se representan como
, y de igual manera cada una de ellas en un sistema de ecuaciones.

3. 
Conceptos Básicos de Función Lineal y Ecuación Lineal
 Función Lineal
Un par ordenado (x,y) de números reales tiene a x como primer elemento y a y como
segundo elemento. El primer elemento se llama abscisa y el segundo elemento ordenada.
Ejemplo:
Graficar los siguientes pares ordenados
y
Y
8
4
3
X
7
 Distancia entre dos puntos
Los puntos x1 , y1  , x2 , y 2  y x2 , y1  determinan un triángulo rectángulo en el cual las
longitudes de sus catetos están dados por d1  x2  x1 y d 2  y 2  y1 . Así aplicando el
teorema de Pitágoras se tiene d 
x2  x1 2   y2  y1 2
Y
X2,Y2
Y2
d
Y1
X2,Y1
d1
X1
[Escribir texto]
d2
X1,Y1
X2
X

4. Ejemplo:
Calcular la distancia entre los siguientes pares ordenados
y
Por tanto, remplazando se obtiene:
d
x2  x1 2   y2  y1 2
 Punto Medio
La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula
obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b).
 x  x2 y1  y 2 
M  1
,

2 
 2
Y
X2,Y2
Y2
d1
d2
Y1
X1,Y1
X1
[Escribir texto]
M
X2
X

5. Ejemplo:
Calcular el punto medio entre los siguientes pares ordenados
y
Por tanto, remplazando se obtiene:
 x  x2 y1  y 2 
M  1
,

2 
 2
Y
C(7,8)
8
6
4
M(5,6)
L(3,4)
3
5
7
X
 Pendiente de la recta
La pendiente de una recta es el cociente entre las unidades de cambio vertical y las
unidades de cambio horizontal de dos puntos cualesquiera.
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos x1 , y1  y x2 , y 2  es:
m
[Escribir texto]
y y2  y1

, x2  x1
x x2  x1

6. Y
P2
Y2
Y1
P1
y
m
x
X1
X2
X
La inclinación de la recta depende de su pendiente de la siguiente manera:
a) Una recta con pendiente m>0, sube de izquierda a derecha.
b) Una recta con pendiente m<0, baja de izquierda a derecha.
c) Una recta con pendiente m=0, es horizontal.
d) Una recta con pendiente indefinida, es vertical.
Ejemplo:
Calcular la pendiente de la recta que pasa por los pares ordenados
Remplazando se obtiene:
m
[Escribir texto]
y y 2  y1

, x2  x1
x x2  x1
y

7.  Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto intercepto
La ecuación punto pendiente es de la forma y  y1  mx  x1  con pendiente m y pasa
por el punto x1 , y1  .
Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado
y que tiene por
pendiente
Y
m=1
4
3
De la información tenemos que:
,
,
Por tanto al remplazar la ecuación tenemos que:
y  y1  mx  x1 
La ecuación de la recta es:
[Escribir texto]
X

8.  Ecuación de la recta conociendo la pendiente y el punto de corte con el
eje coordenado de las ordenadas (Y)
La ecuación pendiente-intercepto es de la forma y  mx  b con pendiente m e
intersección con el eje y en el punto (0,b).
Ejemplo
Calcular la ecuación de la recta que pasa entre el par ordenado K= (0,2) y que tiene por
pendiente
De la información tenemos que: m=1 y el punto es x=0 y y=2
Por tanto, al remplazar la ecuación tenemos:
y  y1  mx  x1 
y  2  1x  0
y2 x
y  x2
Y
m=1
K(0,2)
X
La ecuación de la recta es: y  x  2
[Escribir texto]

9. 
Comparación de posición entre funciones lineales
o Rectas paralelas
La pendiente de una recta nos permite saber cuándo dos rectas son paralelas. Dos rectas
no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir que m1  m2 .
Y
(X3,Y2)
Y2
L1
Y1
(X3,Y1)
L2
2
1
(X1,0)
(X2,0)
X
(X3,0)
o Rectas perpendiculares
La pendiente de una recta también nos permite saber cuándo dos rectas son
perpendiculares. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes
cumplen la relación m1  
1
m2
Y
(X3,Y2)
Y2
L1
1
(X1,0)
(X3,0)
L2
Y1
[Escribir texto]
(X3,Y1)
X

10. En base a lo anteriormente expuesto se puede expresar que un sistema de ecuaciones de
2X2 es una representación gráfica de dos rectas que pueden definir un punto de
intersección o de corte entre ellas, lo cual proporciona un punto que es la solución del
sistema de ecuaciones de esta dimensión.
Si aumentamos la dimensión del sistema de ecuaciones a uno de 3X3 en este caso ya no
se puede trabajar con líneas sino con tres planos, los cuales tienen un punto común,
cuando se intersectan entre ellos. Que de igual manera generan mediante este punto, una
solución al sistema de ecuaciones de 3X3.
A sistemas de ecuaciones de mayor dimensión no son explicables físicamente dado que
solamente se puede observar tres dimensiones, pero para efectos analíticos de sistema
económicos que trabajan más de tres variables es de gran utilidad los sistemas de
ecuaciones de mayor dimensión.
Para cualquier sistema de ecuaciones de dimensión nxn se debe tener en cuenta que la
solución puede estar en tres alternativas las cuales pueden ser que tenga:
1. Una única solución
2. Varias soluciones
3. Ninguna solución
Para cada uno de los anteriores casos puede proporcionar un gráfico de explicación.
Aunque esta dado para dos dimensiones se puede llegar a expandir para más
dimensiones.
X
X
X
Y
Única Solución
Y
Múltiples Soluciones
Y
Ninguna Solución
Métodos Algebraicos de Solución Lineal
1. Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla
en otra ecuación por su valor.
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11. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el
inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para
así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales
Obtendremos
,
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
2. Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación
se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
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12. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,
Si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo
que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de
la incógnita x,
Y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales,
Obtendremos
[Escribir texto]
,
, con lo que el sistema queda ya resueltoi.

13. 3. Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado
para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las
ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos
ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto
signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por 3 para poder cancelar la
incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original:
Obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este
caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera
de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y
Obtendremos
i
,
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Algunos
apartes
aparecen
http://sistemadeecuacioneslineales.wikispaces.com/Sistemas+de+Ecuaciones+Lineales
www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r72845.DOCX
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también
en