Javier Solis Noyola diseña y desarrolla presentación de Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matriz Inversa por Método de Gauss-Jordan.

1. R
R
R
 0 0

 
 0 1
0

  0 0
1


A* x  b
1
2
3
1
Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer y comprender El Método de Solución de
Gauss-Jordan para solucionar sistemas de
Ecuaciones Lineales.
 Aplicar la el Método de Solución de Gauss-Jordan
a la solución de ejercicios de sistemas de
ecuaciones lineales.
 Aplicar proceso metodológico de Gauss-Jordan
para la obtención de la Matriz Inversa.

3. Carl Friedrich Gauss
(1777- 1855)
Gauss nació en Brunswick, Alemania
El más grande matemático del siglo XIX, Johann
Carl Friedrich Gauss se considera uno de los tres
matemáticos más importante de todos los tiempos,
siendo Arquímedes y Newton los otros dos.
Las aportaciones de Gauss en todos los campos
de la Matemática son inestimables: Teoría de
números, Astronomía, Magnetismo, Geometría,
Análisis... Cualquier gran descubrimiento
matemático a lo largo de este siglo encuentra
detrás la alargada sombra de Gauss.
Junto con el físico alemán Eduard Weber,
investigó sobre el magnetismo y la electricidad;
una unidad de inducción magnética recibe su
nombre.

4. ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen
muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de
reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto
que son muy fáciles de asimilar.
donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos
independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

5. •Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus
soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las
ecuaciones.
•Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales
podemos clasificarlos en tres tipos:
•Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
•Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,
podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..
a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones
Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

6. Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en
un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin
solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.
Solución
Única
(x,y,z)

7. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES DE nxn
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A*X = B. Básicamente este método es
continuación del Método de Eliminación Gaussiana. Consiste en escalonar la matriz aumentada original
(inicial) hasta llevar la parte de los coeficientes que multiplican a las X´s a una MATRIZ IDENTIDAD de
un sistema de ecuaciones lineales de nxn. Ésta MATRIZ AUMENTADA (Matriz Identidad y de términos
independientes B) nos indican los resultados de las incógnitas Xi
0 … 0
0
Sistema con Solución Directa:
Donde la notación a‘ij se usa simplemente para
denotar que el elemento aij cambió.
0
0 0
Sistema de Ecuaciones Original Matriz Aumentada Original
Matriz Identidad que indica los
resultados de Xi

8. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES DE nxn
Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales concreto :
Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:
~ ~ ~
Matriz
Aumentada
Matriz Escalonada
De este modo, el sistema tiene
la solución directa única:
x = 35/28 ; y = -19/28, z = 87/28
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
*
~
1 0 7 23
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
Matriz Escalonada
*
~
1 0 0 35/28
0 1 0 -19/28
0 0 1 87/28
Matriz Escalonada

9. Operaciones Fundamentales para obtener la Matriz
Aumentada que directamente arroja los resultados de Xi
0 … 0
0 0
0
Sistema con solución
directa:
Sistema de
Ecuaciones Original
~ = 0
…
0
0 0
•Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;
donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)
• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;
Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2
• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;
Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2

10. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA UN EJEMPLO CONCRETO
Proceso de escalonado de Matriz aumentada original:
• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;
Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2
R R1 ↔ R2 1
R2
R3
R1
R2
R3
Matriz Aumentada
Original
Matriz Aumentada
Equivalente

11. Proceso de escalonado de Matriz aumentada (continuación):
• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;
Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2
R1
R2
R3
• Sumar Renglones R1 y R2 R2n = -2R1 + R2
-2R1 = -2 (1 2 1 │ 3 ) = -2 -4 -2 │ -6
R2 = 2 5 -1 │-4 = 2 5 -1 │ -4
R2n = 0 1 -3 │ -10
• Sumar Renglones R1 y R3 R3n = -3R1 + R3
-3R1 = -3 (1 2 1 │ 3 ) = -3 -6 -3 │ -9
R3 = 3 -2 -1 │2 ) = 3 -2 -1 │ 2
R3n = 0 -8 -4 │ -7
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
R1
R2
R3

12. Proceso de escalonado de Matriz aumentada (Eliminación Gaussiana):
• Sumar Renglones R2 y R3 R3n = 8R2 + R3
8R2 = 8 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 8 -24 │ -80
R3 = 0 -8 -4 │ -7 = 0 -8 -4 │ -7
R3n = 0 0 -28 │ -87
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 -8 -4 - 7
R1
R2
R3
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 -28 -87
R1
R2
R3
•Multiplicar un R3 por un escalar K . R3n = (-1/28) R3
R3n = (-1/28) ( 0 0 -28 │ -87 )
R3n = 0 0 -28/-28 │ -87/-28
R3n = 0 0 1 │ 87/28
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
R1
R2
R3
X + 2 Y + Z = 3
Y - 3Z = -10
Z = 87/28
Solución única
X = 35/28
Y = -19/28
Z = 87/28
http://es.slideshare.net/javiersolisp/sistemas-de-ecuaciones-lineales-por-gauss-simple

13. Proceso de seguimiento para obtener la solución directa por Gauss-Jordan
1 0 7 23
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
R1
R2
R3
1 2 1 3
0 1 -3 -10
0 0 1 87/28
R1
R2
R3
• Sumar Renglones R2 y R1 R1n = -2R2 + R1
-2R2 = -2 ( 0 1 -3 │-10 ) = 0 -2 6 │ 20
R1 = 1 2 1 │ 3 = 1 2 1 │ 3
R1n = 1 0 7 │ 23
• Sumar Renglones R3 y R2 R2n = 3R3 + R2
3R3 = 3 ( 0 0 1 │ 87/28 ) = 0 0 3 │261/28
R2 = 0 1 -3 │ -10 = 0 1 -3 │-10
R2n = 0 1 0 │ -19/28
Sumar Renglones R3 y R1 R1n = -7R3 + R1
-7R3 = -7 ( 0 0 1 │ 87/28 ) = 0 0 -7 │- 609/28
R1 = 1 0 7 │ 23 = 1 0 7 │ 23
R1n = 1 0 0 │ 35/28
X = 35/28 Y = -19/28 Z = 87/28
1 0 0 35/28
0 1 0 -19/28
0 0 1 87/28
R1
R2
R3

14. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA LA MATRIZ INVERSA
DE UNA MATRIZ nxn
Para calcular la matriz inversa podemos emplear el método de Gauss-Jordan que
consiste en construir la matriz ampliada (A | I) y aplicarle a los renglones o filas de
esta matriz, una serie de transformaciones elementales hasta conseguir otra matriz
en la que la Matriz Identidad quede a la izquierda, (I | B). Entonces la matriz B que
se obtiene es A-1.
Operaciones
(A | I) entre
Renglones
(I | B).
B=A-1
http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mat2_02matrices.htm

15. OPERACIONES ENTRE RENGLONES POR MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
•Multiplicar un Renglón o fila por un escalar K . Rin = KRi ;
donde: Rin = Renglón i nuevo (equivalente); K es el escalar; Ri = Renglón i (anterior)
• Intercambiar Renglones o filas Ri ↔ Rj ;
Donde: el símbolo ↔ significa intercambio; Ri = Renglón 1; Rj = Renglón 2
• Sumar Renglones o filas Rjn = KRi + Rj ;
Donde: Rjn = Renglón 2 nuevo; KRi = K es el escalar y Ri = Renglón i (anterior) ; Rj = Renglón 2
Operaciones
(A | I) entre
(I | B) B=A-1
Renglones
http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mat2_02matrices.htm

16. Ejemplo de Obtención de A-1 por Método de
GaussJordan
1 1 -1
2 1 -1
1 -1 2
A =
(A | I)
1 1 -1 1 0 0
2 1 -1 0 1 0
1 -1 2 0 0 1
(I | B)
1 0 0 -1 1 0
0 1 0 5 -3 1
0 0 1 3 -2 1
B=A-1
Operaciones
entre
Renglones
Ver proceso de transformación en línea, en:
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/inverse/

17. http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/inverse/

18. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill