1) Una matriz es un arreglo bidimensional de números que se usa para representar sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales y sistemas diferenciales. 2) Las matrices se definen por el número de filas y columnas, y pueden ser cuadradas, rectangulares, nulas u otras formas especiales. 3) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen sustitución, reducción e igualación.

1. Preparado por:
TSU Carlos J Flores M
Cedula 8.349.933
MATRICES

2. DEFINICIÓN DE MATRIZ:
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y
en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Se puede definir
una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en
filas y columnas.
Las matrices se usan generalmente para describir:
Sistemas de ecuaciones lineales.
sistemas de ecuaciones diferenciales.
Representar una aplicación lineal (dada una base).
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que
también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

3. Para designar una matriz se emplean
letras mayúsculas. Cada uno de los
elementos de la matriz (aij) tiene
dos subíndices. El primero i indica la
fila a la que pertenece y el segundo
j la columna.
Esta es una matriz de m filas y n
columnas, es decir, de dimensión m
x n. Esta matriz también se puede
representar de la forma siguiente: A
= (aij) m x n.
Si el número de filas y de columnas
es igual ( m = n ), entonces se dice
que la matriz es de orden n.

4. Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola
columna
Matriz Rectangular
La matriz rectangular tiene distinto
número de filas que de columnas,
siendo su dimensión mxn.
Matriz Cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo
número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii
constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman
los elementos con i+j = n+1.

5. Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son cero
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos
situados por debajo de la diagonal principal son
ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos
situados por encima de la diagonal principal son
ceros.

6. Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos
situados por encima y por debajo de la diagonal
principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la
que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en
la que los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1.

7. Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz
que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las
columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At

8. Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.

9. Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada
que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.

10. Sistemas de Ecuaciones.
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de
dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un
problema matemático consistente en encontrar los valores de las
incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
Sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores
numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el
que se plantean las ecuaciones).
Sistema de ecuaciones diferenciales. Es donde las incógnitas
son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de
antemano.
Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función
que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se
cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En
otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe
hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del
alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

11. Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n
en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal
principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas
son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación
entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

12. A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición
A+B = B+A Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA Regla distributiva
1A = A Unidad escalar
0A = O Cero escalar
A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC Regla distributiva
OA = AO = O Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz
NOTA:
La única regla que está notablemente ausente es la de
conmutatividad del producto entre matrices. El producto
entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en
general

13. Sistema de Ecuaciones:
Llamamos a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las
ecuaciones:
forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
Forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

14. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente
al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo
grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado).
Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también
sistema de ecuaciones cuadráticas.

15. El sistema de Ecuaciones, es de primer grado con dos
incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no
se escribe).
Cuando el sistema d ecuaciones es de primer grado y además
no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas
entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de
ecuaciones lineales.

16. Resolviendo sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes
métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Método de reducción
Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo,
eligiendo un múltiplo común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en
una de las ecuaciones del sistema.

17. Método de igualación.
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una
ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen

18. En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada,
escalonada por filas o que está en forma escalonada si:
1.Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
3.El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la
derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los
elementos debajo de un pivote son cero).1 , es decir, si para cada
fila i, si=min{j/aij<>0}, se verifica que ai,j=0 para toda columna
j<si y que ai+1, j=0 para toda columna j<=si
3.En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna
se dice que es escalonada reducida por filas.

19. MATRIZ INVERSA
En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada
A de orden n se dice que es invertible, no singular, no
degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n,
llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que:
,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es
el producto de matrices usual.
Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada.
Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.