CONSULTA

1. CURSO: MATEMÁTICAS IV
ALUMNOS: MATOS VELA JESÚS ALEXANDER
PLEJO JUIPA JOSE EDUARDO
DOCENTE: MG. ING. HELI MARIANO SANTIAGO
TEMA : INSTALACIÓN ELÉCTRICA CON CIRCUITOS ELÉCTRICOS RLC EN LOS NUEVOS
AMBIENTES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO
VALDIZAN – HUÁNUCO

2. PROBLEMA GENERAL
 ¿Cuál es la carga del capacitador y la corriente resultante en el circuito en un tiempo
t para la instalación eléctrica con circuitos eléctricos RLC en los nuevos ambientes
de la facultad de Ingeniería Civil?
OBJETIVO GENERAL
 Determinar la carga del capacitador y la corriente resultante en el circuito en un
tiempo t para la instalación eléctrica con circuitos eléctricos RLC en los nuevos
ambientes de la Facultad de Ingeniería Civil.
NOMBRE DEL PROYECTO
 INSTALACIÓN ELÉCTRICA CON CIRCUITOS ELÉCTRICOS RLC EN LOS
NUEVOS AMBIENTES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE LA
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN – HUÁNUCO

3. BASES TEÓRICAS
TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
En matemáticas, la transformada de Laplace es una transformada integral que convierte una función de
variable real “t” (normalmente el tiempo) a una función de variable compleja “s”. Tiene muchas
aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales.
En particular, transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la
función F(s) definida por:
𝐹 𝑠 =
0
∞
ⅇ−𝑠𝑡𝑓 𝑡 ⅆ𝑡
Siempre y cuando la integral este definida.
Cuando f(t) es una distribución con una singularidad en 0 entonces la transformada de Laplace
se define como:
𝐹 𝑠 = lim
ⅇ→0 0
∞
ⅇ−𝑠𝑡
𝑓 𝑡 ⅆ𝑡

4. • El uso de MATLAB (un sistema de computación numérica que proporciona un entorno de desarrollo
integrado con un lenguaje de programación propio) facilita el desarrollo de estas ecuaciones, sin
embargo, debido al uso de factores humanos, el proceso puede tener algunas fallas, ya sea por mal
uso, implementación, mala planificación, codificación incorrecta u otros factores, por eso es
importante aprender para el buen funcionamiento de este sistema.
FLUJO DE CARGA
La corriente eléctrica es el flujo de carga eléctrica que atraviesa un material conductor durante un
periodo de tiempo determinado. Se expresa en C/s, culombios por segundo en el Sistema
Internacional de Unidades, y la unidad se conoce como Amperio (A).
El flujo de corriente en el circuito está relacionado con la carga q(t) (medida en coulomb C) mediante
la relación:
i =
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
i: Flujo de corriente eléctrica.
dq/dt: Primera derivada de la carga con respecto al tiempo.

5. LEYES DE KIRCHHOFF
Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la
conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron
descritas por primera vez en 1846 por Gustav Kirchhoff. Son
ampliamente usadas en ingeniería eléctrica e ingeniería electrónica.
PRIMERA LEY: LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFF
Está basada en la ley de la conservación de la carga, lo cual implica
que la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede
cambiar.
∑𝑖𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = ∑𝑖𝑎𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎

6. SEGUNDA LEY: LEY DE VOLTAJE DE KIRCHHOFF
La suma algebraica de las fuerzas electromotrices aplicadas a una
malla es igual a la suma de las caídas de tensión en dicha malla.
∑𝑖𝑖 ∗ 𝑅𝑖 = 0
También puede definirse como la suma de los voltajes alrededor de
una malla es igual a cero.
𝑛
𝑣𝑛 = 0
Donde:
“n”: es el número de voltajes de los componentes en la malla.
También puedes enunciar la ley de voltaje de Kirchhoff de otra manera:
alrededor de una malla, la suma de subidas de voltaje es igual a la suma
de bajadas de voltaje.
∑𝑣𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = ∑𝑣𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑎

7. METODOLOGÍA
ÁMBITO
El lugar donde se realizará la presente investigación es en los nuevos ambientes
de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán, ubicada
en el distrito de Pillco Marca- Huánuco.
NIVEL
La investigación desarrollada es del nivel “Correlacional” debido a que relaciona el
tiempo con la cantidad de carga en el capacitador y la cantidad de corriente resultante
en el circuito.
TIPO
La presente investigación es de tipo “Explorativo” debido a que obtenemos una
idea vaga del tema y tiene un diseño “Correlacional”; ya que relaciona ambas
variables.

8. VARIABLES
VARIABLE DEPENDIENTE
La variable dependiente de la investigación vendría a ser los nuevos
ambientes de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional
Hermilio Valdizán – Huánuco
VARIABLE INDEPENDIENTE
La variable independiente de la investigación vendría a ser los circuitos
eléctricos RLC.

9. PROCEDIMIENTO
Para la presente investigación nos enfocaremos en los circuitos eléctricos RLC para ser
específicos en la relación de la cantidad de carga en el capacitador y la corriente
resultante en el circuito con la variación de un tiempo determinado.
Sabiendo que para la instalación de circuitos eléctricos se realizan una diversidad de
estudios previos de acuerdo a la productividad, eficiencia, seguridad y ahorro de energía
que se nos brindara al usarlo.
Para esta ocasión se decidió tomar el caso de que se realizara una instalación eléctrica
con circuitos eléctricos RLC en los nuevos ambientes de la Facultad de Ingeniería Civil
de la Universidad Nacional Hermilio Valdizán, en ese caso para poder realizar los
cálculos se tomara una pequeña parte del circuito RLC de instalación eléctrica, el cual se
encuentra formado por un resistor R, un capacitador C y un inductor L, los cuales se
encuentran conectados en serie a una fuente de voltaje e(t).
Luego, para poder proceder con la resolución del problema se tomarán datos
iniciales aproximados los cuales son hipotéticos, en ese sentido, antes de cerrar el
interruptor en el tiempo t = 0, tanto la carga en el capacitador como la corriente
resultante en el circuito es cero. Además, se sabe que R = 160ꭥ, L = 1H, C = 10-4F y
e(t) = 20V.

10. Imagen: Circuito RLC extraído
de la instalación eléctrica para el
problema modelo.
Finalmente, con los datos obtenidos se procede a aplicar la Segunda Ley de
Kirchhoff al circuito mostrado anteriormente, luego sustituimos valores y
obtenemos una ecuación diferencial, la cual se resolverá aplicando la
Transformada de Laplace. Luego, aplicando la transformada inversa y haciendo
uso del teorema de traslación obtenemos la carga en el capacitador, así como
también la corriente resultante en el circuito y de esta manera se estaría
determinando la carga q(t) en el capacitador y la corriente resultante i(t) en el
circuito en un tiempo t.

11. SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff al circuito anteriormente mostrado, se tiene,
sabiendo que la segunda Ley de Kirchhoff se define como la suma de los voltajes
alrededor de una malla es igual a cero.
∑𝑣𝑛 = 0
Donde:
“n”: es el número de voltajes de los componentes en la malla.
Pero, como se trata de un circuito cerrado RLC en serie, el cual está conectada a
una fuente de voltaje e(t), entonces:
∑v(t) = ⅇ(t)
𝑣𝑅 𝑡 + 𝑣𝐿(t) + 𝑣𝐶(t) = ⅇ(t)
Sabiendo, que el flujo de corriente i(t) en un circuito está relacionado a la carga q(t)
(medida en coulomb “C”) mediante la relación: 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡

12. Además, las relaciones entre el flujo de corriente i(t) y la caída del voltaje v(t) a
través de los elementos en el tiempo t es:
𝑐𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑣𝑅 = 𝑅𝑖
𝑐𝑎𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑣𝑐 =
1
𝑐
∫ 𝑖 ⅆ𝑡 =
𝑞
𝑐
Usando y reemplazando las anteriores ecuaciones se tiene:
𝑣𝐿 + 𝑣𝑅 + 𝑣𝐶 = ⅇ 𝑡
𝐿
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
+ 𝑅𝑖 +
1
𝐶
∫ 𝑖 ⅆ𝑡 = ⅇ 𝑡
𝐿
ⅆ2𝑞
ⅆ𝑡2
+ 𝑅
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = ⅇ 𝑡
Sustituyendo los valores iniciales dados por el problema para R = 160ꭥ , L =
1H, C = 10−4
F y e(t) = 20V, se obtiene:
ⅆ𝟐
𝒒
ⅆ𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝟎
ⅆ𝒒
ⅆ𝒕
+ 𝟏𝟎−𝟒𝒒 = 𝟐𝟎
Esta es la ecuación diferencial que se deberá resolver.

13. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicando la Transformada de Laplace en ambos lados.
ℒ
ⅆ2
q
ⅆt2
+ 60ℒ
ⅆq
ⅆt
+ 102
ℒ q = 20ℒ 1
Pero, sabemos por la transformada de derivadas que: Si 𝑓, 𝑓′
, … , 𝑓𝑛−1
son continuas en [0,ꝏ> y de orden
exponencial, y si 𝑓𝑛
(𝑡) es continua por tramos en [0,ꝏ>, donde, 𝐹(𝑠)= ℒ {𝑓(𝑡)}, entonces:
ℒ 𝑓𝑛
𝑡 = 𝑠𝑛
𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1
𝑓 0 − 𝑠𝑛−2
𝑓′
0 − ⋯ − 𝑓𝑛−1
0
En ese sentido, evaluando cantidades como ℒ
dy
dt
,ℒ
d2y
dt2 y ℒ
d3y
dt3 se tiene los siguientes casos:
ℒ
dy
dt
= ℒ 𝑓′
𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
ℒ
d2y
dt2 = ℒ 𝑓′′
𝑡 = 𝑠2
𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0 − 𝑓′
0
ℒ
d3y
dt3 = ℒ 𝑓′′′
𝑡 = 𝑠3
𝐹 𝑠 − 𝑠2
𝑓 0 − 𝑠𝑓′
0 − 𝑓′′
0
Luego, reemplazando los casos anteriores con los valores propuestos en el problema se tiene:
S2
Q s − sq 0 − q′
0 + 160 sQ s − q 0 + 104
Q(s) = 20
1
s
S2
Q(s) − sq(0) − q′(0) + 160sQ(s) − 160q(0) + 104
Q(s) =
20
s

14. Donde Q(s) es la transformada de q(t). Donde, según datos iniciales del problema, q(0) = 0, q’(0) = 0 y i(0) =
0, con lo cual la ecuación anterior se reduce simplemente a:
(s2
+ 160s + 104
)Q(s) =
20
s
Por lo tanto,
𝐐 𝐬 =
𝟐𝟎
𝒔 𝐬𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝐬 + 𝟏𝟎𝟒
Haciendo el desarrollo de las fracciones parciales se obtiene:
20
s s2 + 160s + 104
=
A
s
+
Bs + C
s2 + 160s + 104
Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos:
20 = A(s2
+ 160s + 104
) + s(Bs + C)
20 = As2
+ 160As + 104
A + Bs2
+ Cs
20 = A + B s2
+ (160A + C)s + 104
A
Igualando se términos de inmediato se obtiene:A =
20
104 =
1
500
, luego igualamos los coeficientes de 𝑠2
y s a
cero: 𝐴+𝐵=0 y 160𝐴+𝐶=0.
Aplicando el valor de A en la primera ecuación se tiene 𝐵 = −
1
500
, y al usar el valor de A en la segunda ecuación
resulta 𝐶 = −
160
500
. Por lo tanto,
𝑸(𝒔) =
𝟏
𝟓𝟎𝟎𝐬
+
𝟏
𝟓𝟎𝟎
𝐬 + 𝟏𝟔𝟎
𝐬𝟐 + 𝟏𝟔𝟎𝐬 + 𝟏𝟎𝟒

15. Luego, completamos cuadrados y damos forma para aplicar la transformada inversa y el primer teorema de traslación:
𝑄(𝑠) = 1500
1
s
− s + 160s2
+ 160s + 104
𝑄(𝑠) =
1
500
1
s
−
s + 80 +
4
3
60
s + 80 2 + 602
Aplicamos la transformada inversa a ambos lados:
ℒ−1
{Q(s)} =
1
500
ℒ−1
1
s
− ℒ−1
1
s
−
s + 80 +
4
3
60
s + 80 2 + 602
ℒ−1
{Q(s)} =
1
500
ℒ−1
1
s
− ℒ−1
s + 80
s + 80 2 + 602
−
4
3
ℒ−1
60
s + 80 2 + 602
Aplicamos la inversa del primer teorema de traslación:
ℒ−1
{Q(s)} =
1
500
ℒ−1
1
s
− ℒ−1
s
s2 + 602
s→s+80
−
4
3
ℒ−1
s
s2 + 602
s→s+80
Resolviendo se obtiene:
𝐪(𝐭) =
𝟏
𝟓𝟎𝟎
𝟏 − 𝐞−𝟖𝟎𝐭
𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎𝐭 −
𝟒
𝟑
𝐞−𝟖𝟎𝐭
𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎𝐭
Finalmente, la corriente resultante en el circuito i(t) está dado por:
𝒊 𝐭 =
𝐝𝒒
𝐝𝒕
=
𝟏
𝟑
𝐞−𝟖𝟎𝐭
𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎𝐭

16. INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:
La carga en el capacitador es: q(t) =
1
500
1 − ⅇ−80tcos60t −
4
3
ⅇ−80tsⅇn60t
La corriente resultante es: 𝑖 t =
d𝑞
d𝑡
=
1
3
ⅇ−80tsⅇn60t
Las ecuaciones q(t) y i(t) son las soluciones al problema planteado, las
cuales representan la carga en el capacitador y la corriente eléctrica que
circula por el circuito en un tiempo t.
Luego, para la verificación, credibilidad y validación del procedimiento y
resultados se hará uso del programa software Matlab. Para esto se hará uso
del siguiente diagrama de flujo.

17. DIAGRAMA DE FLUJO

18. DIAGRAMA DE FLUJO

19. DIAGRAMA DE FLUJO

20. PROGRAMA CREADO EN CÓDIGOS

21. DESARROLLO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

22. DESARROLLO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA.

23. COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
El modelo planteado en presente proyecto de investigación fue resuelto
manualmente y con la ayuda del software Matlab.

24. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS
TÉCNICAS
La técnica empleada en el presente proyecto ha sido la observación y
la recopilación de datos con fuentes de información para poder encontrar
la carga en el capacitador y la corriente resultante en el circuito en el
tiempo t.
INSTRUMENTOS
Los instrumentos empleados para la elaboración del proyecto fueron
páginas web, material multimedia y algunas bibliografías sobre circuitos
eléctricos, leyes de Kirchhoff, ecuaciones diferenciales y la transformada
de Laplace.

25. CONCLUSIONES
Con los datos obtenidos se concluye que la carga del capacitador en
el circuito en un tiempo t es,
𝐪(𝐭) =
𝟏
𝟓𝟎𝟎
𝟏 − 𝐞−𝟖𝟎𝐭𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎𝐭 −
𝟒
𝟑
𝐞−𝟖𝟎𝐭𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎𝐭
Y la corriente resultante en el circuito en un tiempo t es,
𝒊 𝐭 =
𝐝𝒒
𝐝𝒕
=
𝟏
𝟑
𝐞−𝟖𝟎𝐭𝐬𝐞𝐧𝟔𝟎𝐭
Los cuales permitirán la correcta instalación eléctrica con circuitos
eléctricos RLC en los nuevos ambientes de la Facultad de Ingeniería
Civil.

26. RECOMENDACIONES
Se recomienda utilizar las transformadas de Laplace ya que
permiten resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes (presentes en los planteos de
circuitos eléctricos) de manera rápida, mecánica, simple y
sencilla. Además, la solución obtenida es completa, es decir,
solución transitoria y estacionaria (mientras el circuito se
establece y una vez establecido).