El documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo sumas, restas, multiplicación, división y productos notables de expresiones algebraicas. Explica cómo realizar operaciones con variables y coeficientes, evaluar expresiones sustituyendo valores, y factorizar expresiones usando productos notables como el cuadrado de una suma o diferencia.
la presente guía la realice con la intención de poder brindar un poco de información acerca de los principios del álgebra y esta destinado mas que nada aquellos que cursan la secundaria o el bachillerato.
podrán encontrar una sencilla clasificación de los números reales
productos notables(binomios conjugados,binomios al cuadrado, binomios a cubo y como desarrollar un binomio con el triangulo de pascal)
también aborde el tema de factorizacion en sus diferentes formas y la simplificación de fracciones algebraicas.
la intención es poder dar un a sencilla explicación sin abordar demasiado en el tema y con sencillos ejemplos; y que de ninguna manera trata de suplir el trabajo de los profesores en el aula de clases. espero sea de su agrado y comenten.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
la presente guía la realice con la intención de poder brindar un poco de información acerca de los principios del álgebra y esta destinado mas que nada aquellos que cursan la secundaria o el bachillerato.
podrán encontrar una sencilla clasificación de los números reales
productos notables(binomios conjugados,binomios al cuadrado, binomios a cubo y como desarrollar un binomio con el triangulo de pascal)
también aborde el tema de factorizacion en sus diferentes formas y la simplificación de fracciones algebraicas.
la intención es poder dar un a sencilla explicación sin abordar demasiado en el tema y con sencillos ejemplos; y que de ninguna manera trata de suplir el trabajo de los profesores en el aula de clases. espero sea de su agrado y comenten.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Y PRODUCTOS NOTABLE
Autores: María Alejandra Castillo Figueroa
Carlen Xarien Pirela Silva
Sección: C00133
Carrera: Contaduría
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Llamamos expresiones algebraicas aquellas expresiones donde
encontramos variables denotadas generalmente por letras y
coeficientes , con las cuales se puede realizar diversas operaciones
matemáticas como suma, resta, multiplicación, división, Etc.
3. SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Consiste en una sucesión de sumas y
resta de términos semejantes, para ello
se ordenan los polinomios en una
columna tal que las columnas de cada
monomio tenga su propio termino
semejante
Ejemplo: Suma los siguientes polinomios
2xy2 + 4y2w +5xyz , 3xyz – 4xy2 y y2w – 7xy2 =
Ordenamos:
+2xy2 + 4y2w + 5xyz
-4xy2 _ + 3xyz
+7xy2 + y2w – xyz
+5xy2 + 5y2w + 7xyz
4. VALOR NUMÉRICO DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Consiste en sustituir las letras de una expresión algebraica
por los valores que nos dan y luego de resolver las
operaciones, el resultado que se obtiene en el valor
numérico.
Por Ejemplo: P(x)= 2x3 + 5x – 3, si x=2
P(2) = 2(2)3 + 5(2) – 3
P(2) = 2 . 8 + 5 . 2 – 3
P(2) = 16 + 10 – 3
P(2) = 26 – 3
P(2) = 23
5. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
La multiplicación de dos expresiones es otra
expresión algebraica, que se obtiene de un
producto entre dos factores algebraicos
llamados multiplicando y multiplicador . Por
ejemplo multiplicar los siguientes polinomios
por el método horizontal: (x+3) (x+4).
= xx + 4x + 3x + 12
= X2 + 7x + 12
Multiplicar los siguiente polinomios por el
método vertical: X2 + 5x + 7, 4x2 +3x +2
Ordenando por términos semejantes en
columnas y multiplicando tenemos:
X2 + 5x + 7
4x2 + 3x + 2
4x4 + 20x3 + 28x2
3x3 + 15x2 + 21x
2x2 + 10x + 14
4x2 + 23x3 + 45x2 + 31x +14
6. DIVISIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
La división entre dos expresiones
algebraicas llamadas dividendo y divisor
para obtener otra expresión llamada
cociente por medio de un algoritmo.
Ejemplo: dividir los siguientes polinomios: 28x2 – 11xy –
15y2 entre 4x – 5y
Solución: 28x2 – 11xy – 15y2
4x – 5y / 7x + 6y
-28x2 + 35 xy
+ 24xy – 15y2
-24xy + 30y2
15y2
Resultados: cociente q= -7x-6y y el residuo r= 15y2
Nota: los productos del cociente por división cambia de
signo al pasarlos al dividendo a restar o sumar
7. PRODUCTO
NOTABLE
Los productos notables son expresiones algebraicas que
vienen de un producto que conocemos, que sigue reglas
fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simples
inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Se clasifica
en:
1. Cuadrado de una suma o diferencia (binomio al cuadrado)
2. Suma por su diferencia
3. Trinomio al cuadrado
4. Cubo de una suma (binomio al cubo suma)
5. Cubo de una resta (binomio al cubo resta)
6. Producto de dos binomios que tienen un termino común.
8. 1. CUADRADO DE UNA SUMA (BINOMIO AL CUADRADO)
(a + b2) = (a + b) . (a + b)=
Para resolver este producto notable se debe multiplicar:
Ejemplo: (x + 10)2= x2 + 20x +100
(7a + 5x)2= 49a2 +70ax + 25x2
Cuadrado de una diferencia (binomio al cuadrado
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) =
a.a + (a) – (b) + (-b) . a + (-b) . (-b)
a2 – 2ab + b2
Ejemplo: (x – 10)2= x2 – 20x + 100
9. PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA
(BINOMIO CONJUGADO)
(a + b).(a – b) en este caso la multiplicación es:
a.a+ a (b-) + b.a + b (b-) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
Por lo tanto tenemos que: (a + b).(a – b) = a2 – b2
La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustento
Ejemplo: (5a + 3a2).(3a2 – 5a) = (3a2)2 – (5a)2 = 9a4 -25a2
10. TRINOMIO: MULTIPLICACIÓN DE
TRINOMIOS
(a + b + c).(a + b – c): este caso se transforma en la suma de
dos cantidades multiplicadas por su diferencia:
(a + b) + c . (a + b) – c = (a + b)2 – c 2
a2 + 2ab + b2 – c2
La regla de este tipo de trinomio con un tercer termino con
signo diferente (-c) es el cuadrado del primer término a2, más
dos veces el primero por el segundo 2ab, más el cuadrado del
segundo término b2, menos el cuadrado del tercero.
Ejemplo: (x + y – 2) . (x + y + 2) = (x + y) – 2 . (x + y) + 2
= (x + y)2 – 22 = x2 + 2xy + y2 – 4
(a + b + c) . ( a – b –c) : en este caso se realiza los
siguientes
Los términos negativos del trinomio se agrupan en
paréntesis con el signo negativo adelante, por lo que
estos términos negativos pasan a ser positivos
Luego el trinomio de las sumas se agrupan los mismos
términos
(a – b – c) . (a + b + c ) = a – (b + c) . a + (b + c) =
= a2 – (b + c) = a2 – 2bc + c = a2 – b2 – 2bc – c2
Ejemplo: (x + y + z) . (x – y – z) = x2 – y2 – 2yz – z2
Un trinomio de la formación (a+b+c) (a-b-c) es igual a el
cuadrado del primer término, menos el cuadrado del
segundo, menos el doble del segundo por el tercer
término, menos el cuadrado del tercero
11. Cubo de una Suma
(Binomio al Cubo)
(a + b)3 en el cubo de un binomio tenemos
Por regla queda que (a + b)3 es igual al cubo del
primero, más el triple del cuadrado del primero
por el segundo más el triple del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo
término.
Cubo de una Resta
(Diferencia de binomio al cubo)
(a + b)3 En este caso tenemos
12. PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN
UN TERMINO COMÚN
(X + A) (X + B)
(X – A) (X – B)
(X + A) (X – B)
Primer caso: (x+a)(x+b) = (x)(x) + (x)(b) + (a)(x) + (a)(b)
= x2 + (a+b) x + ab
Segundó caso: (x-a)(x-b) = (x)(x) + (x)(-b) +(-a)(x) + (-a)(-b)
= x2 – (a+b) x + ab
Tercer caso : (x+a)(x-b) = (x)(x) + xb + (-a)x + (-a)(b)
= x2 + (-a+b) x – ab
13. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTO
NOTABLE
Es un proceso que consiste en expresar una suma o diferencia de
términos como el producto de dos o más factores
Factorización por factor común: usualmente entre polinomios que
comparten al menos una variable o un factor en los coeficientes:
Ejemplo: 24x8 – 16x6 y7 z3
Encontramos el mayor factor común entre 24 y 16, el cual es 8,
igualmente encontramos variables comunes, ellas son X y Y y las
potencias de X y Y . (6 y 3)
Encontramos el mayor factor común entre 24x8-16x6 y7 z3 el mayor
factor común entre 24 y 16, el cual es 8, igualmente encontramos
variables comunes, ellas son (X y Y) y las potencias de X y Y. (6 y 3). Así
tenemos:
8x6 y3 24x8 y3 = 3x2 y 16x6 y7 z = 2y4 z3
8x6 y3 8x6 y3
24x6 y3 = 8x6 y3. (3x2) y 16x6 z3 = 8X6 y3. (2y4 z3)
Sacamos el factor común y nos queda:
24X8 y3-16x6 y7 z3= 8x6 y3. (3x2-2y4 z3)
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Sea: ax2 + bx + c y se cumple que ax2 y c tienen raíces
cuadradas exactas, tales que al multiplicar ambos
resultados y duplicarlo, se obtiene el término medio.
Ejemplo: 4a2 – 12a + 9 √4a2 = 2 a
√9 = 3
Entonces : 2(2a.3) = 2.(6) = 12a
4a2 – 12a + 9 = (2a-3)2