Factory Physics Parte 8

Variabilidad
- Introducción:
Qué es variabilidad?
* Cualquier desviación de cierta uniformidad bajo estudio.
Cuál es la diferencia entre:
Variación Controlable vs. Variación Aleatoria?
Ejemplos:
Variación Controlable Variación Aleatoria
-Tamaño de Lote -Cantidad Pedida
-Temperatura de Proceso -Tiempo entre Fallas (MTTF)
-Secuencia de Producción -Calidad de una Materia Prima

Variabilidad
- Introducción:
Cuáles pueden ser las causas de la aleatoriedad?
* Interpretación No.1: La aleatoriedad ocurre por falta de información o
por información imperfecta.
* Interpretación No.2: El comportamiento del universo es aleatoriedad.
Aunque contáramos con una descripción completa del universo y de
todas las leyes físicas que lo definen, esto no seria suficiente para
predecir el futuro. Si mucho nos daría unas estimaciones estadísticas
de un posible futuro/comportamiento.
Independientemente de las dos interpretaciones, los efectos son los mismos
en el día a día, son inherentemente impredecibles.
Lo anterior no quiere decir que debemos olvidarnos de la gestión de una
planta, mas bien debemos dedicarnos en diseñar procesos robustos y no
quedarnos estancados buscando procesos óptimos.
Entonces, cuál es la diferencia entre:
Procesos Robustos vs. Procesos Óptimos?

Variabilidad
- Introducción:
Entonces, para poder diseñar dichos procesos robustos y efectivos en un
entorno aleatorio el individuo debe poseer una buena intuición probabilística.
Solo así se podrá medir, entender y administrar (apalancar) la variabilidad en
un sistema de manufactura. Dando como resultado una gestión efectiva del
mismo.

Variabilidad
- Intuición Probabilística:
La intuición juega un papel importante en nuestro día a día, la utilizamos de
una manera u otra para tomar todo tipo de decisiones. Desde la forma como
conducimos hasta la forma como avisamos nuestras intenciones de asistir a la
fiesta de fin de año.
En la mayoría de los casos nuestra intuición es buena cuando se basa en
efectos de primer orden (primer momento). Pero las cosas no son tan claras
cuando basamos nuestra intuición en efectos de segundo orden (segundo
momento).
Entonces, cuál es la diferencia entre:
Primer Momento vs. Segundo Momento?
Ejemplos:
Primer Momento Segundo Momento
-TH aumenta con la velocidad de una maquina. -Cuál es mas variable, tiempos de procesamiento
de una pieza o de un lote?
-TH aumenta con la disponibilidad de una
maquina.
-Cuál es mas perjudicial, paradas largas e
infrecuentes o cortas y frecuentes?
-WIP aumenta con el tamaño de lote. -Cuál brinda el mejor desempeño, reducir tiempos
de procesamiento al comienzo o al final de la
línea?

Variabilidad
La variable aleatoria de interés primario para Factory Physics es el Tiempo
Efectivo de Procesamiento de un trabajo en una estación.
-Tiempo de Procesamiento
-Tiempo de Alistamiento
-Tiempo de Reparación
-Tiempo de Reproceso
-Otros tiempos
La suma de estos tiempos
nos da el Tiempo Efectivo
de Procesamiento.
Estación 1 Estación 2
¿Por qué?
Son los tiempos que causan que la Estación 2 no pueda iniciar su tarea.
- Variabilidad en el Tiempo de Proceso:

Variabilidad
- Medidas y clases de Variabilidad:
-Medidas de Variabilidad Absoluta:
Varianza Desviación Estándar
-Medidas de Variabilidad Relativa:
Coeficiente de Variación al Cuadrado(SCV) Coeficiente de Variación(CV)
 
2
12
1



n
tt
s
n
i
i  
2
1
1



n
tt
s
n
i
i
t
c

2
2
2
t
c


Entendieron el ejemplo del Libro?

Variabilidad
- Variabilidad Baja y Moderada:
La mayoría de los tiempos de procesos reales pueden ser representados por
distribuciones que tienen una forma de campana. En estos casos el CV tiende
a ser inferior a 0.75. Por lo tanto la variabilidad se puede clasificar en baja,
moderada y alta.
Clase de Variabilidad CV Ejemplo
Baja (VB) c < 0.75 Tiempos de procesamientos sin
faltantes.
Moderada (VM) 0.75 ≤ c < 1.33 Tiempos de procesamientos con
ajustes menores (alistamientos).
Alta (VA) c ≥ 1.33 Tiempos de procesamientos con
ajustes mayores (reparaciones).

Variabilidad
- Variabilidad Baja y Moderada:
Tiempo de Proceso Tiempo de Proceso
DensidaddeProbabilidad
DensidaddeProbabilidad
20 20
Distribución de Variabilidad Baja
Distribución de Variabilidad Baja
Distribución de Variabilidad
Moderada
Qué efectos tiene un tiempo de procesamiento con una variabilidad moderada
en una línea de producción?
- Variabilidad Alta:

Variabilidad
- Causas de Variabilidad :
Incluyen:
- Variabilidad Natural del proceso causada por cambio de operarios, maquinas
y materiales.
- Fallas aleatorios.
- Alistamientos.
- Disponibilidad de mano de obra.
- Reproceso.
Variabilidad Natural:
La mayoría de los sistemas tienen una VB (c0 < 0.75) asociada a sus tiempos
de procesamiento.
o
o
o
t
c


Desviación estándar del tiempo natural
del proceso.
Tiempo promedio natural del proceso.

Variabilidad
Variabilidad por fallas (Interrupciones Dominantes):
Este tipo de fallas sucede aunque queramos o no, inclusive durante el mismo
procesamiento de una pieza. Otros ejemplos incluyen, apagones o falta de un
consumible necesario para el proceso. Obviamente, en esta categoría se incluye
información de MTTF y MTTR.
Entonces, para el calculo del tiempo efectivo de proceso debemos tener en
cuenta la disponibilidad (Availability) del recurso bajo estudio. Esta disponibilidad
se determina de la siguiente manera:
rf
f
mm
m
A


Tiempo el recurso esta disponible para
procesar.
Tiempo el recurso esta en reparación.

Variabilidad
Ahora es necesario tener en cuenta la disponibilidad para calcular el tiempo de
procesamiento efectivo promedio, este esta dado por:
A
t
t
o
e 
Tiempo natural de proceso.
Disponibilidad.
La capacidad efectiva esta dada por:
o
oe
e Ar
t
m
A
t
m
r 
Capacidad
Natural.
Numero de maquinas.

Variabilidad
   
o
r
ro
e
e
e
t
m
AAcc
t
c  11 22
2
2
2 
CV de los tiempos de reparación.
El coeficiente de variación efectivo al cuadrado (SCV) esta dado por:
La varianza del tiempo efectivo de procesamiento esta dada por:
  
r
orro
e
Am
tAm
A








122
2
2


Varianza de los tiempos de reparación.

Variabilidad
El coeficiente de variación efectivo al cuadrado (SCV) esta dado por:
   
o
r
r
o
r
oe
t
m
AAc
t
m
AAcc  11 222
Variabilidad
natural del
proceso
Fallas Aleatorias, existiría aun si las
fallas fueran constantes
Componente totalmente dependiente
de la variabilidad en los tiempos de
reparación.

Variabilidad
Consideremos un ejemplo para entender el efecto de fallas sobre la variabilidad
de una maquina. En este caso tanto la maquina Tortuga como la Liebre tienen un
tiempo de proceso natural promedio To = 15 minutos y una desviación estándar
natural σo = 3.35 minutos. Por lo tanto ambas maquinas tienen una SCV = 0.05.
Ambas maquinas tienen una disponibilidad a largo plazo igual a 0.75%. Sin
embargo, en la maquina Liebre se presentan fallas de larga duración e
infrecuentes, mientras que en la maquine Tortuga se presentan fallas cortas y
frecuentes. Específicamente, el MTTF en la Liebre es de 744 minutos y el MTTR
de 248 minutos. En el caso de la Tortuga el MTTF es de 114 minutos y el MTTR de
38 minutos. Finalmente, supongamos que los tiempos de reparación son variable
y tienen un CV = 1.0, ósea una variabilidad moderada.
Entonces, debemos determinar el CV del tiempo efectivo de proceso.

Variabilidad
Ejemplo del texto (pagina 256):
Liebre Tortuga
to 15 minutos 15 minutos
σo 3.35 minutos 3.35 minutos
mf 744 minutos 114 minutos
mr 248 minutos 38 minutos
cr 1.0 1.0
co ? ?
A ? ?
te ? ?
re ? ?
ce ? ?

Variabilidad
Liebre Tortuga
to 15 minutos 15 minutos
σo 3.35 minutos 3.35 minutos
mf 744 minutos 114 minutos
mr 248 minutos 38 minutos
cr 1.0 1.0
co 0.05 0.05
A 0.75 0.75
te 20 minutos 20 minutos
re 3 trabajos/hora 3 trabajos/hora
ce 2.5 1.0
Conclusiones: ?

Variabilidad
Variabilidad por fallas (Interrupciones No-Dominantes):
Este tipo de fallas tienen que suceder pero en este caso se tiene mas control
sobre cuando se llevan acabo. En este caso se puede terminar de procesar el
trabajo actual para luego detener la maquina. Ejemplos incluyen, alistamientos,
mantenimiento preventivo, descansos y cambio de turnos.
Bajo estas condiciones utilizamos las siguientes ecuaciones para determinar la
media, varianza y el coeficiente de varianza al cuadrado para el tiempo de
procesamiento efectivo:
El tiempo de procesamiento efectivo promedio, este esta dado por:
s
s
oe
N
t
tt 
Tiempo de alistamiento promedio.
Numero promedio de piezas
procesadas entre alistamientos.Tiempo natural de proceso promedio.

Variabilidad
2
2
2
e
e
e
t
c


El coeficiente de variación al cuadrado (SCV) esta dado por:
La varianza del tiempo de procesamiento efectivo esta dada por:
2
2
2 12
2
s
s
s
s
s
oe t
N
N
N




Varianza de los tiempos de alistamiento.

Variabilidad
Ejemplo del texto:
Maquina No.1 Maquina No.2
Flexible/Sin Alistamiento ----
to 1.2 horas 1.0 horas
CV(co) 0.5 0.25
Ns ---- 10 unidades
ts ---- 2 horas
CV(cs) ---- 0.25
re ? ?
ce ? ?
Qué maquina es menos variable?

Variabilidad
Ejemplo del texto:
Maquina No.1 Maquina No.2
Flexible/Sin Alistamiento ----
to 1.2 horas 1.0 horas
CV(co) 0.5 0.25
Ns ---- 10 unidades
ts ---- 2 horas
CV(cs) ---- 0.25
re 0.8333 0.8333
ce 0.50 0.5575
Qué maquina es menos variable?

Variabilidad
Variabilidad por reproceso:
Qué tiene en común la variabilidad causada por fallas y alistamientos con la
variabilidad causada por reproceso?
Las tres causas reducen la capacidad efectiva de un recurso.
Por lo tanto, mas reproceso implica mayor variabilidad y mas variabilidad causa
mas congestión, mas WIP y mayores tiempos de ciclo. Lo anterior combinado con
la perdida de capacidad hacen que el reproceso se considere como un verdadero
problema.

Variabilidad
Resumen de las formulas para determinar los parámetros Tiempo Efectivo de
Procesamiento:
Situación Natural Fallas (AP) Fallas (BP)
Ejemplos Recurso Confiable Fallas Aleatorias Alistamientos
Parámetros
2
2
e
e
t
2
ec
et
2
e
ot
2
, oo ct(básicas)
(básicas mas) (básicas mas)
2
,, rrf cmm 2
,, sss ctN
rf
fo
mm
m
A
A
t

,
2
oc
22
oo ct   
r
orro
Am
tAm
A


1222
2

   
o
r
ro
t
m
AAcc  11 22
s
s
o
N
t
t 
2
2
2 12
s
s
s
s
s
o t
N
N
N




Qué seria varianza apilada (Stacked Variance)?

Variabilidad
- Variabilidad en el Flujo:
En lo visto hasta ahora se ha estudiado la variabilidad en una estación aislada,
sin embargo en la vida real una línea de producción esta compuesta de varias
estaciones. Por esta razón es importante estudiar y entender la relación entre
estaciones, lo cual nos conduce a otro tipo de variabilidad. Esta se denomina
variabilidad en el flujo.
El primer elemento a tener en cuenta es la tasa de llegada (arrival rate), medido
en trabajos por unidad de tiempo. Para mayor consistencia las unidades de la
tasa de llegada deben ser las mismas de la capacidad de la estación bajo
estudio. Así como una estación se caracteriza por su tiempo promedio de
proceso te, o su capacidad efectiva re la llegada a una estación también se
puede caracterizar por el tiempo promedio entre llegadas.
Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:
a
a
t
r
1

Tasa de llegada.
Tiempo promedio entre llegadas.

Variabilidad
Para que una estación no se recargue de trabajo la siguiente relación se debe
cumplir:
ae rr 
Capacidad Efectiva.
Tasa promedia entre llegadas.
Así como existe variabilidad en el tiempo de proceso también lo hay en el
tiempo entre llegadas y se define de la misma manera que en el primer caso:
a
a
a
t
c


Desviación estándar de los tiempos
entre llegadas.
Tiempo promedio
entre llegadas.
Intuitivamente, un CV bajo implica llegadas regulares y espaciadas igualmente,
mientras un CV alto implica llegadas irregulares y con picos. (Figura 8.5)

Variabilidad
El siguiente elemento a tener en cuenta para entender la variabilidad del flujo
es la caracterización de las salidas de una estación. Para esto haremos uso de
medidas similares a las usadas para describir las llegadas, específicamente el
tiempo promedio entre salidas (td) y la tasa de salidas (departure rate).
Las dos medidas anteriores son el inverso del otro, así:
d
d
t
r
1

Tasa de salidas.
Tiempo promedio entre salidas.
El coeficiente de variación correspondiente a las salidas esta representado por
cd.

Variabilidad
Es importante considerar la siguiente condición, en una línea de producción en
serie la salida de una estación i es la llegada de la siguiente estación i+1.
Entonces la tasa de salida de i debe ser igual a la tasa de llegada de i+1, así:
)()1( ii da tt 
Tiempo promedio entre llegadas de la estación i+1.
Por supuesto, en una línea de producción en serie sin mermas o reproceso la
tasa de llegada de cada estación es igual al TH de la línea. Adicionalmente, en
una línea serial donde las salidas de i son las llegadas de i+1, el CV de salida
de la estación i es igual al CV de llegada de la estación i+1. Así:
Tiempo promedio entre salidas de la estación i.
)()1( ii da cc 
Coeficiente de Variación de llegadas de la estación i+1.
Coeficiente de Variación de salidas de la estación i.

Variabilidad
Gráficamente, los conceptos anteriores se pueden ver de la siguiente manera:
Estación i
Estación
(i+1)
)(iar
)(iac
)(ier
)(iec
)1()(  ii ad cc
)1()(  ii ad rr
)1( ier
)1( iec
Tasas:
CVs:

Variabilidad
Finalmente, es necesario determinar como caracterizar la variabilidad de salidas
de una estación a partir de la información existente de la variabilidad de llegada
y del tiempo de proceso.
Para lograr lo anterior se debe tener en cuenta la contribución relativa de ambos
factores en la utilización de la estación bajo estudio. Recordemos que la
utilización de una estación es la fracción de tiempo que está esta ocupada en el
largo plazo. Formalmente se define así:
m
tr
u
ea ))((

Corresponde al numero de maquinas idénticas
que compone la estación.
A medida que u se acerca a 1, esto quiere decir que la estación casi siempre
esta ocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dicha
estación sea igual al CV del tiempo de proceso. Así:
ed cc 

Variabilidad
El otro extremo, cuando u se acerca a 0, implica que la estación casi siempre
esta desocupada. Por lo tanto se puede esperar que el CV de salida de dicha
estación sea igual al CV de llegada. Así:
ad cc 
Para interpolar entre los dos extremos anteriores se puede utilizar la siguiente
ecuación:
Observe que cuando u=1, se obtiene cd
2 = ce
2. Igualmente, cuando u=0, se
obtiene cd
2 = ca
2.
  22222
1 aed cucuc 
Para determinar cd
2 cuando hay mas de una maquina por estación, entonces:
    1111 2
2
222
 ead c
m
u
cuc

Variabilidad
En este momento es importante considerar el concepto de propagación de la
variabilidad.
HV
HV
LV
LV LV
LVLV
LV
HV
HV HV
HV
Caso 1: Estación con Alta Utilización
Qué podemos concluir?
La variabilidad en el flujo que sale de una estación de alta utilización esta
determinado primordialmente por la variabilidad en el proceso de dicha estación.

Variabilidad
En este momento es importante considerar el concepto de propagación de la
variabilidad.
HV
HV
LV
LV HV
LVLV
LV
HV
HV HV
LV
Caso 2: Estación con Baja Utilización
Qué podemos concluir?
La variabilidad en el flujo que sale de una estación de baja utilización esta
determinado primordialmente por la variabilidad que entra a dicha estación.

Variabilidad
- Propagación de la Variabilidad:
Estación 1
(LV/HV)
Estación 1
(LV/HV)
Estación 1
(LV/HV)
Estación 1
(LV/HV)
Estación 2
(LV/HV)
Estación 2
(LV/HV)
Estación 2
(LV/HV)
Estación 2
(LV/HV)
Estación 3
(LV/HV)
Estación 3
(LV/HV)
Estación 3
(LV/HV)
Estación 3
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
Materiales
(LV/HV)
PT PT PT PT
JIT1 JIT2 JIT3 JIT4

Variabilidad
- Interacciones dentro de la Variabilidad “Colas”
Hasta el momento hemos considerado la variabilidad en los tiempos de
procesamiento y en el flujo, ahora entenderemos como estos caracterizan y
afectan la variabilidad de una línea de producción. Específicamente, nos
interesa evaluar el impacto de estos tipos de variabilidad sobre los principales
indicadores de desempeño de una línea cualquiera, siendo estos; WIP, CT y TH.
Pero antes, es importante resaltar que el tiempo efectivo de procesamiento solo
representa una fracción pequeña del tiempo de ciclo total dentro de una planta
y que el tiempo restante es causado por que el trabajo debe esperar a algún
recurso (estación de trabajo, equipo de transferencia, un operario, etc.).
Por esta razón Factory Physics dedica tanto esfuerzo en entender las causas
que generan esta espera. Solo después de entender esta causas podemos
entrar a proponer maneras de mejorar el desempeño del sistema.
La ciencia que estudia la espera en un sistema se conoce como la Teoría de
Colas. Un sistema de colas tiene en cuenta todo lo visto hasta el momento; un
proceso de llegadas, un proceso de “servicio” y una cola. Los procesos de
llegada pueden ser constantes o aleatorios. Las estaciones pueden estar
compuestas por una o varias maquinas en paralelo, las cuales pueden tener
tiempos de procesamiento constantes o aleatorios. Finalmente, la cola se
puede comportar FIFO, LIFO o ser administrada mediante algunas de las reglas
de secuenciamiento conocidas tales como EDD, SPT.

Variabilidad
- Teoría de Colas:
• ra: tasa de llegadas, especificada en trabajos por unidad de tiempo. En una línea sin
reproceso, ra es igual a TH de cada estación.
• Ta: tiempo promedio entre llegadas. Igual a 1/ra.
• ca: CV de llegada.
• m: numero de maquinas en paralelo en una estación.
• b: tamaño del buffer (máximo numero de trabajos permitidos en el sistema).
• te: tiempo efectivo promedio de proceso. Capacidad efectiva de una estación es re = m/te.
• ce: CV del tiempo efectivo de proceso.
Nomenclatura
Medidas de desempeño:
• pn: probabilidad que haya n trabajos en una estación.
• CTq: tiempo de espera en cola.
• CT: tiempo esperado en la estación (tiempo en cola mas tiempo de proceso).
• WIP: nivel promedio de WIP (trabajos) en la estación.
• WIPq: WIP (trabajos) esperados en cola.

Variabilidad
- Teoría de Colas:
Finalmente, utilizaremos la nomenclatura de Kendell para caracterizar un
sistemas de colas. Esta hace uso de 4 parámetros, siendo estos:
A/B/m/b
Donde A describe la distribución de tiempos entre llegadas. B describe la
distribución de tiempos de proceso. m el numero de maquinas que conforman
la estación y b es el numero máximo de trabajos permitidos en el sistema.
En general los parámetros A y B pueden asumir cualquiera de los siguientes
valores:
• D: distribución constante (deterministica).
• M: distribución exponencial (Markoviana).
• G: distribución completamente general (normal, uniforme).
Por lo general se asumen valores grandes para la cola (b), en cuyo caso la
nomenclatura queda:
A/B/m

Variabilidad
- Teoría de Colas:
Relaciones Fundamentales:
Antes de entrar a analizar cualquier sistema de colas es necesario anotar que
algunas relaciones se mantiene en un sistema compuesto por una estación
única. Estas son:
m
tr
r
r
u
ea
e
a ))((

Utilización
Tasa de llegada
Tasa Efectiva.
Tiempo esperado en la estación
eq tCTCT 
Tiempo de espera esperado en cola.
Tiempo efectivo promedio de proceso.

Variabilidad
- Teoría de Colas:
Relaciones Fundamentales:
WIP en la estación (aplicando la Ley de Little)
CTTHWIP 
Throughput de la estación.
Tiempo de ciclo de la estación.
WIP en la cola (aplicando la Ley de Little)
qaq CTrWIP 
tiempo de espera esperado en cola.
Tasa de llegada

Variabilidad
Este modelo asume los tiempos entre llegadas es exponencial, que esta compuesto
por una sola maquina y que esta tiene un tiempo de proceso exponencial. La cola
se comporta como PEPS y tiene un espacio ilimitado para trabajos en espera.
Dado que este modelo es el mas sencillo, su verdadera contribución esta en
entender que información se requiere para caracterizar el mismo. Como los
tiempos entre llegadas y de proceso son exponencial, solamente necesitamos las
medias. Entonces:
- Teoría de Colas – Caso M/M/1:
at
a
a
t
r
1

et
e
e
t
r
1

Tiempo promedio entre llegadas Tiempo efectivo promedio de proceso
Tasa de llegadas Tasa efectiva

Variabilidad
Fuera de lo anterior, la única otra información que necesitamos seria el numero de
trabajos en el sistema. Como ambos tiempos anteriores son exponenciales, el
tiempo desde la ultima llegada y el tiempo que el trabajo actual lleva en proceso
son irrelevantes. Entonces, el estado del sistema se puede expresar como un solo
numero n, que representa el numero de trabajos en el sistema. Con esta
información se puede caracterizar el desempeño a largo plazo del sistema (CT, WIP,
CTq y WIPq).
u
u
MMWIP


1
)1//(
Medidas de desempeño para M/M/1:
WIP Utilización

Variabilidad
u
t
r
MMWIP
MMCT
e
a 

1
)1//(
)1//(
CT (a partir de la Ley de Little)
Tiempo efectivo promedio de proceso
CTq (a partir de la relaciones fundamentales)
u
ut
tMMCTMMCT
e
eq


1
)1//()1//(

Variabilidad
u
u
rMMCTMMWIP aqq


1
)1//()1//(
2
WIPq (a partir de la Ley de Little)
Tasa de llegada, igual a TH
Conclusiones:
• WIP,CT, CTq y WIPq aumentan a medida que u aumenta. Por esta razón sistemas ocupados
tienden a demuestran mayor congestión que sistemas desocupados..
• Manteniendo u fijo, CT y CTq aumentan en términos de te. Por lo tanto maquinas lentas
causan mas tiempo de espera.
• Finalmente, observen que estas medidas implican congestión y todas tienen en el
denominador el termino 1-u, lo que tiene como consecuencias que a medida que u se
aproxima a 100 % la congestión aumenta en forma no lineal.

Variabilidad
Ejemplo (pag. 269):
Recordemos el caso de la Tortuga, donde el tiempo entre llegadas era de 2.875
trabajos por hora. Ahora supongamos que los tiempos entre llegadas están
distribuidos exponencialmente (puede ser el caso cuando los trabajos llegan de
diferentes fuentes). En el caso anterior, la tasa de efectiva era de 3 trabajos por
hora y el CV correspondiente era de 1.0.
Determinen las medidas de desempeño correspondientes al sistema bajo estudio.

Variabilidad
- Teoría de Colas – Caso G/G/1:
CTq (ecuación VUT)
e
ea
q t
u
ucc
GGCT 












 

12
)1//(
22
Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas de manufactura reales no
cumplen con los supuestos del modelo M/M/1. Cuando una estación es
alimentada por estaciones que tienen tiempos de procesamiento no
exponenciales es difícil mantener el supuesto que el tiempo entre llegadas es
exponencial. Por esta razón es necesario ampliar el modelo al caso mas
general, representado pos G/G/1.
Como en el caso anterior, primero se desarrolla la formulación para CTq y
luego obtenemos las otras medidas de desempeño.
Termino de tiempo T
Termino de utilización UTermino de variabilidad V

Variabilidad
- Teoría de Colas – Caso G/G/1:
Ejemplo (pag. 271):
De nuevo volvamos al caso de la Liebre, recordemos que dicha maquina
presentaba una alta variabilidad CVS efectivo de 6.25. Asumamos que el tiempo
entre llegadas esta exponencialmente distribuido y que la utilización es 0.9583.
Determinen el tiempo esperado en la cola CTq.
Ahora supongamos que la Liebre alimenta la Tortuga, que no hay perdidas entre las
dos maquinas y que por lo tanto la tasa de llegadas de la Tortuga es la misma de la
Liebre. Como ambas maquinas tienen una tasa efectiva igual, tendrán la misma
utilización. Ahora queremos determinar el CTq de la Tortuga. Recuerden que:
)()1( ii da cc 
Qué podemos concluir de los valores de CTq(Liebre) vs. CTq(Tortuga)?

Variabilidad
- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:
La ecuación VUT nos permite analizar estaciones compuestas por una sola
maquina, sin embargo en el mundo real se pueden encontrar estaciones de trabajo
conformadas por múltiples maquinas en paralelo. En este caso se deben hacer
ajustes a la formulación original, dando:
 
 
e
m
q t
um
u
mMMCT



1
)//(
112
Ejemplo (pag. 272):
Retomando de nuevo el caso de la Tortuga, donde el tiempo efectivo de proceso
presentaba un CV igual a 1 permitiéndonos utilizar el modelo exponencial. Pero
ahora supongamos que las llegadas ocurren a una tasa de 207 trabajos por día,
dando 2.875 trabajos por hora y tienen tiempos entre llegadas exponencialmente
distribuidos (ca = 1). Como esto excede la capacidad de la Tortuga, consideremos
cuando tenemos tres de estas maquinas en paralelo.

Variabilidad
- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo M/M/1:
Ejemplo (pag. 272):
Caso No.1: Caso No.2:
Tortuga No.1
Tortuga No.2
Tortuga No.3
Tortuga No.1
Tortuga No.2
Tortuga No.3
Determinar el CTq de cada caso.

Variabilidad
- Teoría de Colas – Maquinas en Paralelo G/G/m:
Una estación con m maquinas en paralelo, tiempos entre llegadas y de proceso
generales se representa por G/G/m.
Para llegar a una aproximación de esta situación, partamos de la aproximación
para el caso G/G/1. Este caso se puede escribir de la siguiente manera:
 
 
e
m
ea
q t
um
ucc
mGGCT














 


12
)//(
11222
)1//(
2
)1//(
22
MMCT
cc
GGCT q
ea
q







 

Lo anterior sugiere que una aproximación para el caso G/G/m se puede construir
basándose en la aproximación M/M/m, así:
CTq (ecuación VUT)
Termino de tiempo T
(idéntico)
Termino de utilización U
Termino de variabilidad V
(idéntico)

Variabilidad
- Teoría de Colas – Bloqueo y sus efectos:
Hasta el momento hemos considero sistemas sin ningún limite en la forma de
crecimiento de las colas. En los casos presentados podemos observar como el
tamaño promedio de la cola y el tiempo de ciclo crecen indefinidamente a medida
que u se aproxima a 100 %. Sin embargo en el mundo real esta situación no es
común, por lo general existen restricciones físicas, de tiempo o de política que
limitan el tamaño permitido de la cola. Por tal motivo Factory Physics considera el
caso de sistemas de colas con una capacidad finita.
Caso M/M/1/b
Consideremos el caso donde los tiempos entre llegadas y de proceso están
distribuidos exponencialmente como en el caso M/M/1, pero solamente hay
espacio en el sistema para b unidades.
Este sistema se comporta idéntico al caso M/M/1, con la excepción que cuando el
sistema se llena el proceso de llegadas se detiene. Cuando esto ocurre se dice que
el sistema se encuentra bloqueado.

Variabilidad
Caso M/M/1/b
En este nuevo caso el significado de u es diferente que en los casos anteriores, ya
no se trata de la probabilidad a largo plazo de encontrar la maquina ocupada.
Ahora representa el nivel de utilización si ningún trabajo es rechazado. Por esta
razón el valor de u puede ser uno o mayor.
Dado esta explicación obtenemos los siguientes casos:
Cuando u es diferente a 1
 
1
1
1
1
1
)/1//( 





 b
b
u
ub
u
u
bMMWIP
a
b
b
r
u
u
bMMTH 1
1
1
)/1//( 




Variabilidad
Caso M/M/1/b
Cuando u es igual a 1
2
)/1//(
b
bMMWIP 
ea r
b
b
r
b
b
bMMTH
11
)/1//(




En ambos casos podemos usar la Ley de Little para calcular CT, CTq y WIPq.
)/1//(
)/1//(
)/1//(
bMMTH
bMMWIP
bMMCT 
eq tbMMCTbMMCT  )/1//()/1//(
)/1//()/1//()/1//( bMMCTbMMTHbMMWIP qq 

Variabilidad
Caso M/M/1/b – Ejemplo (pag.275):
Consideremos una línea de producción en serie compuesta por dos maquinas. La
primera en promedio tiene un tiempo efectivo te1 = 21 minutos por trabajo. La
segunda maquina toma te2 = 20 minutos. Ambas maquinas tienen tiempos de
proceso exponencial (ce1 = ce2 = 1). Entre ambas maquinas hay suficiente espacio
para permitir almacenar temporalmente hasta 2 trabajos.
Determinen las medidas de desempeño en los siguientes casos:
1. Buffer con tamaño infinito.
2. Buffer con tamaño finito.
Qué podemos concluir del análisis de los dos casos anteriores?
• El reducir el tamaño de la cola entre estaciones reduce considerablemente WIP y CT, pero
también lo hace al TH. Sin embargo esta ultima no es tan significativa. Por esta razón se
puede ver que el implementar kanban es mas que una simple reducción del tamaño de una
cola. La perdida en TH es muy grande, la única manera de reducir WIP y CT sin sacrificar TH
es la reducción de la variabilidad.
• Una segunda conclusión es que las colas finitas establecen estabilidad en el sistema, sin
importar ra y re. La razón es sencilla, en un sistema de colas infinitas WIP y CT tienden a
crecer incontroladamente.

Variabilidad
Caso G/G/1/b
Para poder analizar el efecto de la variabilidad debemos extender el modelo
M/M/1/b y considerar distribuciones de tiempo entre llegadas y de procesos
mas generales.
Para lograr esto, se consideran los siguientes tres casos:
• Cuando ra < re (u<1).
• Cuando ra > re (u>1).
• Cuando ra = re (u=1).
Tasa de llegada menor que la tasa efectiva: derivada de VUT y Little
ee
ea
anb tt
u
ucc
rWIP 












 

12
22
u
u
ucc ea













 

12
222

Variabilidad
Caso G/G/1/b
Del modelo M/M/1 obtenemos:
WIP
uWIP
u


Usando el WIPnb obtenemos la utilización corregida:
nb
nb
WIP
uWIP 


Variabilidad
Caso G/G/1/b
Reemplazando la utilización corregida en la formulación de TH del modelo
M/M/1/b obtenemos:
a
b
b
r
u
u
TH 12
1
1
1







Para determinar WIP y CT usamos la siguiente formulación:
 1,min  bWIPWIP nb
 
TH
bWIP
CT
nb 1,min 


Variabilidad
Caso G/G/1/b
Tasa de llegada mayor que la tasa efectiva: derivada de M/M/1/b “inversa”
u
u
ucc
WIP
ea
nb
1
11
1
2
2
22


















 

De igual forma que en el caso anterior, obtenemos:
nb
nb
R
WIP
uWIP 1


Variabilidad
Caso G/G/1/b
Ahora definimos:
R

1

En este momento estamos listos para calcular TH con la misma formulación
anterior. Posteriormente usamos las mismas desigualdades para obtener unos
limites de WIP y CT.

Variabilidad
Caso G/G/1/b
Tasa de llegada igual a la tasa efectiva:
 
 12
12
2
2
2
2



bcc
bcc
TH
ea
ea
De igual forma que en el caso anterior, usamos esta aproximación de TH y las
desigualdades para obtener unos limites de WIP y CT.

Factory Physics Parte 8

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