La sucesión de Fibonacci describe una secuencia numérica donde cada número es la suma de los dos anteriores. Fue descrita por primera vez por Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, en su libro Liber Abaci en 1202. Relaciona números consecutivos de la sucesión con la proporción áurea y el número áureo, un número irracional aproximadamente igual a 1.618. La sucesión de Fibonacci y el número áureo se encuentran en patrones naturales como la disposición de las hojas y pétalos de las plantas.
Aqui un poco sobre la sucesión de Fibonacci y sobre el numero de oro, aplicacion en el reino animal, plantas, ser humano, obras de arte y fenomenos naturales como los huracanes
Aqui un poco sobre la sucesión de Fibonacci y sobre el numero de oro, aplicacion en el reino animal, plantas, ser humano, obras de arte y fenomenos naturales como los huracanes
En esta presentación se hablará del número de Fibonacci, las sucesiones matemáticas, que van relacionadas con el triángulo de Pascal. Y se explicará de este número en la naturaleza.
La proporción áurea.
Definición. A lo largo de la historia. En la geometría. Fibonacci. En la naturaleza. En el arte y la arquitectura. En la actualidad.
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.
El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.
Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes[1] más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo).
Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero por razón de sus continuos viajes por Europa y el cercano oriente, fue el que dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los hindúes.
•
Su quinta obra
En el año 1225 publica su cuarto y principal libro: Liber Quadratorum 'El Libro de los Números cuadrados', a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II (Teodoro) que le propuso encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número cuadrado.
Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.
En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes (Proposición IX) y que define, en terminología actual, como c = m.n (m² - n²), donde m y n son enteros positivos impares, m > n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número congruente por un cuadrado es otro número congruente.
Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en una identidad que es conocida como Identidad de Fibonacci (Proposición XI). La identidad es: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo rectángulo a otro.
Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para las siguientes, por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores important
En esta presentación se hablará del número de Fibonacci, las sucesiones matemáticas, que van relacionadas con el triángulo de Pascal. Y se explicará de este número en la naturaleza.
La proporción áurea.
Definición. A lo largo de la historia. En la geometría. Fibonacci. En la naturaleza. En el arte y la arquitectura. En la actualidad.
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.
El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.
Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes[1] más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo).
Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero por razón de sus continuos viajes por Europa y el cercano oriente, fue el que dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los hindúes.
•
Su quinta obra
En el año 1225 publica su cuarto y principal libro: Liber Quadratorum 'El Libro de los Números cuadrados', a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II (Teodoro) que le propuso encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número cuadrado.
Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.
En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes (Proposición IX) y que define, en terminología actual, como c = m.n (m² - n²), donde m y n son enteros positivos impares, m > n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número congruente por un cuadrado es otro número congruente.
Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en una identidad que es conocida como Identidad de Fibonacci (Proposición XI). La identidad es: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo rectángulo a otro.
Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para las siguientes, por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores important
2. ÍNDICE.
1. Introducción
2. Leonardo de Pisa
3. Orígenes de la sucesión
4. Secuencia de Fibonacci
5. Φ y el rectángulo áureo
6. Curiosidades
7. Más curiosidades
3. 1. LEONARDO DE PISA
Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci fue un matemático italiano
del siglo XIII, describió por primera vez la sucesión que lleva su nombre
y la dio a conocer en occidente, presentándola en su libro “Liber Abaci”
de (1202).
Se dice que sus conocimientos en aritmética y matemáticas crecieron
enormemente con los métodos hindúes y árabes que aprendió durante
sus estancia en el norte de África y luego de años de investigación.
Fibonacci dio con interesantes avances. Algunos de sus aportes refieren a la
geometría, la aritmética comercial y los números irracionales, además
de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.
4. 2. ORÍGENES DE LA
SUCESIÓN
Fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de
conejos ”Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y
deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la
pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja
en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir”
Muchas propiedades de la sucesión fueron descubiertas por el matemático
francés Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la
conoce en la actualidad.
Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito
musical en el que compositores como Béla Bartok u Oliver Messiaen la han
utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases
musicales.
5. 3. SECUENCIA DE
FIBONACCI
Es una sucesión infinita de números naturales: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… de
manera que la suma de dos números consecutivos es el inmediato siguiente
: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13…
Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así: xn = xn-1 + xn-2.
En forma de ecuación:
6. 4. Φ Y EL RECTÁNGULO
ÁUREO
El número áureo, es un número irracional y se
representa con la letra griega φ (fi), en honor
al escultor griego Fidias.
Se define como la relación o proporción entre
dos segmentos de una recta, que están en la
misma proporción que la suma de ambos
segmentos y el segmento más largo.
Es decir, si los segmentos son a y b, y a>b,
entonces φ = a/b = (a+b)/a. La solución
positiva de segundo grado es 1.6180339887…
A este número se le atribuye un carácter
estético e incluso místico.
El rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados
están en la razón áurea (fi)
El rostro de la Gioconda encaja perfecto en
dicho rectángulo y las partes de su cara se
componen de proporciones áureas.
7. 5. RELACIÓN ENTRE LA SUCESIÓN
Y EL NÚMERO ÁUREO
•Según el astrónomo Kepler, si vamos dividiendo números de Fibonacci
consecutivos cada vez mayores estos se acercan al número 1,618033… que es el
número áureo.
•La división entre los números de Fibonacci se acercan asintóticamente al número
áureo, por ejemplo si tomamos la tabla de Fibonacci desde: 21, 34, 55, 89, 144…
tendríamos que la división de la cual habla Kepler sería así: 34/21 = 1.69047619 ,
55/34 = 1.67647059, 89/55 = 1.6181818, 144/89 = 1,617977528.
• Representando mediante la geometría el concepto aritmético, surge una imagen
clave: la espiral de Fibonacci.
8. 6. CURIOSIDADES
Dicha proporción áurea aparece en lugares impensados:
• En diseños arquitectónicos de la antigüedad como en el
Partenón.
• La disposición de los pétalos de una flor.
• La distribución de las hojas en un tallo.
• El cociente entre la altura del hombre y la distancia del
ombligo a la punta de la mano.
• En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre
el desarrollo del tema y su introducción.
• En la anatomía de las abejas, el tamaño de su abdomen
dividido por el del tórax es el número de oro.
• Y más…
9. 7. MÁS CURIOSIDADES
Las semillas de los girasoles están
todas apiñadas en el centro de
estos, formando espirales perfectos,
que si van en el sentido de las
agujas del reloj son 34 espirales,
pero si van al contrario son 21,
números consecutivos en la
sucesión de Fibonacci.
Si observamos las hileras espirales
de escamas en una piña, se pueden
contar 8 espirales enrollándose
hacia la izquierda y 13 espirales que
lo hacen en sentido contrario. O
también 13 hacia la izquierda y 21
hacia la derecha. También se
pueden dar otras parejas de
números, pero en cualquier caso se
tratan también de números
consecutivos en la sucesión