Este documento describe los filtros digitales de respuesta impulsiva finita (FIR). Explica que los filtros FIR se basan en obtener la salida a partir de las entradas actuales y anteriores mediante convolución. También describe los principales métodos para diseñar filtros FIR, enfocándose en el método de las ventanas, el cual consiste en truncar la respuesta impulsiva de un filtro ideal mediante una ventana para obtener un filtro de orden finito.

1. FILTROS DIGITALES DE
RESPUESTA IMPULSIONAL
FINITA
Filtros FIR

2. FILTROS
• ¿Qué son los filtros y para que se usan?
Los filtros son sistemas que se diseñan principalmente para eliminar ciertos componentes no
deseados en una señal.
 GENERALMENE ESTAS COMPONENTES NO DESEADAS SE DESCRIBEN EN FUNCION DE
SU CONTENIDO EN FRECUENCIA.
Un filtro ideal permite el paso de ciertas frecuencias sin modificarlas y eliminar
completamente otras.
• Banda de paso; se le denomina al intervalo de frecuencias que deja pasar el filtro.
• Banda de supresión; se le denomina a todas a todas las frecuencias que se eliminan.

3. • ¿cuáles son las ventajas de un filtrado
digital?
El ancho de banda de un filtro digital esta
limitado por la frecuencia de muestreo,
mientras que una analógica depende de las
características de los componentes físicos.
Se puede implementar tanto en software
como en hardware.
• ¿cuántos tipos de filtros se conocen?
Existen dos tipos de filtros digitales, los
filtros FIR y los filtros IIR.
En teoría los filtros FIR son mas rápidos y
tienen una respuesta lineal.

4. ¿QUÉ VENTAJAS TIENE USAR FILTROS FIR?
• Debe ser “CAUSAL”, esto significa que tiene que tener un retraso hacia las
frecuencias positiva y no debe existir señal en frecuencia negativa.
• Otra característica es que tiene la capacidad de ser usados con facilidad y poseer
una fase lineal para una respuesta al impulso par o impar. A esta propiedad se le
conoce como “SIMETRIA”.
Que se define por si existe simetría en los coeficientes del filtro obteniendo así la
“linealidad de fase”.
Linealidad de fase; aquella donde no hay distorsión de fase porque el cambio de fase
del filtro es lineal.
Y esta es la ventaja principal

5. • Que la fase sea lineal implica que se verifiquen ciertas condiciones de simetría:
1. Un sistema no causal con respuesta impulsional anti simétrica
𝒉 𝒏 = −𝒉∗
(−𝒏) tiene una función de transferencia imaginaria pura.
2. Un sistema no causal con respuesta impulsional conjugada simétrica 𝒉 𝒏 =
− 𝒉∗
−𝒏 tiene una función de transferencia real.
• Tendremos fases que puedan ser 0 ó
𝜋
2
si queremos que la frecuencia sea realizable,
las retardaremos un numero de muestras adecuada para que se transformen en
causales.
• Si consideramos sistemas FIR con coeficientes RALES y una secuencia conjugada
simétrica, se dice que es una secuencia PAR.
• Si consideramos sistemas FIR con una secuencia conjugada anti simétrica, se dice
que es una secuencia IMPAR.

6. • Dependiendo del numero de coeficientes del filtro y del tipo de simetría tenemos
varias posibilidades:
Tipo Numero de terminos N
1 Impar Simetrico ℎ 𝑘 = ℎ(𝑁 − 1 − 𝑘)
2 Par Simetrico ℎ 𝑘 = ℎ(𝑁 − 1 − 𝑘)
3 Impar Anti simetrico ℎ 𝑘 = −ℎ 𝑁 − 1 − 𝑘
4 Par Anti simetrico ℎ 𝑘 = −ℎ 𝑁 − 1 − 𝑘

7. ¿EN QUE SE BASAN LOS FILTROS FIR?
• Los filtros FIR se basan en obtener la salida a partir y exclusivamente de las entradas actuales
y anteriores. Así para un filtro de de longitud N:
𝑦 𝑛 = 𝑏0 𝑥 𝑛 + 𝑏1 𝑥 𝑛 − 1 + 𝑏 𝑛−1 𝑥(𝑛 − 𝑁 + 1) =
𝑘=0
𝑁−1
𝑏 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)
• Donde 𝑏 𝑘 son los coeficientes del filtro. Ante un estimulo impulsional, la respuesta es finita
lo que justifica su denominación.
• La salida 𝑦(𝑛) puede escribirse como la CONVOLUCION de la entrada 𝑥(𝑛)con la respuesta
impulcional ℎ 𝑛 .
𝑦 𝑛 = 𝑘=0
∞
ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘)  con ℎ 𝑘 =
0; 𝑘 < 0
ℎ 𝑘 ; 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁
0; 𝑘 ≥ 𝑁
• Luego la ecuación puede escribirse como:
𝑦 𝑛 =
𝑘=0
𝑁−1
ℎ 𝑘 ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘)
• Podemos observar que
𝑏 𝑘 = ℎ 𝑘 ; es decir los
coeficientes del filtro
corresponden a la respuesta
impulsional.

8. MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS FIR
• Existen 3 grandes bloques de métodos de diseños de filtros FIR con fase lineal.
1. Método de las ventanas
2. Muestre por frecuencia
3. Rizado constante
Para esta exposición se profundizará en el diseño de filtros por medio del métodos las
ventanas.

9. MÉTODO DE LAS VENTANAS
• El diseño de filtros FIR por medio del método de las ventanas se basa en acotar la respuesta impulsional
infinita de un filtro ideal.
1. Procedimiento
Como primer paso se obtiene la respuesta impulsional del filtro ideal que deseamos diseñar ℎ𝑖(𝑛). (Pasa
altas, pasa bajas, etc)
2. Enventanar (TRUNCAR) dicha respuesta impulsional ℎ 𝑛 = ℎ𝑖 𝑛 ∗ 𝑤(𝑛), 𝑤(𝑛) es la respuesta impulsional
de la ventana y ℎ𝑖 la respuesta del filtro ideal. La respuesta de la ventana debe ser de la forma:
𝑤 𝑛 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑁 − 1
2
≤ 𝑛 ≤
𝑁 − 1
2
3. Desplazar la respuesta impulsional enventanada un numero adecuado de muestras para hacerla “causal”.
(TAMBIEN se puede desplazar la respuesta impulsional del filtro ideal proveniente, para que la secuencia
enventanada sea causal).
IMPORTANTE  Como el producto en el dominio del tiempo equivale a una convolucion en el dominio de la
frecuencia, podemos estudiar el efecto que este enventanado tiene sobre la respuesta frecuencial del filtro.

10. EJEMPLO 1
• Como ya se dijo, en síntesis esta técnica se basa en la aplicación de una ventana a
un filtro por medio de una multiplicación de sus ecuaciones.
• La ventana hace que en el filtro real se tengan menos variaciones de transición o
supresión y con esto se logre un filtrado mas efectivo.
Un filtro ideal puede expresarse en el dominio de la frecuencia como serie de
Fourier:
ℎ 𝑑 𝑤 = 𝑛=0
∞
ℎ 𝑑(𝑛)𝑒−𝑗𝑤𝑛
• Otra forma de expresar un filtro ideal es a partir de su respuesta en el dominio del
tiempo, para conocer esta respuesta se ocupa una transformada inversa de Fourier:
ℎ 𝑑 =
1
2𝜋
−𝜋
𝜋
𝐻 𝑑(𝑤)𝑒 𝑗𝑤𝑛

11. EJEMPLO 1
• El desarrollo de esta transformada inversa nos resulta en la función:
ℎ 𝑑 𝑛 = 𝑓 𝑥 =
𝑤𝑐
𝜋
, 𝑛 = 0
𝑤𝑐
𝜋
(
sin 𝑤𝑐 𝑛
𝑤𝑐 𝑛
), 𝑛 ≠ 0
• En general la respuesta de ℎ 𝑑(𝑛)es infinita pero esta truncada mediante el ventaneo en el punto 𝑛 =
𝑀 − 1 y multiplicando por la ventana rectangular o unitaria se obtiene
Para lograr un filtro computacionalmente realizable se debe buscar una respuesta impulsiva de
longitud finita (2M-1). Para aproximar ℎ 𝑑 𝑛 a un filtro FIR de orden M-1, se debe truncar la frecuencia
dejando los valores desde 0 hasta M-1.
ℎ 𝑛 =
ℎ0 𝑛 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1
0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 𝑀 − 1

12. • Realizando cálculos para diferentes filtros:
1. Filtros pasa altas ℎ 𝑑(𝑛) =
sin 𝜋 𝑛−
𝑀−1
2
−sin 𝑤 𝑐(𝑛−
𝑀−1
2
)
𝜋(𝑛−
𝑀−1
2
)
1 −
𝑤 𝑐
𝜋
Si 𝑛 =
𝑀−1
2
2. Filtros pasa bajas ℎ 𝑑 𝑛 =
sin 𝜋 𝑛−
𝑀−1
2
−sin 𝑤 𝑐 𝑛−
𝑀−1
2
𝜋 𝑛−
𝑀−1
2
𝑛 ≠
𝑀−1
2
𝑤 𝑐
𝜋
𝑛 =
𝑀−1
2
3. Filtros pasa banda ℎ 𝑑 𝑛 =
sin 𝑤 𝑐+𝐴𝑤 𝑐 𝑛−
𝑀−1
2
−sin(𝑤 𝑐+𝐴𝑤 𝑐)(𝑛−
𝑀−1
2
)
𝜋 𝑛−
𝑀−1
2
𝑤 𝑐+𝐴𝑤
𝜋
−
𝑤 𝑐−𝐴𝑤 𝑐
𝜋
4. Filtros rechazo de banda ℎ 𝑑(𝑛) =
sin 𝜋 𝑛−
𝑀−1
2
+sin(𝑤 𝑐+𝐴𝑤 𝑐)(𝑛−
𝑀−1
2
)−sin(𝑤 𝑐+𝐴𝑤 𝑐)(𝑛−
𝑀−1
2
)
𝜋(𝑛−
𝑀−1
2
)
1 −
𝑤 𝑐−𝐴𝑤
𝜋
−
𝑤 𝑐+𝐴𝑤 𝑐
𝜋

13. • Una vez obtenida la ℎ(𝑛) del filtro deseado se le aplica el tipo de ventana mas
adecuada a las necesidades realizando la multiplicación correspondiente de acuerdo
a las siguientes formulas:
1. Rectangular 1
2. Barlett (TRIANGULER) 1 −
2 𝑛−
𝑀−1
2
𝑀−1
3. Hamming 0.54 − 0.46 cos
2𝜋𝑛
𝑀−1
4. Hanning
1
2
1 − cos
2𝜋𝑛
𝑀−1
5. Blackman 0.42 − 0.5 cos
2𝜋𝑛
𝑀−1
+ 0.08 cos(
4𝜋𝑛
𝑀−1
)

14. EJEMPLO 2 VENTANA RECTANGULAR
• Se aplica una versión retardada de la respuesta impulsional ideal.
• La ventana estará definida como:
𝑤 𝑛 = 𝑓 𝑥 =
1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1
0, 𝑛 ≥ 𝑁
• Su expresión en el dominio de Z es:
𝑊 𝑧 = 1 + 𝑧−1
+ ⋯ + 𝑧−𝑁+2
+ 𝑧−𝑁+1
=
1 − 𝑧−𝑁
1 − 𝑧−1
• Con lo que su respuesta en frecuencia resulta:
𝑊 𝑤 = 𝑒
−𝑗𝑤
𝑁𝑤
2 ∗
sin
𝑁𝑤
2
sin
𝑤
2

15. EJEMPLO2 VENTANA RECTANGULAR
• Se define la anchura del lobulo principal de la ventana
como el doble del intervalo de frecuencia hasta el
primer nulo, que para la ventana rectangula se
produce en las frecuencias:
𝑤 𝑘 =
2𝜋𝑘
𝑁
𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑁 − 1
• El lóbulo principal tienen una anchura que es
inversamente proporcional a la longitud de la ventana
y esta dada por
4𝜋
𝑁
.
• Cuando N crece el lóbulo principal se estrecha. Los
lóbulos secundarios también se estrechan y se atenúan
progresivamente, de forma que, en el limite cuando N
tiende a infinito, el lóbulo principal se estrecha y los
secundarios desaparecen.
Esto quiere decir que el hecho de que una ventana
sea de longitud infinita arroja una secuencia de valor
constante cuyo contenido espectral es nula, salvo para
la componente continua.
• Dado que la respuesta en frecuencia de filtro diseñado
srá igual a la convolusion en el dominio de la
frecuencia de la respuesta en frecuencia del filtro ideal
y de la ventana, esta ultima (la ventana) jugará un
papel muy determinante en las características del filtro
obtenido