Este documento describe diferentes métodos para diseñar filtros digitales, incluyendo implementaciones directas, en cascada y en paralelo. También explica técnicas de síntesis en el dominio del tiempo y de la frecuencia, como el diseño de impulso invariante y la transformada z bilineal. Finalmente, detalla el método general para diseñar filtros FIR partiendo de una respuesta en frecuencia deseada mediante truncamiento de la serie de Fourier.

1. ANALISIS Y DISEÑO DEL FILTROS DIGITALES Señales y Sistemas

2. ESTRUCTURA DE PROCESADORES DIGITALES Realización de Forma Directa. La forma general de la función de transferencia al pulso unitario para sistemas discretos es: Que corresponde a la ecuación de diferencias: Y se puede realizar con la siguiente estructura

3. Forma Directa I H 1 (z) H 2 (z)

4. Los bloques etiquetados 1/z o z -1 representan el almacenamiento de una muestra para un periodo de muestreo T. Esta implementación requiere r+m retardos unitarios. Este requerimiento puede ser reducido en muchas aplicaciones definiendo el procesador como una cascada de 2 redes H 1 (z) y H 2 (z). La primera red H 1 (z) realiza los ceros del procesador y la segunda red, H 2 (z) realiza los polos del procesador. Si se intercambia H 1 (z) y H 2 (z) resulta en estructura como la que sigue.

5. Forma Directa I (Invertida) A 1 A 2 B 1 B 2 H 2 (z) H 1 (z)

6. Forma Directa II

7. Cascada La realización de forma directa I resulta de la ecuación general de diferencias. La realización mediante procesadores en cascada por el reconocimiento de que los polos y ceros de la función de transferencia al impulso son reales o pares complejos conjugados. H(z) puede ser escrita de forma factorizada.

8. Cascada En esta expresión tenemos: N 1 ceros reales en z=a i . N 2 pares conjugados de ceros en z=b j y z=b j * . D 1 polos reales en z=c k . D 2 pares complejos conjugados en z=d l y z=d l * . Los polos y ceros reales pueden ser realizados típicamente usando la Forma Directa II. Por ejemplo, de la forma

9. Cascada Los polos y ceros conjugados son realizados por pares. Por ejemplo, el termino general:

10. Estructuras de Cascada

11. Paralelo La forma en paralelo resulta de expandir H(z) en suma de fracciones parciales. La forma general de la expansión en fracciones parciales para polos simples En el cual la primera sumatoria es incluida para realizar los términos de la expansión en fracciones parciales que resulten si r>m. El segundo termino incluye los polos reales. El tercer termino incluye los pares de polos complejos conjugados.

12. Ejemplo de Construcción en Paralelo Para expandir la función de transferencia en fracciones parciales se debe cumplir con que el grado del numerador debe ser menor al grado del denominador, en este caso se soluciona dividiendo H(z)/z.

13. Estructura

14. Integración Tiempo Discreto Rectangular Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias: nT- T nT x(nT- T) x(nT)

15. Integración Tiempo Discreto Trapezoidal Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias: nT- T nT x(nT- T) x(nT)

16. Filtros Digitales El problema fundamental consiste en determinar los coeficientes requeridos de la ecuación lineal de diferencias para realizar una tarea especifica. Esto es el problema de síntesis. Las estructuras resultantes son referidas como filtros digitales y se clasifican en: Filtros de Respuesta al Impulso Infinita (IIR): son usualmente implementados usando estructuras con feedback (estructuras recursivas). Filtros de Respuesta al Impulso Finita (FIR): son usualmente implementados usando estructuras con ninguna de retroalimentación, aunque esto no es una restricción.

17. Filtros Digitales IIR En el diseño de los filtros IIR, el punto de inicio será la función de transferencia del sistema análoga, H a (s). El problema consiste en determinar un sistema discreto, H(z), el cual aproxima su rendimiento al sistema análogo. El procedimiento de derivar un filtro digital de un prototipo análogo puede ser realizado usando técnicas: En el dominio del Tiempo En el dominio de la Frecuencia

18. Síntesis en el Dominio del Tiempo Diseño de Impulso Invariante Se asume una fuente de señal de impulso. La salida del filtro análogo deberá ser h a (t). Si muestreamos la respuesta al impulso se tiene h a (nT). Fuente de Señal x(t)=  (t) Filtro Análogo Muestreo Muestreo Filtro Digital  (t) Equivalencia Invarianza al Impulso h a (t) h a (nT) h a (nT) Secuencias idénticas

19. Diseño de Impulso Invariante Si consideramos ahora un segundo camino de la señal en el cual el filtro análogo y el muestreador son remplazados por un muestreador y un filtro digital. Por lo tanto, la entrada al filtro digital es el impulso unitario, y la salida del filtro digital es la respuesta al impulso del filtro digital. Si los parámetros del filtro digital son ajustados de tal manera que la respuesta al impulso unitario es equivalente al primer camino, entonces estos dos caminos son equivalentes.

20. Ejemplo Suponga la función de transferencia análoga en la cual s=-s i son los polos y los K i es el residuo del polo en -s i . Tomando la transformada inversa de Laplace será la respuesta al impulso unitario del filtro análogo.

21. Ejemplo Tomando la transformada z de la respuesta al impulso unitario muestreada Este filtro tiene una respuesta al impulso equivalente a la del filtro análogo muestreada de la cual fue derivado, sin embargo, la amplitud de la respuesta del filtro digital debe ser escalada por f s , debido al proceso de muestreo.

22. Síntesis General Invariante en el Tiempo El concepto general de invarianza en el tiempo es ilustrado a continuación. Filtro Analogo h a (t), H a (s) Entrada: dominio t: x(t) dominio s:X(s) Salida: dominio t: y(t)=x(t)*h(t) dominio s:Y(s)=X(s)H(s) Filtro Digital h(nT), H(z) Entrada: dominio t: x(nt) dominio z:X(z) Salida: dominio t: y(nt)=x(nt)*h(nt) dominio z:Y(z)=X(z)H(z) Muestreo Muestreo Equivalentes Invariantes en el dominio del Tiempo

23. Síntesis General Invariante en el Tiempo La entrada al filtro análogo es x(t) La entrada al filtro digital en x(nT), la versión muestreada de x(t). Con estas entradas equivalente aplicadas a los filtros análogo y digital, los coeficientes que determinan H(z) son ajustados hasta que la salida muestreada del filtro corresponda a la salida del filtro digital. La H(z) requerida es determinada por

24. Síntesis General Invariante en el Tiempo La transformada z de esta expresión da la salida el filtro digital en el domino z. La constante G es incluida para tener similares respuestas en frecuencia para ambos filtros.

25. Diseño en el Dominio de la Frecuencia Transformada Z bilineal Para evitar el efecto del aliasing que se puede presentar en las técnicas de diseño en el dominio del tiempo, la función de transferencia de un filtro análogo debe ser limitada en banda al rango de Ya que las funciones de transferencia análoga no satisface esta propiedad, ellos deben primero ser modificadas usando una transformación no lineal de tal manera que son de banda limitada. La técnica de transformar el plano s complejo en un plano s1 tal que el eje j  en el plano s este mapeado en la región

26. Diseño en el Dominio de la Frecuencia Una transformación que satisface este requerimiento es O Se puede observar que para  =∞ el filtro análogo se mapea en  1 =0.5  s para el filtro digital. La constante C puede ser elegida de tal manera que la correspondencia de  1 pueda ser establecida a una frecuencia deseada. Como ejemplo, si    r , se tiene que C

27. Diseño en el Dominio de la Frecuencia Para valores pequeños de  r tal que Se puede ver que

28. Diseño en el Dominio de la Frecuencia La relación entre s y s 1 es fácilmente determinada. Primero, reescribiremos la tan (x) Haciendo s=j  y s 1 =j  1 esto nos da: El filtro digital es determinado de H a (s 1 ), haciendo z=e s1T

29. Mapeo de Filtro Análogo a Digital Así el filtro digital H(z) estará determinado del filtro análogo H a (s) remplazando

30. Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Los filtros pasabanda también puede ser desarrollados usando la transformación bilineal z. Un filtro pasabanda puede ser generado de un filtro pasabajos sustituyendo la variable de Laplace s en la función del sistema por El parámetro  es la frecuencia geométrica central y  b es el ancho de banda del filtro pasabanda análogo. El filtro pasabanda es entonces generado utilizando la sustitución

31. Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Estos dos pasos son combinados en un solo paso para ir de s a z directamente.

32. Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El problema ahora es determinar los valores apropiados de A y B. Primero consideraremos el valor de A. La frecuencia central  c en el plano s debe ser remplazada por Ctan(  c T/2) para mapear el valor de la frecuencia central el plano s1. donde  u y  l son la frecuencias superior y inferior, respectivamente

33. Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El ancho de banda  b en el plano s se convierte en en el plano s1. Remplazando para A

34. Remplazando para B Las expresiones de A y B pueden ser simplificadas reconociendo que

35. Diseño de Filtros Digitales FIR Técnica General En este caso, la técnica de diseño no parte de un filtro análogo sino de una respuesta en frecuencia arbitraria que representa la respuesta a la frecuencia deseada del filtro digital siendo diseñado. Por lo tanto es posible diseñar filtros digitales que no tengan prototipo análogo equivalente. La técnica consiste en derivar primero la realización de la función de transferencia de un filtro digital, la cual es periódica en la frecuencia de muestreo. Así la función de transferencia puede ser expandida en series de Fourier. Veremos que los coeficientes de Fourier resultantes de esta expansion dan la respuesta al impulso del filtro digital.

36. Técnica General de Diseño La respuesta a una frecuencia deseada, la cual es periódica en la frecuencia de muestreo, corresponde a un filtro digital no causal. En general, podemos escribir Donde se permite que el filtro sea no causal empezando la sumatoria en n=-∞ en lugar n=0, como los filtros causales. Es conveniente expresar la variable frecuencia en términos de la frecuencia normalizada r. Haciendo 2  r=  T

37. Técnica General de Diseño Una expresión para los coeficientes de Fourier de la respuesta en frecuencia deseada puede ser encontrada multiplicando por e j2  rl e integrando sobre un periodo la respuesta en frecuencia. Esto es

38. Técnica General de Diseño Esto indica que h d (nT) representa los valores de la respuesta al impulso de un filtro no causal para una respuesta en frecuencia deseada. En este punto existen dos problemas: El filtro digital es no causal, lo cual se soluciona con un desplazamiento a la respuesta al impulso no causal. Antes de hacer esto, la respuesta al impulso debe ser de extensión finita. Lo que representa el segundo problema. A menos que la respuesta en frecuencia deseada, H d (e j2  r ), pueda ser expresada exactamente dentro de un numero finito de términos, lo cual usualmente no es el caso, los coeficientes de la serie de Fourier deben ser truncados a una serie finita de términos.

39. Truncando la serie de Fourier, la función de respuesta al impulso queda La serie ha sido simplificada a 2M+1 términos. Otra manera de ver esto es considerar que la función de transferencia puede ser ventaneada y por lo tanto escrita como donde

40. Filtros Causales Un filtro causal, H c (z), puede ser generado de H nc (z) multiplicada por z -M . Lo cual da Definiendo los pesos del filtro causal como L k , donde