Este documento presenta información sobre las pruebas de suficiencia académica para las carreras de medicina, enfermería, nutrición, tecnología médica, fonoaudiología y terapia ocupacional en la Universidad. Incluye las autoridades a cargo de cada programa y facultad, así como detalles sobre la revisión y edición del documento. También contiene los contenidos de los diferentes temas que comprenden la prueba de física.

1. PRUEBA DE
SUFICIENCIA
ACADÉMICA
2019
CARRERA DE MEDICINA,
ENFERMERÍA, NUTRICIÓN,
TECNOLOGÍA MÉDICA
(FISIOTERAPIA, LABORATORIO
CLÍNICO, RADIOLOGÍA)
PROGRAMAS DE FONOAUDIOLOGÍA
Y TERAPIA OCUPACIONAL
FÍSICA

2. REVISIÓN, CORRECCIÓN Y EDICIÓN:
Lic. Samuel Pujro Vito
Dra. Mary Helen Valverde Rojas
Este libro es una reimpresión de la gestión 2014
La Paz, Septiembre de 2018

3. 1.
3
AUTORIDADES
Dr. Javier Peñaranda Méndez
DECANO
Dr. Fernando Dávalos Crespo
VICEDECANO
Dr. Christian Trigoso Agudo
DIRECTORA CARRERA DE MEDICINA
Lic. Maria Eugenia Mendoza Fernández
DIRECTORA CARRERA DE ENFERMERÍA
Lic. Magdalena Jordán de Guzmán
DIRECTORA CARRERA DE NUTRICIÓN Y DIETÉTICA
Lic. Liliana Trigo de Quintanilla
DIRECTORA CARRERA DE ENFERMERÍA
Dr. Jorge Fernández Dorado
COORDINADOR PROGRAMAS ACADÉMICOS DE TERAPIA OCUPACIONAL
Y FONOAUDIOLOGÍA
Dr. Richard Choque Zurita
DIRECTOR PROCESO DE ADMISIÓN 2019

4. 1.
4
CONTENIDOS
TEMAS
Capitulo No 1 Unidades y medidas
Capitulo No 2 Vectores y estática
Capitulo No 3 Cinemática
Capitulo No 4 Dinámica
Capitulo No 5 Trabajo energía y potencia
Capitulo No 6 Sonido y óptica
Capitulo No 7 Hidrostática y hidrodinámica
Capitulo No 8 Temperatura y calor
Capitulo No 9 Electricidad
TITULO :TEXTO DE FÍSICA
AUTOR :Samuel Pujro Vito
DISEÑO DE LA TAPA : Samuel Pujro Vito
IMPRESO EN : La Paz - Bolivia
ADVERTENCIA
Prohibida la reproducción total imparcial de este texto por cualquier
método de publicación y/o copia de la información, total del texto
como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del
autor. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a SENAPI
Y DERECHOS DEL AUTOR, ESTADO PLURINACIONAL DE
BOLIVIA MINISTERIO DE CULTURAS REPOSITORIO
NACIONAL y serán sancionados de acuerdo a la ley del Código
Penal vigente en la Constitución Plurinacional de Bolivia.

5. 1.
5
1.1. INTRODUCCIÓN
UNIDADES DE MEDICIÓN
Por ser la física la ciencia encargada del estudio de los fenómenos que ocurren en la
naturaleza, se puede aplicar a otras ramas del conocimiento humano, tales como la química, la
tecnología, la aeronáutica, etc.; en particular, la que ahora se conoce como física médica.
La física médica se divide en dos grandes ramas: la física de la fisiología, que es la que se
ocupa de las funciones del cuerpo humano, y la instrumentación médica que es la física
aplicada al desarrollo de instrumentos y aparatos médicos.
Al examinar a un paciente, curiosamente lo primero que el médico le aplica es un examen
"físico", que consiste en medir el pulso, la temperatura, la presión, escuchar los sonidos del
corazón y pulmones. Si recapacitamos un poco, nos podemos dar cuenta de que todas estas
son medidas físicas.
La rama de la medicina conocida como "medicina física" se encarga de la diagnosis y el
tratamiento de las enfermedades y lesiones por medio de agentes físicos, como son la
manipulación, el masaje, el ejercicio, el calor, el frío, el agua, etcétera. La terapia física es el
tratamiento por medios exclusivamente físicos.
A la física aplicada se le acostumbra dar el nombre de tecnología, por lo que algunas veces, al
aplicarse a la medicina se le llama tecnología médica; este nombre es usado generalmente para
la física aplicada a la instrumentación médica más que para la física de la fisiología.
Es importante entender cómo funciona el cuerpo humano, de esta forma podremos saber
cuándo no está funcionando bien, por qué, y en el mejor de los casos podremos saber cómo
corregir el daño.
Al tratar de entender un fenómeno físico, lo que hacemos es seleccionar los factores principales
e ignorar aquellos que creemos menos importantes. La descripción será sólo parcialmente
correcta pero esto es mejor que no tenerla.
Para entender los aspectos físicos del cuerpo humano frecuentemente recurrimos a las
analogías, pero debemos tener en cuenta que las analogías nunca son perfectas, la situación
real siempre es más compleja que la que podemos describir; por ejemplo, en muchas formas el
ojo es análogo a una cámara fotográfica, sin embargo, la analogía es pobre cuando la película,
que debe ser remplazada, se compara con la retina que es el detector de luz del ojo.
La mayor parte de las analogías usadas por los físicos emplean modelos, algunos de los cuales
están relacionados con fenómenos no conectados con lo que se está estudiando, por ejemplo,
un modelo del flujo eléctrico, el cual puede simular muchos fenómenos del sistema
cardiovascular, pero no todos.
En síntesis, para entender el funcionamiento del cuerpo humano, se recurre frecuentemente a
las analogías y de ellas se obtienen modelos que ayudan a lograr nuestro objetivo.
En este libro se presenta a un nivel básico, sistemas y sentidos del cuerpo humano y la física
relacionada con ellos. De ninguna manera se trata extensamente tema alguno, ya que sólo
pretendemos motivar a quienes estudian física, medicina para que con su esfuerzo se pueda
enriquecer esta rama fascinante del saber.
Física, es la ciencia que estudia la naturaleza. Toda técnica, aplicación o disciplina del
conocimiento humano que tenga que ver con la interpretación cualitativa y cuantitativa de la
naturaleza o de la aplicación de tales conocimientos, tiene como base a la Física. Además

6. 1.
4
toda revolución en los marcos conceptuales de la Física ha traído consigo cambios profundos
en la vida del ser humano en nuestro planeta.
1.2 RAMAS DE LA FÍSICA CLÁSICA.-
➢ Mecánica: Estudia la fuerza, el movimiento y los fenómenos que lo producen. A su vez,
se divide en: Mecánica de sólidos, líquidos y gases.
➢ Hidrología: Se encarga del estudio los líquidos en estado de equilibrio o en movimiento.
➢ Calometría: Estudia el calor controlado por la termología.
➢ Acústica: Estudia las manifestaciones del sonido.
➢ Óptica: Estudia la luz y su manifestaciones.
➢ Magnetología: Estudia los fenómenos magnéticos.
➢ Electricidad: Estudia los fenómenos eléctricos.
1.3 MAGNITUDES Y MEDIDAS.-
El objeto de toda medida es obtener una información
cuantitativa de una cantidad física. Para esto, es necesario
definir las magnitudes físicas para poder expresar los resultados
de las medidas. Se denominan magnitudes fundamentales,
las que no pueden definirse con respecto a las otras
magnitudes y con las cuales toda la física puede ser
descrita. En cambio, se definen como magnitudes derivadas
cuando se expresan como una combinación de las
fundamentales.
1.4. MAGNITUDES FÍSICAS.
En el universo existen magnitudes de todo tipo: Física, química, económicas,…, etc. Nosotros
sólo estudiaremos los que se encuentran vínculos estrechamente a la Física. Y son todas
aquellas susceptibles de ser medidas y se clasifican:
Magnitudesfundamentales
POR SU ORIGEN 
Magnitudesderivadas
Magnitudesescalares
POR SU NATURALEZA 
Magnitudesvectoriales
1.4.1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES O UNIDADES BÁSICAS.
El S.I. está formado por siete magnitudes fundamentales y dos complementarias o
suplementarias, las cuales se muestran a continuación:
MAGNITUDES FUNDAMENTALES UNIDADES SIMBOLO
Longitud metro m
Masa kilogramo Kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica amperio A
Temperatura absoluta kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de materia mol mol
MAGNITUDES COMPLEMENTARIAS Nombre
Ángulo plano radián rad
Ángulo sólido estereorradián sr
Cada una de estas unidades está definida del siguiente modo:
Metro.- Es la longitud igual a 1 650 763,73 longitudes de onda en el vació de la
radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10y 5d5 del átomo de criptón 86
(11ava CGPM, 1960).

7. 1.
5
Kilogramo.- Es la masa del prototipo internacional del kilogramo custodiado por el
Bureau Internacional Des Poids et Mesures, Sévres, Francia (1ra y 3ra CGPM, 1889 y 1901).
Segundo.- Es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a
la transición entre los niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133 (13ava
CGPM,1967).
Ampere.- Es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores
paralelos rectilíneos, de longitud infinita, sección circular despreciable, colocados a un metro
de distancia entre sí, en el vacío produciría entre ellos una fuerza igual a 2 x 10-7 newton por
metro de longitud (9na CGPM, 1948).
El Kelvin.- Es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua
(13ava CPGM, 1967).
El mol.- Es la cantidad de sustancia de una sistema que contiene tantas entidades
elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12 (1a CGPM, 1971).
La candela.- Es la cantidad luminosa, en dirección perpendicular, de una superficie de 1/600
000 de metro cuadrado de un cuerpo negro a la temperatura de solidificación del platino (2 042
K) y bajo una presión de 101
325 newton por metro cuadrado (13ava CGPM, 1967).
El radián.- Es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta en
la circunferencia del mismo, un arco cuya longitud es igual al radio el circulo (11ava CGPM,
1960, ISO R-31-1).
El estereorradián.- Es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una
esfera, recorta de ésta un área equivalente a la de un cuadrado cuyo lado es igual al radio de
la esfera (11ava CGPM, 1960, ISO R-31-1).
1.4.2. MAGNITUDES DERIVADAS.
Ejemplos de unidades derivadas del SI definidas a partir de las unidades fundamentales y
suplementarias.
MAGNITUD
SISTEMA
INTERNACIONAL (SI)
SISTEMA
CEGESIMAL (CGS)
TÉCNICO INGLÉS
Área o superficie m2 cm2
m2 Pies2
(ft2
)
Volumen m3 cm3
m3 ft3
Velocidad m/s cm/s m/s ft/s
Aceleración m/s2
cm/s2
m/s2
Ft/s2
Velocidad angular rad/s rad/s
Aceleración
angular
rad/s2
rad/s2º
Fuerza o peso Kg m/s2
=Newton g cm/s2
=Dina UTM m/s2
=Kilopondio
(kp)
lb
Trabajo o energía Nm=Joule Dina.m=Ergio kpm lbft
Presión N/m2
=Pascal Dina/cm2
=Baria Kp/m2
lbft
Potencia J/s = Watt Ergio/s Kpm/s lb ft/s
Densidad kg/m3
g/cm3
Caudal de
volumen
m3
/s cm3
/s
Caudal de masa kg/s g/s
Es de suma importancia algunas figuras geométricas para calcular los volúmenes en
magnitudes derivadas.

8. 1.
6
m
FIGURAS GEOMÉTRICAS DE VOLUMENES Y ÁREAS
CUBO
A = 6d2
; V = d3
PARALELEPIPEDO
V = bdh
CILINDRO ANULAR
V =
π
(D2
− d2
)H
4
CILINDRO CONO ESFERA
V =

D3
6
V =

D
h ; V = πr 2
h

V =

D
h ; A = rh + r2
;

A = 4r 2
; V =
4
r 3
3
PIRÁMIDE
V =

abh

CILINDRO TRUNCADO
V =

d
(
H + h
)
 
CONO TRUCADO
V =

(D
+ d
+ Dd)h

Unidades derivadas del SI expresadas a partir de las que tienen nombres especiales:
MAGNITUDES
DERIVADAS
UNIDADES SIMBOLO
EXORESIÓN EN
UNIDADES BÁSICAS
Frecuencia hertz Hz s-1
=1/s
Fuerza newton N m·kg·s-2
Presión pascal Pa m-1
·kg·s-2
Energía joule J m2
·kg·s-2
Potencia watt W m2
·kg·s-3
Carga eléctrica coulomb C s·A
Potencial eléctrico volt V m2
·kg·s-3
·A-1
Resistencia eléctrica ohm W m2
·kg·s-3
·A-2
Capacidad eléctrica farad F m-2
·kg-1
·s4
·A2
Flujo magnético weber Wb m2
·kg·s-2
·A-1
Inducción magnética tesla T kg·s-2
·A1
Inductancia henry H m2
·kg s-2
·A-2
Recordando la ley de exponente que será de utilidad para la expresión en unidades básicas.
LEY DE EXPONENTES
 
n n
1) an
am
= an+m
2)
a
an
= am−n
3) (ab)n
= an
bn 4) 
a
 =
a
 b  bn
5) (an
)m
= anm

9. 1.
7
1UTM = 9,81kg
n
an
bn
c
n
abc
n a
n
b
n m
a
n
a
6) a−n
=
1
an
7) a0
= 1
PROPIEDAD DE LOS RADICALES
1) = 2) = 3)

= an 4)
m
= a n −
m
5) a n =
6) m n
a = 7) mn
a = m n
a 8)
1 −
1
= a n
1.4.3. SISTEMAS DE UNIDADES.
En la actualidad se utilizan dos grandes sistemas de unidades: el inglés y el sistema
internacional.
a) SISTEMA ABSOLUTO.
Es un conjunto de unidades que data desde 1820, basado en el sistema métrico, y que
considera a la longitud, masa y tiempo como las magnitudes fundamentales, y cuyas
unidades básicas son:
Sub-sistema L M T
M.K.S.
C.G.S.
F.P.S.
m
cm
pie
kg
g
lb
s
s
s
b) SISTEMA TÉCNICO.
Es un conjunto de unidades que considera como magnitudes Fundamentales a la longitud,
fuerza y tiempo, es muy empleado en muchos sectores de la ingeniería.
Sub-sistema L F T
M.K.S.
C.G.S.
F.P.S.
m
cm
pie
kgf
gf
lbf
s
s
s
La masa en el sistema técnico es:
F kg kg s2
M.K.S F = ma  m = = f
= f
= U.T.MFactor de conversión
a m
s2
F lb
m
lb s2
F.P.S. F = ma  m = = f
= f
= slug Factor de conversión
a
1.4.4. OTRAS UNIDADES.-
pie
s2
pie
Al margen de las unidades citadas en anteriores párrafos, existen otras, que por su frecuente uso en el
comercio o en algunas ramas técnicas y científicas, aún persisten y de ellas podemos mencionar las
siguientes:
➢ De longitud.- La pulgada, la yarda, la braza, la legua, la milla terrestre, la milla marina o náutica,
el milímetro, el micrón o micra, el ángstrom, el año luz, el pársec, etc.
➢ De masa.- La onza avoirdupois, la onza troy, la arroba, el quintal, la tonelada métrica, la
ntonelada larga, la tonelada corta, etc.
➢ De volumen.- El litro, el mililitro, el decímetro cúbico, la pulgada cúbica, el barril, el galón
americano, el galón inglés, la pinta, etc.
➢ De velocidad.- El kilómetro por hora, el nudo que es igual a 1 milla marina/hora, el mach que es
igual a la velocidad del sonido, etc.
1slug = 14,59kg
n
b
a
n
a n
am
n
am

10. 1.
8
➢ De energía.- La caloría, la kilocaloría, el kilovatio-hora, el pie-libra, el BTU, el electrón-
volt, etc.
➢ De potencia.- El Kilowatt, el HP, el caballo vapor (CV), el BTU/hora, la caloría por
segundo, etc.
➢ De presión.- La atmósfera la columna de mercurio, la columna de agua, los Torricelli,
los bares y milibares, el kilogramo fuerza por centímetro cuadrado, etc.
1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA O POTENCIAS DE 10.-
Para manejar números en notación científica debemos conocer las siguientes reglas:
➢ Si la potencia de 10 es positiva, la coma decimal debe correrse a la derecha tantos
lugares como indique la potencia.
➢ Si la potencia de 10 es negativa, la coma decimal debe correrse a la izquierda tantos
lugares como indique la potencia.
Pero hay más, con el fin de facilitar el manejo de cantidades que sean múltiplos de diez, se
dispone de prefijos que señalan el orden de magnitud de una cantidad grande o pequeña.
Estos múltiplos y submúltiplos se presentan a continuación:
PREFIJO SÍMBOLO POTENCIA DE 10 EQUIVALENCIA
exa E 1018 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015 1 000 000 000 000 000
tera T 1012 1 000 000 000 000
giga G 109
1 000 000 000
mega M 106
1 000 000
kilo K 103
1 000
hecto h 102
1 00
deca da 101
10
deci d 10-1 0,1
centi c 10-2 0,01
mili m 10-3 0,001
micro
nano
pico
femto
atto

n
p
f
a
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
0,000 001
0,000 000 000 1
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
1.6. REDONDEO DE VALORES.
Se aplica redondeo de valores cuando una cantidad calculada da como resultado varios
decimales, para lo cual el Sistema Internacional recomienda las siguientes reglas.
a) Cuando el dígito a eliminar es mayor a cinco, al dígito retenido se suma más uno.
b) Cuando el dígito retenido es menor a cinco, el dígito retenido no cambia.

11. 1.
9
c) Cuando el dígito a eliminar es igual a cinco, al dígito retenido se le aplica el criterio de
preferencias al número impar, si es impar se sumas +1 al digito retenido y si es par el dígito
retenido no cambia.
1.7 FACTORES DE CONVERSIÓN.-
Son equivalencias numéricas que nos permiten cambiar de un sistema de unidades a otro. A
continuación se encuentra la tabla que proporciona alguno de los factores de mayor uso.
LONGITUD
1km = 1000 m
1m = 100 cm
1cm = 10 mm
1pie = 30.48 cm
1pie = 12 pulg
1pulg = 2,54 cm
1milla terrestre = 1,609
km
1milla náutica = 1,852 km
1yarda = 3 pie
1yarda = 91,44 cm
1legua = 5 km
1 toesa = 5,03 m
1 estadio = 10 cadenas
1 milla = 8 estadios
1 var = 0,866 m
1 var = 16,5 pies
1 legua = 30 millas
1 braza = 6 pies
1 °A = 10
-10
m
MASA
1 kg = 1000 g
1 kg = 2,205 lb
1 UTM = 9,81 kg
1 slug = 14,59 kg
1 Ton larga = 1016kg
1 Ton larga = 2240 lb
1 Ton corta = 2000 lb
1 ton métrica = 1000
kg
1 arroba = 25 lb
1 qq = 100 lb
1 qq = 4 arrobas
1 onza troy = 31,11 g
1 onza = 28,35 g
TIEMPO
1 min = 60 s
1 hr = 60 min = 3600 s
1 día = 24 hr
1 semana = 7 días
1 año = 12 meses
1 año = 365,6 días
1 milenio = 1000 años
1 siglo = 100 años
1 década = 10 años
1 años bisiesto = 366 días
VOLUMEN
1 m
3
= 1000 lt
1 lt = 1000 ml
1 mlt = 1 cm
3
= 1 cc
1 galon USA=3,785 lt
1 galon Ingles = 4,546 lt
1 pecks = 16 pintas áridas
1 pecks = 8cuartos áridas
1 barril petróleo = 159 lt
1 barril liquido = 119,240 lt
1 pie
3
= 28,32 lt
PRESIÓN
1 Pa = 0,209 lb /pie
2
-f
1 atm = 1,013x10
5
Pa
1 atm = 760 mmHg
1 atm = 760 torr
2
1 atm = kg-f/m
1 Pa = 9,26x10
-6
atm
1 atm =1,01325 bar
1 atm = 14,7 PSI
1 atm = 10,353 mH2O
POTENCIA MECÁNICA
1kw = 1000W
1C.V. = 735W
1HP = 746 W
1HP = 550lbf pie/s 1
BTU/h = 0,293W
1 HP = 746x10
7
erg/s 1
CV = 35kgf-m/s
1 cal/s = 3,087lbf pie/s
FUERZA
1 N = 10
5
dina
1 N = 0,225 lbf
1 kp = 9,81 N
1 kg-f = 9,81 N
1 dina = 10
-5
N
TRABAJO ENERGÍA Y CALOR
1 J = 10
7
erg = 0,101972kg -m = 0,73754 lb -pief f
1 J = 0,239 cal = 9.478x10
-3
BTU = 10197,2gr -cf
1 BTU = 252 cal
1 kw-h = 3,6x10
6
J
AREA O SUPERFICIE
1 m
2
= 10
4
cm
2
= 10,764 pie
2
1 ha = 2,47 acre
1 plg
2
= 6,452 cm
2
1 yarda
2
= 0,8361 m
2
1 acre = 43600 pie
2
1 ha = 10000 m
2
1 acre = 4046,86m
2
1 milla
2
= 640 acres
MAGNITUD ESCALAR.
Son aquellas magnitudes que solo tiene su valor y unidad y son las siguientes: la masa, longitud,
densidad, temperatura, rapidez, trabajo, energía, potencia, resistencia, corriente eléctrica, potencial
eléctrico, etc.
MAGNITUD VECTORIAL.
Son aquellas magnitudes a parte de tener su valor y unidad tienen sentido y dirección, son las siguientes:
desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, impulso, etc.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Convertir los siguientes valores amilis.
a) Q = 0,04337543C = 43,3754310−3
C
b) C = 0,00135532F = 1,3553210−3
F
 Q = 43,38mC
 C = 1,36mF

12. 1.
10
−4
c) I = 0,2A = 0,200A = 200 10−3
A
d) V = 0,08759532lt = 87,60 10−3
lt
 I = 200mA
 V = 87,60mlt
2. Convertir los siguientes valores amicros.
a) C = 0,00007622535F = 76,22535 10−6
F  C = 76,22μF
b) I = 0,0000098356
c) D = 0,0000056753
A = 9,835610−6
A 
m = 5,675310−6
m 
C = 9,84μA
D = 5,68μm
3. Convertir los siguientes valores akilo.
a) V = 703500V = 703,500103
V  V = 704kV
b) L = 8150,53m = 8,2103
m  L = 8,2km
c) m = 9714,3762gr = 9,714 103
 m = 9,71kg
d) R = 33000 = 33 103
  R = 33k
4. Convertir los siguientes valores amega.
a) P = 9532323,465W = 9,532323465 106
W  P = 9MW
b) R = 7355600 = 7,4 106
  R = 7,4M
c) V = 223000004,52V = 223 106
V  V = 223MV
e) f = 94900000Hz = 94,9 106
Hz  f = 94,9MHz
5. Expresar en potencia de 10, el siguiente valor: L = (16000)2
 0,000008  0,2)pies
SOLUCIÓN.
L = (16000)2
 0,000008  0,2)pies = (24
103
)2
 23
10−6
 2 10−1
L = 28
106
 23
10−6
 2 10−1
= 212
10−1
pies
6. Expresar en potencia de 10, el siguiente valor: V =
0,0005
 2500  0,40
m3
SOLUCIÓN.
V =
0,0005  2500  0,40
m3
=
(5 10 )  52
102
5000  0,008
 40 10 −2
5000 0,008 5  103
 8  10 −3
V =
5 10−12
 52
102
 5 810−2 56
 8 10
=
−12
 V = 55
 10−12
m3
5 103
 810−3
5  8
7. La velocidad de la luz es de 3.00 x 108
m/s ¿A cuánto equivale enpies/min?
SOLUCIÓN.
 8

v = 3108 m

100cm
 1pulg

1pies

60s
=
3100 6010 pies  v = 5,911010 pies
s 1m 2,54cm 12pulg 1min 2,5412 min min
8. Un paciente mide 5pies y 2pulgadas de altura ¿Cuánto mide en centímetros?
SOLUCIÓN.
H = 5pies + 2pulg = 5pies
12pulg

2,54cm
+ 2pulg
2,54cm
 H =157,48cm
1pies 1pulg 1pu lg
9. ¿Cuántas pulg³ hay en 500 litros?
SOLUCIÓN.
V = 500lt 1m3

100
cm3

1pulg3
 V = 30511,87pu lg3
1000lt 1m3
2,543
cm3
2
3 3
3
3

13. 1.
11
10. Un embase de medicamento tiene una forma esfera de radio 8cm y el contenido tiene una
masa de 978gr. Calcular la densidad del contenido.
SOLUCIÓN.
Calculando el volumen: V =
4
πr 3
=
4
π  83
 V = 2144,66cm3
Calculando la densidad:
3
ρ =
m
=
V
3
978gr
2144,66
 ρ = 0,46
gr
cm3
11. ¿Cuál es el peso de 25kg de un estudiante? Tomar g=9,81m/s2
.
SOLUCIÓN.
Calculando el peso: w = mg = 25  9,81kg
m
s2
 w = 245,25N
12. Una víscera pesa 830gr si su masa se incrementa por un tumor de 50%. ¿Cuántas libras
pesará?
SOLUCIÓN.
El peso es: w = 830grf  
2,205lbf
1kgf
 w =1,83lbf
50
El 50% de tumos en libras es: w = 1,83lb f + 1,83 
100
 w = 2,74lbf
1kgf
1000grf

14. 12
2.1. INTRODUCCIÓN.
VECTORES Y ESTÁTICA
Un vector está íntimamente relacionado con el espacio tridimensional en el que vivimos, de
hecho es la herramienta matemática que nos permite describir un ente como el espacio, el cual,
no puede ser descrito con un solo número ya que es multidimensional (tridimensional de
hecho). El espacio tiene anchura, altura y profundidad por lo que necesitas tres números para
definir una posición en el mismo. El concepto vector se invento para poder describir
matemáticamente el espacio en el que vivimos, todo los otros vectores como las fuerzas,
velocidades y aceleraciones están relacionas con el espacio. Todos lo fenómenos naturales se
desarrollan en el espacio por lo que toda descripción precisa de un fenómeno natural requiere
necesariamente el uso de vectores.
Una vez que entendemos un fenómeno físico podemos usar ese conocimiento para resolver
problemas prácticos.
En resumen, la principal aplicación de concepto de vector, en que te ayuda a entender que es lo
que pasa a tu alrededor, una vez que entiendes esto, puedes realizar acciones informadas para
resolver problemas prácticos.
Sin saber cual es tu "vida cotidiana" te doy 10 aplicaciones que le pueden servir a la "mayoría"
de los estudiantes de medicina:
 Para levantar un objeto pesado y no lastimarte la espalda
 Para aprender a nadar
 Para jugar billar
 Para mejorar tu rendimiento en cualquier deporte que practiques
 Para usar cualquier tipo de herramienta de la manera adecuada
 Para mejorar la seguridad cuando manejas tu carro
 Para que entiendas por que debes usar cinturón de seguridad
 Para entender como funciona toda la tecnología que usas (internet, móvil, pc, etc.) y así
puedas encontrar las fallas cuando las tengas
 Para que disfrutes de la belleza del Universo a través de su entendimiento
Un vector es una línea segmentada y orientada que sirve para representar las magnitudes
vectoriales.
2.3. ELEMENTOS DE UN VECTOR.
Un vector tiene tres elementos fundamentales y son:

Módulo: Es el tamaño del vector A de P a Q.

A =

Dirección: Es el ángulo que forma el vector A
“x” positivo.
con eje

A y
tgθ =   θ = tg
A x

−1
A y
(  )
A x
Sentido: El vector está dado con una flecha en la cabeza, y nos indica hacia que lado de la dirección actúa el vector.
Ax + Ay
 2
 2

15. 13
    
Vector A en función de sus componentes, se tiene:
2.2 OPERACIÓN CON VECTORES.
a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
A = Ax i + Ay j

Dados dos vectores A

y B concurrentes y coplanares que forman entre si un ángulo θ, se
construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. El
ángulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal desde el origen de los vectores.
Por Pitágoras:
 
R = (B + p)2
+ q2
=
 
B2
+ 2Bp + p2
+ q2
=
    
B2
+ 2BA cosθ + A 2
cos2
θ + A 2
sen2
θ
         
R = B2
+ 2BA cosθ + A 2
(cos2
θ + sen2
θ)  R = A 2
+ B2
+ 2BAcosθ
En área de la medicina es de suma
importancia entender un vector fuerza
que actúa en el brazo humano y en los
brazos de un robot que generan
grandes fuerzas.
El movimiento relativo en las
articulaciones resulta en el movimiento
de los elementos que posicionan la
mano en una orientación deseada. En
la mayoría de las aplicaciones de
robótica, se esta interesado en la
descripción espacial del efecto final del
manipulador con respecto a un sistema
de coordenadas de referencia fija.
b) MÉTODO TRIÁNGULO.

Dados dos vectores A

y B concurrentes y coplanares. El traslado debe ser paralelo a uno
de los dos vectores, para colocar a continuación del otro, de modo que exista entre ellos una
continuidad, así la resultante es el vector que cierra el triangulo.
Ley de senos. Ley de cosenos.

R
senα

=
A
senγ

=
B
senβ
    
R = A 2
+ B2
− 2ABcosα
    
A = R2
+ B2
− 2RBcos γ
Suma de ángulos
internos.
180º = γ + α + β
    
B = A 2
+ R2
− 2ARcos β

16. 14

C) DIFERENCIA DE VECTORES.
    
Vector diferencia R = A − B de dos vectores A y B que tienen origen común, es aquel vector

que se dirige desde el extremo del vector sustraendo B

hasta el extremo vector minuendo A .
El módulo se determina mediante.
RESOLUCIÓN DE TRINGULOS RECTANGULOS
    
R = A 2
+ (−B)2
+ 2A(−B)cosθ
    
R = A 2
+ B2
− 2ABcosθ
TEOREMA DE PITÁGORAS
c2
= a2
+ b2
D). MÉTODO DEL POLÍGONO.
Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a

continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante R o también
denominado el vector desplazamiento, se traza uniendo el origen del primer vector con el
extremo del último vector.
2.3 DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO.-
Un cuerpo está en equilibrio cuando carece de aceleración o tiene movimiento continuo.
2.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.
a) PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.
Primera ley de Newton. “Ley de inercia” Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o si actúan
varias su resultante es nula, entonces dicho cuerpo estará en reposo o moviéndose con
velocidad constante.
Fx = 0
F = 0 

F = 0
 y

Fz = 0
R = A + B + C + D + E + F = 0
      
R = A + B + C + D + E
     
DESDE EL PUNTO A DESDE EL PUNTO B
sen =
a
cos =
b
sen =
b
cos  =
a
c c c c
tg =
a
tg =
b
b a

17. 15
b) SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO.
La sumatoria algebraica de los momentos con respecto a un punto de las fuerzas aplicadas es igual a
cero.
MOMENTO DE UNA FUERZA.
Se define momento de fuerza o T de una fuerza F con respecto 0, al producto:
Si un cuerpo está en equilibrio la suma de momentos de todas las fuerzas que actúan en el cuerpo debe
ser igual a cero.
El momento de la fuerza resultante de un conjunto de fuerzas concurrentes, respecto a la articulación, es
igual a:
        
M0 = F1  d1 + F2  d2 + F3  d3 +...... + Fn  dn = 0
    
M0 = M1 + M2 + M3 + ....... + Mn = 0 
2.5 APLICACIONES.-
Aplicaciones. En la vida diaria se utiliza frecuentemente los momentos de fuerza, cuando se atornilla una
tueca con una llave inglesa, cuando se saca agua de un pozo o se gira una rueda de bicicleta.
Palancas: Una palanca es en principio un cuerpo rígido que tiene un punto fijo. Por aplicación de la
segunda ley del equilibrio (la suma de momentos es igual a cero), se equilibra una fuerza resistente R
producida por objetos con una fuerza motora F ejercida generalmente por una persona. Por la
conservación de la energía se tiene FS = RS’; donde s y s’ son los desplazamientos de cada fuerza.
Por lo tanto los desplazamientos son inversamente proporcionales a las fuerzas, se acostumbran
a distinguir tres tipos de palancas según la posición del punto fijo o punto de apoyo, respecto a las
fuerzas F Y R.
a) Primer género.- El punto de apoyo está entre las dos fuerzas. Se puede citar: la balanza de brazos
iguales y la romana, los alicates, las tijeras y el martillo cuando se usa para sacarclavos.
b) Segundo género.- El punto de apoyo está en un extremo y la fuerza resistente está entre el apoyo y
la fuerza motora. Se pueden citar: la carretilla, el destapa botellas y elrompenueces.
n
Mi
i=1

= 0

18. 16
c) Tercer genero.- La fuerza motora está entre el apoyo y la fuerza resistente se pueden citar las pinzas
de coger hielo y el pedal de una máquina de cocer.
Otra aplicación más importante de lo anterior, en medicina, es la inmovilización de huesos
rotos, o en sistemas de tracción como el de Russell, que se aplica en caso de fractura de
fémur.
A = 1,5 kgf
P = 5 kgf
a = 5 cm
b = 15 cm
c = 37,5 cm
Fuerzas producidas en el antebrazo al sostener un peso P.
Otra aplicación de las condiciones de equilibrio se da en cálculo de la fuerza ejercida
por los músculos, como el bíceps mostrado en la figura, donde se conoce el peso del
antebrazo A=1,5 kgf y el peso que sostiene W=5kgf. Aplicando la condición de
equilibrio: M = 0 y considerando que el centro de giro sería la articulación del codo,
se tiene:
M =0  P37,5+ A15 −B5 = 0  B =
537,5+1,515
5
 B = 42kgf
Que es la fuerza ejercida por el bíceps. Es frecuente que los músculos ejerzan fuerzas
mucho mayores que las cargas que sostienen.
Muchos de los músculos y huesos del cuerpo actúan como palancas, las cuales se
clasifican en tres clases. Las palancas de la primera clase son aquellas en las que el
punto de apoyo se encuentra entre el punto de aplicación de la fuerza (en este caso de
la fuerza muscular) y el punto de aplicación del peso que se quiere mover; esta clase
de palancas son las que menos se presentan en la realidad. Las de segunda clase son
aquellas en las que el peso se encuentra entre el punto de apoyo y la fuerza muscular;
mientras que en las de tercera clase, que son las más frecuentes, el punto de
A

19. 17
182
+ 342
aplicación de la fuerza muscular se encuentra entre los puntos de aplicación del peso
y del apoyo (esto se ilustra en la Figura).
Es frecuente que después de cargar un objeto pesado, se sufra de dolor en la parte
baja de la espalda, en la región lumbar, lo que se debe a la mala posición que se
adopta para levantar el peso. Se han hecho medidas de la presión en los discos que
separan las vértebras usando un transductor calibrado conectado a una aguja hueca
que se inserta en el centro gelatinoso de un disco intervertebral para un adulto que
carga un peso adoptando diferentes posiciones: la posición erecta que adopta la
persona sin carga extra provoca una presión en el disco lumbar de aproximadamente
5 atmósferas; si la carga es de aproximadamente 20kg, distribuida en igual forma en
cada mano a los lados del cuerpo, la presión alcanza las 7 atmósferas una vez que la
persona está erecta. Al momento de levantar la carga, si la persona dobla las rodillas,
la presión alcanzará 12 atmósferas, mientras que si no las dobla puede llegar hasta 35
atmósferas (1 atm es la presión ejercida por la atmósfera terrestre al nivel del mar), por
lo que es conveniente doblar las rodillas cada vez que se cargue un peso.
Las tres clases de palancas que se producen en el cuerpo humano. W es una fuerza
que puede ser el peso, M es la fuerza muscular y F la fuerza de reacción.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.Dados dos vectores perpendiculares cuya fuerza horizontal es de -34N y la vertical de 18N.
Determinar el vector resultante y la dirección con respecto al eje x.
SOLUCIÓN.
Por teorema de Pitágoras se tiene la resultante:

F = 

F = 38,47N
Calculando el ángulo  =? por trigonometría:
tgα =
34
18
 α = tg−1
(
34
) 
18
α = 62,10º
La dirección con respecto al eje x es: θ = 90º+α = 90º+62,19  θ = 152,10º
2. Un avión vuela en línea recta y sus aparatos indican una velocidad de 350km/h. Un viento
que lleva una velocidad de 40km/h empuja al avión formando un ángulo de 60º con la
trayectoria. Calculan la suma de las velocidades o resultante.
SOLUCIÓN. Análisis geométrico.

20. 18
3502
+ 402
− 235040cos120º
562
+ 722
+ 25672cos56º
FR + F1 − 2FRF1cos43º
2
2
 
752
+ 852
− 27585cos43º

v
El ángulo que forma entre el avión y viento es:
180º = α + 60º  α = 180º−60º  θ = 120º
Calculando la suma de las velocidades por la ley de
cosenos:

=  v = 371,62
km
h
3.Dos vectores fuerzas cuyos módulos es de 72N y 56N forman entre si un ángulo de 56º en
los huesos húmero y radio de una persona en el instante que hace una fisioterapia.
Determinar el vector suma o la fuerza resultante de las fuerzas en la posición mostrada.
Determinando  =? Por la relación:

SOLUCIÓN.
180º = α +56º  α = 180º−56º 


α = 124º
Calculando el vector resultante: R =

 R =113,27N

Otro método: R =  R =113,27N
4.En el brazo de una persona lesionado un médico fija en la posición mostrada, la fuerza sobre
el hueso cúbito es F1 = 85N y F2 en el hueso húmero forman entre si un ángulo θ y el vector
suma en los huesos o resultante tiene un módulo de 76N y este forma 43º con el vector F1.
Calcular a) El módulo vector fuerza sobre el hueso húmero y b) El ángulo que forman los
huesos húmero y cúbito.
a) Calculando el módulo sobre el hueso húmero por la ley de coseno:
F2 = =  F2 = 59,37N
b) Calculando el ángulo  =? Por la ley de senos.
FR
senα
=
F2
sen43º  senα =
FRsen43º
F2
 α = sen−1
(
75sen43º
) 
59,37
α = 59,49º
El ángulo que forma entre el hueso húmero y cúbito es:
180º= α + θ  θ = 180º−59,49º  θ = 124,51º
562
+ 722
− 25672cos124º

21. 19
5.Determinar el momento resultante con respecto a O, de las siguientes fuerzas mostrado en
la figura.
Calculando el momento resultante es.
M 0 = 16  35 + 29(35 + 45) + 8(35 + 45 + 39) − 38(35 + 45 + 39)
M 0 = −690Ncm
24. La viga de masa despreciable mostrada en la figura se mantiene horizontal y en equilibrio.
¿Qué cantidad de fuerza F requiere para que se mantenga en la posición horizontal?.
El sistema está en equilibrio.
M0 = 0  24  9 + 178  (9 + 13) − Fsen54º (9 + 13 + 11) = 0
216 + 3916
216 + 3916 − 33sen54ºF = 0  F =
33sen54º
 F = 154,77lbf

22. 20
1. INTRODUCCIÓN.
CINEMÁTICA
Podemos definir que la cinemática estudia los movimientos y cambios de posición de los
cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio
de la trayectoria en función del tiempo. La aceleración es el ritmo con que cambia su rapidez. La
rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su
posición en función del tiempo.
Los elementos básicos de la cinemática son: Espacio: porque en el ocurren todos los
fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en
todas las regiones del mismo; Tiempo porque la mecánica clásica admite la existencia de este
ya que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente
de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos; y por
ultimo Móvil: que se puede considerar es el punto material o partícula; cuando en la cinemática
se estudia este caso particular de móvil, se denomina cinemática de la partícula, y cuando el
móvil bajo estudio es un cuerpo rígido se lo puede considerar un sistema de partículas y hacer
extensivos análogos conceptos; en este caso se le denomina cinemática del sólido rígido o del
cuerpo rígido.
En cuanto al movimiento humano, todos como seres humanos necesitamos del movimiento
para sobrevivir: algunos de sus movimientos son notorios, pudiéndose medir y apreciar a simple
vista, otros requieren de equipo para poder ser detectados, ya sea porque son movimientos
muy finos, imperceptibles al ojo humano o que están ocultos dentro de nuestro cuerpo (por
ejemplo el latir del corazón).
Desde la prehistoria, el movimiento le permite funcionar, relacionar y reaccionar en su ambiente
sacándole provecho al mismo. El ser humano necesita aprender a moverse efectivamente para
sobrevivir y funcionar en sociedad.
Medios Discretos, se denomina así a las partículas o cuerpos que tienen grados de libertad
finito.
Grados de libertad, son movimientos independientes de las partículas.
2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
Movimiento de una partícula en el plano unidimensional.
Movimiento. Es el cambio de posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia en
el espacio y en tiempo.
Trayectoria. Es la ruta o camino a seguir por un determinado cuerpo en movimiento.
Distancia. Es la separación lineal que existe entre dos lugares en cuestión, por lo que se
considera una cantidad escalar.

23. 21
Desplazamiento. Es el cambio de posición de una partícula en determinada dirección, por lo
tanto es una cantidad vectorial.
3. DIFERENCIA ENTRE LA DISTANCIA Y EL DESPLAZAMIENTO.
La distancia es la trayectoria que recorre el móvil y es una cantidad escalar.
d = 50 + 60 + 40 
El desplazamiento del móvil es el cambio de posiciones y es una cantidad vectorial.
  
x = xf − xo = 20 − (−50) = 20 + 50 
4. MEDIDAS DE LAS VELOCIDADES.
a) Velocidad media. Es una magnitud vectorial, y se define como el desplazamiento recorrido
en un intervalo de tiempo.
Según la definición tenemos la velocidad media.


 v =
x
=
m
;
cm
;
pie
;
km
;
millas
t s min s h h
Rapidez. Es el módulo ó valor de la velocidad, que indica la relación entre la distancia recorrido
por el móvil con respecto al tiempo que emplea y es una magnitud escalar.
RAPIDEZ Y VELOCIDAD
Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia,
recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos
magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también
obtenemos dos magnitudes diferentes.
La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo. La
velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con
la variación del tiempo.
El velocímetro de un auto proporciona lecturas de rapidez instantáneas en km/h. Los odómetros
indican las distancias en kilómetros
0 40 30 20 10 0
x=xf-xo
10 2
Posición
final
tf
Posición
inicial
t0
y
50m 60m
5 0 30 40 50 60 x (m)
40m
Velocidad = Rapidez + Dirección
v = =


x xf xo

−

t t f −to
d = 150m


= 70mx

24. 22
b) Aceleración media. Es una magnitud vectorial, y se define como la variación de la velocidad
en un intervalo de tiempo.
Según la definición tenemos la aceleración media.


 a =
v
=
t
m
;
cm
s2
min2 ;
pie
s2
5. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS.
Se clasifican por:
Su trayectoria
Rectilínea

Circular

Curvilinea
Parabólica
Su rapidez
Movimientouniforme ó continuo

Movimientovariado
5.1. MOVIMIENTO UNIFORME O CONTINUO.
Es aquel cuerpo ó partícula que describe una trayectoria rectilínea, recorriendo
desplazamientos iguales en tiempos también iguales. Si la velocidad es constante, la velocidad
media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. En el
movimiento uniforme la velocidad se mantiene constante en todos los tramos, entonces
la aceleración es nula.
La velocidad media es: Si xo = 0 y to = 0; Entonces
Analizando gráficamente, tenemos:
La pendiente de la recta es la velocidad. El área del rectángulo representa el
a = =


v vf vo

−

t t f −to
v = =


x xf xo

−

t t f −to
v =


x
t

25. 23
a
1 2
desplazamiento.
A = x = vt  

5.2. MOVIMIENTO VARIADO.
Es aquel cuerpo o partícula que describe una trayectoria rectilínea, donde la velocidad
aumenta y disminuye en tiempos también iguales. En el movimiento variado la aceleración
se mantiene constante en todos los tramos.
ECUACIÓNES DESDE EL PUNTO DEL OBSERVADOR.
La velocidad final en función de la velocidad inicial y tiempo:
  
vf = vo + a(tf − to )
El desplazamiento en función de la velocidad inicial y tiempo: x = v t +
1
at 2
  
o
2
2 2   
Velocidad final en función de la velocidad inicial y desplazamiento:

vf = vo + 2a(xf − xo )
ECUACIONES DESDE EL PUNTO to = 0 y xo = 0
  
La velocidad final en función de la velocidad inicial y tiempo: v f = vo + at
El desplazamiento en función de la velocidad inicial y tiempo: x = v t +
1
at 2
  
o
2
  
Velocidad final en función de la velocidad inicial y desplazamiento: v 2
= v 2
+ 2ax
f o
Analizando gráficamente, tenemos:
La parábola tiene las
condiciones iniciales:






El área de la gráfica
es la variación de la
De la pendiente de la recta
es la aceleración.
xo = 0 y vo = 0 velocidad.
  tgθ =

=
v
 
x = at
2
A = v = at t
6. MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE.
tgθ = v =


x
t v =


x
t

26. 24
Se dice que un cuerpo está en caída libre cuando al moverse sólo se ve afectado de su propio
peso y esto ocurre únicamente en el vacío. Todos los cuerpos en caída libre experimentan la
misma aceleración de la gravedad.
7. MOVIMIENTO VERTICAL.
Línea vertical. Es aquella línea recta, radial a un planeta.
8. ECUACIONES DE CAÍDA LIBRE.
Para ello y de preferencia, se elige un sistema de referencia en el punto de lanzamiento.
La velocidad final cuando está de subida
(punto A) es positiva, cuando está de
bajada (punto B) es negativa y el
desplazamiento “y” es positiva.
La velocidad final solo está de bajada entonces
es negativa y el desplazamiento “y” es negativa.
En este tipo de movimiento la velocidad de la partícula es variable y la aceleración es constante
denominado aceleración de la gravedad (g).
vf vo gt
=

−

y = v t −
1 
t 2 
o
g
2
v f = vo − 2gy
2
2 
vf

= vo − gt
 
y = vo t −
2
gt
  1  2
v f = vo − 2gy
2 2 

27. 25
24 − 6
to = 7AM
m
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una partícula pasa por la
posición inicial xo = 6m en to = 0
a la posición final xf = 24m en tf
= 6s. Determinar su velocidad
media y la rapidez media.
SOLUCIÓN.
Análisis geométrico o modelo geométrico
 
 
−

−
Calculando la velocidad media: vm = x
=
xf xo
=
24 6

Calculando la rapidez media:
t
v =
d
=
t f −to
=
6 − 0
= 
t t t f −to 6 − 0
2. Un Médico sale todos los días de su casa a la misma hora y llega al hospital a las 9 AM, un
día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega al hospital a las 8 AM. ¿A qué
hora siempre sale de su casa?
SOLUCIÓN
Planteando el modelo geométrico.
Analizando el desplazamiento cuando llega a 9 AM:
     
x = vt  x = v(tf − to )  x = v(9 − to ) (1)
Analizando el desplazamiento cuando llega a 8 AM:
     
x = v´t  x = 2v(tf − to )  x = 2v(8 − to ) (2)
Igualando ecuación (1) y (2), tenemos el tiempo de salida.
 
v(9−to ) = 2v(8−to )  9− to = 2(8− to )  9 − to = 2 8 − 2to
2to − to = 2 8 − 9 
3. Un estudiante sale de su casa en su carro con velocidad constante de 12km/h, y luego llega
a su trabajo y desea regresar caminado a velocidad constante de 4km/h por el mismo
camino, durante todo el recorrido tardó 5 horas. ¿Qué tiempo estuvo caminando cuando
estaba de vuelta?
SOLUCIÓN
v = 3i
  m
s

x xf − xo
 
v = 3
m
s

28. 26

Planteando el modelo geométrico.
Analizando el desplazamiento de ida “del carro”.
  
xIda = vIdatIda  xIda = 12tIda (1)
Analizando el desplazamiento de vuelta “caminando”.
  
xVuelta = vVueltatVuelta  xVuelta = 4tVuelta (2)
Además el tiempo de ida y vuelta es 5 horas.
tIda + t Vuelta = 5  tIda = 5 − tVuelta (3)
Igualando ecuación (1) y (2), reemplazando ecuación (3) en (1), tenemos tiempo que estuvo
caminando.
 
xIda = xVuelta  12tIda = 4t Vuelta  12(5 − t Vuelta) = 4t Vuelta
12  5 −12tVuelta = 4tVuelta  12 5 = 4tVuelta + 12tVuelta  tVuelta =
12  5

4 + 12
t Vuelta =3,75hr
t = 3h

t Vuelta = 3,75hr  

t = 0,75h
60min
1h
= 45min
 Ha caminado 3horas con 45min
4.Un móvil se mueve con una velocidad
24m/s durante 37s, con velocidad de 13m/s
durante 46s y con una velocidad de 27m/s
durante 40s, como indica la gráfica.
Calcular la velocidad media durante 123s.
SOLUCIÓN.
Calculando los desplazamientos para cada tramo:
A1 = x1 = v(tf − to ) = 24(37 − 0)  x1 = 888m
A2 = x2 = v(tf − to ) = 13  (83 − 37)  x2 = 598m
A3 = x3 = v(tf − to ) = 27(123− 83)
Calculando la velocidad media es.
 x3 = 1080m
x
v = T x + x + x
= 1 2 3
=
888 + 598 +1080

t tf − to 123 − 0
A3A1
A2
v (m/s)
27
24
13
0 37 83 123 t (s)
v = 20,86
m
s

29. 27
v2

o + 2ax 14,582
+ 27,54272
x x
m xAf m xAf
5. Un atleta puede correr a 10m/s mientras que un aficionado lo hace a 8m/s en una carrera de
100m. El atleta le da una ventaja de x(m) al aficionado para que partiendo al mismo tiempo
lleguen empatados al final. Calcular la ventaja
SOLUCIÓN.
Planteando el modelo geométrico.
Calculando el tiempo que tarde en llegar a la meta el Atleta:

v Af

= Af
t

 t = 
Af
v Af
=
100
10
Analizando el desplazamiento del Aficionado:

 x  
V Af = Af
t
 x Af = v Af t = 8  10 
De la geometría tenemos la separación del atleta y el aficionado.
xm =? 100 = x +

  x = 100−

= 100 − 80  xm = 20m
6.Un ciclista pasa por el punto A con una velocidad de 14,58 pie/s y en ese instante acelera a
7,54 pie/s2
, y se desplazarse 272 pies, ¿Qué tiempo lo emplea y cual la velocidad final?
SOLUCIÓN.
Analizando geométricamente el problema.
Calculando la velocidad final.
v 2
= v 2
+ 2ax  v = =    
f o f
Calculando el tiempo que demora en desplazarse 272 pies.
 
v v at t
v f −vo 65,68 − 14,58
  
f = o +  =  =
a

7,54
OTRO MÉTODO.
Calculando el tiempo que demora en desplazarse 272 pies.
y t =t
Atleta
vAt =10m/s
Aficionado
vAf =8m/s
t =t
0 x
xm xAf.
xAt. =100m
y t = t = ?
vo =14,58pie/s
a =7,54pie/s2
vf =?
A x
x = 272pies
xAf

= 80m
t = 10s
t = 6,78s
v = 65,68
pies
f
s

30. 28
− b  b2 − 4ac
y t = t1 = ? t = t2 = ?
vo =? v = 15m/s vf = 27
a =? a =?
A
80m
R
187m
B x
x = v t +
1
at 2
o
2
 272 = 14,58t +
1
7,54t2

2
3,77t 2
+ 14,58t − 272 = 0
t = =
2a
=
2  3,77
 − 14,58 + 65,684
2  3,77
t =
− 14,58  65,684 
t =
 

7,54
7,54
t =
− 14,58 − 65,684  t = No
 7,54
7.Un ciclista pasa por el Q con una velocidad de 25 m/s y en ese instante aplica los frenos
hasta que la velocidad sea 5,8 m/s, el tiempo que emplea es 7,6 s. Calcular la aceleración y
el desplazamiento.
SOLUCIÓN.
Planteando el modelo geométrico del problema.
 
Calculando la aceleración: v = v − at v − v
 a = o f
=
25 − 5,8

   
f o
Calculando el desplazamiento:
t 7,6
x = v t −
1
at2
 x = 257,6 −
1
2,537,62

   
o
2 2
8. Un ciclista pasa por el punto R con una velocidad de 15 m/s, y a 187 m más adelante su
velocidad es de 27 m/s. ¿Cuál fue la velocidad 80m por detrás del punto R y el tiempo total
empleado?
SOLUCIÓN.
Analizando geométricamente el problema.
m/s
Calculando la aceleración entre los tramos R y B, esta aceleración también es igual el los
tramos A y R.
   
2 2 2 2
v 2
= v 2
+2ax v
 a = f − vo =
27 −15

f o
2x 2  187
y t = t = 7,6s
vo =25m/s
a =?
vf = 5,8m/s
Q x
x = ?
− 14,58  14,58 2
− 4  3,77  (−272) − 14,58  14,58 2
+ 4  3,77  272
a =1,35
 m
s2
x = 116,93m

a = 2,53
 m
s2
t = 6,78s

31. 29
v f −2ax
 2

xBxA
Calculando la velocidad inicial entre los tramos A y R.
      
v 2
= v 2
+ 2ax  v2
− 2ax = v2
 v = =
f o f o o
Calculando el tiempo en los tramos A y B.
 
 
v f = vo

+ atAB
 tAB
v − v
= f
 o
a =
27 − 3
1,35
9. Dos móviles parten simultáneamente del origen del sistema de coordenadas, ambas aceleran
uniformemente en la misma dirección. A los 5 s de la partida la separación entre ambos es de 50 m,
calcular la aceleración del segundo móvil si la aceleración del primero es de 3 m/s2
y además
considere que la aceleración del segundo móvil es mayor que del primer móvil
SOLUCIÓN.
Modelo geométrico
Para móvil A: x = v
t +
1
a t2
=
1
3 52

  0 
A oA
2
A
2 
De la geometría: xB = x A + 50 = 37,5+ 50 
Para móvil B: x 0 1
= v t + a
t 2
=
1
a t 2
 a =
2xB
=
2 87,5

    
B oB
2 B
2 B B
t2
52
10. Un móvil parte del punto A con aceleraciones de aA = 4 m/s2
y en ese instante a 400 m más
adelante otro móvil B parte del reposo con aB = 2 m/s2
en el misma sentido. a) Muestre los
vectores desplazamientos, y b) ¿Al cabo de que tiempo se encuentran?
SOLUCIÓN:
a) Analizando geométricamente el problema.
b) De la geometría se tiene:

= 400 +

 (1)
v = 3
m
o
s
y
t
voA =0
aA=4m/s
2
voB =0
aB=2m/s
2
t
A 400m B
x
xB
xA
152
− 21,35 80
tAB =17,78s
x A =37,5m

xB = 87,5m

a = 7
m
B
s2

32. 30
vo = 17,6
s
 m
x

xA
Para móvil A: x = v t +
1
a t 2
=
1
4t2
 x = 2t2
(2)  0  
A oA
2 A
2 A
Para móvil B: x = v t +
1
a t 2
=
1
2t2
 x = t2
(3)  0  
B oB
2 B
2 B
Reemplazando ecuaciones (2) y (3) en (1)

= 400 +

  2t2
= 400 + t2
 2t2
− t2
= 400  t 2
= 400  t =
11. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad vo, desde una altura de
15m, si la pelota tarda en llegar al piso 4,3s. a) ¿Con que velocidad fue lanzada?, b) ¿Cuál
fue la velocidad en el instante que impacte al suelo? (g = 9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
Planteando el modelo geométrico.
a) Calculando la velocidad inicial con que fue lanzada.
1
gt2
− y
− y = v t −
1
gt2

1
gt2
− y = v t 
v = 2
    
o
2 2
o o
t
 2
v =
0,5  9,81 4,3
o
4,3
−15

b) Calculando la velocidad con que impacta al piso la pelota.
 
v f = vo
− gt = 17,6 − 9,81 4,3 
12. Una partícula es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 45m/s. ¿En qué
tiempo su velocidad será de 25m/s hacia abajo y cuál su desplazamiento? (g = 9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
Calculando el tiempo.
 
    v + v
v f = vo
− gt   (−vf ) = vo
− gt  t = o f
g
t =
45 + 25

9,81
Calculando el desplazamiento vertical.
y = v t −
1
gt2
= 45 7,13 −
1
9,817,132

 
o
2 2
15. Una piedra se lanzada verticalmente hacia arriba con una vo desde una altura de 90 m, y
luego de transcurrir 9 s está a 25 m antes de impactar al suelo. ¿Con qué velocidad inicial
fue lanzada y cuál la velocidad final en ese instante? (g = 9,81 m/s2
)
SOLUCIÓN.
t = 20s
400
v = −24,58
m
f
s
y = 71,49m 

t = 7,13s
B

33. 31

v
Calculando la velocidad inicial de lanzamiento.
y = v t −
1
gt2
  (−y) = v t −
1
gt 2
     
0
2 0
2
1
gt 2
− y
1
9,81 92
−65

= 2 = 2 o
t 9
La velocidad final en el punto B es:
 
v f = vo

− gt = 36, 92 −9,819 
v = 36,92
m
o
s
v = −51,37
m
f
s

34. 32
INTRODUCCIÓN.
DINÁMICA
La actividad física ejerce una gran influencia en el desarrollo social, emocional, intelectual y
espiritual y estimula los principios biológicos de la salud. Esta especialidad proporciona los
conocimientos y habilidades necesarias para diseñar programas que activan la salud por medio
del ejercicio y el movimiento y justamente la dinámica es la física del movimiento. Ella estudia
sus causas, basándose principalmente en las primeras 2 leyes de Newton. Cuando un cuerpo o
partícula deja de estar en equilibrio y comienza a moverse, o cuando un objeto que cuelga de
una polea comienza a descender, hay que preguntarse qué factores (esencialmente distintos
tipos de fuerzas) están provocando el movimiento. Y es precisamente de éste el tema del
presente trabajo: la dinámica llevada y aplicada al cuerpo humano.
También es importante mencionar que a menudo no valoramos nuestro cuerpo lo suficiente,
pero nosotros como estudiantes hemos aprendido que nuestro cuerpo puede demostrarnos lo
extraordinario es y nuestro cuerpo actual es el resultado de millones de años de evolución. La
mayoría de nosotros no somos consientes de que nuestros músculos y huesos tienen una
capacidad increíble, por ejemplos podemos acelerar rápido, sobrevivir a una caída, y levantar
grandes pesos. El cuerpo humano tiene muchos más recursos de los que imaginamos, cada
uno de nosotros guarda una increíble fuerza en su interior, mucha más de la que creemos.
La dinámica es una parte de la mecánica de medios discretos que estudia los movimientos
de las partículas y las causas que producen dicho movimiento.
4.3. FUERZA.
Es el empuje o jalón que se aplica a un cuerpo y da como resultado un cambio de movimiento
del cuerpo o alguna deformación en él.
F = ma = kg
m
s2
= New ton = N
Es la unidad de fuerza en S.I. y viene a ser
aquella fuerza que se aplica a una masa de 1kg y
le produce una aceleración de 1m/s2
.
CONCEPTOS DERIVADOS DE LA DINÁMICA.
Masa:
Definimos como masa a la cantidad de materia que contiene un cuerpo. La materia es la sustancia que
ocupa espacio, mientras que un cuerpo es materia limitada por una superficie cerrada.
Masa inercial:
Para acelerar un cuerpo cualquiera debemos imprimirle una fuerza determinada, la cual es proporcional a
su masa. A esta masa, independiente del campo gravitatorio terrestre, se la denomina inercial. Es
importante destacar que si bien la masa gravitatoria y la inercial son conceptualmente diferentes,
experimentalmente coinciden, por lo cual durante muchos años se pensó que era una casualidad. Sin
embargo, esta equivalencia condujo al desarrollo de la teoría general de la relatividad.
Fuerza.
Es toda acción que tiende a variar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo. En el cuerpo
humano las fuerzas son desarrolladas por los músculos, los cuales tiran desde los puntos de inserción
para producir movimiento. Dado que para definir una fuerza además de su

35. 33
valor absoluto necesitamos conocer su dirección y sentido, las fuerzas son cantidades
vectoriales. La unidad utilizada por el Sistema Internacional es el Newton que representa la
fuerza que hay que imprimirle a una masa de 1Kg para acelerarla 1m/s2
.
Fuerzas internas y fuerzas externas
En Biomecánica se suelen considerar a las partes constituyentes del cuerpo humano como un
sistema, y cualquier fuerza que una parte de este ejerza sobre otra, es considerada una fuerza
interna. Por ejemplo, cuando un músculo se contrae y genera un esfuerzo sobre su punto de
inserción, esta fuerza es considerada interna. Por el contrario, la fuerza gravitatoria, la
resistencia aerodinámica, las fuerzas que se ejercen contra el suelo, o contra otro cuerpo, son
consideradas fuerzas externas.
Pares de Fuerzas
En el cuerpo humano, el movimiento de rotación se produce regularmente mediante pares de
fuerzas. Un par de fuerzas consta de dos fuerzas iguales separadas una de otra que actúan en
direcciones paralelas pero opuestas, produciendo rotación.
Fuerzas Concurrentes
Por lo regular, las fuerzas que se aplican a un objeto no se encuentran alineadas, pero poseen
líneas de acción que residen en ángulos una a la otra. Se dice que existe un sistema de fuerzas
concurrentes cuando dos o más fuerzas se interceptan en un punto de aplicación común. El
efecto neto (o resultante) de todas las fuerzas que actúan en un punto común pueden hallarse
por un proceso conocido como composición (o combinación) de fuerzas (vectores).
Nombrando Fuerzas
Cuando se emplea el formalismo de “objeto sobre objeto” para identificar las fuerzas, el primer
objeto siempre será la fuente de la fuerza, mientras que el segundo se llamará como el objeto
sobre el cual se actúa. El punto de aplicación de la fuerza siempre será ejercido sobre el
segundo objeto. La línea de acción y la dirección se orientará hacia el primer objeto, si es el
caso que existe una tracción hacia éste. Si la fuerza es un presión (empujar), entonces la línea
de acción y la dirección se orientará fuera (se aleja) del primer objeto.
TIPOS DE FUERZAS SEGÚN APLICACIÓN PRACTICA.
Atendiendo a su aplicación práctica nos encontramos con:
1. Fuerza Resistencia.
Se le llama fuerza de resistencia a la capacidad
que tienen los músculos o grupos musculares para
soportar un cansancio durante repetidas
contracciones musculares.
Se realiza este tipo de fuerza en deportes y
actividades de esfuerzo prolongado, como pueden
ser subir cuestas largas corriendo, subir al monte,
el remo, y levantar pesas con muchas repeticiones.
* Otro ejemplo en el que el kinesiólogo aplica una fuerza directamente sobre el cuerpo del
paciente, para movilizarlo a él, o a un segmento de su cuerpo.
2. Fuerza Velocidad.

36. 34

Se le llama fuerza velocidad a la capacidad que tienen los músculos o grupos musculares de
acelerar una masa hasta la velocidad máxima de movimiento (potencia). Esta fuerza en un
período muy corto de tiempo es eficaz.
Este tipo de fuerza se realiza con varios tipos de lanzamientos o todas las actividades que
requieran cierta “velocidad explosiva” en sus movimientos.
3. Fuerza Máxima.
Esta fuerza es la capacidad máxima de tensión que pueden ejecutar los músculos o grupos
musculares.
4. Fuerza General y Fuerza Específica.
Estos términos se emplean en el ámbito escolar.
El objetivo de la Fuerza General es la ejercitación de la fuerza global, no específica.
La Fuerza Específica se realiza con el objetivo de conseguir acondicionar físicamente
grupos musculares localizados y está dirigida a la práctica deportiva de alto rendimiento.
4.4. LEYES DE NEWTON.
1ra
ley de Newton. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o si actúan varias su resultante es
nula, entonces dicho cuerpo estará en reposo o moviéndose con velocidad constante.
Fx = 0
F = 0 

F = 0
 y

Fz = 0
Esta ley postula que un cuerpo u objeto
permanece en estado de reposo o de
movimiento uniforme salvo que actúe sobre él
algún otro cuerpo. Cuando el total de todas las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto
equivale a cero, entonces se dice que éste se
halla en un estado de equilibrio. Dicho estado
puede variar en aquellas circunstancias donde
interviene la acción de una fuerza
desequilibrada. Por ejemplo, un proyectil (una
bola) viajará indefinidamente a través del
espacio en línea recta, siempre y cuando las
fuerzas de gravedad, fricción y resistencia del
aire no alteren/desvíen su curso o provoquen
que se detenga.
* Mientras que el paciente se encuentre en reposo, por ejemplo digamos en un paciente que
sufre de paraplejia, se cumplirá la primera ley de Newton, encontrándose el cuerpo en reposo, a
menos que una fuerza externa se aplique, que es la fuerza aplicada por el kinesiólogo.
La inercia adquiere gran importancia en kinesiterapia, pues los músculos débiles pueden
alcanzar cierta fuerza con el empleo de los ejercicios pendulares ya que al aplicar cierta ayuda
inicial a estos ejercicios, el paciente puede repetir ininterrumpidamente el mismo.
2da
ley de Newton. La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta
que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa.

37. 35
Cuando la fuerza aumenta la aceleración
también aumenta, entonces la aceleración
es directamente proporcional a la fuerza.
Cuando la masa aumenta la aceleración
disminuye, entonces la aceleración es
inversamente proporcional a la masa.
Para una fuerza: a =
F

m
FR
Para un sistema de fuerzas concurrentes y colineales:
La aceleración resulta cuando se aplican
fuerzas externas desbalanceadas sobre un
objeto. Esta ley describe la relación existente
entre la fuerza aplicada, masa y aceleración.
La ley de Newton postula que la aceleración
de un objeto es directamente proporcional a
las fuerzas desbalanceadas que actúan sobre
éste e inversamente proporcional a la masa
de dicho objeto.
a =  FR
m
= ma 
* La segunda ley de newton nos dice que dependiendo de la fuerza externa que se aplique a un
objeto, será la intensidad y la dirección del movimiento, ya que seguirá la misma dirección de
movimiento del vector de la fuerza aplicada.
Ahí entra la manipulación de la terapia pasiva del kinesiólogo, donde el aplicara una fuerza a un
segmento del cuerpo, como la pierna del paciente de la imagen, y esta seguirá el mismo vector
de movimiento que la fuerza que está aplicando el kinesiólogo.
Esto implica que entre mayor sea la aplicación de la fuerza sobre un objeto que posee una
masa constante, mayor será la aceleración de dicho objeto. Lo contrario ocurre (menor
aceleración) si la fuerza aplicada al objeto es menor. Una fuerza aplicada a un objeto con
a  α 1/m  ó a  α 1/ mF  α a  ó F  α a
F = ma
F = ma

38. 36
mayor cantidad de masa habrá de resultar en una menor aceleración en comparación con la
fuerza aplicada a un objeto de menor masa. Esto se puede expresar matemáticamente:
3ra
ley de Newton. Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción), entonces el otro le aplica
una fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción).
Vectorial:
Escalar, el módulo es: F = −R
Esta propiedad de las fuerzas es conocida como “principio de acción y reacción”, y se enuncia:
“A toda acción se le opone una reacción de igual intensidad y dirección, pero de sentido
contrario’’. Aplicada a nuestro objeto de estudio podemos decir que al aplicar una fuerza, doto al
agua de cierta Inercia y me da una fuerza no de igual magnitud y sentido contrario.
De este modo si hago una fuerza hacia abajo, el agua me devuelve otra hacia arriba, tiendo a
elevarme, si la aplicase hacia arriba me hundiría aún más. Empujar el agua siempre hacia atrás,
hace que pueda avanzar. Si observamos un nadador lo vemos más elevado porque propulsa de
forma adecuada y del mismo modo su velocidad media es más alta.
.4.5. PESO.
Si dejamos caer un cuerpo de masa “m” en el vacío, observamos que éste experimenta una
aceleración característica llamada aceleración de la gravedad “g”. Este hecho nos permite
asegurar que el cuerpo está experimentando una fuerza resultante w
por la segunda ley de Newton.
cuyo valor viene dado
4.6. MASA.
Cuando la materia se concentra formando átomos y moléculas, toma el nombre de
sustancia, y llamaremos masa a la cantidad de materia que en dicha forma contiene un
cuerpo sea éste: un sólido, líquido o gas. Newton estableció que un cuerpo oponía más
resistencia al cambio de su movimiento cuando mayor era su masa, lo que nos permite
conceptuar la masa del siguiente modo “La masa es la medida de la inercia que posee un
cuerpo”.
4.7. INERCIA.
• Es un atributo de la materia. Todo cuerpo material se opone al cambio de posición.
w = mg = kg = 1N
s2
  m
F = −R

39. 37
• Cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, tanto mayor será su inercia, es decir, la masa
de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia del mismo, masa y inercia son
proporcionales.
4.8. KILOGRAMO MASA.
Es la masa que presenta un litro de agua a 4ºC y a la presión atmosférica normal. Una masa
idéntica en platino iridiado se conserva en la biblioteca de Pesas y Medidas de Sevres Paris,
a la que se denomina kilogramo patrón.
4.9, NEWTON.
Es la unidad de fuerza en el S.I. y viene a ser aquella fuerza que aplicada a una masa de 1kg
le produce una aceleración de 1m/s2
.
4.10. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO.
A menudo suelen confundirse los conceptos de masa y peso. Sin embargo debemos de
diferenciar:
4.11. FUERZA DE ROZAMIENTO O DE FRICCIÓN.
La fuerza de rozamiento surge entre dos cuerpos puestos en contacto cuando uno se mueve
respecto al otro. Sobre cada uno de ellos aparece una fuerza de rozamiento que se opone al
movimiento.
El valor de la fuerza de rozamiento depende de:
a) Tipo de superficies en contacto (madera, metal, plástico/granito, etc.),
b)Del estado de la superficies, que pueden ser pulidas, rugosas, etc. (madera compacta
finamente lijada, acero inoxidable) y
c) De la fuerza de contacto entre ellas.
4.12. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO.
Características de masa. Características de peso.
1. Es la cantidad de materia que
tiene un cuerpo.
Es una magnitud escalar.
Se mide con la balanza.
Su valor es constante, es decir,
independiente de la altitud y
latitud.
Sus unidades de medida son el
gramo (g) y el kilogramo (kg).
Sufre aceleraciones
1.
2.
3.
4.
2.
3.
4.
5.
5.
6.
Es la fuerza que ocasiona la caída de
los cuerpos.
Es una magnitud vectorial.
Se mide con el dinamómetro.
Varía según su posición, es decir,
depende de la altitud y latitud.
Sus unidades de medida en el Sistema
Internacional son la dina y el Newton.
Produce aceleraciones.
6.

40. 38
N = mg N = mg cosθ
Es la relación constante entre la fuerza de
rozamiento y la relación perpendicular llamado
normal.
tgθ =
fr

N
tgθ  μ =
fr

N
Además, la fuerza normal depende de la superficie.
4.13. TIPOS DE FUERZA DE ROZAMIENTO.
Diremos que, a medida que aumentamos la fuerza externa F, la fuerza de fricción fr también va
aumentando, y mientras que el bloque no se mueva, esta fuerza es siempre igual a la fuerza
externa, tomando el nombre de fricción estático. Sin embargo, existe un valor de F para el cual
fr es máximo, momento en el cual el bloque se encuentra moviéndose; si continuamos
aumentando la F la fuerza fr disminuye, para luego tomar un menor valor y constante, se
denomina fricción o rozamiento cinético.
Rozamiento estático. La fuerza de
rozamiento estático aparece cuando una
fuerza externa trata de mover un cuerpo, con
respecto a otro.
Rozamiento cinético. La fuerza de
rozamiento cinético aparece cuando el cuerpo
F pasa del movimiento inminente al movimiento
propiamente dicho.
4.14. FUERZA NORMAL (N).
Es de naturaleza electromagnética y solo existe la fuerza normal cuando hay un coeficiente
de rozamiento, su dirección es perpendicular a las superficies de contacto entre dos
cuerpos.
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON.
Fuerza de Gravedad
frs = μsN
frk = μkN
Fy
0
= ma  N - mg= may 
y
0
Fy = ma y
 N - mgcosθ = ma y 
fr
frs
Movimiento
inminente
frc
Rozamiento
cinético
0
fr = μN

41. 39
La gravedad representa la fuerza más consistente que enfrenta el cuerpo humano. El
comportamiento de la fuerza de gravedad permite que sea descrita y pueda ser estimada. Es
una cantidad vectorial, de manera que puede ser descrita por un punto de aplicación de la
fuerza, línea/dirección de acción y magnitud. Mientras que la gravedad actúa sobre todos los
puntos del cuerpo, segmentos del cuerpo o un objeto, su punto de aplicación se encuentra
representado por el centro de gravedad (CG) de dicho cuerpo/objeto o segmento de éste.
Según fue descrito en la sección de la organización del cuerpo humano, el centro de gravedad
representa aquel punto hipotético en el cual toda la masa de un cuerpo/objeto se concentra. Es
en este punto donde actúa la fuerza de gravedad.
En un cuerpo u objeto simétrico, el centro de gravedad se localiza en el centro geométrico de
dicho cuerpo u objeto. Por otro lado, en un objeto o cuerpo asimétrico, el centro de gravedad se
encuentra hacia el extremo más pesado, en aquel punto donde se distribuye equitativamente la
masa.
La línea y dirección de acción de la fuerza de gravedad son
siempre verticales y orientadas hacia abajo, hacia el centro de
la tierra. Esto siempre es asía, sin importar la posición actual
en que se encuentra el cuerpo u objeto. Por lo regular, la
magnitud de la fuerza de gravedad equivale a la magnitud de
la masa del objeto, cuerpo o segmento de éste. La longitud de
la línea de gravedad dependerá, entonces, de la escala
empleada. Las unidades de medida para la fuerza de
gravedad y centro de masa dependerán del sistema
empleado. En términos generales, la unidad de medida para
la fuerza es la libra (o kg en el sistema métrico), mientras que
para la masa es el slug (lbs./pies/seg2
). El vector de gravedad
se conoce comúnmente como la línea de gravedad.
Centros de Gravedad Segmentales
Cada segmento de nuestro organismo humano posee su propio centro de gravedad. Esto
quiere decir que, sobre éstos actúan la fuerza de gravedad. En el caso de que dos segmentos
adyacentes se combinan y son considerados como un solo segmento sólidos, entonces el
nuevo segmento tendrá un nuevo centro de gravedad que estaré ubicado entre medio (y
alineado) de los centros de gravedad originales. Si estos segmentos del cuerpo no poseen el
mismo peso, entonces el nuevo centro de gravedad estará localizado cerca al segmento más
pesado.
La posición de un cuerpo u objeto en el espacio no podrá alterar el centro de gravedad de
éstos. Sin embargo, cuando se juntan dos más segmentos adyacentes, entonces la ubicación
del centro de gravedad de esta unidad habrá de cambiar cuando los segmentos se vuelven a
combinar.
Centros de Gravedad del Cuerpo Humano
Desde la posición anatómica de pie, el centro de gravedad en el cuerpo humano se encuentra
aproximadamente en la posición anterior de la segunda vértebra en el sacro. Esto es cierto
cuando todas las palancas del organismo humano se combinan y el cuerpo se considera como
objeto sólido. La ubicación precisa del vector de gravedad para una persona dependerá de las
dimensiones físicas de ésta, donde su magnitud es igual a la masa corporal del individuo.
Centro de Gravedad y Estabilidad

42. 40
g
La localización del la fuerza de gravedad con respecto a la base de aboyo de un cuerpo afecta
la estabilidad de éste. Para que un objeto o cuerpo humano sea estable, la línea de gravedad
debe estar ubicada dentro de la base de apoyo, de lo contrario, cuerpo tiende a caerse.
Además, entre más bajo se dirija el centro de gravedad hacia la base de apoyo de un objeto,
más estable será el cuerpo. Bajo estas circunstancias, existe una remota posibilidad que algún
tipo de movimiento corporal en el espacio ocasione que el centro de gravedad (y la línea de
gravedad) se salga de los límites de la base de apoyo. Otro factor que afecta la estabilidad de
un objeto/cuerpo es el tamaño de la base de apoyo. En general, entre más grande sea la base
de apoyo de un cuerpo u objeto, mayor será su estabilidad. Cuando la base de apoyo es
grande, la línea de gravedad tendrá más libertad para moverse, si tener que salirse de la base
de apoyo.
Relocalización del Centro de Gravedad
El centro de gravedad no solo depende también de la distribución de la masa corporal (peso) en
el cuerpo. El peso de los segmentos corporales cambia con la adición de masas externas,
cargar o levantar resistencias/pesos. Esto implica que el centro de gravedad habrá de moverse
hacia el peso añadido.
La fuerza gravitacional es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.
 m m 
F = −G 1 2
u
r 2
Donde: G = 6,67x10-11
.Nm2
/kg2
es la constante gravitacional universal
MODULO DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON.-
F = G
m1m2
r 2
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Los frenos de un automóvil de 1200kg masa ejercen una fuerza de 1800N. ¿Cuánto espacio
recorrerá el coche hasta detenerse si frena cuando viaja a 72km/h?
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton.

43. 41

F = ma  a =
fr
=
1800

m 1200
Calculando el tiempo que tarda en detenerse.

v = v − at v
 t = o =
20

   
f o
a 1,5
Calculando el desplazamiento que se detiene.
x = v t −
1
at2
= 2013,33 −
1
1,513,332

 
o
2 2
2. Al sistema se aplica una fuerza F1 de 99N y acelera a razón de 1,5m/s2
, determinar el valor
de la fuerza opositora F2, aplicado sobre el bloque de masa 14kg. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignando el sentido de movimiento.
“La aceleración de la masa es en el sentido de la fuerza F1”
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre.
y
fr
x
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton al bloque.

F = ma  F1 - F2 - μN = ma  F1 - F2 - μmg = ma
Despejando F2, tenemos:
 
F2 = F1 - μmg − ma = F1 - m( μg + a) = 99 -14(0,359,81+1,5)  F2 = 29,93N
3.En el sistema mostrado, el bloque de masa 12kg es aplicado una fuerza de 94N y pasa por
el punto A con una velocidad de 3m/s. ¿Qué velocidad tiene cuando pasa por el punto B? (g
=9,81m/s2
)
a = 1,5
m
s2
x = 133,33m

t = 13,33s
a
N
= N m
F2 =? F1
mg

44. 42
v2

o + 2ax

AB 32 + 21,938,31
SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignando el sentido de movimiento. “La aceleración de la masa es en el sentido de
la fuerza”
Calculando el desplazamiento por trigonometría.
sen37º=
5
xAB

xAB
=
5

sen37º

xAB = 8,31m
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre.
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton al bloque.
F =ma  F - mgsen37º =ma
Despejando la aceleración tenemos:
F -mgsen35º = ma  a =
F -mgsen37º
m
a =
94 -129,81sen37º

12
Calculando la velocidad en el punto B por la ecuación cinemática, tenemos.
v 2
= v 2
+2ax  v = =   
f o AB f
4. El sistema mostrado en la figura, determinar el valor de la masa, donde la fuerza aplicada es
97N y acelera a razón de 2,3m/s2
. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignando el sentido de movimiento.
“La aceleración de la masa es en el sentido de la fuerza”
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre.
a = 1,93
m
s2
v = 6,41
m
f
s


45. 43
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton al bloque.
F = ma  F - mgsen35º- μN = ma
F - mgsen35º- μmg cos35º = ma  mgsen35º +μmg cos35º+ma = F
m(gsen35º + μgcos35º+a) = F  m =
F
g(sen35º+ μ cos 35º ) + a
m =
97

9,81(sen35º+0,35 cos 35º ) + 2,3
5. Dentro de un helicóptero se encuentra un dinamómetro del cual pende un bloque de 6kg de
masa. Determínese: a) La lectura del dinamómetro cuando él está en reposo y b) La lectura
del dinamómetro cuando está ascendiendo con una aceleración de 3m/s2
.
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton al sistema.
a) Lectura del dinamómetro es igual a la tensión, cuando la a =0.
F = ma  T - mg= 0  T =mg = 6 9,81 
b) Lectura del dinamómetro es igual a la tensión, cuando la a =3m/s2
.
F = ma  T -mg = ma  T = m(a + g) = 6 (3 + 9,81) 
6. El sistema de bloques m1 = 4kg, m2 = 5kg y m3 = 6kg, están conectados por cables
inextensibles y se mueve en el sentido contrario a las manecillas del reloj. a) Muestre el
diagrama de cuerpo libre con las consideraciones indicadas y b) Calcule la aceleración del
los bloques. (g =9,81m/s2
)
T = 58,86N
T = 76,86N
m = 9,03kg

46. 44
  


SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignando el sentido de movimiento. Los cables son inextensibles entonces:
     
x x x      
v v v    
x1 = x 2 = x3  1
= 2
= 3  v1 = v 2 = v3  1
= 2
= 3  a1 = a2 = a3 = a
t t t t t t
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre.
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton al sistema.
Para la masa m1.
Para la masa m2.
Para la masa m3.
F =ma
F = ma
F = ma
 m1gsen32º-Td = m1a
 Td - T = m2a
 T - m3gsen56º = m3a
(2)
(1)
(3)
Sumando las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene la aceleración.
m1gsen32º-Td
Td - T
T - m3 gsen56º
m gsen32º- m
= m1a
= m2 a
= m3 a
gsen56º = m a + m  
a + m a  g(m sen32º- m sen56º )
a = 1 3
1 3 1 2 3
m1 + m2 + m3
a =
9,81(4sen32º-6sen56º )

4 + 5 + 6
7. Una enfermera va dentro del ascensor que se mueve verticalmente hacia abajo y arriba. La
persona de 900N de peso se encuentra de pie sobre una balanza. Calcular la lectura de la
balanza, cuando el ascensor asciende y desciende con una aceleración constante de 1,5m/s2
.
(g =9,81m/s2
)
a = −1,87
 m
s2

47. 45
SOLUCIÓN:
1º Paso. Asignando el sentido de movimiento.
“La aceleración del ascensor es constante tanto de subida y bajada”
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo libre.
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton cuando asciende y desciende el ascensor.
“El ascensor cuando desciende”
F = ma  w - N =ma  N = w - ma  N = w -
w
a = 900 -
900 1,5
g 9,81
“El ascensor cuando asciende”
F = ma  N - w = ma  N = w + ma  N = w +
w
a = 900 +
900 1,5
g 9,81
N = 1037,61N
N = 762,38N

48. 46
56
1.INTRODUCCIÓN.
TRABAJO ENERGIA Y POTENCIA
Una fuerza constante genera trabajo cuando, se aplica a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de
una determinada distancia. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una
transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en
movimiento. Por otra parte, si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza
trabajo.
2. TRABAJO MECÁNICO PARA UNA FUERZA CONSTANTE.
El trabajo igual al producto del
desplazamiento por la componente de la
fuerza, a lo largo del desplazamiento.
2.1. CASOS ESPECIALES:
a) Si la fuerza actúa en el sentido del movimiento, el trabajo de la fuerza F es:
Si = 0º entonces el trabajo es:
    1
W = F  x cos θ = W = F  x cos 0º
b) Si la fuerza actúa perpendicular al movimiento, el trabajo de la fuerza F es:
Si = 90º entonces el trabajo es:
  0
cos θ = W = F  x cos 90º
c) Si la fuerza actúa en sentido contrario al movimiento, el trabajo de la fuerza F es:
Si = 180º entonces el trabajo es:
    -1
W = F  x cos θ = W = F  x cos180º
 
W = −F  x
2.2. UNIDADES TRADICIONALES DE TRABAJO.
SISTEMA ABSOLUTO SISTEMA TÉCNICO
F Δx W F Δx W
C.G.S. dina cm Ergio grf cm grf-cm
M.K.S. Newton m Joule kgf m kgf-m
F.P.S. Poundal pies Poud-pies lbf pies lbf-pies

W = F x


 
W = ( cosθ)  F x (N m = Joule = J)

W = F x


W = 0

49. 47
F  x
 
3. TRABAJO NETO.
Trabajo neto o total es la suma de todos los trabajos que varias fuerzas realizan sobre un
mismo cuerpo cuando este efectúa un desplazamiento determinado.
 
Trabajo de la fuerza: WF = F  x AB
  
Trabajo de la fuerza de rozamiento: Wfr = −(μN)  x AB = −( μmg cosθ)  x AB
Trabajo de la fuerza normal: WN = 0

Trabajo del peso:
El trabajo neto o total es:
Wmg = −(mgsen θ)  x AB
4. POTENCIA MECÁNICA.
La potencia es aquella que nos indica la rapidez de hacer un trabajo determinado. Su valor nos
informa la cantidad de trabajo promedio realizado en cada unidad de tiempo. En una sociedad
industrializada, las máquinas se seleccionan por la potencia que desarrollan.
Potencia en función de desplazamiento y
tiempo:
P =
W
(
N  m
=
J
= Watts)
t t s
Potencia en función de la velocidad y tiempo:
W
P = = 
t t
5. EFICIENCIA O RENDIMIENTO.
El trabajo útil o la potencia que entrega una máquina nunca es igual a la que se le suministra.
Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, etc. La eficiencia
nos expresa la razón entre la potencia útil y la potencia consumida por una máquina.
WT = WF + Wfr + WN + Wmg + .......+ Wn  WT = W
Factores de conversión
1kWatts = 1000Watts 1hp = 746Watts
1hp = 550 f
s
lb pies
1CV = 735Watts = 75 f
s
kg m
 
P = F v

50. 48
6. LA ENERGIA.
Rendimiento o eficiencia es:
Además.
PEntregada = PUtil + PPerdica
Al mirar a nuestro alrededor se observa que las plantas
crecen, los animales se trasladan y que las máquinas y
herramientas realizan las más variadas tareas. Todas
estas actividades tienen en común que precisan del
concurso de la energía.
La energía es una propiedad asociada a los objetos y
sustancias y se manifiesta en las transformaciones que
ocurren en la naturaleza.
La energía se manifiesta en los cambios físicos, por
ejemplo, al elevar un objeto, transportarlo, deformarlo o
calentarlo.
La energía está presente también en los cambios
químicos, como al quemar un trozo de madera o en la
descomposición de agua mediante la corriente eléctrica.
La energía en cualquiera de sus formas nos indica la
capacidad que tiene un cuerpo o sistema físico para
realizar un trabajo.
6.1. TIPOS DE ENERGIA.
La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la física,
debe suministrarse energía para realizar trabajo. La energía se expresa en las mismas
unidades del trabajo en joules (J). Existen muchas formas de energía: energía cinética, energía
potencial gravitatoria, energía acumulada en resortes, energía potencial eléctrica y magnética,
gases comprimidos o enlaces moleculares, energía térmica e incluso la propia masa.
a) Energía cinética. Un cuerpo posee energía cinética si desde un sistema de referencia tiene
movimiento de traslación.
Aplicando la segunda ley de Newton
tenemos:
F = ma  F  x = max  W = max
Sabemos según la ecuación cinemática:
v 2
− v 2
v 2
= v 2
+ 2ax  ax = f o
f o
2
Tenemos el teorema de trabajo y energía:
2 2  
v
W = max = m( f − vo
)
 W =
1
mv 2
−
1
mv2

2 2
f
2
o
η = Util
100%
PEntregada
P
y t =t
vo vf
v =vf - vo
a
0 x
x
W = ECf −ECo  W = EC

51. 49
W = −EPG
v
La energía cinética es: Unidades de la energía cinética en S.I.
b) Energía potencial gravitatorio. En
particular, la energía potencia gravitatorio es
la energía que tiene un cuerpo gracias a la
posición que ocupa dentro de un campo
gravitatorio y cuyo valor depende
directamente del peso de dicho cuerpo y de la
altura a la que se encuentra con respecto a
un nivel de referencia.
Tenemos el teorema de trabajo y energía:
W = (mg)  h = mg(ho − hf ) = −(mgh f − mgho )
EC = 1
m
 2
2
= kg
m
s2
= kg
m
m = N m = J
s2
W = −(EPGf − EPGo )  Unidades de la energía potencial gravitatorio.
La energía potencia gravitatorio es.
c) Energía potencial gravitatoria. La energía
potencial elástico a aquella que almacenan
todos los cuerpos elásticos en general cuando
se encuentran deformados. Para el caso de
un resorte podemos encontrar la energía
potencial elástica almacenada en base al
trabajo realizado para estirarlo.
Según la ley de Hooke tenemos:
F = −kx
Tenemos el teorema de trabajo y energía en
un resorte mecánico:
EPG
= mgh = kg
m
s2
m = N  m = J
xf xf xf 2 xf
x
W = F  dx = (−kx )  dx = −k xdx = − k = −k(
xf x 1 1
− o
) = −( kx 2
− kx 2
)
xo xo
2 2 2
xo 2
f
2
o
W = −(EPEf − EPEo )  W = −EPE
Donde la energía potencial elásticos es: Unidades de la energía potencial elástico.
EPE =
1
kx2
2
=
N
m2
m
= N  m = J
7. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS.
a) Fuerzas conservativas. Sea un cuerpo de masa m que se lanza con una velocidad inicial vo
hacia un resorte de constante k. La velocidad del cuerpo permanece constante hasta que entra
en contacto con el resorte. A partir de este momento disminuye su velocidad y por consiguiente
disminuye su energía cinética, que se hace nulo cuando el cuerpo queda en reposo por efecto
de la fuerza elástica. Ahora el cuerpo comienza a moverse en sentido contrario y cuando pasa
de nuevo por la posición de contacto inicial con el resorte, veremos que tiene la misma
EPG = mgh
E = mv
1 2
C
2
EPE
=
1
kx 2
2
2

52. 60
50
velocidad y energía cinética que tenia originalmente. Entonces, está claro que al terminar un
viaje redondo la capacidad del cuerpo para hacer trabajo permanece igual, se ha conservado.
Si arrojamos un cuerpo verticalmente
hacia arriba, regresará a nuestra
mano con la misma energía cinética
que tenia cuando salió de ella.
La fuerza elástica ejercida por un
resorte, la fuerza gravitatoria y otras
que se comportan en la forma
indicada, se llaman fuerzas
conservativas. Una forma más amplia
de definir la fuerza conservativa es:
“Si el cuerpo que se mueve en un
trayectoria cerrada o ciclo, impulsada
por una fuerza conservativa, el trabajo
realizado debe ser mulo”.
b) Fuerzas no conservativas. Si el cuerpo
regresa a su posición inicial, ya sea con más
o menos energía cinética que tenía
inicialmente, entonces en un ciclo ha
cambiado su capacidad para realizar trabajo,
o mejor en un viaje redondo el trabajo neto
de la fuerza no es nulo. En estas
condiciones, esta fuerza y otras que obran de
la misma manera se denominan fuerzas no
conservativas.
8. ENERGÍA MECÁNICA.
Es la suma de todas las energías que posee un cuerpo o sistema en un punto de la trayectoria.
9. EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LAENERGÍA.
“La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma o cambia de lugar”; es decir, en todos
los procesos hay intercambio de energía pero la energía total se mantiene constante.
La energía puede transformarse de una forma en otras, no obstante, siempre se mantiene
constante, como vemos en el ejemplo siguiente:
Energía química Energía cinética Energía
potencial Energía cinética Energía calorífica
En todos estos casos, la energía inicial es transformada en otro tipo de energía.
E = E +Em C PG PE+ E =
1
mv
2
2 + mgh +
1
kx2
2

53. 51
Em O = Em f + μNx0  Em O = Em f
ECo PGo PEo Cf PGf PEf+ E + E = E + E + E 
2
1
mv2
+ mgh +
1
kx 2
=
1
mv2
+ mgh +
1
kx2
o o
2
o
2
f f
2
f
O f x E + E + E = E + E + E + μN
a) Conservación de la energía, para fuerzas conservativas, las únicas fuerzas actuantes sobre
un cuerpo son fuerzas conservativas, el trabajo de la fuerza de rozamiento es nulo, (No
existe coeficiente de rozamiento, entonces Wfr = 0).




b) Conservación de la energía, para fuerzas no conservativas, el trabajo de las fuerzas no
conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema, la energía
mecánica no se conserva, (Existe coeficiente de rozamiento, entonces Wfr  0 ).
Em = Em + μN



Co PGo PEo Cf PGf PEf x
Se tiene la fuerza normal y el desplazamiento.
10. FÍSICA EN EL FUNCIONAMIENTO DEL CUERPO HUMANO
Movimiento del sistema
músculo esquelético
Desplazamiento
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Brazo
Torque
Giro
Trabajo
Potencia
Energía
2
1
mv2
+ mgh +
1
kx 2
=
1
mv2
+ mgh + kx + μNx1 2 
o o
2
o
2
f f
2
f

54. 52
N
EJERCICIOS RESUELTOS
1.Calcular, cuantos HP desarrolla un camión que carga 50 bloques de cemento durante 10min,
al desplazarse por una pista de 3km, haciendo una fuerza de 10000N (cada bloque es igual a
46kg).
SOLUCIÓN.
Planteando el modelo geométrico.
y
F=10000N v =?
t = t =10min = 600s
0
Calculando la velocidad del camión.
x
x=3000m


v =
x
=
3000

t 600
Calculando la potencia que desarrolla el camión (1HP = 746w).

P = Fv = 100005  P = 50000w 1HP
746w
2. El trabajo de la fuerza resultante es 50J, el bloque mostrado tiene 18kg de masa y se ha
desplazado la superficie rugosa AB que es 8m. Calcular el coeficiente de rozamiento
cinético. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
Determinando la fuerza normal, tenemos.
N = mg + 20 + 60sen34º= 18 9,81+ 20 + 60sen34º 
Calculando el coeficiente de rozamiento por la definición del trabajo neto.
0 0 0
WT = WF1 + Wmg + WN + Wfr + WF2

    60x cos34º−W
WT = (60cos34º )  x − (μN) x  μNx = 60xcos34º−WT  μ = 
x
μ =
60  8 cos34º−50

230,13  8
3. Calcular el mínimo trabajo que deben de realizar las personas que aplican una fuerza
resultante de F=420N al trasladar un bloque de 150kg, desde A hasta B, con una velocidad
constante. (g =9,81m/s2
)
v =5
 m
s
μ = 0,19
P = 67HP
N = 230,13N
T

55. 53
1kgf
8
sen57º = 
 x =
8
 x = 9,54m
 

x AB
El trabajo total es:
AB
sen57º
0
AB
WT = WF + Wmg + WN + Wfr 

WT = F  x AB − mgsen57º x AB − μmg cos57º x AB
WT = x AB (F − mgsen57º−μmg cos 57º ) = 9,54(420 − 35  9,81sen57º−0,45  35  9,81cos57º )
WT = 456,89J
4. Un motor consume una potencia de 4HP y es capaz de elevar un bloque de 33kg de masa a
razón de 8m/s. ¿Cuál la eficiencia del motor? (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
Calculando la potencia útil.
PUtil = F v = T  v = mgv  PUtil = 339,818  PUtil = 2589,84W
PUtil = 2589,84W
1HP
Calculando el rendimiento del motor: η =
PUtil
PEntregada
100 =
3,47
100 
4
5. Una bomba de 5HP, tiene un rendimiento de 75%. ¿Cuántos litros de agua extraer de un
pozo, cuya profundidad es de 30m al cabo de 2 horas =7200s?
SOLUCIÓN.
Calculando la fuerza para subir un litro de agua. 1lt → 1kgf  F = 1kgf
9,81N
= 9,81N
746W
η = 86,79%
 PUtil = 3,47HP

56. 54
1HP
215
0,81
x
 

=
Calculando el trabajo para subir “n” litros. W = n(F  

) =n(9,8130)  W = n294,3
Además la potencia útil es: PUtil =
W
t
=
n294,3
7200
(1)
Calculando la potencia útil para 75%. PEntregada = 5HP
746W
= 3730W
η =
PUtil
P
100  PUtil
ηPEntregada
=
100 =
753730
100  PUtil =2797,5W (2)
Entregada
Igualando ecuación (1) y (2), tenemos “n” litros de agua que debe subir.
2797,5 =
n294,3

7200
2797,57200 = n294,3  n =
2797,5  7200

294,3
6. Un bloque de 50kg de masa parte de reposo del punto P y es desplazado 15m debido a una
fuerza de 183N, como indica la figura. ¿Qué potencia debe de desarrollar la persona? (g
=9,81m/s2
)
3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton y tenemos la aceleración.
F = ma  Fcos50º−μN = ma  a =
Fcos 50º−μN
=
Fcos 50º−μ(mg − Fsen50º )
a =
183 cos50º−0,22(50  9,81− 183sen50º )
50
m m

 a = 0,81
s2
Por la ecuación cinemática calculamos el tiempo.
 0   
x = v t +
1
at2
o
2
 x =
1
at2
2
 t =
2x

a
t = 6,08s
n = 68440,37lt
m

57. 55
min

x
Calculando al potencia que desarrolla la persona.

P =
W
=
(Fcos50º )  x
=
(183cos50º )15

t t 6,08
7. Una escalera mecánica esta diseñada para transportar 72 personas por minuto. La masa
promedio de cada persona es de 66kg y la velocidad de la escalera es constante y es de
0,64m/s. Determinar la potencia requerida en HP. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignar sentido de movimiento y calculando el desplazamiento.
sen37º =
3,21

x
 3,21
x = 
sen37º

x = 5,33m
3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton y tenemos la fuerza.
F =ma
0
 F − mgsen37º = ma Si v = cte  a = 0
F = mgsen37º = 669,81sen37º  F =389,65N
Calculando la potencia requerida para 72
Personas
.
min
P =
W
t
F 


=
Nopersonas
t
= 389,65  5,33 72
No
N  m Personas


60s
P = 2492,20W 1HP
746W
8. Calcular el trabajo que se debe realizar para levantar una barra homogénea de 50kg de
masa, desde la posición vertical hasta que forme 55º con la vertical. Si L = 4m. (g =9,81m/s2
)
1min
P = 290,21W
P = 2492,20W
P = 3,34HP

58. 56

SOLUCIÓN.
Por trigonometría, calculamos la distancia y =?
cos55º= y

L / 2
y =
L
cos55º
2
De la geometría tenemos la relación de altura.
1
L = y + h  h =
1
L − y =
1
L −
L
cos55º  h =
L
(1− cos55º )
2 2 2 2 2
El trabajo realizado es:
W = mgh = mg
L
(1− cos55º ) = 509,81
4
(1− cos55º ) 
2 2
9. El bloque de 16kg de masa asciende con velocidad constante de A a B, como indica la
figura. ¿Qué trabajo debe realizar la fuerza F sobre el bloque?
SOLUCIÓN.
1º Paso. Asignar sentido de movimiento y calculando el desplazamiento.
sen39º=
3,47

x AB

xAB =
3,47
sen39º

xAB = 5,51m
3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton y tenemos la aceleración.
F = ma
0
 Fcos22º−mgsen37º−μN = ma Si v = cte  a = 0
Fcos22º−mgsen37º−μ(mg cos39º−Fsen22º ) = 0
Fcos22º−mgsen39º−μmg cos39º+μFsen22º = 0
Fcos 22º+ μFsen22º = mgsen 39º+ μmg cos39º
F(cos22º+μsen22º ) = mg(sen39º+μcos39º )
F =
mg(sen39º+μcos39º )
=
16  9,81(sen39º+0,65cos39º )

cos 22º+ μsen22º
Calculando el trabajo total.
cos 22º+0,65sen22º
W = F  x AB = 152,10  5,51 
10. Un bloque de 750kg es jalado pro un motor de 2,5kW y 82% de eficiencia, a velocidad
constante, como muestra la figura ¿Qué tiempo demora en subir de A a B de la superficie
inclinada? (g =9,81m/s2
)
W = 418,32J
F = 152,10N
W = 838,07J

59. 57
SOLUCIÓN:
1º Paso. Asignar sentido de movimiento y determinado el desplazamiento de A a B.
sen56º=
17
 
x AB

xAB =
17
sen56º
3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos la tensión.
F = ma  T − mgsen56º−μN = ma
0
Si v = cte  a = 0
T − mgsen56º−μmg cos56º = 0
T = mg(sen56º+μcos56º ) = 750  9,81(sen56º+0,43cos56º ) 
Calculando el tiempo que demora en subir de A a B.

P
η = Util
100
 PUtil
ηPEntregada
= 
W
=
ηPEntregada
 t = T  xAB100
PEntregada
t =
7868,78 20,51100

82  2500
100 t 100 ηPEntregada
11. Un ascensor y su carga poseen una
masa de 900kg, y el contrapeso tiene
una masa de 320kg. ¿Qué eficiencia
posee el motor eléctrico que lo hace
descender con velocidad constante
de 1,85m/s, el motor consume 12kW
durante su desempeño. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN:
1º Paso. Asignar sentido de movimiento.
2º Paso. Hacer el diagrama de cuerpo
libre.
xAB

= 20,51m
T = 7868,78N
t = 78,73s

60. 58
3º Paso. Aplicando la segunda ley de Newton “v
= cte entonces a = 0”.
Para el ascensor M.
F = ma
Para el contrapeso m.
0
Mg− F − T = Ma  Mg− F − T = 0 (1)
F =ma  T −mg
0
= ma  T = mg (2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1), tenemos la fuerza F del motor.
Mg −F − T = 0  Mg −F −mg = 0  Mg − mg = F
F = g(M−m) = 9,81(900− 320)
Calculando la potencia útil.
 F =5689,8N
PUtil = F v = 5689,81,85 
Calculando el rendimiento o eficiencia del motor.
η =
PUtil
PEntregada
100 =
10,53kW
100 
12kW
12. Un bloque de 1200kg de masa es arrastrado por una cuerda de manera que se desplaza
de A hasta B con velocidad constante, en un tiempo de 9,4s y las componentes en el punto B
es (x = 5,93, y = 4)m. ¿Qué potencia en HP desarrolla el motor. Si coeficiente de rozamiento
en la superficie inclinada es 0,57?
Calculando el desplazamiento de A a B, por trigonometría.
sen34º= 4
x AB
xAB
=
4

sen34º
3º Paso. Aplicando la segunda ley Newton tenemos. (g =9,81m/s2
)
xAB = 7,15m
PUtil = 10526,13W = 10,53kW
η = 87,75%

61. 59
2  9,8112,04
A A C B BCA B
=
F = ma  T − mgsen34º−μmg cos34º= ma si v = cte  a = 0
T = mgsen34º+ μmg cos34º = mg(sen34º+ μ cos34º ) = 1200  9,81(sen34º+0,57 cos34º )
Calculando la potencia de la definición se tiene:
P =
W
t
T  xAB
T =
12145,69 7,15

9,4
La potencia en HP es: P = 9238,48W 1HP
746W
13. Un bloque de masa “m” parte del punto A
y pasa por el punto B del plano inclinado
sin fricción. Calcular la velocidad con que
pasa el punto B. (g =9,81m/s2
)
SOLUCIÓN:
1º Paso. Asignar el nivel de referencia.
hA
sen37º =
20
 hA = 20sen37º
hA = 12,04m
2º Paso. Por la conservación de la energía para fuerzas conservativas, tenemos la altura.
Em A = EmB  E + EPG + EPE = E + EPG + EPE1
mv2
+ mgh +
1
kx2
=
1
mv 2
+ mgh +
1
kx2
 mgh =
1
mv 2
 v =
 0 0  0 0  
2
A A
2 A
2 B

v 
B
2 B A
2 B B
B
14. Una esfera se deja en libertad en el punto “A” y luego se desplaza por la pista sin
rozamiento como se indica la figura. Determinar a) Con que velocidad pasa por el punto “B”,
b) La energía mecánica en el punto “B”. (m = 200gr,  = 37 R = 1,5m y h = 1,70m).
SOLUCIÓN
1º Paso. Asignar el nivel de referencia. “El nivel de referencia es el punto más bajo del sistema”
Calculando la altura “y” por trigonometría.
T = 12145,69N
2gh A
v = 15,37
m
B
s
P = 9238,48W
P = 12,38HP
=

62. 60
senθ =
h
R
 h = Rsenθ = 1,5sen37 
Calculando la altura total con respecto al nivel de referencia.
y = h + H = 0,9 + 1,7 
2º Paso. Por la conservación de la energía para fuerzas conservativas, calculando la vB en el
punto B.
Em = Em 
1
mv 2
+ mgy +
1
kx2
=
1
mv 2
+ mgh
0
+
1
kx 2
0 0 0
A B
2 A
2 A
2 B B
2 B
mgy =
1
mv2
 v = = 2 9,812,6 
2 B B
b) Calculando la energía mecánica en el punto “B”.
Em =
1
mv2
+ mgh
0
+
1
kx 20
=
1
mv2
=
1
0,2  7,142

B
2
B B
2
B
2
B
2
2gy v = 7,14
m
B
s
h = 0,9m
y = 2,6m
EmB = 5,60J