02 estatica - sistemas de fuerzas

Ing. Jorge A. Papajorge Estabilidad I – Primera Parte
UNLZ – Facultad de Ingeniería
1
ÍÍNNDDIICCEE
CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................................................ 3
INTRODUCCION................................................................................................................................... 3
CONCEPTO DE FUERZA.................................................................................................................. 3
EQUILIBRIO ESTATICO O EXTERNO:............................................................................................. 3
EQUILIBRIO ELASTICO:.................................................................................................................. 3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUERZA .................................................................................. 5
INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................... 6
ELEMENTOS ESTRUCTURALES: ....................................................................................................... 7
ESTÁTICA..................................................................................................................................................... 9
ELEMENTOS DE LA ESTÁTICA.................................................................................................................... 9
SISTEMA DE FUERZAS .............................................................................................................................10
CLASIFICACIÓN .......................................................................................................................................10
SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS:..........................................................................................................11
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA.......................................................................12
Primera Operación:...........................................................................................................................12
Segunda Operación: ..........................................................................................................................12
Tercera Operación: ...........................................................................................................................14
Cuarta Operación: ............................................................................................................................15
MOMENTO DE GIRO.................................................................................................................................16
CONCEPTO DE CUPLA O PAR DE FUERZAS........................................................................................19
| Teorema de Varignon:.....................................................................................................................21
SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS...........................................................................................................22
A) SISTEMA PLANO CONCURRENTES: ........................................................................................................22
Condición analítica de equilibrio: .....................................................................................................23
Condición Gráfica de equilibrio:.......................................................................................................24
Ejemplos de equilibrio:......................................................................................................................25
B) SISTEMA PLANO DE FUERZAS NO CONCURRENTES..................................................................................25
Método Analítico...............................................................................................................................25
Condición gráfica de equilibrio:........................................................................................................28
SISTEMA PLANO DE FUERZAS NO CONCURRENTES........................................................................33
MÉTODO VECTORIAL: .............................................................................................................................33
Aplicación .........................................................................................................................................33
C) SISTEMA PLANO DE FUERZAS PARALELAS:.............................................................................................34
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA ...........................................................................................................35
DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICA” DE SISTEMA DE FUERZAS PLANO CONCURRENTES .............39
MÉTODO DE CULMANN............................................................................................................................39
Solución Gráfica................................................................................................................................39
DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICO –NUMÉRICA” DE UN SISTEMA DE FUERZAS PLANO NO
CONCURRENTES........................................................................................................................................41
MÉTODO DE RITTER ................................................................................................................................41

2
SISTEMA ESPACIAL DE FUERZAS .........................................................................................................44
A) ESPACIAL CONCURRENTE ...................................................................................................................44
Método Gráfico :...............................................................................................................................44
Método Analítico :.............................................................................................................................45
Condición analítica de equilibrio : ....................................................................................................45
B) SISTEMA ESPACIAL DE FUERZAS PARALELAS.........................................................................................47
Condición analítica de equilibrio: .....................................................................................................48
C) SISTEMA DE FUERZAS ESPACIAL NO CONCURRENTES:............................................................................48
CARGAS DISTRIBUIDAS O REPARTIDAS .............................................................................................58
Carga Uniforme o Constante .............................................................................................................58
Carga Distribuida Lineal: .................................................................................................................58
Cargas no constantes ni lineal...........................................................................................................59
CARGAS DISTRIBUIDAS SOBRE UNA SUPERFICIE .........................................................................................59
Cargas Distribuidas sobre un Eje ......................................................................................................59
CARGAS DISTRIBUIDAS CONSTANTES.......................................................................................................60
CARGAS DISTRIBUIDAS LINEALMENTE......................................................................................................60
CARGAS DISTRIBUIDAS NO CONSTANTES NO LINEALES .............................................................................61
Simpson.............................................................................................................................................61
Por la Fórmula de los Trapecios........................................................................................................61
Ejemplo:............................................................................................................................................61
ANÁLISIS DE CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS ..................................................................................63

3
CCOONNCCEEPPTTOOSS GGEENNEERRAALLEESS
A1 hablar de la estabilidad de las estructuras, nos referimos a la firme permanencia de
estas en el espacio, considerando que las obras construidas por el ingeniero, deberán tener las
debidas garantías técnicas de resistencia y disponiendo además de una sólida cimentación.
En estabilidad de las estructuras nos ocuparemos del estudio de la estática y de la
resistencia de los materiales, siendo de extrema importancia su diferenciación.
La estática estudia el equilibrio de un cuerpo o estructura rígida e indeformable, bajo la
acción de fuerzas solicitantes exteriores al mismo.
En cambio la resistencia de los materiales se ocupa del equilibrio entre fuerzas
desarrolladas en el interior de un sólido y de sus respectivas deformaciones originadas como
consecuencia de las fuerzas aplicadas al mismo.
En la realidad no existen materiales absolutamente rígidos e indeformables, pero en el
caso de los materiales usados en las estructuras, las deformaciones son muy pequeñas en
función de las tensiones que trabajan esos materiales, por eso es valido nuestro estudio del
cuerpo rígido, claro esta que dentro de ciertos limites que analiza la ley de Hooke.
IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN
CONCEPTO DE FUERZA
La fuerza solo es reconocible por sus efectos en los cuerpos, vale decir que es un
agente externo al cuerpo, capaz de impedir, realizar o modificar sus movimientos. Son ellas, el
peso propio de un cuerpo o estructura, sus sobrecargas la acción del viento sobre las mismas,
la presión del agua contra un dique, etc.
Llamaremos fuerzas externas o solicitaciones a las ejercidas sobre un cuerpo por
otros cuerpos.
Denominaremos fuerzas internas o tensiones a las acciones mutuas que se desarrollan
entre las moléculas o partículas elementales de un cuerpo como consecuencia de las fuerzas
externas aplicadas al mismo.
EQUILIBRIO ESTATICO O EXTERNO:
Cuando varias fuerzas aplicadas sobre un cuerpo en reposo no producen ningún
movimiento del mismo, decimos que las fuerzas forman un sistema en equilibrio. Debiendo
encontrarse en reposo.
EQUILIBRIO ELASTICO:
A1 recibir fuerzas externas, todo cuerpo experimenta una deformación debida a la
tendencia de estas a variar la posición relativa de los puntos sobre que vienen aplicadas.
A1 iniciarse la deformación nacen entre las moléculas del cuerpo las llamadas fuerzas
internas o tensiones que se oponen a hs mismas y crecen con ellas hasta contrarrestar la acción
de las externas, siempre que estas no lleguen a ciertos limites. Entonces cesa la deformación y
el cuerpo adquiere una nueva forma permanente mientras dure la acción de las fuerzas
externas sobre el mismo.

4
Vale decir que en estas condiciones existe equilibrio entre fuerzas externas –internas.
Como dijimos anteriormente, las deformaciones que tienen lugar en este proceso,
generalmente don despreciables comparadas con las dimensiones del cuerpo. De allí que los
cuerpos sólidos dentro de ciertos limites de las fuerzas externas aparezcan como
indeformables y en muchos casos no de lugares a errores sensibles de calculo, al considerarlos
como tales.
Pero si las fuerzas externas pasaran de estos limites, las internas o resistentes no
podrían crecer hasta guardar equilibrio con aquellas, sobreviniendo entonces la rotura, del
cuerpo, por la destrucción de la mutua dependencia de una de sus partes con las otras.
Debe entonces procurarse para evitar la rotura que las fuerzas externas no determinen
en ningún lugar de los mismos, fuerzas internas mayores que las que puedan desarrollar los
cuerpos o materiales empleados.
Por lo tanto en todos sus puntos las fuerzas externas determinan fuerzas internas que
puedan ser resistidas por el material empleado llegando así al equilibrio interno o elástico. Lo
que implica que las fuerzas internas no alcancen en ningún lugar valores tales que puedan
traer como consecuencia la rotura del material.
No existe en la practica ningún material absolutamente rígido, pues todos se deforman
en mayor o menor grado bajo la influencia de las cargas, por lo tanto es preciso limitar la
cuantía de estas deformaciones como alargamientos, acortamientos, flexiones, torsiones,
desplazamientos, etc., con el objeto de no comprometer la seguridad de las estructuras,
fijándose un máximo no sobrepasable.
Normalmente estas deformaciones desaparecen una vez que las cargas han cesado,
volviendo los cuerpos a sus formas y posición primitivas, se dice entonces que los cuerpos son
elásticos o están dentro de los limites de elasticidad.

5
RREEPPRREESSEENNTTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA DDEE UUNNAA FFUUEERRZZAA
Siendo la fuerza una magnitud vectorial, se la podrá representar gráficamente como un
vector. Por lo tanto tendrá todas las propiedades del mismo.
 Punto de aplicación (A): Donde actúa la fuerza directamente.
 Recta de Acción (a) o Dirección: Por donde la fuerza se puede desplazar libremente.
 Sentido: Se pone en evidencia por la flecha.
 Magnitud, Intensidad o Modulo: Es un segmento AB orientado, que determina el
valor de la fuerza, generalmente en unidades (t), (Kg), (Gs).
Ba
A
P
B
c
Fig.1-
Fuerza P alicada en un putno A de
la chapa c
Como dijimos anteriormente, la fuerza no es un vector, sino que esta representada
Para representar gráficamente al vector, será necesario disponer de una escala de
fuerzas (EF).
 
 cm
t
EF
1
1
: En este caso, cada centímetro de dibujo representara una Tonelada en el
vector fuerza. A los efectos del gráfico se podrá disponer además, de una escala lineal (EL).
 
 cm
m
EL
1
5
: Donde cada centímetro, representara 5 metros de la longitud real.

6
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
P1
P2
P3 x
y
A
G
fibra media
Fig. 2.-
Viga como elemento estructural
sustentado estáticamente
Se llama estructura a los elementos componentes de una obra que, en virtud de la propia
resistencia, garantizan su estabilidad.
Las estructuras se componen de diversos materiales como: madera, acero, Hormigón
Armado, Aluminio, etc.
La forma fundamental en que resultan aptos los materiales, en el sentido más amplio
para construir una estructura, se llama Barra.
Las estructuras en forma de viga, o simplemente viga es una barra horizontal que
descansa sobre apoyos verticales, que bajo la influencia de las cargas se flexa (deforma), por
lo tanto deberá estar formada por un material resistente a la flexión, es decir madera, Acero, u
Hormigón Armado. El hiero fundido y la piedra, son relativamente poco resistentes a la flexión
y en consecuencia adecuados solo a vigas pequeñas.
Las cargas de las vigas se transmiten verticalmente a sus respectivos apoyos y se
hallaran contrarrestadas por las reacciones de sus vínculos. (principio de equilibrio de acción y
reacción –Newton).

7
EELLEEMMEENNTTOOSS EESSTTRRUUCCTTUURRAALLEESS::
Son barras que las materializamos como vigas, losas, columnas, etc. constituidas por
sólidos de forma prismáticas cuyas dimensiones transversales son pequeñas en relación a las
longitudinales.
A: Sección transversal o perfil
Y: Eje de simetría
X: Eje de la barra
G: Centro de gravedad
X –Y: Plano de simetría, en donde se encuentran todas las fuerzas que actúan sobre la
barra. Donde a dichas fuerzas las denominamos "cargas".
E1 plano X - Y es donde esta representada la barra, por lo tanto a toda barra rígida, se
la asimila a una chapa plana infinitamente delgada que materializa cualquier superficie plana.
Por lo tanto todos los cuerpos rígidos pueden estudiarse como chapas.
Debemos recordar que en la realidad ningún cuerpo es
rígido, todos ellos se deforman, siendo como dijimos
anteriormente, la rigidez una aproximación para su estudio.
Por lo tanto a la barra de la fig. 2 se la podrá
representar en el plano xy a los efectos del estudio de su
equilibrio, como una línea que representa su eje o fibra media.
En ella actuaran todas las cargas coincidentes con el plano de simetría.
A la fibra media, después de actuar las cargas sobre la barra y al producirse la
deformación por flexión, se la denomina fibra neutra.
La sección transversal A, o perfil de la barra, puede cambiar de forma o tamaño, puede
además ser lleno o hueco. Cada una de estas variaciones podrá estar dimensionada de acuerdo
a su estado de cargas, dependiendo además del material a utilizar en cada una de ellas.
En vigas de Hormigón Armado, por ejemplo son secciones generalmente rectangulares,
ello se debe a razones constructivas, por lo general este tipo de estructuras se realiza in situ,
dependiendo de la economía del encofrado y la rapidez de su desplazamiento. Debemos tener
en cuenta que este tipo de material necesitara 28 días para finalizar su primer periodo de
fraguado.
En cambio, los perfiles de Acero laminado por razones estáticas, se le han impuesto
determinadas formas que en el comercio se los conoce con el nombre de perfiles normales.
P1
P2 P3
Fig.3.-
Representación gráfica de la
Barra isostática

8
Perfil Doble T : Consta de 2 alas, 1 alma, 2 ejes de simetría X e Y y una altura h, que
estará medida en centímetros. Este parámetro dará la característica del perfil, por ejemplo en el
caso de ser h: 20 cm., se lo denominara como PNT 20.
En las tablas correspondientes figuran: longitud de ala y espesor, espesor del alma.
Diversas constantes mecánicas como: momentos de Inercia Jxx, Jyy, Jxy. Módulos resistentes:
Wx, Wy. Radios de giro Ix, Iy. Momentos estáticos: Sx, Sy, etc.
En dichas tablas, además, encontraremos todos los elementos necesarios para el
dimensionamiento de cada una de las distintas barras que analizaremos oportunamente.
Perfil Doble T de ala ancha, differding, grey, peine.
Perfil U: con un solo eje de simetría.
Perfil ángulo: con 2 alas de ángulo recto a y b.
Perfil T: de ala en relación h/b, 1/2.
Perfil T: de ala corta en relación h/b, 1/1 (perfiles normales).

9
EESSTTÁÁTTIICCAA
La estática estudia como hemos visto, el equilibrio de los cuerpos rígidos, es decir
estudia lo estable, proporcionando las leyes necesarias para realizarlo.
Al formar parte de la mecánica, que trata el movimiento como un caso particular, en el
cual por ser un movimiento nulo, se produce un estado de reposo. Para ello todas las fuerzas o
cargas que actúan sobre el cuerpo deberán contrarrestarse unas a otras, produciendo una
resultante final igual a cero, lo que caracteriza el estado de equilibrio.
EElleemmeennttooss ddee llaa EEssttááttiiccaa
La fuerza P de la fig. 5 se encuentra aplicada en el punto A de la chapa C, esta
originara un desplazamiento, que tendrá la misma dirección y sentido que la fuerza P.
En cambio ahora, si disponemos de otra chapa C que se encuentra pivoteada en un
punto 0 de la misma, sometida a la acción de 2 fuerzas iguales, paralelas y de sentido
contrario, este conjunto producirá un giro. Este sistema que produce el giro o rotación, se lo
denomina cupla.
A
P
C
Fig. 5.-
Fuerza aplicada en A,
originada desplazamiento
P
P
C
O
Fig. 6.-
Cupla o par origina rotación
Por lo tanto el desplazamiento y la rotación son dos efectos cinemáticos, que la
estática se propone contrarrestar para alcanzar el estado de reposo o equilibrio buscado.
Como consecuencia tenemos, que la fuerza y la cupla, son los elementos únicos que
necesitara la estática y son además irreductibles y no podrán llevarse a otros más simples.

10
SSIISSTTEEMMAA DDEE FFUUEERRZZAASS
Cuando sobre un cuerpo rígido actúan más de una fuerza, a este conjunto se lo
denominara sistema de fuerzas. Un sistema de fuerzas puede ser plano o espacial. Se dice
que el sistema es plano, cuando las rectas de acción de las fuerzas se encuentran en un mismo
plano.
El sistema de fuerzas será espacial, cuando las rectas de acción de las fuerzas no se
encuentran en el mismo plano.
CCllaassiiffiiccaacciióónn




















Paralelas
puntounaesconcurrentNo
puntounaesConcurrent
Espacial
Paralelas
puntounaesconcurrentNo
puntounaesConcurrent
Plano
FuerzasdeSistema

11
SSIISSTTEEMMAASS PPLLAANNOOSS DDEE FFUUEERRZZAASS::
Fig. 9.-
Paralelas Plano
Fig. 8.-
No concurrentes Plano
Fig. 7.-
Concurrentes Plano
Dado un sistema de fuerzas, y mediante la composición de las mismas, se podrá
obtener una única fuerza, que tendrá el mismo efecto cinemático. A dicha fuerza que
reemplazara al sistema produciendo el mismo efecto equivalente, se la denomina resultante.
Por lo tanto, transformar un sistema de fuerzas a otro que produzca el mismo efecto
de movimiento, implica decir que ambos son estáticamente equivalentes.
E1 efecto de varias fuerzas P1; P2; P3; ....; etc. que tienen el mismo punto de
aplicación, podrá ser sustituido por el de su resultante, aplicada a dicho punto. Si las fuerzas
están en la
misma recta de acción será:  ii pPPPPR :...: 321
Admitiendo hacia la derecha el sentido (+) y hacia la izquierda el sentido (-).
P3
P1 P2
A
P2P1
P3
R
Fig. 10.-

12
OOPPEERRAACCIIOONNEESS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS DDEE LLAA EESSTTÁÁTTIICCAA
Las operaciones fundamentales de la estática, son las que permiten pasar de un sistema
de fuerzas a otro, que sea estáticamente equivalente.
Primera Operación:
Una fuerza aplicada en un punto de un cuerpo rígido, no alterara su efecto de
movimiento, si se desplaza su punto de aplicación a otro, que se encuentre a lo largo de su
recta de acción Recordando que siempre se trata de barras indeformables. Como podemos
apreciar en la figura N° 11, igual fuerza aplicada a cuerpos de diferente rigidez, aunque se
cumpla dicha operación, el comportamiento será diferente:
P
A B
P P
A C B
P
Cuerpo deformable
Cuerpo Indeformable
Rígido
Fig. 11.-
Segunda Operación:
No se altera el efecto de movimiento de
dos fuerzas concurrentes a un punto de un
cuerpo rígido, al sustituirlas por una sola, según
la diagonal del paralelogramo, construido con
ellas. A esta operación se la denomina principio
del paralelogramo.
La operación realizada se trata de una
composición de fuerzas y/o determinación de la
resultante.
Lo que podemos apreciar es que a una
equivalencia geométrica le corresponde una
física. Siendo esto comprobable experimentalmente, mediante un ensayo, utilizando un
conjunto de pesas y poleas, logrando y verificando su equilibrio.
P1 P2
P3
P1 P2
P3
Fig. 12.-

13
En la practica para la determinación de la resultante y utilizando las propiedades del
paralelogramo, donde sus lados paralelos son iguales, se formara un polígono denominado
polígono vectorial de fuerzas. Desde el punto de vista geométrico, utilizando escalas y
ángulos convenientes, se puede determinada con bastante aproximación el valor de la
resultante.
E1 valor analítico se podrá determinar, mediante la formula:
  180cos2 21
2
2
2
1 PPPPR
y su dirección será:
 
R
P
R
P




sen
sen
180sen
sen
2
2



A la operación inversa de la
composición, se la denomina
descomposición de las fuerzas o lo que
es lo mismo determinación de las
componentes.
Cuando una fuerza actúa sobre
2 planos distintos se descompone
generalmente según las perpendiculares
respectivas a dichos planos, en sus
fuerzas componentes que pasan por los
centros de las superficies y deberán
producir el mismo efecto total que la fuerza primitiva. Por lo tanto estamos en condiciones de
decir que una fuerza será estáticamente equivalente a otras dos, según direcciones previamente
fijadas.
Consecuencia:
No se altera el efecto de movimiento de una fuerza existente en un cuerpo rígido, al
sustituirla por dos de direcciones arbitrarias, pero concurrentes con la línea de acción de
aquella.

14
Tercera Operación:
No se altera el efecto de movimiento del sistema de fuerzas existente en un cuerpo
rígido, introduciendo o suprimiendo un sistema nulo.
Se entiende por sistema nulo, cuando actúan dos fuerzas de igual intensidad y sentido
opuesto en la misma recta de acción. (fig. 18) Tomando como ejemplo el caso que a toda
acción P le corresponderá una reacción R, Por lo tanto el cuerpo rígido se encontrara en
equilibrio .
Se puede presentar el caso donde en el punto "A" de la chapa rígida fig. 22, actúan dos
fuerzas iguales y contrarias, por lo tanto
existirá equilibrio . En el otro caso de la fig.
23, el sistema aunque sigue siendo nulo
puede fisurar la chapa. Recordemos que
estamos estudiando cuerpos rígidos e
indeformables, para analizar la posterior
consecuencia, tendremos que conocer que
tipo de material estamos utilizando,
mereciendo esto al estudio de la resistencia
de los materiales.
A
P
P
P
C
B
P
Fig. 23.-Fig. 22.-

15
Cuarta Operación:
No se altera el efecto de movimiento de una fuerza P que actúa en un punto "A" de un
cuerpo rígido, si se la desplaza paralelamente a su recta de acción a otro punto "B" y a una
distancia d, siempre que se agregue una cumpla de momento igual a P·d
M = P ∙ d
Con el conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales de la Estática
anteriormente vista, estamos en condiciones de resolver y simplificar muchos de los problemas
en la estabilidad. Desde complicados sistemas de fuerzas y momentos, hasta otros más
simples, para poder identificar una mínima expresión equivalente que posteriormente sabremos
contrarrestar, para que esa estructura se encuentre Isostáticamente sustentada.
Por lo tanto, ahora nos ocuparemos al estudio de los momentos de giros.

16
MMOOMMEENNTTOO DDEE GGIIRROO
También llamado momento
estático de una fuerza "P" respecto de un
eje o centro A, normal al plano de la
fuerza. Lo podemos definir como el
producto de la fuerza P por el brazo de
palanca d (fig. N° 25).
Llamamos brazo de palanca d, a la
distancia entre el centro de giro A y la
recta de acción de la fuerza P. Resulta
entonces que M = P·d.
Si el giro se produce en sentido
horario, afectaremos el momento con giro
positivo (+), en cambio si se produce en
sentido antihorario, lo afectaremos con
giro negativo (-). Será importante destacar
que el momento de una fuerza respecto de
un punto que se encuentra en la recta de
acción de dicha fuerza, será M =P · 0 = 0 = nulo.
En caso de ser varias las fuerzas actuantes, sea el caso de un sistema de fuerzas no
concurrentes respecto de un punto "A", se tendrá: (Fig. N° 26)
332211
1
··· dPdPdPM
dPM
m
i
ii

 

Se consideran a la
distancia d1, d2, d3 las menores
respecto al punto.
E1 momento estático de
una fuerza respecto a un punto
cualquiera del plano, se lo puede
simplificar notablemente cuando
se trata de sistemas de fuerzas
complicadas, utilizando métodos
Vectoriales. Por lo tanto,
estamos en condiciones de decir
que el momento estático de una
fuerza respecto de un punto de
su plano es el producto vectorial entre dicho vector fuerza y el vector distancia acotado entre
el punto de aplicación "A" y el punto en cuestión "0".
dPM 

17
Recordando que el producto vectorial esta
dado por la: proyección del vector d, sobre la
recta perpendicular entre el vector P y el punto
''0'', que será d', multiplicado por el vector P.(Fig.
N° 27)
 ˆsen·'
'
sen
Proy.'
dd
d
d
dd


Por lo tanto: ˆsen· dPM 
E1 vector M (Fig. N° 28) Será normal al
plano  y su sentido cumple con el principio del tirabuzón (Fig. N° 29).
La representación vectorial del momento M, será perpendicular al plano y pasa por el
punto A' que esta referido.
Resolución:

0
0;ˆsen;
dydx
PP
kji
MdPMdPM yx


siendo








BA
BA
yydy
xxdx
final menos origen del vector distancia.
Aplicación:
Se tiene una fuerza P cuyo vector esta dado por: jiP

23  , aplicado en un punto B
(1,1). Cuyo momento será para el punto A (3,5).
. 
d
P
0
A
d1

Fig. 27.-

18
Para nuestro estudio
adoptamos a los ejes positivos
como el expuesto en (Fig. N° 30).
Debido que se facilita la resolución
de las estructuras las fuerzas
descendentes serán más numerosas
que las fuerzas ascendentes.
Resultando de este modo mas
sencillo su despeje matemático.








dy
dx
deCálculo
2
3
Siendo
y
x
P
P
  k
kji
dydx
PP
kji
dPM
dy
dy
yydy
dx
dx
xxdx
yx
BA
BA


16412
042
023
0
0
4
15
2
13

















Como podemos apreciar, resulta el vector momento M, perpendicular al plano que
contiene al vector fuerza P.

19
CCOONNCCEEPPTTOO DDEE CCUUPPLLAA OO PPAARR DDEE FFUUEERRZZAASS
Se llama así al sistema constituido por dos fuerzas de igual intensidad y dirección pero
de sentido contrario, separadas en una
distancia “d” (fig. 31). Por lo tanto
dicha cupla generará un momento que
será perpendicular al plano  que las
contiene y su sentido será por
convención.
(+) sentido horario (positivo)
(-) antihorario (negativo)
El momento estático de una cupla o par de fuerzas respecto de un punto cualquiera del
plano, será constante y su magnitud esta dada por el producto de la fuerza y La distancia que
las separa. Su sentido estará dado por el principio del tirabuzón.
Demostración:
P
P
A d
P
P
Bd
P
P
d C
e
P
P
d
E
a b
MC = P (d + e) – Pe
=Pd + Pe - Pe
ME = P · a + P · b
= P (a + b)
MA = +P · d MB = +P · d MC = +P · d ME = +P · d
Fig. 32.-
Lo que queda demostrado que para cualquier punto del plano que se tome, el momento
de la cupla respecto de ese punto siempre es el mismo.

20
Cuplas Equivalentes
Dos pares de fuerzas son equivalentes cuando tienen el mismo momento estático.
P1
P1
d1
P2
P2
d2
Fig. 33.-
21
222
111
ademásy
·
·Si
MM
MdPy
MdP






(fig. 33) Se dice que ambas cuplas son equivalentes. Por lo tanto.
2
1
2
1
2211·
P
P
d
d
dPdP 
Este concepto es muy útil fundamentalmente cuando se analiza el equilibrio de
momentos interno de un cuerpo con respecto al equilibrio de momentos externo del mismo.
Esto se logra a los efectos de poder dimensionar una pieza de un material previamente
adoptado en el estado de flexión.
Ahora bien. si a una cupla cuyo momento es conocido, se le agrega un sistema nulo, se
obtendrá otra cupla resultante también equivalente.
Como hemos visto en las operaciones fundamentales de la estática, que si a un sistema
de fuerzas se le agrega otro sistema en equilibrio o sistema nulo, la resultante de dicho sistema
no varía.
Por lo tanto si se tiene inicialmente un par de fuerzas (P1, P1) y se le agrega un sistema
nulo (P2; P2 ) fig. N° 34, se obtendrá otro par de fuerzas que será equivalente al inicial. (R, R)

21
| Teorema de Varignon:
Se trata de un sistema de fuerzas (Pl,P2)concurrentes a un punto "A" y del momento
que producen respecto de otro punto "B" del plano, en relación al momento estático que
también produce su resultante respecto al mismo punto "B"(Fig. 35).
Enunciado:
El momento estático de la resultante de un sistema de fuerzas respecto de un punto
cualquiera del plano, es igual a la suma de los momentos estáticos de cada una de las fuerzas
componentes del sistema respecto del mismo punto.
Demostración:
Utilizando el álgebra vectorial su resolución matemática se realiza en forma sencilla.
     BBB PMPMPM 21 
Lo que tenemos que demostrar:
 
 
   
 
     BBB
BB
B
B
RMPMPM
dR
dPP
dPdPPMPM
dPPM
dPPM






21
21
2121
22
11
A
B
d
P2
P1
R
Fig. 35.-

22
SSIISSTTEEMMAASS PPLLAANNOOSS DDEE FFUUEERRZZAASS
Todo sistema plano de fuerzas, se lo puede clasificar en tres grupos:





ParalelasC)
esConcurrentNoB)
esConcurrentA)
FuerzasdePlanoSistema
AA)) SSiisstteemmaa ppllaannoo ccoonnccuurrrreenntteess::
Nuestro objetivo será reducir este sistema a su mínima expresión, para ello debemos
encontrar una única fuerza resultante que tenga el mismo efecto de movimiento que el
sistema dado. Debiendo ser necesario, realizar una composición de fuerzas en dicho sistema.
La resultante será una fuerza que por si sola, reemplazara la acción del sistema, ahora
bien, si se tratara de un sistema equilibrado, esa fuerza resultante será nula.
Como el objetivo de la estática se encontrar el equilibrio y al existir fuerzas resultante,
dicho cuerpo se desplazara. Por lo tanto, a ese sistema será necesario agregarle otra fuerza que
equilibre, debiendo ser de igual modulo, dirección y sentido contrario que la resultante. De esta
manera quedara establecido el equilibrio buscado. Para reducir el sistema plano de fuerzas
concurrentes, dispondremos de tres métodos posibles.
Método Analítico





VectorialMétodo
GráficoMétodo
AnalíticoMétodo
Resolución
Método Analítico:
Como se trata de un .sistema de fuerzas concurrentes a un punto, "A" (fig. 36) el efecto
resultante será otra fuerza aplicada en el mismo punto,
como consecuencia, originara un desplazamiento en el
plano equivalente al sistema dado.
Para determinar la resultante se procede
primeramente en hacer coincidir el centro de un
sistema de ejes cartesiano ortogonales (x - y) con el
centro de convergencia de las fuerzas.
Posteriormente se proyectan cada una de las fuerzas
componentes del sistema a los ejes (x - y),
obteniéndose así todas las proyecciones, que sumadas
serán las componentes de la resultante buscada.
Quedando determinado así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
 
 







32121
2121
sensen
coscos
PPPPPRR
PPPPRF
yyyy
xxxx


La intensidad o modulo de la resultante será 22
RyRxR  por relación Pitagórica
y su dirección será:
P1
P2
P1y
P2y
P1x
P2x
P3
x
y
Fig. 36.-

23
Rx
Ry
Rx
Ry


arctg
tg


Hemos definido así a la resultante, mediante la proyección sobre dos ejes.
Condición analítica de equilibrio:
Para que un sistema de fuerzas plano concurrentes se encuentre en equilibrio, deberá
ser nulas cada una de sus proyecciones. Quedando:
 
  











0
0
RyF
RxF
y
x
Por lo tanto serán dos las ecuaciones de equilibrio con
dos incógnitas igualadas a cero
Además se puede adoptar una ecuación de proyección con una de momentos igualadas
a cero, pero siempre serán dos las ecuaciones con dos incógnitas.
   
  










 
0
0
A
yx
M
FóF
La ecuación de proyección podrá ser con respecto a cualquiera de los ejes. La ecuación
de momentos podrá ser con respecto a cualquier punto del plano.
Finalmente se podrán adoptar dos ecuaciones de momentos con dos incógnitas
igualadas a cero con respecto a cualquier punto del plano.
 
  











0
0
B
A
M
M
Los puntos adoptados no deberán estar alineados para no formar combinación lineal
una con respecto a la otra y así el sistema no ara infinitas soluciones.
Método Gráfico
Teniendo un sistema como el dado en la fig. N° 36 de tres fuerzas concurrentes en "A"
(P1,P2,P3), para reducirlo a su mínima expresión en forma gráfica, nos valemos de las
operaciones fundamentales de la estática.
Una posibilidad de resolución es la aplicación sucesiva del principio del paralelogramo
como el de la fig. 37.
Otra posibilidad es la simplificación de principio del paralelogramo que se utiliza en
forma práctica como método simplificado. Generando así un polígono de vectores
denominado vectorial. Este consiste en colocar el comienzo de una de las fuerzas, sucesi-
vamente en el final de la anterior y manteniendo sus direcciones llevándolas en forma paralela
Como se puede apreciar, fig. 38 justificamos dicho procedimiento, porque en todo
paralelogramo sus lados opuestos y paralelos son iguales.

24
Este procedimiento resulta sumamente útil, cuando se trate de hallar un numero de
fuerzas que concurren a un mismo punto "0".
Condición Gráfica de equilibrio:
Si al analizar un polígono vectorial y este resulta que el inicio de la primer fuerza no
coincide con el final de la ultima, decimos que dicho polígono vectorial es abierto, entonces
admite una resultante, fig. N° 39. Por lo tanto no estará en equilibrio consecuentemente se
desplazara a lo largo del plano en la dirección de R.
En cambio si en un polígono vectorial coinciden el inicio de la primer fuerza con el final
de la ultima. decimos que dicho polígono vectorial es cerrado, entonces no admite resultante
(Fig. N° 40) y por lo tanto si estará en equilibrio.
Resumiendo:
Se puede apreciar que en un polígono vectorial abierto esta faltando una fuerza que
equilibre al sistema. Esa fuerza será de igual dirección que R, fig. N° 39 y de sentido contrario.
Esa fuerza será la equilibrante E, que permitirá que ese sistema no se desplace.
POR LO TANTO LA CONDICIÓN GRÁFICA DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA DE
FUERZA PLANO CONCURRENTE, ESTARÁ DADO POR UN POLÍGONO VECTORIAL CERRADO.

25
Ejemplos de equilibrio:
BB)) SSiisstteemmaa ppllaannoo ddee ffuueerrzzaass nnoo ccoonnccuurrrreenntteess
También como el sistema de fuerzas concurrentes a un punto, dispondremos de tres
métodos para reducir el sistema a una mínima expresión.





VectorialMétodo
GráficoMétodo
AnalíticoMétodo
Reducción
Método Analítico
 Como se trata de un sistema de fuerzas no concurrentes a un punto, la fuerza
resultante no estará aplicada en un punto previamente conocido.
Dado el siguiente sistema de fuerzas (Fig. N° 43) y fijando el sistema de
coordenadas en el, podremos trasladar cada una de las fuerzas componentes a un punto
(A) cualquiera del plano. (Fig. N°44)

26
 Con la traslación de cada una de las
fuerzas a dicho punto (A), como
hemos visto, aparecerán los
momentos de transporte, que cada
una de ellas genera al ser trasladadas
a lo largo de un mismo plano.
 Cada momento generado pasara por
el punto (A), en dirección
perpendicular al plano de las fuerzas,
formando así un sistema de
momentos en el punto.
 Por lo tanto en dicho punto
actuaran: un sistema de fuerzas
concurrentes y un sistema de fuerzas
de momentos perpendiculares al
plano de las fuerzas. (Fig. 44). Cuyas
resoluciones serán determinar la
resultante de fuerzas y de momentos.
 Ahora dispondremos de un sistema
de fuerzas en el plano, concurrentes
en el punto (A), cuyas direcciones,
sentidos e intensidades estarán
identificados.
 Para determinar su resultante,
quedaran identificadas las dos ecuaciones con dos incógnitas correspondientes.
 
 







yy
xx
RF
RF
Dichas ecuaciones definen la Proyección de la resultante.
Su modulo y Dirección estarán dados por :
Rx
Ry
RyRxR


arctg
22

Además en dicho punto (A) existirá un conjunto de momentos de transporte, que
tendrá también su resultante.
Aplicando el principio de Varignon.
   iA PMRM Ecuación que define el momento resultante.
Quedando así reducido el sistema a su mínima expresión con dos ecuaciones conocidas
de proyección y una tercer ecuación de momentos.
A
MR
R
0 x
y
Fig. 45.-

27
 
 
 











MRMR
RyF
RxF
A
y
x
El sistema quedará definido analíticamente entonces por tres ecuaciones con tres
incógnitas. Para reducirlo a su mínima expresión, se pueden reemplazar una de proyección por
una de momentos. De tal forma que cuando se analice el sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas, los puntos adoptados no deberán estar alineados para no formar combinación lineal,
así no se tendrán infinitas soluciones.
LA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO ANALÍTICO SERÁ IGUALANDO A CERO LAS TRES
ECUACIONES.
Método Gráfico:
Se puede resolver este sistema, utilizando los principios analizados, como la traslación
de una fuerza a lo largo de su recta de
acción y el principio del paralelogramo.
Que aplicándolos en forma reiteradas, se
obtendrá la resultante del sistema.
Con el punto de concurrencia A de
dos fuerzas trasladadas Pl y P2,
determinamos la resultante R1-2, con la
traslación de P3 hasta un punto de
concurrencia B, se obtendrá la resultante
total RT .
Este método se puede complicar
cuando se trata de un sistema de varias
fuerzas y además son entre si los puntos de
concurrencia de las rectas de acción.
Para simplificar esta resolución, se
puede recurrir a la aplicación del polígono
vectorial y funicular.
Tomando el mismo sistema anterior
321 ,, PPP formamos el polígono vectorial
(Fig. N° 48)

28
E1 polígono vectorial se forma con los vectores representativos de las fuerzas
321 ,, PPP en forma sucesiva respetando sus direcciones y sentidos, definiendo así la resultante
del sistema en modulo, dirección y sentido. Lo que no define es el punto por donde pasara
dicha resultante.
Los rayos polares son las direcciones en las que se descomponen las fuerzas del
sistema, en dos direcciones cada una.
Las dos componentes de cada una de las fuerzas en el vectorial, reemplazaran en el
polígono funicular a cada una de las fuerzas respectivas. (Fig. 47).
A1 formarse varios sistemas nulos se simplifican en el polígono funicular, quedando
reducido solamente en la primera y ultima dirección, que serán las componentes de la
resultante.
De otra manera la composición determinara el punto por donde pasara la resultante del
sistema plano no concurrente.
Condición gráfica de equilibrio:
Denominamos polígono vectorial abierto, (Fig. N° 49) aquel en que el origen de la
primer fuerza no coincide con el fin de la ultima, por lo tanto existirá una resultante que
originara un desplazamiento del cuerpo.
Llamamos polígono vectorial cerrado (Fig. N° 50) aquel en que el origen de la primer
fuerza si coincide con el fin de la ultima, por lo que no habrá resultante que produzca
desplazamiento, haciendo que el cuerpo se encuentre en equilibrio.

29
Además ya conociendo el polígono funicular se puede definir:
Polígono funicular
cerrado:
Denominamos aquel en donde el
primer rayo y el último se cortan
en un punto o son coincidentes.
Polígono funicular
abierto:
Aquel en donde el primer rayo y
ultimo no se cortan ni son
coincidentes.
Se pueden presentar tres posibilidades gráficas en un sistema de fuerzas no
concurrentes en el plano.
Polígono Vectorial Abierto
a)
Polígono Funicular Cerrado
Existe resultante con punto de aplicación
definido donde hay TRASLACIÓN
Polígono Vectorial Cerrado
b)
Polígono Funicular Cerrado
No existe resultante y el sistema está en
EQUILIBRIO.
Polígono Vectorial Cerrado
c)
Polígono Funicular Abierto
El sistema se reduce a dos fuerzas iguales y de
sentido contrario, o sea, a un par de fuerzas.
En el sistema existe ROTACIÓN

30

31
Método Vectorial:
Dado el sistema propuesto, hemos visto que al trasladar las fuerzas a un punto "A"
cualquiera del plano, aparecerán los momentos de transporte:
333
222
111
dPPM
dPPM
dPPM



También aplicados en el punto "A", quedando un
sistema de fuerzas concurrentes en "A" y un sistema de
vectores, momentos normales al plano considerado que
también cortan al plano en el punto “A”.
Quedando: Un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas.
 
 
 











MRMR
RyF
RxF
A
y
x
De las dos primeras ecuaciones, se determinan modulo, dirección y sentido de la
resultante, donde quedara la resultante R definida.
De la tercera ecuación por el teorema de Varignon, obtendremos el momento
resultante, MR vector normal al plano de las fuerzas.
Quedando el sistema reducido a un vector fuerza aplicado en "A" v un vector momento
normal al mismo.
Si reducimos el vector fuerza R aplicando en
"A" a otro punto "B" del plano, vemos que aparecerá
otro momento de transporte que sumado al vector
MR , se tendrá otro momento resultante.
Se tendrá entonces, el vector fuerza R
aplicado en "B" y un vector momento resultante
distinto que fue sumado vectorialmente al anterior. Si
esta suma vectorial resulta cero, es que el nuevo
momento de transporte aparecido, será un vector igual
y contrario al anterior. Fig. 51.
De esto se deduce que de los infinitos puntos del plano, habrá un punto donde al ser
trasladada la fuerza R , el momento será igual a cero. Este es un caso de atención, pues es por
allí donde pasara la fuerza resultante, o sea se reduce el sistema de fuerzas no concurrentes en
el plano a un punto "C", que sumado al momento AMR , otro vector CMR igual y de sentido
contrario de tal forma que la suma de vectores sea igual a cero.
00  CAACA dRRMRMRM
Si la suma vectorial de MR (total) + MR(transporte al punto C) = 0. Ambos vectores se anulan, es
allí donde actúa la fuerza R en su recorrido por el plano.
0 x
y
P3
P2
P1
d1
d2
d3
Fig. 54.-

32

33
SSIISSTTEEMMAA DDEE FFUUEERRZZAASS PPLLAANNOO NNOO CCOONNCCUURRRREENNTTEESS
MMééttooddoo VVeeccttoorriiaall::
Aplicación
Incógnita:
Determinar la resultante:
Datos:
 
 
 
 2,2Apuntoparel
0,1porpasa22
1,2-porpasa32
2,2porpasa65
3
2
1













jiP
jiP
jiP



Llevamos 321 ;; PPP al punto "A", generando momentos de traslación:
   
   
   
ntraslaciódemomentosuconA""en6
01202
022MP
elásticomomentosuconA""puntoelenPatenemosYa9
02212
032MP
A""puntoelenPtenemosYa0
02;22;2
065
33A
22A
11
Pk
kji
k
kji
kji
MP A












321 ;; PPP ya son concurrentes en "A" y cada uno con su momento de transporte. Su
fuerza resultante R resulta:
   
jiR
jiR
PPPR


75
236225
321



Modulo:
6023,8
75 22


R
R
Dirección:
5
7
arctgˆ
arctgˆ




Rx
Ry
Ahora tenemos en el punto "A" la resultante y con su momento de transporte. Este
momento será:

34
kMR
kkMR
MPMPMPMR
MPMR
A
A
A
i
A


3
690
321
3
1
3



 

Si hacemos la prueba de trasladar a 321 ;; PPP a otro punto cualquiera del Plano "w", se
puede apreciar que obtendremos otro momento MRW distinto.
Existirá entonces un punto "P" del plano, donde al ser trasladada la resultante R, el
momento de transporte será nulo. A esta operación la llamamos Reducción de la resultante.
Es decir, reduciremos el sistema a un punto tal que al sumarle al par MRA otro par
PAdR  que sea igual y de sentido contrario, donde su suma se anula:
0 APAP dRMRMR
A1 anularse el momento, "ese" será precisamente el punto por donde pasara la
"resultante".
   
    
14710530
272530
022
07530





xy
kxyk
yx
kji
kMRP



xy 755210  Ecuación de la recta que contiene a la resultante.
 
 2;4;0
0;3
0x
0y
Para 








CC)) SSiisstteemmaa ppllaannoo ddee ffuueerrzzaass ppaarraalleellaass::
La resolución de este sistema, es un caso particular de un sistema plano de fuerzas
concurrentes a un punto impropio (P;¥) que se cortan en el infinito. Por lo tanto serán
necesarias para su resolución dos ecuaciones.
Las ecuaciones adoptadas no podrán ser ambas de proyección, para obtener la
ubicación relativa de R, respecto de dos componentes, será necesario reemplazar una ecuación
de proyección por una de momentos.
 
 







MxM
RxF
P
x
Cuya condición de equilibrio analítico será:
 
 







0
0
MxM
RxF
P
x

35
Para su resolución gráfica, su resultante se hallara en forma análoga al de las fuerzas
concurrentes, siendo este un caso particular. Su ubicación se podrá determinar gráficamente
(fig. N° 57) mediante el polígono funicular, acompañando del correspondiente polígono de
fuerzas. Dadas: 321 ;; PPP paralelas:
DDeessccoommppoossiicciióónn ddee uunnaa ffuueerrzzaa
Hemos visto que la forma para descomponer una fuerza en forma gráfica en el plano, es
la operación inversa a su composición. Esto se logra mediante el principio del paralelogramo,
visto anteriormente, teniendo dos direcciones previamente fijadas.
 Analíticamente, la descomposición de una fuerza en dos direcciones, será factible
mediante dos ecuaciones de proyección. Siempre que se tomen como referencia dos
ejes ortogonales.
 Hasta ahora hemos analizado cuatro sistemas de fuerzas, donde cada uno
determinara distintas direcciones en que se quiere descomponer una fuerza que
llamaremos incógnitas.
 POR LO TANTO “INCÓGNITA, ES LA DIRECCIÓN EN QUE SE QUIERE
DESCOMPONER UNA FUERZA”.

36
SISTEMA DE FUERZAS
PLANO CONCURRENTES ESPACIAL CONCURRENTES
 
 




yFMR
xFRx
jRyiRxR
i
i

 
 
 






zFRz
yFRy
xFRx
kRzjRyiRxR
i
i
i

PLANO NO CONCURRENTES ESPACIAL NO CONCURRENTES
 
 







ii
i
i
dFMR
yFRy
xFRx
jRyiRxR

 
 
 
 
 
 












ii
ii
ii
i
i
i
dzFMRz
dyFMRy
dxFMRx
zFRz
yFRy
xFRx
kRzjRyiRxR

Fig. 58.-
Distintas posibilidades:
En la relación entre el numero de ecuaciones y el numero de incógnitas. Pueden existir
tres posibilidades diferentes:
(1) Si el número de incógnitas es menor al número de ecuaciones: el problema no
admite ninguna solución posible, por lo tanto el sistema el hipostático.
Nº Incógnitas Nº Ecuaciones Hipoestaticidad
P
A
I
Dirección
Fig. 58.-
I
Es la dirección en que se
quiere descomponer a la
Fuerza P.
1 Dirección = 1 Incógnita
Disponibles = 2 Ecuaciones
Ninguna Solución Posible

37
(2) Si el número de direcciones en que se quiere descomponer a una fuerza P (numero
de incógnitas) es igual al número de ecuaciones. El problema tiene una única
solución posible. independiente de las características elásticas y geométricas de
los elementos que materializan las direcciones.
Nº Incógnitas = Nº Ecuaciones Isostaticidad
P
1
Dirección
Fig. 59.-
Son las direcciones a
descomponer la fuerza P.
2 direcciones = 2 incógnitas
disponibles = 2 ecuaciones.
Única Solución Posible
Dirección
y1 2
2
(3) Si el número de Direcciones a descomponer a una fuerza P (numero de incógnitas)
es mayor que el número de ecuaciones. El problema tendrá infinitas soluciones,
donde cada una de ellas dependerá de las características elásticas y geométricas de
los elementos que materializan las direcciones.
Nº Incógnitas Nº Ecuaciones Hiperestaticidad
PFig. 60.-
Deben satisfacer las dos ecuaciones de
la estática, dependiendo además de las
ecuaciones de la resistencia de los
materiales, en función del módulo de
elasticidad "E" de los materiales y
características geométricas de los
mismos.
1 2
3
4
Infinitas Soluciones
4 Direcciones = 4 incógnitas
Disponibles = 2 Ecuaciones

38
Descomposición de una fuerza P en direcciones coplanares no
concurrentes.
1
2
P
1
2P
3
1 2
P
3
4
2 Direcciones : 2 incógnitas
Disponibles : 3 ecuaciones
NO EXISTE SOLUCIÓN ÚNICA SOLUCIÓN INFINITAS SOLUCIONES













Cullman-Ritter
CremonadeMétodos
teGraficamen
estáticaladegenerales
ecuacionestreslaspor
Analítica
Solución







sdireccionelas
nconstituyequematerialeslosde
sgeométricayelásticas
ticascaracteríslasdeDepende
Solución
HIPOSTÁTICO ISOSTÁTICO HIPERESTÁTICO

39
DDEESSCCOOMMPPOOSSIICCIIÓÓNN ““GGRRÁÁFFIICCAA”” DDEE SSIISSTTEEMMAA DDEE FFUUEERRZZAASS PPLLAANNOO
CCOONNCCUURRRREENNTTEESS
Como sabemos en el marco de la isostaticidad, se podrá descomponer en el plano una
fuerza en tres direcciones dadas no concurrentes a un punto.
MMééttooddoo ddee CCuullmmaannnn
El objetivo será reemplazar a una fuerza “P” conocida por otras tres fuerzas según las
direcciones cualesquiera en que queremos descomponerlas, no concurrentes a un punto.
Para la resolución y el equilibrio, dispondremos de tres ecuaciones con tres incógnitas
que no son otras que las ecuaciones generales de la estática.
De allí que sea factible la descomposición de una fuerza en sus tres componentes
“pero” no en más, pues conducirá a un problema indeterminado.
Solución Gráfica
De acuerdo con la ubicación de las rectas de acción, se pueden presentar cuatro casos.
P
1
2
3
A
a) Las tres rectas de acción concurren a un punto de
la recta de acción de la fuerza “P” dada.
El problema será indeterminado porque se trata de un caso de
fuerzas concurrentes, donde se dispondrá para su resolución de



incógnitastres
yecuacionesDos
 Indeterminado
1
2
3
A
P
b) Las tres rectas de acción concurren a un punto que
no pertenece a la recta de acción de la fuerza “P”
El problema no tiene sentido de acuerdo al principio del
paralelogramo, las componentes deben concurrir a un punto con
la resultante.  no tiene sentido
1
2
3
A
P
c) Dos Rectas de acción concurren a un punto de la
recta de acción de la fuerza “P” dada y la tercera no.
La tercera componente será nula.
Se demuestra aplicando el teorema de Varignon:
         AAAAA MPMPMPMPM 321; 
Si MP(A) = 0
También       0321  AAA MPMPMP
Sabemos que si: MP1(A) = 0
Y MP2(A) = 0
También será: MP3(A) = 0

40
Necesariamente debe ser cero la intensidad P3. Por cuanto
la misma no pasa por el centro de momentos.
1
2
3
B
A
P
P (a)
d) Las cuatro rectas de acción forman
cuadriláteros
“ÚNICO CASO POSIBLE”
Sea descomponer “P” en tres componentes
de direcciones ;  y .
Llamaremos P1; P2 y P3 a las componentes
buscadas.
 
   321
321
321
;; PPRPPR
PPPP
PPPP






Gráficamente:
 Determinamos “A” intersección de P y P1, donde pasará la
recta de acción de su resultante R (P; -P1)
 Determinamos “B” intersección de P2 y P3 por donde pasará la
recta de acción de su resultante R (P2; P3)
De acuerdo a la ecuación
R ( P; -P1) = R (P2; P3)
Ambas resultantes son idénticas. Su recta de acción será la
definida por los puntos “A” y “B” que llamaremos RECTA DE ACCIÓN DE CULMANN.
Ahora a P la descomponemos en P1 y en otra cuya recta de acción es la Recta
Auxiliar P(a), en el polígono de Fuerzas.
Como P(a) también concurre a un punto con las componentes P2 y P3.
Por lo tanto es posible descomponer en estas direcciones.
CON LO QUE QUEDA RESUELTO EL PROBLEMA.
Del polígono de fuerzas, surge también el cumplimiento de la ecuación vectorial.
P(a) es resultante de P2 y P3 y también la opuesta.
P(a) es resultante de P y (-P1)
El objetivo es reemplazar a la Fuerza “P” por otras tres fuerzas P1, P2 y P3 según tres
direcciones dadas. Para ello nos hemos basado en la descomposición de una fuerza en
dos direcciones coplanares y concurrentes.
P
P1
P2
P3
P
(a)Aux.
R
ecta
Auxiliar
de
C
ulm
ann
a

41
DDEESSCCOOMMPPOOSSIICCIIÓÓNN ““GGRRÁÁFFIICCOO ––NNUUMMÉÉRRIICCAA”” DDEE UUNN SSIISSTTEEMMAA DDEE
FFUUEERRZZAASS PPLLAANNOO NNOO CCOONNCCUURRRREENNTTEESS
MMééttooddoo ddee RRiitttteerr
Hemos visto que una resultante quedará definida por tres ecuaciones, respecto de tres
puntos no alineados (Teorema de Varignon).
La ecuación de Momentos Respecto del punto “A”. Tendrá tres incógnitas, que serán
las intensidades de las componentes según las tres rectas de acción dadas.
Planteando otras dos ecuaciones respecto de “B” y de “C” también no alineados con
“A”. Nos permite completar un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que nos resuelve el
problema.
P1 d1A + P2 d2A + P3 d3A = P dPA
P1 d1B + P2 d2B + P3 d3B = P dPB
P1 d1C + P2 d2C + P3 d3C = P dPC
Esta resolución se puede simplificar.
Si en la matriz del sistema, así formado, fueran nulos los coeficientes, SALVO LOS DE
LA DIAGONAL PRINCIPAL .
El sistema de transforma en un sistema de tres ecuaciones “INDEPENDIENTES” con una
incógnita cada una.
La resolución tendrá así una solución inmediata.
ELLO ES LO QUE PERSIGUE EL MÉTODO DE RITTER.
Tomar los puntos en las intersecciones de dos direcciones.

42
a Al tomar momentos de “P” respecto al punto “A” (MPA), se anulan los momentos de dos
componentes cuyas rectas de acción pasan por “A”. P1 y P2
 M(A)  P dPA = P3 d3A
Nos permite despejar directamente la “INTENSIDAD” de la componente P3.
A
A
d
dPP
P
3
3 
¿Cuál será el sentido?
Sabemos que el MP3 respecto de “A”, debe ser igual al MP respecto de “A” en valor
absoluto y en signo.
   
   
   


PositivoPositivo
HorarioHorario
MPMP AA3
b Ahora, intersección de P2 y P3 en el punto “B”.
 
B
B
BBB
d
dPP
P
dPdPPM
1
1
11


   
   
   


NegativoNegativo
oAntihorarioAntihorari
MPMP BB1
c Con la intersección de P1 y P3 en el punto “C”

43
 
C
C
CCC
d
dPP
P
dPdPPM
2
2
22


   
   
   


NegativoNegativo
oAntihorarioAntihorari
MPMP CC2
De esta forma, el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se redujo a tres
ecuaciones con una sola incógnita distinta en cada ecuación.
TANTO EL MÉTODO DE “Culmann” COMO EL DE “Ritter” POR SER ÚTIL EN LA
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN TRES DIRECCIONES, ES DE FÁCIL APLICACIÓN PARA
LA RESOLUCIÓN EN LOS RETICULADOS PLANOS Y DEL TIPO DE ESFUERZOS EN LAS BARRAS,
COMO TAMBIÉN LA INTENSIDAD DE DICHOS ESFUERZOS DE COMPRESIÓN O TRACCIÓN.
P1 P2

44
SSIISSTTEEMMAA EESSPPAACCIIAALL DDEE FFUUEERRZZAASS
Lo mismo que al estudiar el Sistema plano de fuerzas, el Sistema espacial lo
podremos clasificar en tres grupos :
Sistema de fuerzas
Espacial concurrentes
Espacial paralelas
Espacial no concurrentes





AA)) EEssppaacciiaall CCoonnccuurrrreennttee
Para su resolución podemos adoptar los métodos gráficos y/o analíticos. Dentro del
método analítico su resolución puede ser clásica o vectorial.
Método Gráfico :
Una vez identificado el sistema, se
podrá obtener la RESULTANTE por aplicación
reiterada del principio del paralelogramo de
fuerzas.
 Como se podrá apreciar, dicha
resolución gráfica del sistema en el
espacio, suele ser muy complicada,
porque no podemos medir con
facilidad la verdadera magnitud de
las fuerzas y sus respectivas
direcciones y ángulos.
Para su resolución debemos adoptar
modelos espaciales convenientes adaptados a
escala, o en un programa por computadora.
Debido a ello, se presta mayor atención
a la resolución analítica.
z
x
y
P
R
R
P
1-2
Fig. Nº 59
P1
T
2
3

45
Método Analítico :
Así como en el plano, la proyección de la
resultante sobre un eje es igual a la suma de las
proyecciones de las componentes sobre dicho eje.
 En el espacio ocurre lo mismo cuando
se trate de un eje que se encuentre en el
plano de las componentes, pero para
definir a dicha resultante, mediante la
proyección sobre dos ejes x, y se podrá
apreciar que existen infinitas soluciones
de la resultante que admiten dichas
proyecciones.
Por lo tanto será necesario conocer la
proyección también sobre el eje z.
Con lo que la resultante de fuerzas
espaciales concurrentes quedará definida por tres ecuaciones:
F x Rx
F y Ry
F z Rz
( )
( )
( )






(1)
(2)
(3)
Condición analítica de equilibrio :
Siendo por lo tanto la condición analítica de equilibrio del presente sistema espacial :
F x P x P x P x Pnx Rx
F y P y P y P y Pny Ry
F z P z P z P z Pnz Rz
( ) : ..........
( ) : ..........
( ) : ..........
1 2 3 0
1 2 3 0
1 2 3 0
    
    
    



Lo mismo que en el sistema plano, se podrá reemplazar siempre una de las ecuaciones
de proyección por una de momentos respecto de un eje, pero siempre serán tres las ecuaciones.
Una vez obtenidas las proyecciones de las resultantes en un sistema espacial ortogonal
donde ésta será la hipotenusa de un triángulo rectángulo y aplicando Pitágoras, se podrá
determinar su módulo mediante :
R Rx Ry Rz: 2 2 2
 
Además conociendo su posición, es decir los ángulos directores , ,    , se puede
definir la dirección de la resultante R mediante :
y
o
x
z
Fig. Nº 60

46
 .cos
 .cos
 .cos






arc
Rx
R
arc
Rz
R
arc
Ry
R
pues en el triángulo OMA , cos.:
Rx
R
, lo que implica que
a : arccos
Rx
R
. Deduciendo de igual forma los ángulos ; 
0 Rx
A
M
R



Rz
Ry
R
Rz
Rx
Ry
Z
x
y
Fig. 61.-
Polígono espacial vectorial
Método vectorial :
Podemos desarrollar el método vectorial mediante la aplicación del álgebra vectorial,
apoyándonos en un ejemplo :
para determinar la resultante de un sistema espacial en forma analítica vectorial
procederemos :
Datos :
P i j k
P i j k
P i j k
P i j k
1 2 3 2
2 3 3 4
3 4 4 2
4 2 3 2
  
   
  
   
  
  
  
  

47
El vector resultante será : R i j k:1 1 2
  
 
El módulo de la resultante :
R Ri Rj Rk
R
R
  

 
  2 2 2
6
2 4494 2 45. ~ ,
Dirección de la resultante :
:arccos / arccos
,
; : º
:arccos / arccos
,
; : º
:arccos / arccos
,
; : º
 
 
 
Rx R
Ry R
Rz R



1
2 45
65
1
2 45
65
2
2 45
35
BB)) SSiisstteemmaa EEssppaacciiaall ddee
FFuueerrzzaass ppaarraalleellaass
Como veremos este es un caso particular
de fuerzas espaciales concurrentes, pues todas
ellas concurren en el infinito P impropio. Por lo
tanto vamos a necesitar tres ecuaciones.
Para la resolución del presente sistema en
forma gráfica y analítica, conviene hacer coincidir
a los ejes de coordenadas con la dirección de las
fuerzas paralelas, donde en la figura será el eje z.
Por lo tanto al necesitar tres ecuaciones, una de
proyección y dos de momentos será :
F z Ry R
M x F Y R YR
F Y
R
M y F X R XR
F X
R
i i
i i
i i
i i
( )
( ) ., . ;
.
( ) ., . ;
.
 
  
  







donde Y
donde X
R
R
z
x
y
P2
P1
P3
Fig. Nº 62
0

48
Condición analítica de equilibrio:
La condición de equilibrio para el presente sistema estará dado por
P z
M x
M y
( ):
( ):
( ):
0
0
0
Siendo esta la única ecuación de Proyección


CC)) SSiisstteemmaa ddee FFuueerrzzaass eessppaacciiaall nnoo ccoonnccuurrrreenntteess::
Como la resolución de todo sistema, al sistema espacial de fuerzas no concurrentes,
queremos reducirlo a su mínima expresión, que sea un sistema equivalente, que produzca el
mismo efecto cinemático que el dado.
 Para lograr dicho propósito, reducimos las fuerzas (fig. 63) P P P1 2 3, , al origen del
sistema de coordenadas adoptado, punto "0". De tal manera hemos transformado al
sistema espacial no concurrente en otro concurrente, pero al trasladar cada fuerza,
se han generado sus respectivos momentos de transporte o pares de traslación
concurrentes en el mismo punto origen "0".
 Como hemos analizado al estudiar momentos de una fuerza cada par de traslación
origina un vector momento que será perpendicular al plano que contiene a dicha
fuerza.
En el punto origen "0", por lo tanto, concurren vectores representativos de las fuerzas
y momentos, donde estos serán normales a cada fuerza que los generó al ser trasladada por el
espacio.

49
P3
P2
P1d1
Fig. Nº 63
d2
d3 0
y
z
x
z
x
y
MP3
MP2
MP1
P1
P2
P3
Quedando formado el sistema según la fig. siguiente:
R = 90º
MR = MRxi + MRyj + MR zk
R = Rxi + Ryj + R zk
Fig. Nº 64
z
x
y

50
1 1 2 3
1 2 3
1 1 1
2 2 2
3 3 3
) ; ;
; ;
P P P
MP MP MP
MP P d
MP P d
MP P d
concurrentes en "0"
2) concurrentes en "0"
cuyos valores serán :
 
 
 
Por lo tanto para establecer la mínima expresión del sistema, debemos determinar la
resultante y el momento resultante de las respectivas fuerzas.
Para determinar la resultante de las fuerzas del sistema, procedemos al caso de
fuerzas concurrentes espaciales. Serán entonces necesarias las tres ecuaciones :
F x Rx
F y Ry
F z Rz
( )
( )
( )











Donde su módulo será :
R Rx Ry Rz
Rx
R
Rz
R
Ry
R
:
 arccos
 arccos
 arccos
2 2 2
 



Su dirección estará dada por :



Que nos permitirá definir el vector :
R Rxi Ryj Rzk:
  
 
aplicado en el punto "0".
 Tendremos además en dicho punto "0" una serie de pares MP MP MP1 2 3, ,
actuando en él, donde al aplicar el teorema de VARIGNON quedarán reducidos en
MRx MPi x
MRy MPi y
MRz MPi x
: ( )
: ( )
: ( )



donde el valor del momento resultante será :
Mf
MR
Mt
R
Fig. Nº 65
0
y
z
x

51
MR MRxi MRyj MRzk:
  
 
El sistema quedará reducido en el punto "0", (Fig. Nº 65), a la resultante R y al
momento resultante MR .
Es importante destacar que aunque cada fuerza es normal a su par de traslación, R y
MR no serán perpendiculares, formarán un ángulo cualquiera, no formarán ángulo de 90º,
en caso de formarlo será un caso particular.
MR R
Una vez reducido el sistema espacial no concurrente, a una resultante R y un
momento resultante MR aplicados en "0", sobre el plano de R y MR podemos ahora
descomponer a MR en dos direcciones perpendiculares, (Fig. Nº 65), una coincidente con la
de la resultante R y la otra normal a la misma.
 Mt : coincidente con la dirección de R  Mt R
 Mf : Normal a la dirección deR  Mf R
 Sabiendo que dos fuerzas iguales, paralelas y contrarias forman un momento
perpendicular al plano de las mismas, estamos en condiciones de afirmar que
podemos descomponer al vector momento Mf en dos fuerzas iguales y de
sentido contrario, distanciadas en "d" de manera que, resulte Mf : R d .
Entonces habrá un punto del plano normal a la dirección de R y Mt , que contiene
a Mf , donde en ese punto "p" el valor de Mf se anula.
Lo que implica que Mf y R  d se encuentran en el mismo plano perpendicular a R.
Por lo que el sistema de fuerzas espaciales no concurrentes, se reduce como mínima
expresión en una fuerza R y en un par Mt, coincidente con la dirección de R.
Como se podrá apreciar, el par Mt no se puede eliminar, siendo este un valor
constante e independiente del punto de reducción. Será una invariante escalar ya que su
dirección no es arbitraria sino coincidente con R.
 Sea cual fuere la transformación, el vector R no varia ni en dirección ni en
magnitud (invariante vectorial).

52
A
B
MF

Mt
MF
Mt
-MF
Lugar geometrico
Eje central
-MF=(R d)
AB
Fig. Nº 66
R
R
Mt : invariante escalar
R : Invariante vectorial
 Al lugar geométrico de los puntos en los cuales solamente hay un par coincidente
con R, se lo denomina eje central.
Dicho de otra manera, eje central serán los puntos del espacio donde Mf se anula.
Si Mf : 0  R  d + Mf = 0 le sumamos a Mf otro vector que lo anule.
La resultante se traslada con un momento R  d , por lo tanto habrá un punto donde
Mf = 0, por ese lugar pasa el eje central. Esa mínima expresión R y Mt estarán sobre dicho
eje central.
Por lo tanto para que exista equilibrio en un sistema espacial de fuerzas no
concurrentes serán necesarias seis ecuaciones :
3 de proyección para anular la resultante.
3 de momentos para anular el efecto del par Mt .
Equilibrio 
F x
F y
F z
( )
( )
( )






0
0
0
MF x
MF y
MF z
( )
( )
( )






0
0
0

53
Analizando lo mismo de otra forma, según las figuras siguientes :









R
R MR
MR
Mt R
Mf R
Mf
A B C
R R R

MF
MT
MR
MR
MT MT
MF
A
A
T
T
T
B
B
Figura Nº 67
 Como podemos apreciar (Fig. Nº 67) el vector momento MR en el punto "A" se
descompone en Mt normal al plano y coincidente con la dirección de R y
MFA MFA contenido en él.
Mt y Mf son vectores libres, se pueden trasladar por el espacio sin que altere su
efecto. Pero al trasladar el vector fuerza R a otro punto "B" del plano, se formará un
momento de transporte R  d que se encontrará también en el plano p, que alterará a Mf ,
proyección de MR sobre el plano.
Por lo tanto, existirá en ese punto "B" del plano, las nuevas proyecciones Mf que ha
variado y Mt que no se ha modificado.
Con la traslación de R, siempre se generan vectores momentos sobre el plano p por lo
tanto habrá un punto "C", donde se genera un vector momento de traslación -Mf igual y de
sentido contrario a Mf , que al sumarse vectorialmente, el vector momento MFC se anula.

54
Þ MF R dC    0
Mt vector constante
d
B
MFB
MRB
R
MTB
Fig. Nº 68
A
MFA
MRA
MTA
R

55
 
 
 
Al trasladar R y MR desde el texto el punto "A" a otro punto "B" del plano , se
formará o tr o MR y MR
Multimplicando ambos miembros por el versor R
MR
(R d) es vector normal A
R y pertenece al plano ,
por lo tanto el producto escalar
de dos vectores perpendiculares es cero
R d x R = R d
R d x R = 0
Quedando demostrado que MT es valor constante cualquiera sea el pu
A
B
B


   
 
 

  
 
M M R d
xR R d xR
MT MT
R
RB RA
B A

 


0
90cos º
nto
de redución del plano 
Ejemplo:
Determinar analíticamente la resultante, el momento resultante, MT , MF y la
ecuación del eje central, del siguiente sistema de fuerzas no coplanares y no concurrentes.
 
 
 
 
F i j k
F i j k
F i j k
F i j k
1 2 3 2
2 3 2 2
3 4 3 3
4 2 2 4
  
   
  
   
  
  
 
  
1,1,1
-1,-1,-2
-2,-2,-3
1,2,1
Llevamos el sistema al origen (0, 0, 0), donde aparecerán los momentos de traslación.

56
 M F
i j k
2 3 2
1 1 1
5i 4j 1k F1 MF1
el producto
escalar será nulo
MF1xf1 MF1 F1cos
= 0
i j k
-3 2 2
1 1
2i 8j -5k
i j k
4 -3 3
2 2
-15i j +14k
i j k
-2 2 -4
-1 -2
i j + 6k
1  
  
    








  
  


   
  
  
  
  
  
  
  
  
MF
MF
MF
2
3
4
2
3
6
1
102 2
ya disponemos a F F F1 2 3, , y F4 en el origen y a MF MF MF1 2 3, , y MF4 también en el
origen .
Ahora si se puede sumar F F F1 2 3, , y F4 porque están en el origen, antes no aunque es lo
mismo matemáticamente pero no físicamente.
R i j k  1 4 1
  
    MR i j k28 8 16
  
Ry MR no son normales, en caso de serlo el producto escalar entre ambos dará
"cero". En este caso no son.
 
   
 
R
i j k MT
MR MT
x i j k
x
 
   


 
  
18 4 24
4
1
4 24
4
12
4 24
2 8301
,
,
,
,
versor R =
R
R
R =
1
4,24
dirección MT es la misma que la dirección de R
MT
= -28i +8j +16k
=
1
4,24
-28i + 32j -16k
     
 

     
  
tenemos el versor y el modulo de MT. Falta hallar el vector

57
 
MT
MT
MT
MT MT MT
i j k
MT MT
 
  
   
  
   
.
,
.
,
1
4 24
4
12
4 24
 MT x i j k   
12
4 24
1
4 24
4
, ,
  
MT i j k   0 67 2 6 0 67, , ,
  
   
MR MF MT MF MR MT
MF i j k i j k
    
       28 8 16 0 67 2 67 0 67
     
, , ,
MF i j k   27 33 10 6 15 33, , ,
  
Como MF tiene que ser perpendicular a R debe cumplir que :
   
 
MFxR
i j k x i j k

      
    

0
27 33 10 6 15 33 4 0
27 33 42 66 15 33 0
, , ,
, , ,
     
Son PERPENDICULARES
Habrá un punto en donde al ser trasladada la resultante R , al momento MF se le
sumará otro igual y de sentido contrario cuya suma será igual a cero.
     
MFxR d MF
i j k
i j k
x y z
i j k z y i x z j y x k
z y
x z
y x
ecuación del eje central
y
Z y
Z x
 
     
           
   
  
  






  
  
no debe existir.
ecuación de 3 planos que cortan a la misma recta.
eje por donde solamente para R MT y donde se anula MF
Uno de los puntos del eje centralk
27 33 10 67 15 33 1 4 1 0
27 33 10 67 15 33 4 4 0
27 33 4 0
10 67 0
15 33 4 0
0 27 33
0 10
, , ,
, , ,
,
,
,
.
,
,
  
  
     
67



Hemos analizado matemáticamente el sistema.

58
CCAARRGGAASS DDIISSTTRRIIBBUUIIDDAASS OO RREEPPAARRTTIIDDAASS
Las cargas que actúan en las estructuras ¿Son todas iguales?
- NO
Todas las estructuras se encuentran sometidas a distintos tipos de solicitaciones
llamadas cargas, pudiendo estas manifestaciones de diferentes formas.
Hasta el presente hemos analizado como una fuerza o un conjunto de fuerzas llamado
sistema actúan en un cuerpo rígido como cargas concentradas o puntuales.
Llamamos cuerpo rígido aquel que la distancia entre dos de sus puntos no varían antes
o después de ser aplicado el estado de cargas.
Adoptamos el concepto de cuerpo rígido, antes de entrar en el estudio de la resistencia
de los materiales. Como si se analizaran las deformaciones correspondientes a cada material.
Cuando en la realidad queremos analizar una carga puntual sobre una estructura, se
apreciará que se hace muy difícil materializarla.
Un caso típico es el de una esfera rígida sobre un plano.
Entonces ¿Por qué hemos analizado cargas puntuales?
Porque generalmente existen pequeñas cargas puntuales paralelas infinitamente
próximas distribuidas a lo largo de una superficie que no son otras que cargas distribuidas, que
de acuerdo con la gran magnitud de la estructura y a pequeñas
superficies de contacto, se las consideran como cargas puntuales.
Es el caso del apoyo de una viga en una columna.
Entonces: Cuando a esas pequeñas fuerzas paralelas muy
próximas y sucesivas actúan en forma distribuida en gran parte de la
estructura, las consideramos como cargas distribuidas.
Pueden existir tres tipos de cargas distribuidas.
 Uniformes o constantes.
 Distribuidas con variación lineal.
 Distribuida no constante ni lineal.
Carga Uniforme o Constante
Es la acción del líquido en el fondo de un recipiente. También son
cargas distribuidas constantes, el peso propio de un elemento estructural.
Carga Distribuida Lineal:
Son aquellas cuya variación en una dirección mantienen una función lineal.
La presión o carga hidrostática sobre las paredes de un recipiente.

59
Cargas no constantes ni lineal
Es el caso de la presión del viento sobre una gran superficie.
CCaarrggaass ddiissttrriibbuuiiddaass ssoobbrree uunnaa
ssuuppeerrffiicciiee
Si sobre un plano actúa una carga distribuida en forma normal al mismo, se puede
suponer como un conjunto de infinitas fuerzas concentradas de intensidades muy pequeñas y
paralelas entre sí.
“A” es un punto de la superficie y “F” es un entorno muy
pequeño del mismo.
Llamamos “Q” a la resultante de las infinitas fuerza que
actúan en el entorno F.
Definimos:
F
Q


Intensidad media de carga distribuida.
Si F es cada vez más pequeño hasta confundirse con “A”
Q
dF
dQ
F
Q
Lím
F



 0
Intensidad de carga distribuida en el punto.
Cuyas unidades se medirá en unidades de fuerza sobre las de superficie:
 kgrkN
cm
kN
m
kN
cm
t
cm
kgr
m
kgr
m
t 1001.;;;;; 222222  .
Cargas Distribuidas sobre un Eje
Vemos que al analizar la carga distribuida, no guarda una relación ni constante ni lineal
con respecto al eje en que se distribuye.
Como la carga distribuida es un conjunto de fuerzas
infinitamente muy próximas pequeñas y paralelas,
necesitamos conocer su resultante y por donde pasa su
recta de acción.
Si se tratara de cargas finitas, podríamos recurrir a
una solución gráfica por medio del polígono funicular o
analítica por medio de las ecuaciones generales de la
estática.
En este caso procedemos:
Q = f(x) “Q” es función de “x”
Sistema de fuerzas paralelas de intensidad infinitésima.
Su resultante también será paralela
 
 





0
0
A
y
M
F

Q
F
A
xR
x
Línea de
carga
q(x)
dr
Diagrama de carga
l
ldx0
x
y
R

60
cuando dx es más chico, más nos acercamos a un valor de q(x).
Fuerza elemental: dR = q(x) dx
   
oyección
deEcuación
dxqRdxqdR xx
Pr000  

Momento Respecto de “0”:    

00 dxxqM x Ecuación de Momentos
Por Varignon:  
 
R
dxxq
xdxxqxR
x
RxR

 

 0
0
Ecuación de Momentos
Define la abscisa de un punto de la recta de acción de R.
CCaarrggaass DDiissttrriibbuuiiddaass CCoonnssttaanntteess
 
   
 
 
 
 
 
 
  22
2
0
2
0
00
0
2
0
0
0
0
000
0

















RR
x
x
R
x
x
x
q
q
x
xq
x
q
dxq
dxxq
x
qR
xqdxqR
cteqqfq
CCaarrggaass ddiissttrriibbuuiiddaass LLiinneeaallmmeennttee
 
 
 







22
ProyeccióndeEcuación
cargaladevariacióndeLey
striángulodesemejanzaPor
0
2
0
0
q
R
qx
dxx
q
Rdx
qx
R
dxqR
q
qx
q
q
x
q
x
x
x






Para hallar la ubicación:
0 l
q(x)
xR
R
Su Intensidad
0
x
xR
q(x)
R
e

61
 









3
2
3
2
3
2
2
1
1
MomentodeEcuación
3
0
3
0
2
0
0






R
x
R
x
q
q
xq
q
dxx
q
q
dxx
qx
R
R
dxxq
x
En caso de hacer coincidir a la carga máxima q con el origen, el valor de 
3
1
Rx
CCaarrggaass DDiissttrriibbuuiiddaass nnoo CCoonnssttaanntteess nnoo LLiinneeaalleess
Cuando la variación de la carga distribuida no sigue una ley matemática se podrá apelar
para hallar su resultante y ubicación a la fórmula de “Simpson” o de los “trapecios”.
Simpson
          Pxnq qqqq
x
S i


 24
3
0
Se divide el intervalo de la función en
un número par, donde:
 
 
 
  imparesscoordenada
paresscoordenada
ordenadaultimaq
ordenadaprimer
n
0




ix
p
q
q
q
Momento:
          ppixnnq xqXqxqxq
x
xS ix


 24
3
00
Por la Fórmula de los Trapecios
O por integración aproximada
       
         iinnq
xnq
xqxqxq
x
xS
qqq
x
S
x
ix
2
2
2
2
00
0






Ejemplo:
Vimos que la fuerza total resultante Q,
está dada por la superficie del diagrama de
cargas.
0 41 2 3 5 106 7 8 9 1811 12 13 14 15 16 17
q(n)
q(x)
x
q(0)
x0
xn
h
xQ
Pa
Pb
Q
A
B
·h
Su Ubicación

62
22
2
2
hhh
Q
q
R




Y que la carga Q, pasa por el baricentro del diagrama de cargas triangular.
hxQ
3
2

Para calcular las reacciones, “pa” y “pb”
QpbhQhpbhQhpbM
Q
pa
hQ
hpa
h
QhpaM
A
B
3
2
3
2
3
2
0
333
0


3
6
2
Como
2
2
2
h
p
h
p
h
Q
b
a







63
AANNÁÁLLIISSIISS DDEE CCAARRGGAASS EENN LLAASS EESSTTRRUUCCTTUURRAASS
Según el Reglamento CIRSOC 101 (Centro de Investigación de los Reglamentos
Nacionales de Seguridad para las obras civiles) del sistema INTI. Define:
 Acción: Conjunto de Fuerzas Exteriores Activas concentradas o distribuidas
(Acciones Directas)que deformaciones impuestas (acciones, indirectas) Aplicadas a
una estructura. También denominado Estado de Cargas.
 Acción permanente: Acciones que tienen variaciones pequeñas (despreciables, en
relación a su valor medio) e infrecuentes con tiempos de aplicación prolongados.
 Acción Variables: Acciones que tienen elevadas probabilidad de actuación,
variaciones frecuentes y continuas no despreciables en relación a su valor medio.
 Acción Accidental: Acciones que tienen pequeña probabilidad de actuaciones pero
con valor significativo, durante la vida útil de la construcción cuya intensidad puede
llegar a ser importante para algunas estructuras.
 Coacción: esfuerzos internos originados por fluencia lenta retracción , variación de
temperatura, cedimientos de vínculos, etc. que solo se producen en estructuras
hiperestáticas.
 Carga: fuerzas exteriores activas concentradas en KN (1 KN = 100 Kgr) o
distribuidas por unidad de longitud en
m
KN







m
kgr
m
KN
1001 ; por unidad de
superficie en
2
m
KN







22
1001
m
kgr
m
KN
; o por unidad de volumen
3
m
KN







33
1001
m
kgr
m
KN
. Como ejemplo: cargas gravitatorias, cargas originadas por
viento, frenado, etc.
 Carga Gravitatoria “g”: cargas que actúan sobre una estructura como
consecuencia de la acción de la gravedad.
 Carga Útil “p”: cargas debidas a la ocupación o uso (sobrecargas). Por
ejemplo: peso de personas y muebles en edificios, mercaderías en depósitos,
vehículos en puentes, etc.
 Carga de Servicio “q”: Acciones (Estado de carga), a los cuales puede ser
sometido un elemento estructural durante el uso para el cual ha sido previsto.
 Carga de Rotura: cargas que conducen a un estado límite.
 Estado límite: Estado que se produce en una estructura cuando deba de
cumplir alguna función para la que fue proyectada.
 Carga estática: son aquellas cargas que no producen una aceleración
significativa sobre un elemento estructural.
 Carga Dinámica: son aquellas cargas que producen una aceleración
significativa sobre la estructura o sobre un elemento estructural.
¿Cómo se transmiten las cargas por una estructura?

64
Losa
Viga
Viga
Columna
Columna
Columna
Tendremos que realizar un análisis de cargas de arriba hacia abajo.
Primero: analizamos la placa horizontal superior que puede ser el caso de una losa.
Q = g + p
Carga de Servicio: carga gravitatoria + sobrecarga o carga accidental
Las cargas gravitatorias (g) = se obtendrán multiplicando las superficies consideradas
por los correspondientes pesos unitarios (según tablas). 











22
m
KN
m
kgr
SOBRECARGAS: las cargas accidentales o sobrecargas (p): Existen valores mínimos que
se obtienen de tablas (CIRSOC) 











22
m
KN
m
kgr
.
Una vez identificado el valor de carga (q) de servicio en la placa se transmite hacia sus
vínculos (apoyos) que son las vigas.
El análisis de carga de las vigas se realizará del mismo modo que el de la placa siendo
su unidad 

















m
KN
m
t
m
kgr
.
Al ser lineal su análisis disminuye un grado respecto de la placa.
Luego del análisis “q” de la viga esta transmite sus cargas a los vínculos que son sus
columnas.
Las columnas reciben cargas asimismo en t (toneladas), kgr, KN, que luego estas se
trasladan al suelo por intermedio de sus bases. Considerando a todo este sistema como un
sistema activo. Siendo el sistema reactivo, la reacción del suelo sobre la estructura.

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