Resumen de los fundamentos del Cálculo Integral. Sumas de Riemann, propiedades, Integral Definida, Integral Indefinida. Tabla de Integrales, Técnicas de Integración.

1. 1. Notación de Suma
Definición
n
i=1
ai = a1 + a2 + · · · + a3
Propiedades del sumatorio
n
i=1
cai = c
n
i=1
ai
n
i=1
(ai ± bi) =
n
i=1
ai ±
n
i=1
bi
n
i=1
(ai+1 − ai) = ai+1 − a1suma telescópica
Fórmulas especiales
n
i=1
c = c + c + · · · + c
n veces
= cn, c constante
n
i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)
2
n
i=1
i2
= 12
+ 22
+ · · · + n2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
n
i=1
i3
= 13
+ 23
+ · · · + n3
=
n(n + 1)
2
2
2. Suma de Riemann
Una suma de Riemann de orden n de una función f
definida en el intervalo [ a, b ] está determinada por una
partición, que es una división finita de [ a, b ] en subin-
tervalos, por lo regular expresados como a = x0 <
xi · · · < xn = b; y un muestreo de puntos, un punto por
cada subintervalo, digamos ci de [ xi−1, xi ] . La suma de
Riemann asociada es
n
i=1
f(ci)(xi − xi−1)
La partición regular P tiene todos los subintervalos de
la misma longitud ∆x = b−a
n , de donde se tiene xi =
a + i∆x. La norma de la partición es el máximo de las
longitudes de los intervalos y se denota P . Una suma
izquierda toma el extremo izquierdo ci = xi−1 de cada
subintervalo, y una suma derecha, el extremo derecho
xi. La suma superior S de f continua, toma un punto ci
donde el valor máximo Mk de f es obtenido
S(f, P) =
n
k=1
Mk∆xk
La suma inferior S, el valor mínimo mk.
S(f, P) =
n
k=1
mk∆xk
El área bajo la curva de f en ] a, b [ al valor común de
lim
k→∞
S(f, Pk) = lim
i→∞
S(f, Pk)
2 4 6 8
1
2
3
4
S(f, Pk) =
n
k=1
Mk∆xk
2 4 6 8
1
2
3
4
S(f, Pk) =
n
k=1
mk∆xk
3. Integral Definida
Decimos que una función f es integrable en el intervalo
] a, b [ , si existe Llamaremos integral definida al valor
común I de una función f acotada sobre ] a, b [ con
a < b para la suma de Riemann de cualquier partición
admisible, es decir
I =
b
a
f(x) dx = lim
∆x →0
n
k=1
f(ci)∆xi
Propiedades
1.
a
a
f(x) dx = 0
2.
b
a
f(x) dx = −
a
b
f(x) dx
3. Si f y g son funciones integrables en [ a, b ] (con
a < b) y además f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [ a, b ] , en-
tonces:
b
a
f(x) dx ≤
b
a
g(x) dx
4. Si M y m son los valores máximo y mínimo re-
spectivamente de la función f(x) en el intervalo
[ a, b ] , con a ≤ b, y además f es integrable en
[ a, b ] entonces:
m(b − a) ≤
b
a
f(x) dx ≤ M(b − a)
5. Si f es una función integrable en los intervalos
cerrados [ a, b ] , [ a, c ] y [ b, c ] con a < c < b
entonces:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx
“
La música es un ejercicio aritmético ocultado del
alma, que no sabe que está contando.
Gottfried Leibniz
”Copyright © 2017. Prof. Luis Diego Aguilar S.
luisdas07@gmail.com

2. 4. Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f una función continua en [ a, b ] , entonces:
I. F(x) =
x
a
f(t) dt, F es una antiderivada de f.
II. F(x) =
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
5. Integral Indefinida
Llamaremos integral indefinida de una función f(x) en
un intervalo ] a, b [ al conjunto de todas sus funciones
primitivas F(x) + C (con C constante) diferenciables
en dicho intervalo y tales que F (x) = f(x). Lo rep-
resentaremos con la notación habitual: f(x) dx. La
función f(x) recibe el nombre de integrando.
Tabla de Integrales
Notas: a, k, n y C son constantes y u, v, f(x) y
g(x) son funciones reales de variable real definidas
en sus respectivos dominios. Todos los argumentos
de las razones trigonométricas están en radianes.
Propiedades Fundamentales
k dx = k dx = kx + C (1)
af(x) dx = a f(x) dx + C (2)
[f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx (3)
xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n = −1 (4)
x−1
dx = ln|x| + C (5)
f (x)
f(x)
dx = ln|f(x)| + C (6)
Integrales Básicas
Exponenciales y Logarítmicas
ex
dx = ex
+ C (7)
ax
dx =
ax
ln a
+ C (8)
xax
dx =
ax
ln a
· x −
1
ln a
+ C (9)
xex
dx = ex
· (x − 1) + C (10)
ln x dx = x · ln x − x + C = x · (ln x − 1) + C
(11)
x ln x dx =
x2
4
· (2 ln x − 1) + C (12)
Trigonométricas Elementales
sen x dx = − cos x + C (13)
cos x dx = sen x + C (14)
tan x dx = − ln|cos x| + C
= ln|sec x| + C
(15)
csc x dx = − ln|csc x − cot x| + C (16)
sec x dx = − ln|sec x + tan x| + C (17)
cot x dx = ln|cos x| + C
= − ln|csc x| + C
(18)
sen2
x dx =
x
2
−
1
4
sen 2x + C (19)
cos2
x dx =
x
2
+
1
4
sen 2x + C (20)
tan2
x dx = tan x − x + C (21)
csc2
x dx = − cot x + C (22)
sec2
x dx = tan x + C (23)
cot2
x dx = − cot x − x + C (24)
sec x tan x dx = sec x + C (25)
csc x cot x dx = − csc x + C (26)
x sen x dx = sen x − x cos x + C (27)
x cos x dx = cos x + x sen x + C (28)
(29)
Trigonométricas Inversas
arcsen x dx = x sen x + 1 − x2 + C (30)
arccos x dx = x cos x − 1 − x2 + C (31)
arctan x dx = x tan x − ln 1 + x2 + C (32)
arccot x dx = x cot x + ln 1 + x2 + C (33)
arcsec x dx = x sec x − ln x + x2 − 1 + C
= x sec x − arccosh x + C
(34)
arccsc x dx = x csc x + ln x + x2 − 1 + C
= x sec x + arccosh x + C
(35)
“
Puedo calcular el movimiento de los
cuerpos celestes, pero no la locura de la
gente.
Isaac Newton
”

3. Trigonométricas Hiperbólicas
senh x dx = cosh x + C (36)
cosh x dx = senh x + C (37)
tanh x dx = ln|cosh x| + C (38)
csch x dx = arccoth(cosh x) + C
= ln tanh
x
2
+ C
(39)
sech x dx = arctan(senh x) + C (40)
coth x dx = ln|senh x| + C (41)
sech2
x dx = tanh x + C (42)
csch2
x dx = − coth x + C (43)
sech x tanh x dx = − sech x + C (44)
csch x coth x dx = − csch x + C (45)
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C
= −
1
a
arccot
x
a
+ C
(46)
1
x2 − a2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C, x2
> a2
=



−
1
a
arctan
x
a
+ C, si |u| < a
−
1
a
arccot
x
a
+ C, si |u| > a
(47)
1
ax2 + bx + C
dx =
2
√
−∆
arctan
2ax + b
√
−∆
+ C,
en donde ∆ = b2
− 4ac < 0
(48)
1
a2 − x2
dx =
1
2a
ln
x + a
x − a
+ C, x2
< a2
=



1
a
arctan
x
a
+ C, si |u| < a
1
a
arccot
x
a
+ C, si |u| > a
(49)
1
√
a2 − x2
dx = sen
x
a
+ C = cos
x
a
+ C
(50)
1
√
x2 ± a2
dx = ln x + x2 ± a2 + C (51)
1
x
√
a2 ± x2
dx =
1
a
ln
x
a +
√
a2 ± x2
+ C (52)
1
x
√
x2 − a2
dx =
1
a
arccos
a
x
+ C
= −
1
a
arcsec
x
a
+ C
(53)
a2 − x2 dx =
x
2
a2 − x2
+
a2
2
arcsen
x
a
+ C
(54)
x2 ± a2 dx =
x
2
x2 ± a2
±
a2
2
ln x + x2 ± a2 + C
(55)
eax
sen(bx) dx =
eax
(a sen(bx) − b cos(bx))
a2 + b2
+ C
(56)
eax
cos(bx) dx =
eax
(a cos(bx) + b sen(bx))
a2 + b2
+ C
(57)
Potencias Trigonométricas
senn
θ dθ = −
senn−1
θ cos θ
n
+
n − 1
n
senn−2
θ dθ
en donde n = 0
(58)
cosn
θ dθ =
cosn−1
θ sen θ
n
+
n − 1
n
cosn−2
θ dθ
en donde n = 0
(59)
tann
θ dθ =
tann−1
θ
n − 1
− tann−2
θ dθ
en donde n = 1
(60)
cscn
θ dθ = −
cscn−2
θ cot θ
n − 1
+
n − 2
n − 1
cscn−2
θ dθ
en donde n = 1
(61)
secn
θ dθ =
secn−2
θ tan θ
n − 1
+
n − 2
n − 1
secn−2
θ dθ
en donde n = 1
(62)
cotn
θ dθ = −
cotn−1
θ
n − 1
− cotn−2
θ dθ
en donde n = 1
(63)
cosm
θ senn
θ dθ = −
cosm+1
θ senn−1
θ
m + n
+
n − 1
m + n
cosm
θ senn−2
θ dθ
en donde m + n = 0
(64)

4. Técnicas de Integración
6. Sustitución
Se basa sobre la Regla de la cadena y puede aplicarse
en una gran variedad de situaciones cuando una función
y su derivada están presentes en el integrando.
f(g(x)) g (x) dx f(u) du + C (65)
Se hace la sustitución
u = g(x)
du = g (x) dx
7. Por partes
Se basa sobre la fórmula de la derivada de un producto
y puede aplicarse en algunas integrales donde aparezcan
productos de funciones.
u dv = uv − v du (66)
Donde se considera que
u = f(x) =⇒ du = f (x) dx
dv = g(x) dx =⇒ v = g(x) dx
Con este método se busca llegar
a otra integral más sencilla de
calcular. Se toman ambas fun-
ciones u y dv de manera apropi-
ada según el criterio ILATE. La
función u se deriva y la función
dv se integra.
I L A T E
n o l r x
v g g i p
e a e g o
r r b o n
s í r n e
a t a o n
s m i m c
i c e i
c a t a
a s r l
s i e
c s
a
s
8. Sustitución Trigonométrica
Cuando se presentan expresiones como√
x2 + a2,
√
x2 − a2 o
√
a2 − x2 es conveniente
hacer una sustitución para eliminar expresiones compli-
cadas en fracciones algebraicas haciendo desaparecer la
raíz cuadrada en el integrando. En esos casos se puede
hace uso de las siguientes sustituciones:
Expresión Sustitución Identidad
x2
+ a2
x = a tan θ tan2
θ + 1 = sec2
θ
x2
− a2
x = a sec θ sec2
θ − 1 = tan2
θ
a2
− x2
x = a sen θ 1 − sen2
θ = cos2
θ
Sustitución
x = a tan θ
√
x2 + a2
a
x
θ
Sustitución
x = a sec θ
x
a
√
x2 − a2
θ
Sustitución
x = a sen θ
a
√
a2 − x2
x
θ
9. Descomposición en Fracciones parciales
Toda fracción racional algebraica propia P (x)
Q(x) , con
Q(x) = 0 (donde el denominador tiene mayor grado
que el numerador) se puede descomponer en una suma
de donde se trata de determinar los valores de ciertas
constantes. Se consideran los siguientes casos.
I. Factores lineales distintos. Donde Q(x) =
(a1x+b1)(a2x+b2) · · · (anx+bn). existen cons-
tantes A1, A2, . . . , An tales que
P(x)
Q(x)
=
A1
(a1x + b1)
+
A2
(a2x + b2)
+ · · ·
An
(anx + bn)
II. Factores lineales repetidos. Donde Q(x) =
(a1x + b1)(a1x + b1)2
· · · (a1x + b1)n
. existen
constantes A1, A2, . . . , An tales que
P(x)
Q(x)
=
A1
a1x + b1
+
A2
(a1x + b1)2
+· · ·+
An
(a1x + b1)n
VI. Factores cuadráticos irreductibles distintos.
Donde cada factor de Q(x) es una expresión
cuadrática ax2
+ bx + c tal que ∆ < 0. Entonces
existen constantes A, B tales que P (x)
Q(x) es igual a
A1x+B1
(a1x2+b1x+c1)
+ A2x+B2
(a2x2+b2x+c2)2 + · · · + Anx+Bn
(anx2+bnx+cn)n
VI. Factores cuadráticos irreductibles repetidos.
Q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles
(ax2
+ bx + c)n
, algunos de los cuales pueden
estar repetidos. hay que determinar las contantes
A1, A2, . . . , An; B1, B2, . . . , Bn tales que P (x)
Q(x) es
A1x + B1
(ax2 + bx + c)1
+
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2
+ · · · +
Anx + Bn
(ax2 + bx + c)n
10. Aplicaciones de la Integración
1. Área entre curvas. Si h es la función definida por
h(x) = f(x)−g(x) para x ∈ [ a, b ] , y si A existe,
entonces:
A =
b
a
h(x) dx =
b
a
[f(x) − g(x)] dx
2. Volumen de un sólido de revolución. Sea f una
función definida en el intervalo [ a, b ] . Recibe el
nombre de sólido de revolución, el sólido generado
al girar alrededor del eje x, la región limitada por
la gráfica de y = f(x), el eje x y las gráficas de
x = a y x = b. El eje x es un eje de simetría de
dicho sólido y una sección recta perpendicular al
eje x es un círculo.
V =
b
a
π[f(x)]2
dx
3. Longitud de una curva plana. Sea una curva C
definida por y = f(x) continua sobre el intervalo
[ a, b ] y derivable en ] a, b [ . entonces la longitud
L de la curva C viene dada por:
L =
b
a
1 + [f (x)]2 dx
4. Promedio de una función. El valor promedio de
una función f continua sobre el intervalo [ a, b ]
se define como:
fprom =
1
b − a
b
a
f(x) dx