1. Fracción Parcial
El método de las fracciones parciales consiste en descomponer
un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de
menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito
más importante es que el grado del polinomio del denominador sea
estrictamente mayor que el del numerador.
Características
Para mayor claridad, sea:
en donde: . Para reducir la expresión a fracciones parciales se
debe expresar la función de la forma:
o
es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.
Casos
Se distinguen 4 casos:
Factores lineales distintos
Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde son constantes a determinar, y
ningún denominador se anula.
[editar]Factores lineales repetidos
Donde los pares de factores son idénticos.

2. Donde son constantes a determinar, y ningún
denominador se anula.
Factores cuadráticos distintos
Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde son constantes a determinar,
y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos repetidos
Donde son constantes a determinar,
y ningún denominador se anula..
Observación: Es posible construir ejemplos que combinan los cuatro
casos anteriores.
Cómputo de las constantes
Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se
puede utilizar la siguiente fórmula:
en donde
Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo,
estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de
ecuaciones con cada una de las , la resolución del sistema proporciona
los valores de los .
Introducción a las fracciones parciales
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente
de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de

3. manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa.
El requisito más importante es que el grado del polinomio del
denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función
depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción
parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del
numerador.
Las integrales por fracciones parciales es de la
forma ∫P(x)Q(x)dx donde:
 P(x) y Q(x) son polinómios
 El grado de P(x) es menor que el de Q(x)
NOTA
 Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer
expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
 En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la
fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el
denominador de a función racional. El resultado de la extensión
parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las
fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable)
polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese
polinomio irreducible.
Caso I (Factores Lineales Distintos)
En este caso tenemos que los factores del denominador son todos
factores lineales distintos.
Q(x)=(a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)...(anx+bn) a y b son constantes,
proponer:

4. P(x)Q(x)=A1a1x+b1+A2a2x+b2+…+Ananx+bn(1)
Encontrar A1,A2,An
Ejemplo Caso I
Sea f(x)=1x2+x−6
Primero factorizamos el denominador nos quedaría f(x)=1(x+3)(x−2)
Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso
I para escribir
1(x+3)(x−2)=Ax+3+Bx−2
Caso II (Factores Lineales Repetidos)
Suponga que el primer factor lineal (a1x+b1) se repite r veces; es
decir, (a1x+b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en
lugar del término simple
A1a1x+b1
en (1), se usaría
A1a1x+b1+A2(a1x+b1)2+…+Ar(a1x+b1)r(2)
Ejemplo caso II
Si tenemos
f(x)=2x+1(x+1)3(x−1)(x−2)
en el denominador Q(x)=(x+1)3(x−1)(x−2) podemos ver que tenemos
que tenemos los factores lineales (x−3)3, x−1 y x−2
 Para (x−1) y (x−2) usamos el caso I entonces
escribimos Ax−1+Bx−2
 Para (x+1)3 usamos el caso II entonces
escribimos Cx+1+D(x+1)2+E(x+1)3
Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,

5. 2x+1(x+1)3(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2+Cx+1+D(x+1)2+E(x+1)3
Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)
Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2+bx+c,
donde b2−4ac<0 (esto nos dice que no se puede
expresar ax2+bx+c como la multimplicacion de dos fatores lineales
pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las
fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión
para P(x)Q(x) tendrá un término de la forma
Ax+Bax2+bx+c
Ejemplo Caso III
Sea f(x)=x(x+1)2(x2+1) podemos notar que x2+1 es una cuadrática
irreducible ya que su solución es compleja entonces para este
factor escribimos una suma de la forma
Ax+Bx2+1
y para el factor (x+1)2 escribimos las fracciones
Cx+1+D(x+1)2
Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones
parciales para f(x)
x(x+1)2(x2+1)=Ax+Bx2+1+Cx+1+D(x+1)2
Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)
Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2+bx+c)r, donde b2−4ac<0,
luego en lugar de la única fracción parcial Ax+Bax2+bx+c,
escribimos la suma
A1x+B1ax2+bx+c+A2x+B2(ax2+bx+c)2+…+Arx+Br(ax2+bx+c)r
Ejemplo Caso IV
Sea f(x)=2x+1(x−1)3(x2+4)2 usamos el Caso II y el Caso IV y nos
queda
2x+1(x−1)3(x2+4)2=Ax−1+B(x−1)2+C(x−1)3+Dx+Ex2+4+Fx+G(x2+4)2
Caso V (Fracción Impropia)

6. Si f(x)=P(x)Q(x) es una fracción impropia (es decir, el grado
de P(x) es mayor o igual que el de Q(x)) entonces
dividir P(x) por Q(x) para obtener:
P(x)Q(x)=(Un polinomio)+P1(x)Q(x)
Donde el grado de P1(x) es menor que el grado de Q(x)
Ejemplo Caso V
Sea f(x)=2x3−4x2−15x+5x2−2x−8 podemos notar que el grado del
numerador 2x3−4x2−15x+5 es 3 y es mayor que el grado del
denominador x2−2x−8 que es 2 por lo que la fracción es un fracción
impropia entonces hacemos division larga,
Entonces podemos escribir
f(x)=2x+xx2−2x−8
donde en la fracción xx2−2x−8 el grado del numerador es menor que
el grado del doniminar entonces ya podemos aplicar los metodos
antes mencionados.
Ejemplos
Descomponer en fracciones parciales: 1x3+10x
Denominador=x(x2+10)
1x(x2+10)=Ax+Bx+Cx2+10
A(x2+10)+(Bx+C)x=1
Ax2+10A+Bx2+Cx=1
(A+B)x2+Cx+10A=1
los valores se toman de la igualdad.
A+B=0
C=0
10A=1

7. A=1/10
B=−1/10
1x(x2+10)=110x−x10(x2+10)
Resolver int frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx
Reescribiendo: frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2} = frac{Ax+B}{(x^2+1)
} + frac{Cx + D}{(x^2+1)^2}
Entonces: 2x^2+3 = (Ax+B)(x^2+1)+Cx+D =
Ax^2+Bx^2+(A+C)x+(B+D)
Donde: A=0, B=2, (A+C)=0, (B+D)=3 . Luego: A=0,B=2, C=0, D=1 y
int frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx = int frac{2xdx}{x^2+1} +
int frac{dx}{x^2+1}
Para la segunda integral de la derecha, hacer x=tan z.
Obteniendo: int frac{dx}{x^2+1} = int
frac{sec^2zdz}{sec^4z} = int cos^2zdz = frac{1}{2}z +
frac{1}{4}sin2z + C
Siendo: int frac{2x^{2}+3}{(x^{2}+1)^2}dx = 2arctan x +
frac{1}{2}arctan x + frac{frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C
= frac{5}{2} arctan x + frac{frac{1}{2}x}{x^{2}+1} + C

8. Resolver int frac{x^{3}+ x} {x - 1} dx
Nos damos cuenta que el grado del numerador es mayor que el
denominador, entocnes primero haremos una división larga.
int frac {x^{3}+ x} {x - 1} dx = int ( x^{2} + x + 2 + frac {2} {x -
1} ) dx
= frac {x^{3}} {3} + frac {x^{2}} {2} + 2x + 2 ln (x - 1) + c
Lo que tenemos que hacer ahora es factorizar el
denominador Q(x) tanto como sea posible.
Q(x) = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x^{2} + 4)
Ahora debemos expresar la función racional propia como una suma
de fracciones parciales de la forma frac {A}{{(ax +b)}^{i}} ;;o;;
frac {Ax + B} {{(a x^{2} + bx + c)}^{j}}
Un teorema del algebra nos garantiza que siempre es posible hacer
esto y tenemos cuatro casos basicos:
Caso 1: El denominador Q(x) es un producto de factores lineales
distintos.
Lo que significa que podemos escribir:
Q(x) = (a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_kx + b_k)
en donde no hay factor que se repita. En este caso, el teorema de
las fracciones parciales establece que existen constantes A1, A2,
...Ak tales que:

9. frac {R(x)} {Q(x)} = frac {A_1} {a_1x + b_1} + frac {A_2} {a_2x +
b_2} + ... + frac {A_k} {A_kx + b_k }
Resolver int frac {x^{2} + 2x - 1} {2x^{3} + 3x^{2} - 2x}; dx
Ya que el grado del numerador es menor que el del denominador no
necesitamos dividir. Factorizamos el denominador como:
2x^{3} + 3x^{2} - 2x = x (2x^{2} + 3x - 2) = x(2x - 1) (x + 2)
El denominador tiene tres factores lineales distintos y la
descomposición en fracciones parciales es:
frac {x^{2} + 2x -1} {x(2x - 1) (x + 2)} = frac {A} {x} + frac
{B}{2x - 1} + frac {C}{x + 2}
Para encontrar los valores de A, B y C, multiplicamos ambos lados de
esta ecuacion por x(2x - 1) (x + 2)
x^{2} + 2x - 1 = A (2x - 1) (x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x - 1)
x^{2} + 2x - 1 = (2A + B + 2C)x^{2} + (3A + 2B - C)x - 2A
Los polinomios de esta ecuacion son identicos, de modo que sus
coeficientes han de ser iguales.
El coeficiente de x^{2}, en el lado derecho, es 2A + B + 2C y debe
ser igual al coeficiente de x^{2} en el lado izquierdo, que es 1. De
igual forma los coeficientes de x son iguales y los terminos
constantes tambien. Con esto llegamos al siguiente sistema de
ecuaciones en A, B ;;y;; C
2A + B + 2C = 1
3A + 2B - C = 2
-2A = -1

10. Al resolver el sistema obtenemos A = frac {1}{2};; B = frac
{1}{5} ;;y;; C = - frac {1}{10}
int frac {x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x} dx = int [ frac
{1}{2}frac{1}{x} + frac {1}{5}frac{1}{2x - 1} -
frac{1}{1}frac{1}{x + 2} ] dx
= frac{1}{2} ln(x) + frac {1}{10} ln(2x - 1) - frac {1}{10} ln(x + 2) +
K
Al integrar el termino intermedio hemos recurrido a la sustitucion
mental u = 2x - 1
du = 2dx
dx = frac {du}{2}
Resolver int frac{4y^2 - 7y + 12}{y left ( y+2 right ) left (y-3
right )} dx
Como el denominador ya esta factorizado, ahora descompondremos
en fracciones:
frac {4y^{2}-7y+12}{yleft ( y+2 right ) left ( y-3 right )} =
frac{A}{y}+frac{B}{left ( y+2 right )}+frac{C}{left ( y-3
right )}
Bueno ahora tendremos que multiplicar a cada fracción por: {y}left
( y+2 right )left ( y-3 right )
Y nos quedaría de esta forma:

11. {y}left ( y+2 right )left ( y-3 right ) ast frac{A}{y} + {y}left
( y+2 right )left ( y-3 right ) ast frac{B}{left ( y+2 right )} +
{y}left ( y+2 right )left ( y-3 right ) ast frac{C}{left ( y-3
right )}
Despues de multiplicar cada fracción el resultado sería: Aleft (
y+2 right )left ( y-3 right ) + Byleft ( y-3 right ) + Cyleft (
y+2 right ) = 4y^2 -7y + 12
Aleft ( y^2 -3y +2y-6 right ) + By^2-3By+Cy^2+2Cy = 4y^2-
7y+12
Ay^2-3Ay+2Ay-6A+By^2 -3By+Cy^2 +2Cy=4y^2-7y+12
y^2left ( A+B+C right )-Ay-3By+2Cy-6A=4y^2-7y+12
y^2left ( A+B+C right )+yleft ( -A-3B+2C right )-6A=4y^2-
7y+12
ahora encontramos polinomios que parescan tener las mismas
características:
A+B+C=4
-A-3B+2C=-7
-6A=12
el valor de A sería:
A=-2

12. Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación para poder eliminar la
variable B:
3left {A+B+C right }=3left( 4 right )
3A+3B+3C=12
-3A-3B+2C=-7
2A+5C=5
5C=5-2A
C=frac{9}{5}
Ahora escojemos una ecuación y despejamos para B:
B=4-C-A
B=frac{21}{5}
Como ya tenemos los 3 valores de A,B y C sustituimos en la fracción
parcial:
int frac{-2}{y}+frac{21/5}{y+2}+frac{9/5}{y-3}dx
La respuesta correcta quedaría de la forma siguiente:
= -2ln left ( y right )+frac{21}{5}ln left ( y+2 right
)+frac{9}{5}ln left ( y-3 right )

13. Ejemplo # 6
Caso 1 Todos los factores del denominador son distintos.
intfrac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx
Factorizamos el denominador x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x -
2) = x(x - 2)(x+1)
A cada factor lineal ax + b que esté una sola vez en el
denominador de una fracción racional propia, le corresponde una
sola fracción.
simple de la forma frac{A}{ax + b} donde A es una
constante cuyo valor habrá que calcular.
En el ejemplo descomponemos la fraccion en tres fracciones
cuyos numeradores seran A, B, C. Observa que el grado del
denominador es tres y es el mismo numero de constantes por
determinar.
intfrac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx =
Factorizamos el denominador
frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} = frac{3x-2}{x(x - 2)(x +
1}= frac{A}{x} + frac{B}{x - 2} + frac{c}{x + 1}
Reducimos a una sola fraccion, aplicamos el mcm. que en este
caso es : mcm = x(x - 2)(x +1)
frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2x} = frac{A(x - 2)(x + 1) + Bx(x
+ 1)+ Cx(x - 2)}{x(x - 2)(x + 1)}

14. Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo
denominador, entonces los numeradores tambien deben ser iguales,
por lo tanto
3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1) + Cx(x - 2)
Para calcular los valores de las constantes A, B y C
obtenemos las raices de x(x - 2)(x + 1) que son:
x=0 x-2=0 x+1=0
x=2 x = -1
Evaluando las raices en
3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1)+ Cx(x - 2)
Para x = 0
-2 = A(-2)(1) + B(0) + C(0)
-2 = -2A
A=1
Para x = 2
4 = A(0) + 6B + C(0)
4 = 6B
B = frac {2}{3}
Para x = -1
-5 = A(0) + B(0)+ C(3)
-5 = 3C
C = - frac {5}{3}
Sustituimos los valores obrenido de A, B, y C
frac{3x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} dx = frac {1}{x} + frac
{frac {2}{3}}{x - 2} + frac { - frac {5}{3}}{x + 1}
Integramos

15. intfrac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx = intfrac{dx}{x} +
frac{2}{3}intfrac{dx}{x - 2} - frac{5}{3}intfrac{dx}{x + 1} =
L(x) + frac{2}{3} L (x - 2) - frac{5}{3} L (x + 1)+ c
Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda
frac {L(x(x - 2)^frac{2}{3})}{L((x + 1)^frac{5}{3})} + c
= L(frac{x( x - 2)^frac{2}{3})}{(x + 1)^frac{5}{3}}) + c
Otro procedimiento para resolver la integral antes citada
intfrac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} dx =
Factorizamos el denominador
frac{3x-2}{x^3 - x^2 - 2X} = frac{3x-2}{x(x - 2)(x +
1}= frac{A}{x} + frac{B}{x - 2} + frac{c}{x + 1}
Reducimos a una sola fraccion, aplicamos el mcm. que en este
caso es : mcm = x(x - 2)(x +1)
frac{3x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} = frac{A(x - 2)(x + 1) +
Bx(x + 1) + Cx(x - 2)}{x(x - 2)(x + 1)}
Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo
denominador, entonces los numeradores tambien deben ser iguales,
por lo tanto
3x - 2 = A(x - 2)(x + 1)+ Bx(x + 1)+ Cx(x - 2)
Efectuando las operaciones del segundo miembro dela
igualdad y agrupando los ficientes de x^2, x y del termino

16. independiente, queda
3x - 2 = A(x^2 - x - 2)+ Bx^2 + Bx + Cx^2 - 2Cx
= Ax^2 - Ax - 2A)+ Bx^2 + Bx + Cx^2 - 2Cx
(A + B + C)x^2 - x - 2)+ (- A + B -2 C)x - 2A
Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias
de x. A continuacion establecemos un sistema de ecuaciones.
A+B+C=0 (1)
- A + B - 2C = 3 (2)
-2A = - 2
A=1
Sustituimos en (1) y (2)
1+B+C=0
-1 + B - 2C = -2
Multiplicando B - 2C = 4 por -1
B + C = -1
-B + 2C = -4 (3)
3C = -5
C = - frac{5}{3}
Calculamos B en (3)
B - frac{5}{3} = -1
B = -1 + frac{5}{3}
B = frac{2}{3}
Sustituimos los valores de A, B y C

17. frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - 2x} = frac{1}{x} +
frac{frac{2}{3}}{x - 2} + frac{- frac{5}{3}}{x + 1} =
intfrac{dx}{x} + frac{2}{3}intfrac{dx}{x - 2} -
frac{5}{3}intfrac{dx}{x + 1}
Integramos
L(x) + frac{2}{3}L(x - 2) - frac{5}{3}L(x + 1) + C
Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda
frac{ln[x(x - 2)^frac{2}{3}]}{ln[(x + 1)]^frac{5}{3}} + C
= lnfrac{x(x - 2)^frac{2}{3}]}{(x + 1)^frac{5}{3}} + C
--Harry 22 17:22 17 ene 2010 (CST)
Ejemplo # 7
Caso 2 Algunos de los factores lineales del denominador se
repiten.
intfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} dx
Factorizamos el denominador
frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = frac{3x + 5}{(x +
1)(x - 1)^2}
El factor repetido es (x - 1)^2, se escribe la fraccion con el
denominador (x - 1)^2 y todas las potencias inferiores, en este caso
con denominador (x - 1)

18. frac{A}{(x + 1)} + frac{B}{(x-1)^2)} + frac{C}{(x + 1)}
Reducimos a una sola fraccion, aplicando el mcm mcm = (x +
1(x -1 )^2
frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = frac{A(x - 1) +
B(x + 1) + C(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)^2}
Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo
denominador, entones los numeradores tambien deben ser iguales,
por lo tanto
3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1) + C(x + 1)(x - 1)
Efectuando las operaciones el segundo miembro de la
igualdad y agrupando los coeficientes de x^2, x y del termino
independiente
queda
3x + 5 = A(x^2 - 2x + 1) + Bx + B + Cx^2 - c
= Ax^2 + 2Ax + A + Bx + B + Cx^2 - c
= (A + C)x^2 + (B - 2A)x + (A + B - C)
Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias
de x, a continuacion establecemos uns sistema de ecuaciones
A + C = 0 (1)
-2A + B = 3 (2)
-3A + C = 5 (3)
con (2) y (3), multiplicando (3) por -1
- 2A + B = 3
-A - B + C = -5

19. -3A + C = -2 (4)
--Harry 22 17:02 17 ene 2010 (CST) jkjkjkk
Ejemplo # 8
Caso 3 todos los factores cuadraticos (irreducibles del denominador
son distintos)
Por cada factor de la forma ax^2 + bx + c, que es un polinomio
caudratico que resulte de
la factorización Q(x), queda un sumando del tipo frac{Ax + B}{ax^2
+ bx + c}. Si ademas resultan
factores lineales repetidos, o no, se resuelven como los casos 1 y 2
intfrac{2x^2 + x}{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1} dx
factorizamos el denominador
intfrac{2x^2 + x}{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1} dx = frac{2x^2 +
x}{(x+1)^2 (x^2 +x + 1)} = frac{A}{(x+1)^2} + frac{B}{x+1} +
frac{C}{(x^2 + x +1}
reducimos a una sola fracion, aplicando el mcm que en este caso es:
mcm =(x+1)^2 (x^2 + x + 1)
frac{2x^2 + x}{(x+1)^2 (x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x +1)} = frac{A(x^2
+x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2}{(x+1)^2(x^2 +x + 1)}
Como los dos miembros de la igauldad tienen el mismo denominador,
entonces los numerdadores , tambien deben ser igaules, por lo
tanto
2x^2 + x = A(x^2 +x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2
Al efectuar las operaciones del segundo miembro de a igualdad y
agrupar los coeficientes de x^2, x y del tarmino independiente
queda
2x^2 + x = A(x^2 +x + 1)+ B(x + 1)(x^2 +x + 1) + (Cx + D)(x +1)^2
= Ax^2 + Ax + A)+ B(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) + Cx^3 + 2Cx^2 + Cx +
Dx^2 + 2Dx + D
= Ax^2 + Ax + A)+ Bx^3 + 2Bx^2 + 2Bx + B) + Cx^3 + 2Cx^2 + Cx +

20. Dx^2 + 2Dx + D
=(B + C)x^3 + ( A + 2B + 2C + D)x^2 + (A + 2B + C + 2D)x + (A + B +
D)
Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a
continuación establecemos un sistema de ecuaciones
B + C = 0 (1)
A + 2B + 2C = 2 (2)
A + 2B + C + 2D = 1 (3)
A + B + D = 0 (4)
En (1)
B+C=0
B = -C
Sustituimos en (2),(3) y(4)
A + 2(-C) + 2C = 2 (2)
A + 2(-C) + C + 2D = 1 (3)
A + (-C) + D = 0 (4)
A + D = 2 (2)
A - C + 2D = 1 (3)
A -C + D = 0 (4)
Con (3) y (4) multiplicando (4) por -1
A - C + 2D = 1 (3)
-A +C - D = 0 (4)
D=0
Sustituimos en (2)
Ejemplo # 9
int frac{1}{(t+4)(t-1} dt
Esto es igual a frac{1}{(t+4)(t-1)} = frac{A}{(t+4)}+frac{B}{(t-1)}
Multiplicamos todo por (t+4)(t-1)
Llegamos a esta expresion 1 = A(t-1) + B(t+4)
Tenemos que encontrar A y B

21. 1ra) A + B = 0
2da) -A + 4B = 1
Por la 1ra expresion
3ra) A = -B
Sustituimos en la 2da expresión
4ta) B = frac{1}{5}
Sustituimos en la 1ra expresión
A = -frac{1}{5}
Sustituimos en la integral
int (-frac{frac{1}{5}}{(t+4)} +frac{frac{1}{5}}{(t-1)}) dt
-frac{1}{5} ln(t+4) + frac{1}{5} ln(t-1) + C
Ejemplo #10
int frac{x-9}{left( x +5 right )left ( x-2 right )}
frac{x-9}{left( x +5 right )left ( x-2 right )}
frac{x-9}{left( x +5 right )left ( x-2 right )}, , =, ,
frac{A}{left ( x+5 right )}+frac{B}{left ( x-2 right)}
x-9= Aleft ( x-2 right )+Bleft ( x+5 right )
x-9, =, Ax - 2A + Bx +5B
Ax + Bx = X , , , , &, , , , 5B-2A=-9
despejamos el termino B en la primera ecuacion y nos quedariaasi:
B= 1 - A
Luego despejamos el termino en la segunda ecuacion y nos quedara
asi :
5left (1-A right )-2A=-9

22. despues de un poco de algebra y despejar el termino A la respuesta
sera:
A= 2
sustituyendo en B= 1 - A el valor de A nos qedara que:
B= 2
ahora integramos las dos fracciones que teniamos al principio:
int frac{A}{left( x+5 right )}+int frac{B}{left ( x-2 right )}
= A, lnleft ( x+5 right )+B, lnleft ( x-2 right )
Despues de integrar y de sustituir los valores de A y B nos
qedaraasi la respuesta:
= 2, lnleft( x+5 right )-, lnleft ( x-2 right