Una función es integrable si el valor superior e inferior de la integral son iguales para cualquier partición del intervalo. Una función es integrable si para cualquier epsilon positivo existe una partición tal que la diferencia entre los valores superior e inferior de la integral sea menor que epsilon. Si una función es continua o solo discontinua en puntos finitos y es acotada, es integrable. Las propiedades de la integral incluyen la linealidad y que la integral de una función menor siempre es menor que la de una función mayor en el mismo intervalo.

1. Función integrable
Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:
sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de [a, b] }
En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota
por:
[ b [ b
| f donde L( f, P ) <= | f <= U( f, P ) para todas las particiones de [a, b]
] a ] a
Teorema
Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para
todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:
U( f, P ) - L( f, P ) < e
Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a, b]
salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en [a, b], entonces es integrable.
Propiedades
[ b [ b [ b
| ( m · f(x) + n · g(x) ) · dx = m · | f(x) · dx + n · | g(x) · dx
] a ] a ] a
[ b [ b
Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces | g(x) · dx <= | f(x) · dx
] a ] a
[ b [ b [ b

2. | f(x) · dx = | f(x) · dx + | f(x) · dx
] a ] a ] a
.