Conexidad por Trayectorias.

1. AL10503732
Conexidad por trayectorias
UNIDAD 3
Lizeth Vargas Vera

2. Lizeth Vargas Vera
1 
Conexidad por trayectorias
UNIDAD 3
Instrucciones:
1. 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅2
𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑓: 𝑅{0} → 𝑅2
𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 → (𝑥, 1/𝑥).
2. 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑟𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 :
𝑎) ¿ 𝐸𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑜 − 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒
𝑅2
𝐼 = {(𝑥, 1/𝑥): 𝑥 ≠ 0}? ¿ 𝑃𝑜𝑟 𝑞𝑢é?
𝑏) 𝑆𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜, ¿ 𝑐𝑢á𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑜
− 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐼? ¿ 𝐶𝑢á𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛?
𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑜( 𝑋, 𝜏 ) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜 𝑠𝑖, 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑋 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
{0, 1} 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓( 𝑥) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝑓( 𝑥) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑋)
𝑆𝑖 ( 𝑋, 𝜏 ) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑓 ∶ 𝑋 −→ {0, 1} 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ 𝑆𝑖 ( 𝑋, 𝜏 ) 𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑋 = 𝐴 ∪ 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐴 𝑦 𝐵 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 . 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑓( 𝑥)
= 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑓( 𝑥) =
1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐵.

3. Lizeth Vargas Vera
2 
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎, 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝑅2
𝐼 = {(𝑥, 1/𝑥): 𝑥 ≠ 0}
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑜; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑜 − 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑥𝑎𝑠.
b) Si respondiste que no es conexo, ¿cuántascomponentesarco-conexastiene l? ¿Cuáles son?

4. Lizeth Vargas Vera
3 
𝑓: 𝑅{0} → 𝑅2
𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 → (𝑥, 1/𝑥).
𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 : 𝑥 > 0
𝑥 < 0