Definición de Integral de Lebesgue

1. Integral de Lebesgue
Consideremosμunamedidanonegativasobre σ-álgebraXde subconjuntosde E.Por ejemplo,E
puede serun espacioeuclídeo ndimensional Rnoalgúnsubconjuntomediblede él,Xpuede serel
σ-álgebrade todoslossubconjuntosmediblesde E,yμ puede serla medidade lebesgue.Enla
teoría de probabilidad μpuede serunafunciónde probabilidadsobre un espaciode
probabilidad E.
En la teoría de Lebesgue, el cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas
funciones medibles. Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado
pertenece a X, es decir, es un conjunto medible:
El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más
importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de
sucesiones de funciones:
es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión {fk}, k N, son
también medibles.
Vamos a construir la integral de Lebesgue : para funciones reales
medibles f construidas sobre E en varias etapas calculando las integrales de
funciones sencillas:
Función característica o indicadora: Dado un subconjunto S medible contenido
en E, la función característica 1S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a S y
0 para el resto.
La integral de esta función ha de ser la medida del conjunto S.
Función simple: Una función simple es de la forma ,
donde ak son números reales y la suma es finita.
A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de
integrar una función simple sea:

2. A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas
sumas, el resultado de la integral no varía.
Función no negativa: Sea f una función no negativa medible sobre E. Se
define
Funciones con signo: Una función con signo definida sobre E se
puede escribir como suma de dos funciones no negativas:
donde
Si ambas integrales verifican
entonces se puede definir la integral de Lebesgue
de f (x) de la siguiente manera