Este documento presenta varios teoremas y lemas relacionados con derivadas de polinomios y raíces múltiples en campos arbitrarios. Primero, se define la derivada de un polinomio y se establecen reglas básicas de derivación. Luego, se prueba que un polinomio tiene una raíz múltiple si y solo si el polinomio y su derivada tienen un factor común no trivial. Finalmente, se discuten implicaciones para campos de característica cero y distinta de cero.

226. 11. PruCbcse quc el pentadec4gono rcgular cs constructible.
12. PruCbcsc que cs posiblc trisccar el @lo de 72".
13. PruCbcrie quc un mdgono regular no es constructible.
*14. PruCbcrie quc el poligono regular dc 17 lados es umstructiblc.
Volvcmos a la cxposici6n general. Sea F u n campo y, como usualmente,
F[x]el anillo dc 10s polinomios en x sobrc F.
D~PIHICI~H. = a o P + a l P - l + ... +al?-'+ ... + a m - , x + a . c
Si f(x) s
un polinomio en q x ] , cntonccs la derivada dc f(x), rcpresentada por f'(x),
es el polinomio f'(x) = n a o P - l + ( n - l ) a l P - l + ... +(n-i)a#-I-'+
... + o ; - , dc F [ x ] .
Dar e t d&ici6n o probar las propicdades b4sim formales dc la
sa
derivada en cuanto a polinomios sc refiere, no requicrc el concept0 dc
Ilmite. Pcro, como el campo F es arbitrario, podcmos espcrar quc pasen
algunas cosas cxtra2las. Por cjemplo, si F a dc caracterletica p 0 la +
derivada dcl polinomio x' cs pxn-' = 0. As1 pucs, el resultado com6n del
d c u l o dc quc un polinomio cuya derivada cs cero dcbc ser una constante,
no sigve sicndo vuido. Pcro si la caracterlstica de F c s 0 y sif'(x) = 0 para
f ( x ) ~ F [ xcr cicrto que f(x) = a € F
] case
el problcma 1). Incluso cuando
la caractcrlstica dc F cs p # 0 podemos a h describir lor polinomios con
derivada a r o ; si f'(x) = 0 entonas f(x) cs un polinomio en xp (vhrie el
problcma 2).
Probarnor ahora la8 anAlogas dc las rcglas formaks dc difmciaci6n quc
tan bien conocemos.
LEMA 5.5. PWQ ~ l e s q u i e r a f ( x ) , ( x ) € q x ] y ~ l q u i c ~ E F
g r
1) Cf(4 +g(x))' = f'(4 + g ' ( x ) ;
2) (af(x))' = aY(x);
-
J) Cf(x)g(x))' f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Prueba. Las pruebas dc las partcs (1) y (2) son extraordiumiimcnte
feciles y se dqan como cjercicio. Para probar la partc (3) n6tcsc quc, &
acuerdo w n la8 part- (1) y (2), cs suficicntc probarla en el caso muy espcial
A x ) = X I y g ( x ) = xJ dondc tanto i wmo j son positives. Pcro mtonccs
f(x)g(x) = x"', dc dondc Cf(x)g(x))' = ( i + j ) x'+'-'; pcro f'(x)g(x) =
i 2 - l x J = ~ . + J - I y f(x)g'(x) = jx'xJ-' = jx'+I-'; dc don&, en
consrmcnaa, f '(x)g(x)+f(x)gl(x)= (l+j)x'+'-' = Cf(x)g(x))'.

227. 16. MAS ACERCA OE RAICES 116
Rccutrdcsc que en el c4lculo elemental sc mucstra la cquivalcncia cntrc
la cxistencia dc una raiz multiple dc una funci6n y la anulaci6n simultanca
de la funci6n y su derivada en un punto dado. lncluso dcntro dc nucstro
actual rnarco, en el quc Fcsun carnpo arbitrario, existc una tal intcrrclaci6n.
LEMA 5.6. El polinomio f{x)eF[x] riene una raiz multiple si y sdlo si
f(x) y f'(x) rienen un factor comun no rri13ial (es decir, de grado posiriro).
Prueba. Antes dc probar el lcha, parecc adecuado quc hagamos obxr-
var quc si f(x) y g(x) en fix] ticnen un factor cornin no trivial en K[x],
para una K extension dc F, cntonces tienen un factor comun no trivial en
F[x]. En efecto, si fucran primos relativos como clcmcntos en FIX],cntonccs
podrlan mcontrarsc dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales quc a(x)f(x)+
b(x)g(x) = 1. Como esta rclaci6n tambitn se vcrifica para cstos elcmmtos
vistos como elernmtos dc K[x], deberlan ser tambitn primos rclativos en
Kbl.
Vamos ahora con el lcma. Dc la observacion quc acabamos dc haccr
podcmos suponer, sin pCrdida dc generalidad, quc las ralccs dc f(x) sc cn-
cuentran todas en F (dc otra manera extendemos F hasta K, el c a m p dc
descomposici6n dc f(x)). Si f(x) ticnc urn raiz multiple a entones f(x) =
(x-a)"q(x) donde m > I. Pcro, como puedc calcularx dc inmediato,
((x-a)")' = m(x-a)"- I , dc dondc, scgun el lcrna 5.5,f'(x) = (x-u)"q'(x)
+m(x-a)*- ' q(x) = (x-a)r(x), ya quc rn > I . Pcro csto nos dice quc
f(x) y f'(x) ticncn x-a como factor corntin, con lo quc el lcma queda pro-
bad0 en una direcci6n.
Por otra partc, si f(x) no time ninguna raiz m6ltiplc, cntonccs f(x) =
(x-(x-a)..(x-a), dondc las u , son todas distintas (estarnos
suponiendo quc f(x) cs m6nico). Pcro cntonccs f'(x) = 1 (x-a,) ...
n I- I
(x-a,) . . . (x-a,) dondc la A detcrmina el ttrmino quc se ha suprimido.
Afirrnamos quc ninguna raiz dc f(x) cs una raiz dc/'(x), pucs si/'(ai) =
n
J*I
(a,-a,) # 0, ya quc las ralccs son todas distintas. Pcro si f(x) y /'(x)
ticnm un factor comun no trivial, tiencn una raiz comlin, a saber, cualquicr
raiz dc cste factor comhn. El resultado ncto es que f(x) y /'(x) no ticncn
ningun factor comun no trivial, con lo quc el lcrna ha sido probado en la
otra dirccci6n.
I.
COROLARH) S i f ( x ) ~ F [ x ] irreducible, enronces :
es
1 ) Si la caracferlsfiea de Fes 0,f(x) no tiene ralces rntikiple~.
2) Si la caracferlsrica de F es p # 0,f(x) Iiene una ralz mrilfiple sdlo si
es & la f o r m f(x) = g(xp).
Pruuba. Como f(x) cs irreducible, sus unicos factores en fix] son 1 y
f(x). Si f(x) ticnc una ralz multiple, cntonccsf(x) y f'(x) ticnen un factor

228. 228 CAMPOS - Cap. 6
comun no trivial de acuerdo con el lema, de donde f ( x ) l f ' ( x ) . Pero c o r n el
grado de f ' ( x ) es menor que el de f ( x ) , la unica forma posible de que eslo
suceda es que f ' ( x ) sea 0. En caracterlstica 0 esto implica que f ( x ) es una
constante, que no tiene ninguna ralz: cuando la caracteristica en p # 0,
eslo obliga a que f ( x ) = g ( x p ) .
Volveremos dentro de un momenlo a discutir las implicaciones del
corolario I mas complftamente. Pero antes, para su posterior uso en el
capitulo 7 en nuestro tratamiento de campos finitos, probaremos un caso
mAs bien particular
COROLAR~OSi F eS Un campo de caracfer~sricap # 0, enfonees el
2.
polinomio xp" - X E ~ X ]riene, para n 3 1 , raices disfinfas.
,
Prueba. La derivada de x P " - x es p"xp"- ' - l = - 1, ya que F es de
caracteristica p. Por tanto. x p - x y su derivada son ciertamente primos
relativos, lo que, segrin el lema, implica que xp"-x no tiene raices multiples.
El corolario 1 no descarta la posibilidad de que en caracterlstica p # 0
un polinomio irreducible pueda tener raices multiples. Para &jar ideas,
exhibimos un ejemplo en donde lo dicho es lo que realmente sucede. Sea F,
un campo de caracteristica 2 y sea F = F,(x) el campo de las funciones
rationales en x sobre F,. Afirmamos que el polinomio 1 ' - x en F[t] es
irreducible sobre F y que sus raices son iguales. Para probar la irreducibilidad
debemos demostrar que no hay ninguna f u n c i ~ nracional en F o ( x ) cuyo
cuadrado sea x ; este es el contenido del problema 4. Para ver que r l - x
tiene una raiz mliltiple, notese que su derivada (la derivada es con respecto a
1, pues x estando en F,se considera como una constante) es 21 = 0. Desde
luego. el ejemplo anilogo funciona para cualquier caracteristica prima.
Ahora que hemos visto que la posibilidad es una realidad, se sefiala
una aguda diferencia entre 10s casos de caracteristica 0 y 10s de caracteristica
p. La presencia de polinomios irreducibles con raices multiples en el ultimo
caso, nos lleva hasla muchas sutilezas tan interesantes como complicadas.
Su estudio requiere un tratamiento m b elaborado y sofisticado que pre-
ferimos evitar en esre nivel. Por ranto, para el resfo de esre caplfulo con-
renimos en que fodos 10s campos que aparecen en el fexro propimenre dicho.
son wmpos de ea?acferisrica 0.
D E F I N I C I ~ Nextensidn Kde Fesunaexlensidn simple de F si K
La . = F(%).
para al@n a en K.
En caracteristica 0 (o en extensiones propiamenle condicionadas en
caracterlstica p # 0; vkase problema 14) todas las extensiones finitas son
realizables como extensiones simples. Este resultado es.eI

229. 55, MAS ACERCA D L RAICLS 227
S.P.
TEOREMA Si F es de caracreristico 0 y si o y b son olgebroicor sobre F.
enronces exisre un elemento csF(a, 6 ) rolque F(a, b) = F(c).
Pruebo. Sean f ( x ) y g(x), de grados m y n, 10s polinomios irreducibles
sobre F satisfechos por a y b respectivamente. Sea K una extension de F e n
que lanto f ( x ) como g ( x ) se descomponen completamente. Como la
caracteristica de F es 0 todas las raices de f ( x ) son distintas. y lo mismo
ocurre con las de g(x). Sean las rakes de f ( x ) , a = a,. a,, ..., a. y las de
g ( x ) . b = b , , b2. ..., 6,.
Si j # I . entonces bj # b , = b. de donde la ecuacidn a,+&, = a , +
i b , = o+i.b tiene solarnente una solucion 1en K , a saber,
. 0
/. =-. 1 - 0
b-b,
Como F es de caracteristica 0 tiene un numero infinito de elementos, de
donde resulta que podemos encontrar un elemento y s F tal que a(+ ybj #
o+gh para todo i y para toda j # I . Sea c = o+yb; nuestra tesis es que
F(c) = F(o. b ) . Como csF(o, b) no hay duda de que F(c) c F(o. 6). De-
mostraremos que tanro o como b estan en F(c) de lo que se sigue que
F(a, b) c F(cJ.
Como h satisface al polinomio g ( x ) sobre F, lo satisface tambien mando
lo constderamos un polinomio sobre K = F(c). Ademas, si h ( r ) = f(c- yx).
entonces h ( x ) s K [ x ] y h ( h ) = f(c-;'b) = f(a) = 0, ya que o = c-76.
Luego en una extension de K. h(x), y g ( x ) tienen x-h como factor comun.
Aseguramos que x - b es, en realidad, su miximo comljn divisor. Pues si
b, # b es otra raiz de g(.O, entonces h(bj) = f(c-yb,) = 0, ya que, por
nuestra election de ;,, c - yb, para j # I esquiva todas las raices a j de f(x).
Ademas, como (x-b)'.+'g(x), (x-b)' no puede dividir al maximo comun
divisor de h ( x ) y g(x). Asi pues, x - b es el maximo comun divisor de h ( x ) y
g ( x ) sobre alguna extension de K. Pero entonces rienen un meximo comun
divisor no trivial sobre K , que debe ser un divisor de x-b. Como el grado de
I - b es I, vemos que el maxim0 comun divisor de g ( x ) y h(x) en K [ x ] es
exactamente x-b. Luego x - b ~ K [ x ] . de donde b e K : recordando que
K F(c), obtenemos que beF(c). Como a = c-yb, y como b. CEF(C),
~ E cFF(c), tenemos que a ~ F ( c ) , donde F(a, b) c F(c). Las dos relaciones
de
de contention opuestas nos dicen que F(a, b) = F(c).
Un s~mple argument0 de inducci6n extiende el resultado de dos elemenros
a cualquier numero finito, es decir, si a , . .... a, son algebraicor sobre F,
entonces hay un elemento c e F ( z , , ...,., tales que F(c) = F ( z , . .... z.).
z)
Luego el
COROLARIO. Cualquier exrenridn .finira de un compo de caracrerisrica 0
er uno exrensidn simple.

230. 1U1 UMPOS - Cap. 6
-
I. Si F es de caracterlslica 0 y f ( x ) c F [ x ] es taI quef'lx)
que f ( x ) a e F.
= 0, pmCbese
2. Si F es de caracterlstica p # 0 y si f ( x ) e F [ x ] es tal q u e f ' ( x ) = 0,
3. PmCbese quc W x ) + g ( x ) ) '
p r a f ( x ) . g(x)eF[xI Y R E F .
-
prutbest quc A x ) = g(x7 para a l g h polinomio g ( x ) ~ F [ x ] .
f ' ( x ) + g ' ( x ) y quc (af(x))' = uf'(x)
4. Prutkse quc no hay ninguna funci6n racional en F(x) tal quc su
cuadrado sea x.
5. ComplCtese h inducci6n nccesaria para establecer el corolario al
tcorcma 5.p.
Un elcmento a en una cxtensi6n K dc F se llama scparablc sobrc F si
satisface un polinomio sobrc F quc no tienc ralccs multiples. Una cxtmsi6n
K dc F se llama scparablc sobre F si todos SUP elementos son separables
sobrc F. Un campo F st llama perfecto ai todas las cxtensiones finitas de F
'son separables.
6. Pruttme que cualquicr campo dc caractcristica 0 es perfecto.
7. a ) Si F cs dc caracterlstica p # 0 mukatrcse que para a , bcF,
( a + b)" = + b'".
b ) Si F es de caracterlstica p f 0 y si K es una extension dc F, sea
T = { n e K #.SF para algun n ) . PruCbese que Tes un subcampo
de K.
8. Si K . 7, F son como en el problema 7(b), p d h c quc cualquier
automofimo de K que dcja Ejos todos 10s clementos de F deja tambitn
a o s todos 10s elementos de T.
*9. Dcmutstrcsc que un carnpo F de caracterlstica p # 0 es perfecto si
y 5610 ai para cualquier a e F podernos cncontrar un b e F tal que bp = a.
10. Usando el resultado del problema 9, pruCbtse que cualquicr campo
h i t o es perfecto.
**11. Si K es unn extensihdc F pru~btde que el conjunto de elementos
en K quc son separables sobrc Fforma un subcampo de K.
+
12. Si F es de caractcristica p 0 y si K es una extcnsih finita de F,
pmCbese que dado a c K o d " c f p a r a algun n o podcrnos mcontrnr un entero
m tal que a F + F y es separable sobre F.
13. Si K y F son como cn el problema 12, y si n i n d n clcmento que csth
en K,per0 no en F, es separable sobre F,p d b e s t que dado ~ E podemos
K
encontrar un entero n. depcndimte de a, tal quetF.sF.-

231. 10. ELEMENTOS DE U TEORIA DL OALDIS 119
14. Si K es una extensi6n h i t a y separable de F, pruCbese que K es una
extensi6n simple de F.
IS. Si uno de lor elementos a o b es separable sobre F, pruCbesc que
F(a, b) es una extmsi6n simple de F.
6 ELEMENTOS DE LA TEORh DE CALOlS
.
Dado un polinomio p(x) en FIX], anillo de polinornios en x sobre F,
el
asociaremos con p ( x ) un grupo al que llamaremos el grupo de Galois de
p(x). Hay una relaci6n muy estrecha entrc la$ raices de un polinornio y su
grupo de Galois; en realidad, el grupo de Galois resultark ser uncierto grupo
de permutaciones de Ins ralocs del polinornio. Haremos un estudio de
estas ideas en esta y las pr6ximas miones.
lntroduciremos este grupo por medio del c a m p de descomposici6n de
p(x) sobre F, quedando definido d grupo de Galois de p(x) como un cierto
grupo de automorfismos de cste c a m p de descomposici6n. Es esta la
raz6n de que en tantos de 10s teoremas que vamos ahora a ver nos ocupernos
de 10s automor6smos de un campo. Entre 10s rubgrupos del grupo de Galois
y 10s subcampos del campo dc descomposici6n, existe una hcrmosa dualidad
que expresa el teorema fundamental de la teorla de Galois (tcorema 5.v).
De esto derivarcmoa una condicidn para la solubilidad por medio de radi-
cales de las ralces de un polinornio en tkrminos de la estructura algebraica de
su grupo de Galois. De esta condici6n derivaremos, a su vez, el cllsico
resultado de Abel sobre la no solubilidad por radicales del polinomio
general de grado 5. Durante el proceso derivaremos, tambitn, como resulta-
dos colaterales, teoremas que, de por sl, son de gran interhs. Uno de ellos
sera el teorema fundamental sobre funciones simhtricas. Nuestro enfoque
del tema st basa en el tratamiento dado por Artin.
RecuCrdese que estamos suponiendo que todos nuestros campos son de
caracterlstica 0, de donde resulta que podemos haccr Cy haremos) libre uso
del toorema 5.p y su corolario.
Por un automorjsmo del campo K entenderemos, como es comln, una
aplicaci6n a de K sobre s mismo tal que a(a+b) ; a(a)+a(b) y a(&) =
f .
a(a)a(b) para (I,beKcualesquiera. Dos automorfismos o y r de Ksedia que
son distintos si #(a) Z r(a) para a1 menos un elemento a€K.
Comenzamos con el aiguiente
TEOREMA ~ .Si K es un mmpo y si a , , ..., omson disrintos ouromorfis-
5.
mos de K, enlonces es imposible enconrrar elemenros a , , ..., am, rectos 0.
no
en K, ralesquea,a,(u)+a,a,(u)+ ... +ama.(u) = Opararodo UEK.
Prueba. Supongamos que pudikramos encontrar un conjunto de eiemen-
10s a , , .... a, en K, no todos ccro, tales que a,a,(u)+ ... +4o,(u) 0 -

232. I30 CAMPOS - Cmp. 6
para todo UEK. Enlonces podriamos encontrar una relacion la1 que tuviera
tan pocos terminos como fuera posible; renumerando, si fuera preciso.
podemos suponer que esta relacibn minima es
donde a,, . ..,a son todos diferentes de 0.
,
Si m fuera igual a I enlonces a, ol (u) = 0 para todo UEK, lo que nos
llevaria a a, = 0, en coptra de lo supuesto. Podemos, pues, suponer que
1)r > I. Como 10s automorfismos son distintos hay un elemento C E K tal
que o, (c) # o.(r). Como cue K para todo ueK, la relacion ( I ) debe tambikn
verificarse para cu, es decir, a,o, (cu)+a,o,(cu)+ ... +a,o.(cu) =0
para todo UEK. Usando la hipdtesis de que las o son automorfismos de K.
esta relacion toma l a forma
Multiplicando la relacion ( I ) por a,(c) y restando el resultado de (2)
obtenemos
Si hacemos b, = a,(o,(c)-o,(c)) para i = 2, ..., m. entonces 10s b,
estanenK,bm=a.(o.(c)-o,(c))#O,yaqueam#O,yom(c)-al(c)#0,
aunque b,02 (u)+ ... + bo( )
, ,c = 0 para todo ucK. Esto produce una
relaci611mas corta, en contra de la elcccion quc hicimos: luego el teorema
esta probado.
DEFINICION. C es un grupo de automorfismos de K, entonces el
Si
campojjo de Ges e l conjunto de todos 10s elementos aeKtales que o(a) = a
para lodo aeG.
N6tese que esta definicibn time sentido, incluso s i G no es un grupo,
sino simplemente un conjunto de automorfismos de K. Pero el campo fijo
de un conjunto de automorfismos y el del grupo de automorfismos generado
por esle conjunto (en el grupo de todos 10s automorfismos de K ) son iguales
(problema I), de donde nada perdemos por definir el concept0 solo para
grupos de automorfismos. Ademas. unicamente estaremos interesados en
10s campos fijos de grupos de automorfismos.
Habiendo llamado en la anterior definicion eampo fijo de C a conjunto
1
que alli s define, seria agradable comprobar que la terminologia empleada
e
en este caso es en verdad exacta. Es lo que nos dice el
Prueba. Sean a, b elementos del campo fijo de G. Para todo ofG,
tenemos, pues. o(a) = a y a(b) = b. Pero entonccs- o(af b) = o(a)f

233. 5 6. ELEMEHTOS DE U TEORIA DE GALOIS 231
a(b) = a k b , y dc la misma forma, a(ab) = a(a)a(b) = ab; de donde
a+b y ab estiin tambien en el campo fijo de G. Si b # 0,entonces a ( b - ' ) =
a(b)- ' = b- ', de donde b- ' tambien se encuentra en el campo fijo de G.
Luego hernos verificado que el campo fijo de G es, ciertamente, un subcampo
de K.
Nos ocuparemos de 10s automorhsmos de un campo que se comportan
de una forma determinada sobre un subcampo dado.
DEFINICI~N.K un campo y sea F u n subcampo de K. Entoncn, el
Sea
grupo de aulomorfrsmos de K relalivos a F, que representaremos por G(K, F),
es el conjunto de todos 10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s
elementos de F; es decir, el automorfisrno a dc K cstii en G(K, F ) si y 8610
si a(a) = a para todo LIEF.
Noes sorprendente, y es muy fhcil de probar, el siguicnte
LEMA G(K, F ) es un svbgrupo del grupo de lodos 10s oulomorfismos
5.8
de K.
Dejamos la pmeba de este lema a1 lector. Una observaci6n : K contiene
el campo de 10s ninneros racionales F,, ya que K es de caracteristica 0 y es
facil ver que el campo fijo de cualquier grupo dc automofismos de K ,
siendo un campo, debe contcncr a F,. De aqui quc todo numcro racional
permanece fijo en todo automorhsmo de K.
Hacemos una pausa para examinar unoscuantos ejemplos de 10s conceptos
que acabamos de presentar.
EJEMPLO Sea K el campo de 10s n h e r o s complejos y sea F el campo
I.
de 10s numeros reales. Calculamos G(K, F). Si a es un automorfismo cual-
quiera de K, como i' = - 1 , a(i)' = a ( i 2 ) = a ( - 1) = - I , de dondc
a(i)+ k i . Si, ademh, a deja fijos a todos 10s reales, entonces para cualquier
a+bi donde a y b son reales. a(a+bi) = a(a)+a(b)j = a f bi. Cada una
de estas posibilidades, es decir, la aplicaci6n a , (a+ bi) = a+ bi y a , (a+ bi) =
a-bi define un automofimo de K ; a , es el automorfismo identidad y a , L a
conjugation compleja. Asi pues, G(K, F)es un grupo de orden 2.
LCuhl es el campo fijo de G(K, F)? Debe, ciertamente, contener a F,
Lpero contiene algo miis? Si a + bi estii en el campo fijo de G ( K , F) entonces
a+bi = a,(a+ bi) = a - bi de donde b = 0 y a = a+ b i ~ F . este casoEn
vemos que el campo fijo de G(K, F)es precisamente el mismo F.
2.
E J E M P ~ Sea F, el campo de 10s numeros racionales y sea K = F o ( g )
donde $2 es la ralz cubica real de 2. Todo elemento en K es de la forma
a,+a, $?+a,(p)' donde a,, a, y a, son n6meros racionales. Si.0 es un

234. 232 CAMPOS - Cap. 6
automorfismo dc K, cntonces a(<;I)' = ~ ( ( 3 2 ) ' ) = a(2) = 2, de dondc
~ ( 3 5 dcbe tambien ser una raiz clibica de 2 pcrtcnccicntc a K. Pcro hay
)
solamenre una ralz ccbica rcal de 2, y como K cs u subcampo dcl campo
n
rcal, debemos tcner q u e a ( 3 ) = $9. Pero cntonces a(ao+a, <,2+a,($?)')
= ao+a, ;5+a2($5)', es decir, a es el automorfismo identidad dc K.
Vcmos. pues, que G(K. Fa) consta solo dc la aplicacion identidad. y en cste
caso el campo f j o & G(K, Fa) no es Fa. sin0 que en realidad es bartante
mayor, pues es rod0 K.
3.
EJEMPLO Sea Fo el campo dc lor numcros racionales y sea w =
Cl"llJ.
, tenemos pues que o = I y que o satisface al polinomio x 4 + x 3 +
'
xl+x+ l sobre Fo. Por el criterio dc Eiscnstein se puede probar quc
.r4+x"x2 + x + 1 cs irreducible sobre Fa(vkasc el problcma 3). As1 pues,
K = F0(w1 cs de grado 4 sobre Fo y lodo elemento dc K es de la forma
a+ n, w+a,o'+a3r3dondetodoslos ao.a,.a,,a3est~ncnFa. Ahora bicn.
,
para cualquier automorfismo a de K. a(w) # I. ya quc a ( l ) = I. y a(w)' =
a(w5) = a(l) = I. dedonde a(w) es tambitn una raiz quinta de la unidad.
En consecuencia, a(w) puedc solamentc ser w. w2, w3 o w'. Afirmamos que
cada una dc estas posibilidades ocurre realmente, pues definamos las
cualro aplicaciones a,, a,, a y a por a,(ao+a,w+a,wl+.r,w')
, , =
a a + a , ( w 1 ) + a 1 ( w f ~ 1 + a 3 ( w 1 )para i = 1. 2.3.4. Cada uno dc ellos define
3,
un automorfismo de K (problema 4). Por tanro, como aeG(K. Fa) csti
completamentc dctcrminado por a(w1. G(K, Fo)cs un grupo de ordcn 4.
con a, como su elemento unidad. Como a' = a a' = a y a,' = a,.
, , , ,
G(K. Fa)es un grupoclclicodc orden 4. Se puede ficilmente probar que el
campo fijo dc G(K. Fo) cs Fo (problcma 5). El subgrupo A = {a,. a dc )
,
G(K. Fo)ticnccomo su campo fijo el conjunto de todos lor elementor no+
a,(w'+wJ), quc cs una exlension de Fode grado 2.
Los ejemplos. aunquc ilustrativos, son aun demasiado cspeciales, pues
pucde obscrvarsc que en cualquiera de ellos G(K, F) rcsulta ser un grupo
ciclico. Esto cs cxtraordinariamcnte atipico, pues. en general. G(K. F) no
ncccsita ser ni siquicra abeliano (vkase el teorcma 5.a). Pero. a pesar
dc su caricter especial, traen a luz cicrtos hechos importanles. Por una
parte. mucstran que debemos estudiar el efecto dc 10s automorhsmos sobrc
las raices de 10s polinomios y. por otra, subrayan que F no neresarian~rf~te
ha dc ser igual a todo e l campo fijo de GIK. F). Lor casos en que csto
sucede son muy convenicnles y son s~tuaciones las quc den~ro poco dedi-
a dc
carcmos mucho tiempo y esfucrro.
Calculamqs ahora una importante cola dc la magnilad de G(K. F).
TEOREMA . i K es una e.rrensidn ,Jiniro de F. ento~~res K. F) rs
5.~S G( r~ri
grupofinirn . su orden. o ( G ( K. F)), sati.$are o(G(K. Fl) <[K: F].
I

235. I6. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS 233
Prueba. Sea [ K :F ] = n y supongamos que u , , ..., u, es una base de .
K sobre F. Supongamos que podemos encontrar n+ l automorfismos
,
distintos a , , a , , .. ., a,+ en G ( K , F). De acuerdo con el corolario a1 teo-
rema 4.f el sistema de n ecuaciones lineales homogeneas en las n + 1 incogni-
t a s x , , ...,x , + , :
tiene una solucion no trivial (no toda 0) x , = a , , ..., x,+ , = a,+, en K
Luego
para i = 1, 2, . .., n.
Como cada uno de 10s ai deja fijo a todo elemento de F y como un
elemento arbitrario t de K es de la forma I = z , u , + ... +gnu, con z , , ..., z,
en F , entonces, por el sistema de ecuaciones (I), tenemos a , a, ( t ) + ... +
,
a,,, a,+ ( t ) = 0 para toda ~ E K Pero esto cont,radice el resultado del
.
teorema 5.q. Luego el teorema 5.r ha sido probado.
El teorema 5.r es de importancia central en la teoria de Galois. Pero
aparte del papel que alli juega nos sirve tambitn para probar un resultado
clasico concerniente a las funciones racionales simetricas. Este resultado
sobre funciones simetricas, a su vez juega un papel importante en la teoria de
Galois.
Hagamos primer0 algunas observaciones sobre el campo de las funciones
racionales en n variables sobre un campo F. Recordemos que en la secci6n I I
del capitulo 3 definimos el anillo de 10s polinomios en las n variables
x , , ..., x, sobre F y de esto pasamos a definir el campo de las funciones
. .
racionales en x , .. ., x, , F ( x , .. ., x,). sobre F como el anillo de todos 10s
cocientes de tales polinomios.
Sea S, el grupo simetrico de grado n considerado como si actuara sobre
el conjunto [ I , 2, .... n ] : para a c S , e i un entero con I ,< i ,< n, sea a ( i ) la
imagen de i bajo a . Podemos hacer actuar a S, sobre F ( x , . ..., x,) en
la siguiente forma: para ~ E S y r ( x I , .... x , ) c F ( x , , .... x,), definimos la
,
,, ,
aplicacion que lleva r(.-, . .. ., .r,) sobre r(x,,, ..., x,, ,). Representaremos
a esta aplicacion de F ( x , , . . ., s,) sobre si mismo tambien por a. Es obvio
que estas aplicaciones definen automorfismos de F ( x , , .. ., .-,). ;CuaI es el
campo fijo de F ( s , . .... .v,) respecto a S,? Consiste simplemente en todas
las funciones racionales r ( s , . .... .v,) tales que r ( s , . .. ., s,) = r(x,,,,. . . ..

236. 234 CAMPOS - Cap. 5
x,,,,) para todo U E S , . Pero estos son precisamente aquellos elementos en-
F ( x , , ..., x,) que se conocen como funciones racionales sirnktricas. Como
son el campo fijo de S, forman un subcampo de F ( x l , ..., x,) llamado el
campo de las funciones racionales simbtricas al que representaremos por S .
Nos ocuparemos de estos tres problemas :
1) L qut es igual [ F ( x l , ..., x,) :S ] ?
A
2 ) ~ Q u es G ( F ( x , , ..., x,), S ) ?
t
3 ) ~Podemos describir S en ttrminos de alguna extensidn simple par-
ticular de F?
Contestaremos a estas tres preguntas simultlneamente.
Podemos presentar explicitamente algunas funciones particularmente
sencillas de S construidas con x , , ..., x, conocidas como funciones simhtricm
elementales en x , , ..., x,. Las definimos como sigue :
a, = x , x2 x,. -
Probar que estas son funciones simttricas se deja como ejercicio. Para
n = 2 , 3 y 4 las escribimos explicitamente a continuacion.
n = 2
a , = x,+x,.

237. 5 6. ELEMENTOS DE L TEORIA DE GALOIS
A 235
Notese que cuando n = 2, x , y x , son las raices del polinomio I' - a , ?+a,,
cuando n = 3, x , , x2 y x , son las raices de t 3 - a , f 2 + a 2 f- a 3 , y cuando
n = 4 , x , , x , , x 3 y x4son, todas, raicesdet4-a,t3+a,t2-a3f+a4.
Como a , , ...,a, estln, todos, en S el campo F(a,, ..., a,) obtenido por
la adjuncion de a , , . .., a, a F debe encontrarse en S. Nuestro 'objetivo es
ahora doble, a saber, probar que
I ) [ F ( x ] ..., x,):S] = n!.
,
2) S = F(al , . .., a,). 4
Como el grupo S, es un grupo de automorfismos de F ( x I ,..., x,) que
deja a S fijo, S, c G ( F ( x , ,..., x,), S). Luego, seglin el teorema 5.r,
...,
[ F ( x l ,.... x,):S] k o ( G ( F ( x I , x,), S ) )k o(S,) = n!. Si puditramos de-
mostrar que [F(x,, ..., x,): F(a, , ..., a,)] < n!, entonces, como F(a, , ..., a,),
es un subcampo de S , tendriamos n! k [ F ( x I , ., x,): F(a, ..., a,)] =
..
[ F ( x ,, ..., x,) :S ] [ S :F(a, ,. .., a,)] k n!. Pero entonces tendriamos que
[ F ( x I , x,):S] = n!, [ S :F(a, , ..., a,)] = 1 y, por tanto, S = F(a,, ..., a,),
...,
y, finalmente, S, = G ( F ( x I ,.. ., x,), S ) (esto ultimo por lo afirmado en la
segunda oracion de este parrafo). Estas son precisamente las conclusiones
que buscamos.
Asi pues, para concluir con todo este asunto solo debemos probar que
[ F ( x l ,.. ., x,): F(a, , ..., a,)] < n!. Para ver esto, observemos primero que el
polinomio p(r) = rn-a, r n - ' + a 2 t n - 2... +(-])"a,, que tiene coeficientes
.
en F(a, , ..., a,), se factoriza sobre F(x, , . .,x,) como p(t) = ( t - x , )
(t - x 2 ) .. . (r -x,) (este es en realidad el origen de las funciones simttricas
elementales).Asi pues, p(t) de grado n sobre F(a, , ..., a,), se descompone en
un product0 de factores lineales sobre F ( x , , ..., x,). No pyede descom-
ponerse sobre un subcampo propio de F ( x I ,..., x,) que contenga a
F(a, , . .., a,). pues este subcampo tendria entonces que contener tanto a F
como a cada una de las raices de p(t), es decir, a x , ,x , , ..., x, ; pero entonces
este subcampo seria todo F(x, , ..., x,). Asi pues, rernos que F ( x I ,..., x,) es
elcarnpodedescornposicidndelpolinorniop(t) = t n - a , t n - I + ... +(-])"a,
sobre F(a, , ..., a,). Como p(r) es de grado n, seg6n el teorema 5.h, tenemos
[F(x,, . . ., x,): F(a, , ..., a,)] ,< n!. De donde todas nuestras afirmaciones
quedan probadas. Resumimos todo este estudio en el siguiente basic0 e
importante resultado.
TEOREMA Sea F un campo y F(x, , .. ., x,) el carnpo de las funciones
5.s.
racionales en x , , ..., x, sobre F. Supongarnos que S es el carnpo de las fun-
ciones racionales sirne'tricas; entonces
I ) [F(x,, ..., x,):S] = n!.
2) G( F(x, , ..., x,), S ) = S,, el grupo sirne'trico de grado n.
3) Si a , , .... a, son las funciones sirne'tricas elernentales en x , , ..., x,,
entonces S = F(a, , ..., a,).

238. 236 CAMPOS - Cap. 6
4) F(x,, ..., x,) es el campo de descomposicidn sobre F(a, , ...,a,) = S-
delpolinomiotn-a,t"-1+a,t"-2 ... +(-l)"~,.
Mencionamos anteriormente que dado un entero cualquiera n es posible
construir un campo y un polinomio de grado n sobre este campo cuyo campo
de descomposici6n sea del maximo grado posible, n!, sobre este campo. El
teorema 5.s nos proporciona explicitamente tal ejemplo, pues si hacemos
S = F(a,, ..., a,), el campo de las funciones rationales en n variables
a , , .. ., a, y consideramos 4el campo de descomposici6n del polinomio
tn-a l tn- +a, tn- ... + (- I)"a, sobre S, entonces vemos que es de grado
n! sobre S.
La parte (3) del teorema 5.s es un teorema muy clhsico. Afirma que una
funcibn racional simktrica en n variables es una funcibn racional en las fun-
ciones simktricas elementales de estas variables. Este resultado puede hacerse
a~in mas solido : un polinomio simttrico en n variables es un polinomio en
sus funciones simttricas elementales (vkase el problema 7). Este resultado se
conoce como el teorema sobre polinomios sime'tricos.
En 10s ejemplos discutimos de grupos de automorfismos de campos y de
campos fijos bajo tales grupos, vimos que podla muy bien suceder que
F fuera realmente menor que el campo fijo total de G(K, F). Ciertamente, F
esta siempre contenido en este campo, pero no necesariamente lo Ilena. Asi
pues, imponer la condicion sobre una extension K de Fque Fsea precisamente
el campo fijo de G(K, F) es una limitacion genuina sobre el tipo de extension
de F que estamos considerando. Es en esta clase de extension en la que
estamos mas interesados.
D E F I N I C IK N . una extensibn normal de F si K es una extension finita
~ es
de F tal que F es el campo fijo de G(K, F).
Otro modo de decir lo mismo: si K es una extension normal de F, en-
tonces todo elemento de K que no esta en F sufre alteracion por alg6n
elemento de G(K, F). En 10s ejemplos discutidos, 10s ejemplos 1 y 3 eran
extensiones normales, mientras que el ejemplo 2 no lo era.
Una consecuencia inmediata de la hipotesis de normalidad es que nos
permita calcular con gran precision el tamaiio del campo fijo de cualquier
subgrupo de G(K, F) y, en particular, dar mhs fuerza al enunciado del
teorema 5.r, cambiando la desigualdad que en t l aparece en una igualdad.
TEOREMA .Sea K una extensibn normal de F y sea H un subgrupo de
5.~
G(K, F ); sea K,, = {XE ( u(x) = x para toda U E H) el campo fijo de H.
K
Entonces :
I ) [K:KH] = o(H).
2) H = G(K, K,)
(En particular, cuando H = G(K, F), [K: F] = o(G(K, F)).l

239. i6. ELEMENTOS DE I TEORIA DE GALOlS
A 237
Prueba. Como todos 10s elementos de H dejan fijos a todos 10s elementos -
de K H ,es claro que H c G ( K , KH).De acuerdo con el teorema 5.r sabemos
que [K:KH]2 o(G(K, K H ) ) ; y como o( G(K, K H ) ) o ( H ) tenemos las
2
desigualdades [K: KH]2 o (G(K, KH))2 o ( H ) . Si puditramos demostrar que
[K:K H ]= o ( H ) se seguiria de inmediato que o ( H ) = o(G(K, KH)),y como
un subgrupo de G(K, K H ) con el orden de G(K, K H ) tendriamos H =
G(K, KH). Luego solo nos queda, por demostrar que [K:KH] = o ( H ) para
haber demostrado todo. 4
Segun el teorema 5.p existe un ~ E tal que K = KH(a);
K esta a debe, por
tanto, satisfacer un polinomio irreducible sobre KH de grado m = [K:KH]
y ninglin polihomio no trivial de grado mas bajo (teorema 5.c). Sean 10s
elementos de H 10s u , , u,, ..., uh donde u , es la identidad de G(K, F) y
donde h = o(H). Consideremos las funciones simttricas elementales de
a = ul (a), 0, (a), ..., a h(a),a saber :
Cada a i es invariante bajo cualquier a€ H (iPdbese!). Asi pues, por la
definici6n de K H ,a , , a,, ..., ah son todos 10s elementos de K H . Pero a
(lo mismo que u, (a), ..., uh(a)) es una raiz del polinomio p(x) = ( x - 0 , )
(x-u2(a)) ... (x-uh(a)) = x h - a l x h - I +a2xh-,+ ... +(- que tiene
todos sus coeficientes en K H . Por la naturaleza de a esto obliga a que
h 2 m = [K:KH],de donde o ( H ) B [K:KH].Como ya sabemos que o ( H ) 9
[K:K H ]sabemos que o ( H ) = [ K :KH],la conclusion deseada.
Cuando H = G(K, F), por la normalidad de K sobre F, KH = F ; por
consiguiente, para este caso particular tenemos el resultado [ K : F ]=
o(G(K, F)).
Estamos acercandonos rhpidamente al teorema central de la teoria de
Galois. Lo que aun falta es la relacion entre 10s campos de descomposicion
y las extensiones normales. Llenamos esta falla con el
TEOREMA K es una wtensidn normalde F si y sdlo si K es el campo de
5.u.
descomposicidn de algrin polinomio sobre F.
Prueba. En una direccion la prueba nos recordara mucho la del
teorema 5.t.

240. 238 CAMPOS - Cap. 5
Supongarnos que K es una extension normal de F ; segun el teorema 5.p,
K = F(a). Consideremos el polinomio p ( x ) = ( x - a , ( a ) )( x - a , ( a ) )...
(x-a,(a)) sobre K, donde a , , a,, ..., a, son todos 10s elementos de G ( K , F).
Desarrollando p ( x ) vemos que p ( x ) = x"- a , xn- +a, x"- + ... + (- I )"a,
donde a , , ..., a, son las funciones simetricas elementales en a = a , (a),
a,(a), ..., a,(a). Pero entonces a , , ..., a, son, cada una, invariantes con
respecto a toda a € G ( K , F ) , de donde, por la normalidad de K sobre F,
todas deben estar'en F. Por tanto, K descompone al polinomio p ( x ) F[x] ~
en un product0 de factoris lineales. Como a es una raiz de p ( x ) y como a
genera K sobre F, a no puede estar en ningun subcampo propio de K que
contenga a F. Luego K es el campo de descomposicion d e p ( x ) sobre F.
Ahora en la otra direccion; esto es un poco mas complicado. Apartamos
una pieza de la prueba en el
LEMA 5.9. Sea K el campo de descomposicidn de f ( x ) en F[x]y sea p ( x )
unfactor irreducible def ( x )en F[x].S i las raices dep ( x )son a , ,..., a,, entonces
para cada i existe un automor-smo o i en G(K,F) tal que a i ( a I )= a i .
Prueba. Como cualquier raiz de p ( x ) es una raiz de f ( x ) , tal raiz debe
encontrarse en K. Sean a , , ai dos raices cualesquiera de p(x). De acuerdo con
el teorema 5.i hay un isomorfismo r de F, = F ( a , ) sobre F; = F(ai) que
lleva a , sobre ai y deja todos 10s elementos de F fijos. Ahora bien, K es el
campo de descomposicion de f ( x ) considerado como un polinomio sobre F, :
analogamente, K es el campo de descomposicion de f ( x ) considerado como
un polinomio sobre F ; . Segun el teorerna 5.j hay un isomorfismo a i de K
sobre K (luego un automorfismo de K ) que coincide con r sobre F , . Pero
entonces a i ( a , ) = r ( a , ) = ai y a i deja a todos 10s elementos de Ffijos. Esto
es, desde luego, exactamente lo que afirma el lema 5.9.
Volvemos ahora a nuestra tarea de completar la prueba del teorema 5.u.
Supongamos que K es el campo de descomposici6n del polinomio f ( x ) en
F[x]. Queremos demostrar que K es normal sobre F. Procedemos por
induccion sobre [ K :F], suponiendo que para cualquier par de campos
K, , Fl con [ K l :F,] menor que [ K: F], siempre que K, es el campo de des-
composici6n sobre F, de un polinomio en F,[x], entonces K, es normal
sobre P I .
Si ~ ( x )F[x]se descompone en factores lineales sobre F, entonces K = F,
E
que ciertamente es una extension normal de F. Asi pues, supongarnos que
f ( x ) tiene un factor irreducible p ( x ) ~ F [ x de grado r > I . Las r raices
]
distintas a , , a,, . .., a, de p ( x ) todas se encuentran en K y K es el campo de
descomposicion de f ( x ) considerado como un polinomio sobre F(a,).

241. 16. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS
Como
de acuerdo con nuestra hipotesis de induccidn, K es una extension normal de
F(a !).
Sea BEK fija para cualquier automorfismo a e G ( K , F ) ; queremos
demostrar que 8 esta en F. "Ahora bien, cualquier automorfismo en
G ( K , F ( a l ) ) deja, ciertamente, fija a F, de donde deja a 8 fija; por la nor-
malidad de K sobre F(a,), esto implica que 8 esta en F(a,). Asi pues
1) 8 = Ao+A1al +A2a,2 +...+A_,alr-' donde A, ,..., EF.
De conformidad con el lema 5.9 hay un automorfismo a i de K ,
sic G ( K , F), tal que a i ( a l ) = ai ; como Qte o i deja 8 y toda Aj fijas, aplicin-
dolo a ( I ) obtenemos
2) 8 = Ao+Alai+12ai
2
+...+i,_,a;-' para i = 1, 2 , ...,r.
Asi pues, el polinomio q ( x ) = Ar-1xr-'+Ar-2xr-2+ ... +A,x+(A,-8)
en K [ x ] ,de grado cuando m k r- 1, tiene las r distintas raices a,, a,, ..., a,.
Esto puede suceder solamente si todos 10s coeficientes son cero; en particular
A, - 8 = 0,de donde 8 = A,, luego esta en F. Esto completa la induccidn y
prueba que K es una extension normal de F. El teorema 5.u esta completa-
mente probado.
DEFINICION. f ( x ) un polinomio en F[x]y sea K su campo de descom-
Sea
posicion sobre F. El grupo de Galois de f ( x ) es el grupo G(K, F ) de todos
10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s elementos de F.
Notese que el grupo de Galois def ( x ) puede considerarse como un grupo
de permutaciones de sus raices, pues si a es una raiz de f ( x ) y si U E G ( K F)
,
entonces a ( a ) es tambien una raiz de f(x).
Llegamos ahora al resultado conocido como el teorema fundamental de
la teoria de Galois. Establece una correspondencia biyectiva entre 10s
subcampos del campo de descomposicion de f ( x ) y 10s subgrupos de su
grupo de Galois. Ademas da un criterio para que un subcampo de una
extension normal sea el mismo una extension normal de F. Este teorema
fundamental se usara en la proxima seccion para derivar condiciones para
la solubilidad por radicales de las raices de un polinomio.
TEOREMA Sea f ( x ) un polinomio en F[x], K su campo de descompo-
5.v.
sicion sobre F y G ( K , F ) su grupo de Galois. Para cualquier subcampo T d e K
que contiene a F sea G ( K , T ) = { a € G ( K , F ) I a ( t ) = t para todo t~ T ) y
para cualquier subgrupo H de G ( K , F ) sea K , = { X E K I o ( x ) = x para

242. 240 CAMPOS - Cbp. 5
todo H ) . Entonces la asociacibn de T con G(K, T ) establece una correspon-
dencia biyectiva del conjunto de subcampos de K que contienen a F sobre el
conjunto de subgrupos de G(K. F) tal que :
1) T = KG,,,,).
2) H = G(K, K,).
3) [K:TI = O ( G ( K , T)), [ T : q = indice de G(K, T ) en G(K, F).
4 ) T es una extensibn aormal de F si y sblo si G(K, T ) es un subgrupo
normal de G(K, F).
5) Cuando T es una extensibn normal de F, entonces G ( T , F ) es isomorjb
a G ( K F)IG(K, T ) .
Prueba. Como K es el campo de descomposicion de f ( x ) sobre F es
tambitn el campo de descomposicion de f ( x ) sobre cualquier subcampo T
que contenga a F; por tanto, seg6nel teorema 5.u, K es una extension normal
de T. Asi pues, por la definicion de normalidad, Tes el campo fijo de G(K, T ) ,
es decir, T = KG(,,,), probando asi (1 ).
Como K es una extension normal de F, de acuerdo con el teorema 5.t,
dado un subgrupo H de G (K, F), entonces H = G ( K , K,) que es lo que se
afirma en la parte (2). AdemPs, esto demuestra que cualquier subgrupo de
G(K, F) se presenta en la forma G(K, T ) , de donde la asociacion de T con
G(K, T ) transforma el conjunto de todos 10s subcampos de K que contienen
a Fsobre el conjunto de todos 10s subgrupos de G(K, F). Que es inyectiva es
claro, pues, si G(K, T , ) = G(K, T 2 ) , entonces, por la parte (I), T , =
KG(,,,,) = K G ( K . T= )T2.
~
Como K es normal sobre T , tenemos, al aplicar de nuevo el teorema 5.t,
[K:T ] = o(G(K, T ) ) ; pero entonces, o(G(K, F)) = [K:F] = [K:T:I[ T : q =
o(G(K, T ) )[ T :F], de donde
en G(K, F). Y tsta es la parte (3).
Las unicas partes que quedan por probar son las que conciernen a la nor-
malidad. Haremos primer0 la siguiente observaci6n. T es una extensi6n
normal de F si y so10 si para cada o~ G(K, F), o ( T ) c T. iPor quc!? Sabemos
por el teorema 5.p que T = F(a); asi pues, si o ( T ) c T entonces u ( a ) ~ T
para todo o e G ( K , F). Pero como vimos en la prueba del teorema 5.u esto
implica que T es el campo de descomposicion de p(x) = n
aeG(K.F)
(x-o)(a))
que tiene coeficientes en F. Como campo de descomposici6n T , por el
teorema 5.u, es una extensi6n normal de F. Reciprocamente, si T es una
extensi6n normal de F, entonces T = F(a), donde el polinomio minimo de
a, p(x), sobre Ftiene todas sus raices en T (teorema 5.4. Pero para cualquier
o~ G(K, F), o(a) es tambih una raiz de p(x), de donde o ( 4 debe estar en T.

243. 5 6. ELEMENTOS DE LA TEORIA DE GALOIS . 241
Como T estti generado por a sobre F tenemos que a(T) c T, para todo
a € G(K, F).
Asl pues, Tes una extensi6n normal de Fsi y s610 si para todo a € G(K, F),
r€G(K, T ) y ~ E Ta, ( t ) ~ y, por tanto, r(a(t)) = a(t); es decir, si y s610 si
T
'
a - 'ra(t) = t. Pero esto dice que Tes normal sobre Fsi y s610 si a - G(K, T )
a c G(K, T ) para todo a € G(K, F). Siendo esta hltima condici6n precisa-
mente la que define G(K, T) como un subgrupo normal de G(K, F),vemos
que la parte (4) queda probada. .
Finalmente, si T es normal sobre F, dado a€G(K, F), como a(t) c T,
a induce un automodismo a, de T definido por a,(t) = a(t) para todo
~ E TComo a, deja a todo elemento de F fijo, a, debe estar en G(T, F).
.
Ademtis, como es evidente, para cualquier a, $E G(K, F), (a$), = a, $ de ,
donde la aplicaci6n de G(K, F)en G(T, F)definida por a -+ a, es un homo-
modismo de G(K, F)en G(T, F). i Q d h el nhcleo de este homomodismo 1
Consiste en todos 10s elementos a en G(K, F) tal que a, es la aplicaci6n
identidad sobre T. Es decir, el nhcleo es el conjunto de todos 10s a,€ G(K, F)
tales que t = a,(t) = a(t); por la misma debici6n, tenemos que el nhcleo
es exactamente G(K, T), La imagen de G(K,F) en G(T, F), se@n el
teorema 2.d, es isomorfa a G(K, F)/G(K, T), cuyo orden es o(G(K, F))/
o(G(K, T)) = [T:I;l (por parte 3) = o(G(T, F)) (como establece el teo-
rema 5.t.). Asi pues, la imagen de G(K, F) en G(T, F) es todo G(T, F) y,
por tanto, G(T, F)es isomorfo a G(K, F)/G(K, T). Esto termina la prueba de
la parte (5) y con eUo completamos la prueba del teorema 5.v.
Problemas
1. Si K es un campo y Sun conjunto de homomodismos de K, demuestre
que el campo fijo de S y el de S (el subgrupo del grupo de todos 10s automor-
fismos de K generados por S) son idbnticos.
2. Prubbese el lema 5.8.
3. Usando el criterio de Eisenstein, prubbese que x4+x3+ x 2 + x + 1
es irreducible sobre el campo de 10s nhmeros racionales.
4. En el ejemplo 3 del texto, prubbese que cada una de las aplicaciones
a, que alli se dehieron es un automorfismo de Fo(a).
5. En el ejemplo 3, prukbese que el campo fijo de Fo(w) bajo a, ,u2,a,
y a4 es precisamcnte Fo.
6. Prubbese directamente que cualquier automodismo de K debe dejar
fijos todos 10s racionales.
*7. Prubbese que un polinomio simbtrico en x, ,..., x, es un polinomio
en las funciones simktricas elementales en x , ,..., x,.

244. 242 . CAMPOS - Cap. 5
8. Exprksense 10s siguientes corno polinornios en las funciones sime-
tricas elernentales en x, , x2 y x,.
a) x , ~ + x ~ ~ + x , ~ .
6) x , ~ + x ~ ~ + x , ~ .
c) (XI - X ~ ) ~ ( X I , ) ~ ( X ~
-X -x3Y.
9. Si or, , or,, a, son las raices del polinornio clibico x3+ 7x2- 8x+ 3,
encukntrese el polinomid clibico cuyas raices son :
2 2 2
a) or, , a 2 , a 3 .
*lo. Pruebense las.identidades de Newton, es decir, si o r , , or,, ..., orn son
lasraices def(x) = x " + a , x " - ' + ~ , x " - ~ +... +any si sk = crIk+or2'+...
+ a t , entonces
a) s k + ~ I ~ k - I + a 2 ~... - 2 +
k = Osi k = 1,2,..., n.
6) s k + a I s k - + ... +ansk-, = 0 para k >n.
,
c) Para n = 5, apliquese la parte (a) para deterrninar s2, s3, s, y s, .
11. Pruebese que las funciones sirnitricas elernentales en x, , . . ., xn son,
ciertarnente, funciones sirnetricas en x, , ..., xn.
12. Si p(x) = xn- I, prukbese que el grupo de Galois de p(x) sobre el
carnpo de 10s nlirneros racionales es abeliano.
El nurnero cornplejo w es una raiz n-Psima primitira de la unidad si
wn = 1 pero wm # I para 0 < m < n. Fo denotari el carnpo de 10s nlirneros
racionales.
13. a) Pruebese que hay 4(n) raices n-Csirnas prirnitivas de la unidad
donde 4(n) es la funcion 4 de Euler.
6) Si w es una raiz n-esirna prirnitiva de la unidad, pruebese que
Fo(w) es el campo de descornposicion de xn- I sobre Fo (y por
tanto es una extension normal de F,).
C) Si wI , . . ., w4(,, son las 4(n) raices n-esirnas prirnitivas de la
unidad, prutbese que cualquier autornorfisrno de Fo(w,)lleva w,
en alglin mi.
d ) Pruebese que [Fo(w, ): Fo] ,< 4(n).
14. La notacion es corno la del problerna 13.
*a) Pruebese que hay un autornorfisrno aide Fo(wl)que lleva w, en
wi.
b ) Pruebese que el polinorniop,(x) = (x-w,) (x-w,) ... (x-w4(,,)

245. 17. SOLUBlLlDAD POR RADICALES 243
tiene coeficientes racionales. El polinomio pn(x) se llama el
n-dim0 polinomio ciclotimico.
*c) Pruebese que en realidad 10s coeficientes depn(x)son enteros.
15. Osense 10s resultados de 10s problemas 13 y 14 para probar que pn(x)
es irreducible sobre Fopara todo n 2 1.
16. Para n = 3, 4, 6 y 8, calculese y,(x) explicitamente, demutstrese que
tiene coeficientes enteros y prukbese directamente que es irreducible sobre Fo.
17. a) PruCbese que el grupo de Galois de x 3- 2 sobre Foes isomorfo a
S,, el grupo simetrico de grado 3.
b) Encutntrese el campo de descomposici6n K de x3 - 2 sobre Fo.
c) Para cada subgrupo H de S, encuentrese K, y comprutbese que
la correspondencia da en el teorema 5.v.
d) Encukntrese una extension normal en K de grado 2 sobre Fo.
18. Si el campo F contiene una raiz ndsima primitiva de la unidad
prudbese que el grupo de Galois de 2 -a, para a € F, es abeliano.
'
1
7. SOLUBILIDAD POR RADICALES
Dado el polinomio especifico x 2+ 3x+4 sobre el campo de 10s numeros
racionales Fo,de acuerdo con la formula cuadrltica para sus raices, sabemos
que estas son (- 3 + p ) / 2 ; asi pues, el campo ~ , ( es el campo de
m
descomposici6n de xZ+ 3x + 4 sobre Fo. Hay, por consiguiente, un elemento
y = -7 en Fo tal que el carnpo extension Fo(o) donde oZ= y es tal que
contiene todas las raices de x 2+ 3x + 4.
Desde un punto de vista ligeramente diferente, dado el polinomio
cuadritico general p(x) = x 2+ a, x+a, sobre F, podemos considerarlo
como un polinomio particular sobre el campo F(a,, a,) de las funciones
racionales en las dos variables a, y a, sobre F; en la extension obtenida por
la adjuncion de w a F(al ,a,) donde 02= a, -4p,~F(a,, a,) encon-
tramos todas las raices de p(x). Hay una f6rmula que expresa todas las
raices dep(x) en terminos de a, ,a, y raices cuadradas de funciones racionales
deal ya,.
Para una ecuacion cubica la situacion es muy semejante; dada la ecuacion
general clibica p(x) = x3 +a, x 2+a, x +a, puede darse una formula
explicita, incluyendo combinaciones de raices cuadradas y raices citbicas de
funciones racionales en a , , a, y a,. Aunque en forma algo complicada las
fdrmulas de Cardano nos las dan explicitamente : Seanp = a, - (a, 2/3)y

246. CAMPOS - Cap. 5
y sea
(con raices cubicas propiamente escogidas); entonces las raices de p(x) son
P+Q-(a,/3), oP+ozQ-(al/3) y 0 2 p + o ~ - ( a l / 3 )donde o f 1 es una
raiz clbica de 1. Estas formulas solo nos sirven para ilustrar que, se&n la
adjuncion de una cierta raiz cuadrada y luego una raiz cubica a F(a, ,a,, a3)
llegamos a un campo en el que p(x) tiene sus raices.
Para polinomios de cuarto grado, que no daremos explicitamente, me-
diante el uso de operaciones racionales y raices cuadradas podemos reducir
el problema al de resolver cierta raiz cubics, de mod0 que tambibn aqui
puede darse una formula que exprese las raices en tdrminos de combina-
ciones de radicales de funciones racionales de 10s coeficientes.
Para polinomios de grado quinto o mhs alto, no puede darse tal formula
universal radical, pues demostraremos que es imposible expresar sus rakes,
en general, de este modo.
Dado un campo F y un polinomio p(x) EF[x] decimos que p(x) es soluble
por radicales sobre F si podemos encontrar una sucesi6n finita de campos
F, = F(w,), F, = F (o,), ..., Fk= F,-, (w,) tal que olrl o l r 2 ~ F 1..,
, EF, .,
, ,
F - tal que las raices de p (x) se encuentren todas en F .
,
Si K es el campo de descomposici6n de p(x) sobre F, entonces p(x) es
soluble por radicales sobre F si podemos encontrar una sucesion de campos
como anteriormente tales que K c F,.Una observation importante y que
usaremoS posteriormente en la prueba del teorema 5.x, es que si puede encon-
trarse un tal F,, podemos, sin pdrdida de generalidad, suponer que sea una
extension normal de F; dejamos la prueba de esta afirmacion como problema
(problema 1).
Por polinomio general de grado n sobre F, p (x) = x" +a, x" - ' + ... +a,
entendemos lo siguiente : Sea F(a, , ...,a,) el campo de funciones racionales
en las n variables a, , ...,a, sobre F, y considbrese el polinomio particular
p(x) = x"+a,x"-'+ ... +a, sobre el campo F(a,, ..., a,). Decimos que
es soluble por radicales si es soluble por radicales sobre F(a, , ..., a,). Esto
expresa realmente la idea intuitiva de "encontrar una formula" para las
raices de p(x) que implique combinaciones de raices mCsimas para varias
m, de funciones racionales en a , , a,, ...,a,. Para n = 2, 3 y 4 seiialamos
que esto puede hacerse siempre. Para n k 5; Abel prob6 que no puede
hacerse. Pero esto no excluye la posibilidad de que un polinomio dado
sobre F pueda resolverse por radicales. En realidad, daremos un criterio

247. 17 SOLUBlLlDAD POR RADICALES 246
para esto en tCrminod del grupo de Galois del polinomio. Pero primer0
debemos desarrollar unos pocos resultados de teoria pura de grupos.
Algunos de estos aparecieron como problemas al final del capitulo 2; pero,
sin embargo, 10s haremos aqui oficialmente.
DEHNICI~N. grupo G se dice que es soluble si podemos encontrar
Un
una cadena finita de subgrupos G = No 2 N, 2 N, =, ... 3 Nk = (e) donde
cada Ni sea un subgrupo normal de N,-, y tal que ca& grupo factor
N,- ,INi sea abeliano.
Todo grupo abeliano es soluble, pues simplemente se toma No = G y
N, = (e) para satisfacer la anterior definicion. El grupo simttrico de
grado 3, S,, es soluble. En efecto, si tomamos N, = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)),
N, es un subgrupo normal de S, y S,/N, y N,/(e) son, ambos, abelianos por
ser de 6rdenes 2 y 3, respectivamente. Se puede demostrar que S, es soluble
(problema 3). Para n 2 5 demostraremos en el teorema 5.w que S, no es
soluble.
Busquemos una descripci6n alternativa para la solubili&d. Dado el
grupo G y 10s elementos a y b de G, entonces el commufador de a y b es
el elemento a - ' b- ab. El subgrupo conmufador, G', de Gesel subgrupo de G
generado por todos 10s conmutadores de G. (No es necesariamente cierto
que el conjunto de 10s conmutadores mismo forme un subgrupo de G.)
Vimos en un ejercicio anterior que G' es un subgrupo normal de G. AdemBs,
el grupo G/Gf es abeliano, pues &dos dos elementos cualesquiera en dl, aG',
bG', con a, ~ E Gentonces
,
(aGf)(bG') = abG' = ba(b- 'a- ' ab) G' =
(como a - ' b - ' a b ~ G ' ) = baG' = (bG1)(aG'). Por otra parte, si M es un
subgrupo normal de G tal que G/M es abeliano, entonces M 3 G', pues
&dos a, ~ E G entonces (aM)(bM) = (bM)(aM) de donde deducimos
,
' '
abM = baM, luego a - b- 'abM = M y, por tanto, a- b- ' a b M. Como ~
M contiene todos 10s conmutadores, contiene a1 grupo que estos generan, es
decir, a G'.
G' es un grupo por derecho propio, asi que podemos hablar de su grupo
conmutador G(2)= (GI)'. Este es el subgrupo de G generado por todos 10s
'
elementos (a1)- '(6')- a'b' donde a', b ' G'. Es ficil probar que no solo es
~
G(,) un subgrupo normal de G', sino tambikn un subgrupo normal de G
(problema 4). Continuando de esta forma definimos 10s subgrupos con-
mutadores mBs altos G("' por G("' = (G("- ")'. Todo G'"' es un subgrupo
normal de G (problema 4) y G("- ')/G("' es un grupo abeliano.
En ttrminos de estos subgrupos conmutadores mis altos de G, tenemos
un criterio sucinto de solubilidad, a saber,
5.10. G es soluble si y sblo si Qk) = (e) para algljn entero k
LEMA :

248. 246 CAMPOS - Cap. 5
Prueba. Si G ( ~= (e) sea No = -G, N, = G', N, = G(", ...,Nk = G ' ~ )= (e).
)
Tenemos G = No 2 N, =IN, 2 ... =IN, = (e); con cada Ni por normal en
G, ciertamente, tambien normal en Ni-, . Finalmente,
luego es abeliano. Asi pues; segun la definici6n de solubilidad de un grupo, G
es un grupo soluble.
Reciprocamente, si G es un grupo soluble, hay una cadena G = No 3
N, 3 N, 3 . .. = N, = (e) donde cada Ni es normal en Ni-, y donde
I
Ni- ,INi es abeliano. Pero, entonces, el subgrupo conmutador N',-, de
,
Ni- debe estar contenido en N,. Asi pues, N, 3 Nd = G', N, 3 N; 3(G')'
= G(,), N, 3 N; 3(G(,))' = G(,), ..., Ni 3 G('), (e) = Nk 3 G(k).De donde
resulta que G") = (e).
COROLARIO. G es un grupo soluble ,y si G es una imagen homomdrfica de
Si
G, entonces G es soluble.
Prueba. Como G es una imagen homom6rfica de G, es inmediato que
(G)(" es la imagen de G(k),Como G(" = (e) para alguna k, (G)'" = (e) para
la misma k, de donde, de acuerdo con el lema, C es soluble.
El siguiente lema es clave en la prueba de la familia infinita de grupos S,,
con n 2 5, no es soluble; aqui S, es el grupo simktrico de grado n.
LEMA 1. Sea G = S, donde n 2 5; entonces G(') para k = 1, 2, ...,
5.1
contiene todo ciclo de orden 3 de S, .
Prueba. Observemos primer0 que para un grupo arbitrario G, si N es un
subgrupo normal de G entonces N' debe tambiCn ser un subgrupo normal
de G (problema 5).
Afirmamos que si N es un subgrupo normal de G = S, donde n 2 5, que
contiene todo ciclo de orden 3 en S,, entonces N' debe tambien contener
todo ciclo de orden 3. Pues supongamos a = (I, 2, 3), b = (1,4, 5) de N
'
(estamos aqui usando que n 2 5); entonces a - ' b- ab = (3, 2, I) (5,4, 1)
(1, 2, 3) (1,4, 5) = (1,4, 2), como conmutador de elementos de N debe
estar en N'. Como N' es un subgrupo normal de G, para cualquier ~ E S , ,
n- ' (l,4, 2)n debe estar tambiCn en N'. Escojamos n en S tal que n(1) = i , ,
,
n(4) = i, y n(2) = i,, donde i, ,i, e i, son cualesquiera tres enteros distintos
en el rango de I a n; entonces n- ' ( I , 4, 2)n = (i,, i,, i,) estA en N'. Luego
N' contiene todos 10s ciclos de orden 3.
Haciendo N = G, que es ciertamente normal en G y contiene todos 10s
ciclos de orden tres, tenemos que G' contiene todos 10s ciclos de orden 3;

249. 17. SOLUBILIDAD POR RADICALES 247
como G' es normal en G, G(2' contiene todos 10s ciclos de orden 3 ; como
0 2es normal en G, G ' ~contiene todos 10s ciclos de orden 3. Continuando
) )
de esta forma llegamos a la conclusion de que G"' contiene todos 10s
ciclos de orden 3 para cualquier k .
Una consecuencia directa de este lema es el resultado interesante para
la teoria de grupos de que
-
TEOREMA Sn no es soluble para n > 5.
5.w.
Prueba. Si G = S n , segdn el lema 5.1 1, G'" contiene todos 10s ciclos de
orden 3 de Sn para todo k . Por tanto, G") # ( e ) para toda k , de donde de
acuerdo con el lema 5.10 G no puede ser soluble.
lnterrelacionamos ahora la solubilidad por radicales de p ( x ) con la
solubilidad como grupo del grupo de Galois de p(x). La misma terminologia
es altamente sugestiva de que una tal relacion existe. Pero primero necesita-
mos un resultado acerca del grupo de Galois de un cierto tipo de polinomio.
LEMA 5.12. Supongamos que el campo F tenga todas las raices n-himas
de la unidad (para un cierto determinado n ) y supongamos que a #O estci en F.
Sea 2 - a € F[x]y sea K su campo de descomposicidn sobre F. Entonces:
1) K = F(u), donde u es cualquier raiz de 2 -a.
2) El grupo de Galois de 2 - a sobre F es abeliano.
Prueba. Como F contiene a todas las raices n-tsimas de la unidad,
contiene t = eZni1"; notese que tn= 1 pero tm I para 0 c m c n.
#
Si u~ K es cualquier raiz de x"-a, entonces u, t u , t 2 ..., r"- u son
u, '
todas las raices de 2 - a . Que son raices, es evidente; que son distintas se
sigue de que si t i u = t i u con 0 < i cj< n, entonces como u # 0 y
(ti-t j ) u = 0, debemos tener ti = ti,lo que es imposible ya que ti-' = 1
con 0 <j- i c n. Como ~ E F todos 10s u, t u , ..., t -' u estdn en F(u),
, "
luego F(u) descompone 2 - a ; como ninglin subcampo propio de F(u) que
contenga a F contiene tambitn a u, ninglin subcampo propio de F(u) puede
descomponer a ?-a. Asi pues, F(u) es el campo de descomposici6n de
2-a, y hemos probado que K = F(u).
Si o, T son dos elementos cualesquiera de x"-a, es decir, si o, r son
automorfismos de K = F(u) que dejan todos 10s elementos de F fijos,
entonces como tanto o ( u ) como r ( u ) son raices de ?-a, o ( u ) = t i u y
r ( u ) = t i u para algunas i y j Asi pues, o r ( u ) = o ( t i u ) = t i o ( u ) (ya que
.
t i e F ) = t t i u = t i + j u ;anhlogamente, ro(u) = t i + j u . Por tanto, or y ro
coinciden sobre u y sobre F, de donde, en todo K = F(u). Pero entonces
or = ro, de donde el grupo de Galois es abeliano.

250. CAMPOS - Cap. 6
Ndtese que el lema dice que cuando F tiene todas las raices n-tsimas de la
unidad, entonces, adjuntando una rdz de 2 - a a F, donde ~ E Ftenemos,
todo el campo de descomposici6n de 2 - a, luego Qte &be ser una extension
normal de F.
Suponemos para el resto de la seccidn que F es un campo que contiene
todas las raices n-Psimas de la unidadpara todo entero n. Tenemos
TEOREMA Si p ( x ) ~ F [ x es soluble por radicales sobre F, entonces el
5.x. ]
grupo de Galois sobre F de )(x) es un gmpo soluble.
Prueba. Sea K el campo de descomposici6n de p(x) sobre F; el grupo de
Galois de p(x) sobre F es G(K, F). Como p(x) es soluble por radicales
existe una sucesi6n de campos
F c F, = F ( o , ) c F = F,(w2)c ... c F = Fk-,(ak),
, ,
donde wlrlEF, w Z n ~ F 1.., OPE
., Fk- y donde K c F,. Como dijimos
podemos suponer, sin @rdida de generalidad, que F es una extensi6n normal
,
de F. Como extensi6n normal de F, Fkes tambitn una extensi6n normal de
cualquier carnpo intermedio, de donde Fkes una extension normal de cada
una de las Fi. I
Se@n el lema 5.12 toda Fi es una extension normal de Fi-, y como F ,
es normal sobre Fi-,, de acuerdo con el teorema 5.v, G(Fk, Fi) es un sub-
grupo normal en G(Fk,Fi- ,). Consideremos la cadena:
1) G(Fk, F) 3 G(Fk, F,) 3 G(Fk, F2) 3 ... 3 G(Fk, Fk-1) ~ ( 4 .
Como acabamos de hacer notar, cada grupo en la cadena es un subgrupo
normal en el que le precede. Como Fi es una extension normal de Fi-,,
de acuerdo con el teorema fundamental de la teoria de Galois (teorema 5.v)
el grupo de Fi sobre Fi-, , G(Fi, Fi-,) es isomorfo a G(F,, Fi-,)/G(F,,
F,). Pero se@n el lenia 5.12, G(Fi, Fi-,) es un g u p o abeliano. Luego
todos 10s grupos cociente G(Fk, Fi- ,)/G(Fk, Fi) de la cadena (1) es abeliano.
iLueg0 el grupo G(F,, F) es soluble! Como K c Fkes una extensi6n nor-
mal de F (por ser un campo de descomposici6n), segtin el teorema 5.v,
G(Fk,K) es un subgmpo normal de G(Fk,F) y G(K,F) es isomorfo
a G(Fk,F)/G(Fk,K). Asi pues, G(K,F) es una imagen homom6rfica
de G(Fk.F) que es un gmpo soluble; por el corolario del lema 5.10, el
mismo G(K, F) debe entonces ser un grupo soluble. Como G(K,F) es el
grupo de Galois de p(x) sobre F, el teorema ha sido probado.
Hacemos dos observaciones sin prueba.
1) El reciproco del teorema 5.x es tambitn cierto, es decir, si el grupo de
Galois de p(x) sobre F es soluble, entonces p(x) es soluble por
radicales sobre F.
2) El teorema 5.x y su reciproco son ciertos incluso si F no contiene
raices de la midad.

251. 17. SOLUBILIDAD POR RADICALES 249
Recordando lo que se entiende por polinomio general de grad0 n sobre F,
'
p(x) = Y + a , Y - + ... +a,, y lo que se entiende por soluble por radicales,
cerramos el capftulo con el gran teorema clisico de Abel
TEOREMA ~ . El polinomio general de grado n 2 5 no es soluble por
5.
radicales.
Prueba. En el teorema 5.s demostramos que si F(a, , ..., a,) es el c a m p
de las funciones rationales en las ;variables a,, ..., a,, entonces el grupo de
'
Galois del polinomio p(t) = tn+a, tn- + ...+a, sobre F(al, ...,a,) era
S,, el grupo simCtrico de grado n. De acuerdo con el teorema 5.w S, no es
un grupo soluble cuando n 2 5, asl pues, segtin el teorema 5.x p(t) no es
soluble por radicales sobre F(a, , ..., a,) cuando n 2 5.
*l.Si p(x) es soluble por radicales sobre F, pruCbeseque puede encon-
trarse una sucesi6n de campos
F c F, = F(a,) c F, = F, (a,) c ... c Fk = Fk-,(ak)
.
don& a l r l ~ Fa z r z ~ F l.,., a?eFk- I , con Fk conteniendo todas las
,
raices dep(x) tal que Fkes normal sobre F.
2. Prutbese que un subgrupo de un grupo soluble es soluble.
3. PruCbese que S, es un grupo soluble.
4. Si G es un grupo, pruCbese que todos 10s G(k)son subgrupos normales
de G.
5. Si N es un subgrupo normal de G, pruCbese que N' &be tambiCn ser
un subgrupo normal de G.
6. PruCbese que el grupo alternante (el grupo de las permutaciones
pares en S,) A,, tiene subg1-6pos normales no triviales para n 2 5.
ARTIN,E., Galois Theory, segunda edici6n. Notre Dame Mathematical
Lectures, numero 2.
H.,
POLLARD, Theory o Algebraic Numbers, Carus Monographs, n6mero 9.
f
John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1950.
B.
VAN DER WAERDEN, L., Modern Algebra, vol. 1. Ungar Publishing
Company, Nueva York, 1949.
W~ISNER, Theory o Equations. The Macrnillan Company, Nueva York,
L., f
1938.

252. 250 CAMPOS - Cap. 5
SIEGEL, L., Transcendental Numbers, Annals of Mathematical Studies,
C.
nlimero 16. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1949.
NIVEK,I., Irrational Numbers, Carus Monographs, nlimero 11. John
Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1956.
T6picos para discusib en dase
NIVEN, "A simple proofpf the irrationality of IT", Bulletin o the American
I., f
Mathematical Society, vol. 53 (1947), pag. 509.

267. 4 3. MATRICES 265
7. PruCbese el corolario 2 al teoTema 6.f.
8. Si V es n-dimensional sobre F y si TEA (V) es nilpotente (es decir, tal
que Tk = 0 para alglin k), pruCbese que Tn = 0 (Sugerencia: si ce V usese
.
el hecho de que v, vT, vT2, ..., L'T"deben ser linealmente independientes
sobre F.)
.
3. MATRICES
Aunque ya llevamos algJn tiempo tratando de transformacianes, siempre
lo hemos hecho en una forma impersonal y un poco lejana; para nosotros,
una transformacion lineal ha sido un simbolo (muy a menudo T) que actua
en una cierta forma sobre un espacio vectorial. Vemos, cuando pensamos en
lo hasta aqui hecho, que fuera de 10s pocos ejemplos concretos con que
nos hemos encontrado en 10s problemas, nunca nos hemos enfrentado con
transformaciones lineales especificas. AI mismo tiempo, es claro que si hemos
de proseguir con el tema un poco mas lejos a menudo se presentara la
necesidad de hacer un estudio completo y detallado de una transformacion
lineal dada. Para mencionar un problema preciso, si se nos presenta una
transformacion lineal (y suponiendo por el momento que tenemos medios
para reconocerla), jc6m0 podemos arreglarnoslas para encontrar, de una
forma practica y calculable, sus raices caracteristicas?
Lo que primer0 buscarnos es una notacion sencilla o, quiza mas precisa-
mente, una representacion sencilla para las transformaciones lineales.
Llegaremos a ello mediante el uso de una base particular del espacio vectorial
y por el uso de la acci6n de una transformacibn lineal sobre esta base. Una
vez que se ha conseguido todo esto, por medio de las operaciones en A ( V )
podemos inducir operaciones para 10s simbolos creados que hagan de ellos
un algebra. Este nuevo objeto, infundido de una vida algebraica propia.
puede estudiarse como una entidad matematica que tiene un interes por si
misma. Este estudio es lo que comprende la llamada teoria de matrices.
Pero ignorar el origen de estas matrices, es decir, investigar el conjunto
de simbolos independientemente de lo que representan, puede ser costoso,
porque estariamos desperdiciando una gran cantidad de informacion util.
En lugar de ello, nosotros siempre usaremos las interrelaciones entre el
abstract0 A(V) y lo concreto, el algebra de matrices, para obtener infor-
macion de una sobre la otra.
Sea V un espacio vectorial n-dimensional sobre un campo F y sea
v, , ..., v, una base de V sobre F. Si TEA ( V) entonces T esta determinado
en cualquier vector tan pronto como conozcamos su accion sobre una base
de V. Como T transforma Ven V, u , T, c2 T, ..., c, Tdeben estar todos en V .
Como elementos de V cada uno de estos es realizable de un linico mod0 como

268. 266 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
combinaci6n lineal de v, , ..., v, sobre F. Asf pues:
don& c a b aijeF. Este sistema de ecuaciones puede escribirse mhs com-
pactamente como
viT= zaijvj,
j= 1
para i=1,2,...,n .
El conjuntoordenado de n2 nlimeros a,) en F describe completamente
a T. Nos serviran como medio para representar T.
DEFINICI~N. V un espacio vectorial de dimensi6n n sobre F y sea
Sea
v,, ..., v, una base para V sobre F. Si TeA(V) entonces la matriz de Ten la
base v, , ..., v,, a la que representaremos por m(T), es
Una matriz es entonces un arreglo ordenado en forma & cuadrado
de elementos de F con, hasta el momento,. ninguna otra caracterlstica,
que representa el efecto de una transformaci6n lineal sobre una base
&da.
Examinemos un ejemplo. Sea F u n campo y sea V el conjunto de todos
10s polinomios en x de grado n- l o menor sobre F. Definamos D sobre V
por (jYo+jY1x+ ... +jY,,-,xll-')D = jY1+2jY2x+ ... +i/3,xi-I ... +(n-1)
/-In-, 9-'. Es trivial comprobar que D es una transformaci6n lineal sobre V;
como el lector habrh visto, se trata simplemente del operador de diferen-
ciaci6n.
~ C u h es la matriz de D ? La pregunta carece de sentido a menos que
l
especifiquemos una base de V En primer lugar, calculemos la matriz de D
.
. ..
en la base v, = 1, v, = x, v, = x2, .., vi = xi-', ., v, = x l l - I . Ahora

269. 4 3. MATRICES
bien,
= (C- l ) v i - , +Ovb+ ..+, +Ovl~2+(i-l)v,~,+Ovl
v, Q = x n - I D = ( n - I ) X " - ~
Si volvemos a la propia definicion de matriz de una transformacion lineal
en una base dada, vemos que la matriz de D en la base v , , ..., v,, m, ( D ) , es un
realidad
o o o . . . 0 0
rn, ( D ) = 0 2 0
0 0 :3 ...
Q 0 0 ... ( n - I ) 0
Pero na& hay de especial en la base que acabamos de usar ni en como
numeramos sus eiementos. Supongamos que nos limitamos a reordenar
10s elementos de esta base; obtenemos entonces una base tan buena como la
'
anterior w , = xn- , w, = A?-', ..., wi = Y-', W, = 1. ~ C U % con
..., a,
respecto a esta nueva base, la matriz de la misma transformaci6n lineal?
Tenemos ahora,
= Ow, +(n- 1)w2+Ow, + ... +OW,
wi D = x n - i ~= (n-i)x"-i-'
= Ow, + +Owi+(n-i)wi+, +Owl+2+ +Ow,
W, D = I L) = 0 = Ow, + O w 2 + +Own,

270. 268 TRANSFORMACIONES LINEALES - lbp. 6
& donde m2(D), la matriz de D en esta base es
/O (n- 1) 0 0 0 O
0 0 (n-2) 0 ... 0 0
0 0 0 (n-3) .-. 0 0
m2(D)=
0
. -... ... .........
0 0 0 ... ... 0 1
0 0 0 ... 0 0
Antes de terminar con este ejemplo, calculemos la matriz de D en otra base
m h d e Vsobre F. Seau, = 1, u2 = l+x, u3 = l + x 2...., u, = I+x"-';
es fhcil verificar que u,, ...,u, forman una base & V sobre F. ~ C u hes la
l
matriz de D en esta base? Como
ulD = ID = 0 = 0u,+0u2+ ... +Ou,
u 2 D = ( l + x ) D = 1 = lul+Ou2 + ... +Ou,
u3D = ( 1 + x 2 ) = 2x = 2(u2-u1) = -2u1+2u2+Ou3+
~ ...+ Ou,
la matriz m3(D) de D en esta base es
/ 0 oo... 0 0
1 0 0 ... 0 0
-2 2 1
0 ... 0 0
-3 0 3 0 0
I
m3(D) = . . . . 0 0
..... 0 0
-(n-1) 0 0 --- (n-1) 0
Por el ejemplo que hemos estudiado vemos que las matrices de D, para
las tres bases usadas dependfan completamente de las bases. Aunque
diferentes las unas de las otras representan, sin embargo, a-la rnisma trans-

271. 5 3. MATRICES 269
formaci6n lineal D, y podriamos haber reconstruido D partiendo de una a
cualquiera de ellas si conocitramos la base usada en su determinacibn.
Pero, aunque diferente, seria de esperar que existiera alguna relaci6n entre
ml(D), m2(D) y m,(D). Esta relaci6n sera la que determinaremos exacta-
mente mas tarde.
Como la base a usar en cualquier ocasi6n puede ser cualquiera, dada
una transformaci6n lineal T (cuya definicidn, desputs de todo, no depende
de ninguna base) es natural que busquemos una base en que la matriz de T
tenga una forma particularmente sencilla. Por ejemplo, si T es una trans-
formaci6n lineal sobre V, que es n dimensional sobre F, y si T tiene n raices
caracteristicas distintas A,, ...,A,, en F, entonces, de acuerdo con el coro-
lario 2 a1 teorema 6.f, podemos encontrar una base v, , ..., v, de V sobre F
tal que viT = A,vi. En esta base T tiene como matriz la de forma par-
ticularmente sencilla,
Hemos visto que una vez que hemos escogido una base para V, a cada
transformaci6n lineal se le asocia una matriz. Reciprocamente, una vez que
hemos escogido una base fija v, , ..., v, de V sobre F, una matriz dada
da lugar a una transformaci6n lineal T definida sobre V por vi T = 1aijvj
j
sobre esta base. Notese que la matriz de la transformaci6n lineal T que
acabamos de construir en la base v, , ..., v, es exactamente la matriz con la
que comenzamos. Por tanto, toda posible ordenacidn en forma de cuadrado
nos sirve como la matriz de alguna transformaci6n lineal en la base
.
V1, . ., 0".
Es claro lo que quiere decir cada una de las expresiones primer rengldn,
segundo renglbn, ..., de una matriz, como analogamente, lo que debe
entenderse por primera columna, segunda columna, ... . En la matriz

272. 270 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
el elemento a i j esti en el i-esimo renglon y j-esima columna; nos referimbs
a tl como el elemento (i, j) (o la entrada (i, j)) de la matriz.
Escribir todo el arreglo cuadrado de la matriz es algo pesado; en lugar de
ello escribiremos una matriz como (aiJ); esto indica que la entrada (i, j)
de la matriz es aij.
Supongamos que V es un espacio vectorial de dimension n sobre F y
v, , . .., v, es una base de V sobre F que quedarh fija en toda la discusion que
sigue. Supongamos que S y T son transformaciones lineales sobre V (y
sobre F) con matrices m(S) = (aii) y m(T) = (riJ), respectivamente, en la
base dada. Nuestro objetivo es aplicar la estructura algebraica de A(V) al
conjunto de matrices que tienen sus entradas en F.
Para co menzar, como S = T si y solo si US= vT para todo V E V se tiene
,
..
que S = T si y solo si vi T = v i S para todos 10s v , , ., v, que forman una
base de V sobre F. 0, que es equivalente, S = T si y so10 si ail = Ti] para
lo
todo i y todo j.
Dadas m(S) = (aiJ) y m(T) = (rij), ipodemos escribir explicitamente
m(S+ T)? Como m(S) = (aiJ), v i S = 1 aiJv,; anilogamente, viT = 1
rijvi, de donde ui(S+ T) = v i S + v i T = x a i j ~ j +x rlivj
i
i
i
= l(aii
i
i
+ rij)ui.
Pero entonces, por lo que se entiende por matriz de una transformacion
lineal en una base dada, m(S+ T) = (Aij) donde Aij = aij+ rlj para toda i y
toda j Un chlculo de la misma clase muestra que para ye F, m(yS) = (piJ)
.
donde pij = raii para toda i y toda j.
El c~lculomis interesante, y tambitn el mhs complicado, es el de m(ST).
k
T x
Tenemos ahora vi(ST) = (0,s) T = ( x aikvk) = aik(vk Sin embargo,
T).
k
v, T = 1 ; lo que sustituido en la formula anterior, nos da
rkivj
i
(Prutbese). Por tanto, m(ST) = (vii), donde para todo i y para toda j,
UiJ = 1
k
Tk~-
A primera vista, la regla para calcular la matriz del producto de dos
transformaciones lineales en una base dada parece complicada. Sin embargo,
n6tese que la entrada (i,j) se obtiene como sigue: consideremos 10s
renglones de S como vectores y las columnas de T como vectores; entonces
la entrada (i,j ) de m(ST) es simplemente el producto punto de la i-isima
fila de S con la j-6sima columna de T.
Ilustremos esto con un ejemplo. Supongamos que

273. 13. MATRICES
Y
el producto punto del primer rengldn de S con la primera columna de T es
(1) (- 1) +(2) (2) = 3, de donde la entrada (1, 1) de m(ST) es 3; el producto
punto de la primera fila de S oon la segunda columna de T es (I) (0)+
(2) (3) = 6 , de donde la entrada (l,2) de m(ST) es 6 ; el producto punto del
segundo renglon de S con la primera columna de T es (3) (- 1) +(4) (2) = 5,
de donde la entrada (2, 1) de m(ST) es 5; finalmente, el producfo punto de la
segunda fila de S con la segunda columna de T es (3) (0)+(4) (3) = 12, de
donde la entrada (2,2) de m(ST) es 12. Asi pues,
La anterior discusion se ha hecho pensando principalmente en que
sirviera de motivation para las construcciones que estamos a punto de
presentar.
Sea F un campo; una matriz n x n sobre F sera'un arreglo en forma
de cuadrado de elementos en F,
(que representamos por (aij)). Sea F,, = {(aij) I aij€F); en Fn queremos
introducir la nocidn de igualdad entre sus elementos, una adicion, una
multiplicacion escalar por elementos de F y una multiplicaci6n de forma
que se convierta en un llgebra sobre F. Usamos las propiedades de m(T)
para TEA ( V ) como nuestra guia en todo esto.
1) Afirmamos que (aij) = (Bij), cuando tenemos dos matrices en Fn, si y
solo si ail = Bij para to& i y para toda j
.
2) Definimos (ai,)+(Bii) = lij) donde lij aij+Bij para to& i y para
=
toda j.
3) Para yeF, definimos y(aij) = (pij) donde pij = yaij para to& i y
para todaj.
4) Definimos (aij) (Bij) = (vij), donde para toda i y toda j vij = aikhj.
k
Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre F y sea v , , ..., vn una
base de V sobre F ; la matriz m(T) en la base v , , ..., on asocia con TEA(V)
un elemento m(T) en F,. Sin mls preambulo, afirmamos que la aplicacion de

274. 272 TRANSFORMACIONES LINEALES - h p . 8
A ( V ) en F, definido al transformar T sobre m(T) es un isomorfismo de
algebras de A(V) sobre F,. Por este isomorfismo F es un algebra asociativa
,
sobre F (corno puede tambikn verificarse directamente). Llamamos a F el ,
algebra de todas las matrices n x n sobre F.
Toda base de V nos provee de un isomorfismo de algebras de A(V)
sobre F,. Es un teorema que todo isomofismo de algebras de A(V) sobre F ,
es obtenible de tal forma.
A la luz de la misma naturaleza espccifica del isomofismo entre A(V) y
F, identificaremos a menudo una transformaci6n lineal con su matriz, en
alguna base, y A ( V) con F . En realidad, F puede considerarse como A (V)
, ,
actuando sobre el espacio vectorial V = F(") de todos 10s n-tuples sobre F,
dondeparala baseu, =(1,0 ,..., O),v, =(0,1,0 ,...,0),..., un=(O,O ,...,0,1),
(aij)€Fnactua como ui(aij) = i-ksima fila de (a,]).
Resumimos lo que se ha hecho en el siguiente
TEOREMA El conjunto de todas las matrices n x n sobre F forma un
6.~.
algebra asociatiua F, sobre F. Si V es un espacio vectorial de dimensidn n
sobre F, entonces A(V) y F son isomorfos como algebras sobre F. Dada una
,
base cualquiera u, , ..., u, de V sobre F, si para TEA( V), m (T) es la matriz de
T en la base v, , . .., u, , la aplicacibn T + m(T) nos proporciona un isomorfismo
de algebras de A ( V) sobre F, .
El cero respccto a la adici6n en F, es la matriz cero todas cuyas entradas
son cero; a menudg la representaremos simplemente por 0. La matriz uno,
que es el elemento unitario de F, respecto a la multiplicacion, es la matriz
cuyas entradas estan en la diagonal I y fuera de la diagonal 0; la represen-
taremos por I, I, (cuando queramos enfatizar las dimensiones de las matrices)
o simplemente como I. Para a € F, las matrices
(10s espacios en blanco indican solamente entradas iguales a 0) se llaman
matrices escalares. Por el isomorfismo entre A ( V) y F , es claro que TEA(V)
,
es invertible si y s610 si m(T), como matriz, tiene inversa en F,.
Dada una transformacibn lineal TEA(V), si escogemos dos bases u, ,. .,u, .
y w,, ..., w, de V sobre F, cada una da lugar a una matriz, a saber, m, ( T ) y
m,(T), las matricesde Ten las bases u, , ..., u, y w, , ..., w,, respectivamente.
Como matrices, es decir, como elementos del algebra de matrices F,, iquk
relaci6n hay entre m, (T) y m,(T)?
TEOREMA Si V es de dimensidn n sobre F y si TeA(V) tiene la
6.~.
matriz m, (T) en la base v, , ..., u, y la matriz m,(T) en la base w, ,..., w, de V

275. 13. MATRICES 273
(ambas sobre F), entonces hay un elemenro CEF tal que mz( T )= Cm, (T)C- '.
,
En realidad, si S es la transformacidn lineal de V dejnida por v,S = wi
para i = 1,2, ..., n, enronces podemos escoger como C a m, (S).
Prueba. Sea m,(T) = (a,,) y mz(T) = (Pi,); asi pues vIT = 1aljuj,
i
W I T CBijw,.
=
i
Sea S la transformaci6n lineal -sobre V definida por viS = wi. Como
u , , ..., u, y w,, ..., w, son bases de V sobre F, S transforma V sobre V de
,
donde, segun el teorema 6.d, S es invertible en A(V).
Ahora bien, w,T = FBijwj; como wi = viS, a1 sustituir esto en la
J
expresidn para w,T obtenemos (viS)T = 1Bij(vjS). Pero entonces
I
u,(ST) = ( 1 B,,v,)S; como S es invertible, esto se simplifica hasta obtener
i
v,(STS- ') = 1Bijvj. Por la misma definici6n de matriz de una trans-
i
formaci6n lineal en unas bases dadas, m,(STS-') = Vij) = mz(T). Pero
la aplicaci6n T+m,(T) es un isomorfismo de A ( V ) sobre F,; por tanto,
'.
ml (STS- ') = m, (S)m, (T)m, (S- ') = m, (S)m, (T)m, (S)- Reuniendo
todo lo que hemos estado estudiando, obtenemos m2(T) = m,(S)m,
',
(T)m, (S)- que es exactamente lo que se afirma en el teorema.
Ilustramos este irltimo teorema con el ejemplo de la matriz de D que
antes estudiamos, en varias bases. Para minimizar el c8lcul0, suponemos
que V es el espacio vectorial de todos 10s polinomios sobre F de grado 3 o
menor, y D serh, como antes, el operador diferencial definido pro (a,+
=
a1x+a2x2+a3x3)D a1+2a2x+3a3xZ.
Como anteriormente vimos, en la base v, = 1, v2 = x, v3 = x 2 y
v4 = x3, la matriz D es
En la base u, = 1, u2 = 1+x, u3 = 1 +xZ, u4 = 1 +x3, la matriz de D es

276. 274 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Sea S la transformacibn lineal de V definida por u, S = w, (= v;),
v 2 S = w2 = 1 + x = v , + v ~ , v ~ S= 1 + x 2 = u , + ~ ~ y a d e m d s v , S =
w3 =
+
w4 = 1 x3 = v1 + v4. La matriz de Sen la base v1 , v2 ,v3 , o es
,
Un simple dlculo muestra que
Entonces
como debia ser, de acuerdo con el teorema. (Verifiquense todos 10s cilculos
usados.)
El teorema afirma que, si conocemos la matriz de una transformacibn
lineal en una base cualquiera, podemos calcularla en cualquier otra base,
siempre que conozcamos la transformaci6n lineal (o matriz) del cambio de
base.
Aun no hemos contestado la pregunta: &da una transformacibn lineal,
ic6m0 se calculan sus raices caracteristicas? Esto llegard un poco mis
tarde. Partiendo de la matriz de una transformaci6n lineal mostraremos

277. 13. MATRICES 275
como construir un polinomio cuyas raices Sean precisamente la. rakes
caracteristicas de la transformaci6n lineal.
Problemas
1. Calculense 10s siguientes productos de matrices:
2. Verifiquense todos 10s chlculos hechos en el ejemplo que ilustra el
teorema 6.h.
3. Prutbese directamente en F,,, usando las definiciones de suma y
producto, que
a) A(B+C) = AB+AC;
b) (AB)C = A(BC);
para A, B y C pertenecientes a F,,.
4. Prutbese en F2 para cualesquiera dos elementos A y B, que ( A B BA)' -
es una matriz escalar.
5. Sea V el espacio vectorial de 10s polinomios de grado menor o igual
que 3 sobre F. Definase T en V por ( a , + a , x + a 2 x 2+ a 3 x 3 )T = a , +
a , ( x + l ) + a , ( ~ + l ) ~ + a ~ ( x +Calculese la matrizde Ten las bases:
l)~.
a ) 1, x , x 2 , x 3 .
b ) 1, I + x , I + x 2 , 1 + x 3 .
c ) Si la matriz de la parte ( a ) es A y la en parte ( b ) es B, encukntrese
una matriz C tal que B = C A C - . '

278. 278 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 8
6. Sea V = F ( , ) y supongamos que
es la matriz de T E A ( V ) en la base v , = (1, 0,O), v , = (0, I, 0) y v , =
(0,0, I ). EncuCntrese la mkriz de 7 en las bases:
a) u , = (I, 1, 1), u2 = (0, 1,1), u3 = (0,0, 1).
b) ul = (1, u2 = (1,2,0), u3 = (1, 2, 1).
7. PruCbese que &da la matriz
(donde la caracteristica de F no es 2), entonces:
a) A 3 - 6 A 2 + I I A - 6 = 0.
b) Existe una matriz C E F , tal que
8. PruCbese que es imposible encontrar una matriz C E F , tal que
para cualesquiera a, BE F.
9. Una matriz A E F, se dice que es una matriz diagonal si todas las
entradas fuera de la diagonal principal de A son 0, es decir, si A = (aij)
y a,j = 0 para i # j Si A es una matriz diagonal tal que sus entradas
.
sobre la diagonal principal son todas distintas, encudntrense to&s las
matrices B E F , que conmutan cor. A, es decir, encutntrense todas las ma-
trices B tales que BA = AB.
10. Usando el resultado del problema 9, pruCbese que solo las matrices
en F, que conmutan con todas las matrices de F, son matrices escalares.

279. 13. MATRICES
11. Sea AEF, la matriz
todas cuyas entradas, except0 las de la superdiagonal, son 0, y cuyas entradas
sobre la superdiagonal son todas iguales a 1. Prukbese que A" = 0 per0
An- 1 # 0.
*12. Si A es como en el problema 11, encukntrense todas las matrices en
F, que conmutan con A y demukstrese que deben ser de la forma a,+
. ,
a , A + a 2 A 2 + ... + a , - l A " - l donde a,, a , , .., a, - EF.
13. Sea AEF, y sea C ( A ) = { B E F , 1 AB = BA). Sea C ( C ( A ) ) =
{ G E F , I GX = XG para todo X E C ( A ) ) . Prukbese que si G E C ( C ( A ) )
entonces G es de la forma a, + a , A, donde a,, a , EF.
14. Resuklvase el problema 13 para A E F probando que toda G EC ( C ( A ) )
~
es de la forma a, +a , A + a 2 A2.
15. Definamos las matrices Eij en F, como sigue: Ei, es la matriz cuya
finica entrada distinta de cero es la (i, j) que es igual a 1. Prukbese que:
a ) Las Eij forman una base de F, sobre F.
b) EijEk, = 0 para j # k ; EIjEj[= E,,.
c) Dadas i y j, existe una matriz C tal que C E , , C - ' = E j j .
d ) Si i # j, existe una matriz C tal que C E I j C -' = E l , .
e ) Encudntrense todas las BEF, que conmutan con E l l .
f ) Encudntrense todas las B EF, que conmutan con E l l .
16. Sea F el campo de 10s numeros reales y sea C el campo & 10s n~meros
complejos. Para a e C sea T,: C + C dada por xT, = xu, para todo X E C .
Usando la base 1, i encudntrese la matriz de la transformaci6n lineal T,y
obtdngase asi una representacion isom6rfica de 10s numeros complejos
como matrices 2 x 2 sobre el c a m p de 10s numeros reales.
17. Sea Q el anillo con divisi6n & 10s cuaternios sobre el c a m p real.
Usando la base 1, i, j, k de Q sobre F, prockdase como en el problema 16
para encontrar una representaci6n isom6rfica & Q por matrices 4 x 4
sobre el campo de 10s numeros reales.

280. 278 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
*IS. Combinense 10s resultados de 10s problemas 16 y 17 para encontrar
una representaci6n isom6rfica de Q por matrices 2 x 2 sobre el campo de
10s n~imeroscomplejos.
19. Sea 3?l el conjunto de todas las matrices n x n que tienen entradas
0 y 1 de tal forma que hay un tinico I en cada rengl6n y en cada columna.
(Tales matrices se llaman matrices de permutacidn.)
a) Si M E 92l describase A M en tkrminos de 10s renglones y las
columnas de A:
b) Si M e m describase M A en tCrminos de 10s renglones y las
columnas de A.
20. Sea ?l en el problema 19. Pruebese que :
l
como
a) fli tiene n! elementos.
b) Si M E .m. entonces es invertible y su inversa esta tambien en 221.
c) Proporci6nese la forma explicita de la inversa de M .
d) Prukbese que es un grupo respecto a la multiplication de
matrices.
e) PruCbese que nri es isomorfo, como grupo, a S,,el grupo simetrico
de grado n.
21. Sea A = (aij) tal que para todo i, C aij = 1. PruCbese que I es
i
una raiz caracteristica de A (es decir, que A - I no es invertible).
22. Sea A = (aij) tal que para todo j, 1 aij = I .
i
Pruebese que I es una
raiz caracteristica de A.
23. EncuCntrense las condiciones necesarias y suficientes que a, 8, y y 6
han de cumplir para que A = (; $) sea invertible. Para 10s casos en que A
es invertible, escribase A- ' explicitamente.
24. Si EeF, es tal que E Z = E # 0 prutbese que hay una matriz
.
C E F , tal que
donde la matriz unidad en la parte superior izquierda es r x r, donde r es el
rango de E.

281. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 279
25. Si F es el campo real, prutbese que es imposible encontrar matrices
A,B pertenecientes a F, tales que AB- BA = 1.
26. Si F es de caractedstica 2, prutbese que en F, es posible encontrar
matrices A, B tales que AB-BA = 1.
27. La matriz A se llama triangular si todas las entradas sobre la diagonal
principal son 0. (Si todas las entradas debajo de la diagonal principal
son 0 la matriz tambitn se llama triangular.)
a) Si A es triangular y ninguna entrada en la diagonal principal
es 0, prutbese que A es invertible.
b) Si A es triangular y una entrada en la diagonal principal es 0,
prutbese que A es singular.
28. Si A es triangular, prutbese que sus rdces caracteristicas son
precisamente 10s elementos en su diagonal principal.
29. Si Nk = 0, NEF,, +
prutbese que 1 N es invertible y encutntrese su
inversa como un polinornio en N.
30. Si A E F, es triangular y todas las entradas en'su diagonal principal son
iguales a 0, prutbese que A" = 0.
31. Si AEF, es triangular y todas las entradas en su diagonal principal
son iguales a a # OE F, encutntrese A- '.
32. Sean S, T transformaciones lineales sobre V tales que la matriz de S
en una base es igual a la matriz de T en otra. Prutbese que existe una
transformacibn lineal A sobre V tal que T = ASA- '.
4 FORMAS CAN~NICAS:F O R M A TRIANGULAR
.
Sea V un espacio vectorial n-dimensional sobre un campo F.
DEFINIC~~N. transformaciones lineales S, TEA(V) se dice que son
Las
semejantes si existe un elemento invertible CEA(V) que T = CSC- '.
tai
En vista de 10s resultados de la seccibn 3, esta definicibn se traduce en
una acerca de las matrices. En realidad, como F, actca como A(V) sobre
F'"),la delhicibn anterior define ya una semejanza entre matrices. Por ella,
A, BEF, son semejantes si existe una CGF,invertible tal que B = CAC- '
La relacibn sobre A(V) delinida por la semejanza es una relacibn de
equivalencia; la clase de equivalencia de un elemento se llamar6 su clase
de semejanza. Dadas dos transformaciones lineales, ~ d m o podemos de-
teminar si son o no semejantes? Desde luego, podiamos examinar la
clase de semejanza de una de estas para ver si la otra se encuentra en ella,

282. 280 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
pero este procedimiento no es realizable. En su lugar, intentaremos estableeer
alguna clase de seiial en cada clase de semejanza y un amino para ir
de cualquier elemento de la clase a su sefial. Probaremos la existencia de
transformaciones lineales en cada clase de semejanza cuya matriz, en
alguna base, es de una forma particularmente conveniente. Estas matrices
se llamaran formas candnicas. Para determinar si dos transformaciones
lineales son semejantes no necesitaremos otra cosa que calcular una forma
can6nica particular para cada una y comprobar si estas son las mismas.
Hay muchas posibles'formas can6nicas; solo consideraremos nosotros
tres de Cstas, a saber, la forma triangular, la forma de Jordan y la forma
can6nih rational, en Csta y las siguientes dos secciones.
DEFINICI~N.subespacio Wde V es invariante bajo T E A( V )si WT c W
El .
LEMA6.6. Si W c V es invariante bajo T, entonces T induce una trans-
formacidn lineal T e n V/ W definida por (v+ W)T = vT+ W Si T satisface
.
entonces tambibn lo satisface T, Si p, ( x ) es el
el polinomio q ( x ) ~ F [ x ] ,
polinomio minimo para 'P sobre F y si p(x) es el polinomio rninimo para T,
entonces p, ( x ) 1 p (x).
Prueba. Sea 7 = V/W; 10s elementos de 7 son, por supuesto, las clases
laterales v+ W de W en V. Dados 6 = u+ W EP definimos 6T = vT+ W .
Verificar que T tiene todas las propiedades formales de una transformaci6n
lineal sobre V es una facil tarea una vez que se ha establecido que Testa bien
dejnida sobre V. Nos contentaremos, pues, con probar este hecho.
Supongamos que 6 = v, + W = v, + W donde v, , v2E V. Debemos
probar que v, T + W = v2 T + W Como v,+ W = v,+ W, v,-v, debe
.
estar en W y como W es invariante bajo T, ( v , -v,) T debe estar tambiCn
,
en W Por consiguiente 0 , T-v, T E W, de donde se sigue que v, T + W =
.
u, T + W, como queriamos probar. Sabemos ahora que T define una trans-
formaci6n lineal sobre V = V / W.
Si 6 = v+ WE^, entonces 6(p) vTZ+ W = (vT)T+ W = (vT+
=
W) T = ((v+ W) T )T = 6 ( Q 2; asi pues ( ) = (T)'. Anhlogamente
? m=
( T ) k para cualquier k 2 0. Por consiguiente, para cualquier polinomio
q ( x )F[x],q(T) = q(T). Para cualquier q ( x ) ~ F [ xcon q ( T ) = 0, como 6
~ - ]
es la transformacibn 0 sobre V, 0 = q ( T ) = q ( T )
Sea p,(x) el polinomio minimo sobre F satisfecho por T. Si q ( T ) = 0
para q ( x )F[x],entonces p , ( x )1 q(x). Si p(x) es el polinomio rninimo para
~
T sobre F, entonces p ( T ) = 0, de donde p ( T ) = 0; en consecuencia,
P l W I P(x).
Como vimos en el teorema 6.f, todas las raices caracteristicas de T que se
encuentran en F son raices del polinomio rninimo de T sobre F. Decimos

283. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 281
que todas las raices caracteristicas de T e s t h en F si todas las raices del -
polinomio rninimo de T sobre F se encuentran en F.
En el problema 27 a1 final de la liltima seccion, definimos como matriz
triangular a toda aquella que tenga todas sus entradas sobre la diagonal
principal iguales a 0 0 lo que es lo mismo, si T es una transformacion lineal
.
de V sobre F, la matriz de Ten la base v, , . .., v,, es triangular si
~1T = all?,
u,T = a,,o,+a,,v,
es decir, si vi T es una combination lineal solamente de vi y sus predecesores
en la base.
TEOREMA Si TEA( V) tiene todas sus raices caracteristicas en F, enton-
6.~.
ces hay una base de V en que la matriz de T es triangular.
Prueba. La prueba se hace por induccibn sobre la dimension de Vsobre F.
Si dimF V = I entonces todo elemento en A(V) es un escalar y, por
tanto, para tal caso el teorema es cierto.
Supongamos que el teorema es cierto para todos 10s espacios vectoriales
sobre F de dimension n - I, y sea V de dimension n sobre F.
La transformacion lineal T sobre V tiene todas sus raices caracteristicas
en F ; sea I,E F una raiz caracteristica de T. Existe en V un vector v, distinto
de cero tal que u, T = I, v,. Sea W = {av, 1 aEF}; W es un subespacio
unidimensional de V y es invariante bajo 7:Sea V = V/ W ; por el lema 4.8,
,
dim V = dim V- dim W = n - 1. De acuerdo con el lema 6.6, T induce
una transformacion lineal Tsobre Vcuyo polinomio minimo sobre F divide
a1 poinomio minimo de T sobre F. Asi pues, todas las raices del polinomio
minimo de Tpor raices del polinomio minimo de T, deben encontrarse en F.
La transformacion lineal T en su accion sobre V satisface la hipotesis del
teorema; como V es (n- 1)-dimensional sobre F, por nuestra hip6tesis de
induccion, existe una base i,, i,, ..., 6, de Vsobre F tal que:
5, T = a,, 6,
i3T = a,, i, + a,, 6,
Sean v,, ..., u, elementos de V que se transforman en 6,...., fin, respectiva-
mente. Entonces c , , v,, ..., v,, forman una base de V (ver el problema 3

284. 282 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
a1 final de esta section). Como 6, T = a,, 6,, 6, T-a,, fi, = 0, de donde
0, T-a,, 0, deben estar en W Asi pues, 0, T-a,,
. v, es un m6ltiplo & v, ,
digamos a,, v, , de donde tenemos, despuCs de trasponer, v, T = a,, v, +
a,, v,. Anhlogamente, vi T-ai2v, -ai3 v3 - ... -aiiviE W, de donde vi T =
+
ail v1 ai2V, +
... +alivi. La base ul , ...,v, de V sobre F nos proporciona
una base respecto a la cual todo vi T es una combinaci6n lineal de vi y sus
predecesores en la base. Por lo tanto, la matriz de Ten esta base es triangular.
Esto completa la inducci6p y prueba el teorema.
Queremos reformular el teorema 6.j para matrices. Supongamos que la
matriz AEF, tiene sus raices caracteristicas en F. A define una transforma-
ci6n lineal T sobre F cuya matriz en la base
v, = (l,O, ..., O), v2 = (0, l,O, ..a, O), ..., v, = (0, 0, ...,0, 1),
es precisamente A. Las raices caracteristicas de T, siendo iguales a las & A,
estAn todas en F, de donde, seg6n el teorema 6.j, hay una base en F(")en la
que la matriz de T es triangular. Pero, de acuerdo con el teorema 6.h, este
cambio de base varia simplemente la matriz de T, es decir, la A, en la
primera base, en CAC- ' para una C adecuada C c F . Asi pues
,
FORMA ALTERNADA DEL TEOREMA 6.1. Si la matriz AEF, tiene todas sus
raices caracteristicas en F, entonces hay una matriz CEF, tal que CAC- ' es
una matriz triangular.
El teorema 6.j (en cualquiera de sus formas) se describe usualmente
diciendo que T (o A) puede ser llevada a unaforma triangular sobre F.
Si volvemos nuestra mirada a1 problema 28, a1 final de la secci6n 3,
Concluimos la secci6n con el .
veremos que despuCs de que T se ha llevado a la forma triangular, 10s
elementos de la diagonal principal de su matriz juegan el siguiente signifi-
cativo papel : son precisamente las raices caracteristicar de T.
TEOREMA. ~ .Si V es n-dimensional sobre F y si TEA(V) tiene todas sus
6
raices caracteristicas en F, entonces T satisface un polinomio de grado n
sobre F.
Prueba. De acuerdo con el teorema 6.j, podemos encontrar una base
v,, .
. ., v, de V sobre F tal que:
v, T = Alv,
v2 T = v1 +A2u2
viT = allv,+ ... +al, l-,vi-l+Alvl
para i = 1, 2, ..,n.

285. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR
0 lo que es equivalente:
para i = I, 2, ..., n.
'Que es v2(T-A,) ( T - A , ) ? Como resultado de v 2 ( T - I , ) = a , , v , y
r , ( T - A , ) = 0,obtenemos r2(T-A,) ( T - R , ) = 0.Como
La continuacion de este tip0 de calculo nos lleva a:
L'I(T--Ii)( T - A i - , ) ... ( T - A , ) = 0,
rz(T-Ai) (T-Ai- 1 ) . .. ( T - I , ) = 0,
.. .,
ui ( T - I i ) ( T - l i - ... ( T - A , ) = 0.
En particular, para i = n, la matriz S = ( T - An) (T-A,- ,) ... ( T - I , )
satisface r , S = L', S = ... = rnS = 0. Como S suprime una base de V, S
tiene que suprimir tambitn a todo V. Por lo tanto, S = 0 Por consiguiente,
.
T satisface el polinomio ( x - A , ) ( x - 2 , ) ... ( x - I n ) en F[x] de grado n, con
lo que el teorema queda probado.
Desgraciadamente esta en la naturaleza de las cosas que no to& trans-
formation lineal sobre un espacio vectorial sobre todo campdF tenga todas
sus raices caracteristicas en F. Que tal ocurra depende totalmente del
campo F. Por ejemplo, si F es el campo de 10s numeros reales, entonces la
ecuacion minima de
sobre F es x2 + 1 que no tiene raiz alguna sobre F. No tenemos, pues, ningun
derecho a suponer que las raices caracteristicas se encuentren siempre en el
campo en cuestion. Pero, podemos p.reguntarnos, ;no podemos ampliar
ligeramente F hasta un nuevo campo K de mod0 que todo trabaje muy bien
sobre K?
Haremos la discusion para matrices; lo mismo podria hacerse para
transformaciones lineales. Lo que se necesitaria seria lo siguiente: dado un
espacio vectorial V sobre un campo F de dimension n, y dada una extension
K de F, entonces podemos sumergir V en un espacio vectorial V , sobre K

286. 284 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 4
de dimension n sobre K. Una forma de hacer esto seria tomar una base
c , , ..., v, de V sobre F y considerar V, como el conjunto de todos 10s
a, v , + .. . +anon con las a,€K, considerando las vi linealmente indepen-
dientes sobre K. Este pesado uso de una base es antiestktico; todo puede
hacerse de mod0 independiente de toda base si introducimos el concept0 de
product0 tensorial de espacios vectoriales. No lo haremos aqui; en su lugar
argumentaremos con matrices (lo que es efectivamente el camino delineado
anteriormente usando una base fija de V).
Consideremos el algebra F,. Si K es cualquier extension del campo de F,
entonces F c K,, el conjunto de las matrices n x n sobre K. Asi pues,
,
cualquier matriz sobre el campo F puede considerarse como una matriz
sobre K. Si TEF tiene el polinomio minimo p(x) sobre F, considerada como
,
un elemento de K, puede concebiblemente satisfacer a un polinomio
diferente po(x) sobre K. Pero entonces po(x) 1 p(x), ya que po(x) divide
a todos 10s polinomios sobre K (y, por tanto, a todos 10s polinomios sobre F)
que son satisfechos por T. Especializamos ahora a K. Por el teorema 5.h
existe una extension finita K, de F e n la cual el polinomio minimo p(x),
para T sobre F tiene todas sus raices. Como elemento de K,, itiene T, para
esta K, todas sus raices caracteristicas en K? Como elemento de K, el
polinomio minimo de T sobre K, po(x), divide a p(x) de mod0 que todas las
raices de po(x) son raices de p(x) y, por tanto, se encuentran en K. Por
consiguiente, como elemento de K,, T tiene todas raices caracteristicas en K.
Asi pues, dada Ten F,, a1 irnos a1 campo de descomposici6n K, de su
polinomio minimo llegamos a la situacion en que las hip6tesis de 10s
teoremas 6.j y 6.k se satisfacen, no sobre F, sino sobre K. Por lo dicho, T
puede, por ejemplo, ser llevada a la forma triangular sobre K y satisface un
polinomio de grado n sobre K. A veces, cuando tenemos Yerte, sabiendo que
cierto resultado es cierto sohre K podemos limitarnos a'F y saber que el
resultado es tambikn verdadero sobre F. Pem llegar hasta $no es ninguna
panacea, pues hay situaciones frecuentes donde 10s resultados para K no
implican nada para F. Es por esto por lo que tenemos dos tipos de teoremas
de "formas canonicas", aquellos en que se supone en que todas las raices
caracteristicas de T se encuentran en F y aquellos en que no se hace tal
supuesto.
Una palabra fina1;'si TEF,, por la frase "una raiz caracteristica de T"
entenderemos un elemento A del campo de descomposici6n K del polinomio
minimo p(x) de T sobre F tal que A- T no es invertible en K,. Es un hecho
(vCase el problema 5) que toda raiz del polinomio minimo de T sobre F es
es una raiz caracteristica de T.
Problemas
1. Prudbese que la relaci6n de semejanza es una relaci6n de equivalencia
en A ( V ) .

287. 14. FORMAS CANONICAS: FORMA TRIANGULAR 285
2. Si TEF, y si K 3 F, pmibese que como un elemento de K,, T es
invertible si y so10 si es ya invertible en F,.
3. En la pmeba del teorema 6.j pruebese que v, , ..., v, es una base de V.
4. Proporcionese una prueba, usando c6lculo matricial, que si A es una
matriz triangular n x n con entradas I, , ..., A,, sobre la diagonal, entonces
(A-Al)(AyA2) ... (A-A,,) = 0.
*5. Si TEF, tiene p(x) como polinomio minimo sobre F, pmebese que
toda raiz de p(x) en su campo de descomposicion K, es una raiz caracteristica
de T.
6. Si TEA(V) y si AEFes una raiz caracteristica de T en F, sea UA =
{VE I vT = Iv). Si SEA(V) conmuta con T, prukbese que U , es invariante
V
bajo S.
*7. Si 32i es un conjunto conmutativo de elementos en A(V) tales que
toda ME T tiene todas sus raices caracterlsticas en F, pmebese que hay
E
',
un CEA(V)tal que toda CMC- para ME 32i esth en forma triangular.
8. Sea W un subespacio de V invariante bajo TEA ( V). Cuando restrin-
gimos T a W, T induce una transformacion lineal T(definida por w T = wT
para toda we W). Sea p(x) el polinomio minimo de f'sobre F.
N
a) Pruebese que p(x) 1 p(x), el polinomio minimo de T sobre F.
b) Si T induce T sobre VIW, con T satisfaciendo el polinomio
minimo p(x) sobre F, prukbese quep(x) I F(x)p(x).
*c) Si P(x) y p(x) son primos relativos, prukbese quep(x) = P(x)F(x).
*d) Proporci6nese un ejemplo de un T para el quep(x) # P(x)p(x).
9. Sea 322 un conjunto no vaclo de elementos en A(V),; el subespacio
W c V se dice que es incariante bajo 31i si para todo ME 373, WM c W Si
.
W es invariante bajo 32i y es de dimension r sobre F, prukbese que existe
una base de V sobre F tal que todo ME :XI tiene una matriz, en esta base,
de la forma
donde M, es una matriz r x r y M2 es una matriz (n-r) x (n-r).
10. En el problema 9 probamos que M, es la matriz de una transforma-
ci6n fi inducida por M sobre W, y que M2 es la matriz de la transformaci6n
lineal inducida por M en V/ W.
*11. El conjunto no vacio 377 de transformaciones lineales en A(V) se
llama conjunto irreducible si 10s subespacios de V invariantes bajo 373 son

288. 286 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
(0) y V Si XI es un conjunto irreducible de transformaciones lineales sobre i/
.
y si
D = {TEA(V)1 TM = MT para to& ME .XI,
prukbese que D es un anillo con division.
*12. Resutlvase el problema I 1 usando el resultado (lema de Schur) del
problema 14, final del capitulo 4.
*13. Si F es tal que todos 10s elementos de A(V) tienen todas sus raices
caracteristicasen F, prutbese que el D del problema 1 1 consiste solamente en
escalares.
14. Sea F el campo de 10s nlimeros reales y sea
a) Prutbese que el conjunto 7ll consiste solamente en
es un conjunto irreducible.
b) Encutntrese el conjunto D de todas las matrices que conmutan
con
y prutbese que D es isomorfo al campo de 10s nlimeros complejos.
15. Sea F el campo de 10s nlimeros reales.
a) Prutbese que el conjunto
es un conjunto irreducible.
b) Encukntrense todas las AEF, tales que AM = M para to& A
ME fll.
C) Prutbese que el conjunto de todas las A de la parte (b) es un
anillo con division isomorfo a1 anillo con division de 10s cuaternios
sobre el campo real.

289. 1 5. FORMAS CANONICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES 287
16. Un conjunto de transforrnaciones lineales, !XIcA(V), se llama
descomponible si hay un subespacio W c V tal que V = W e W, , W # (0),
W # V, y tanto W corno W, son invariantes respectoa TI. Si !XI no es
descornponible se llama indescomponible.
a) Si TI es un conjunto descornponible de transformaciones lineales
sobre V, prutbese que hay una base de V en que todo ME !XI
tiene una matriz de la forrna
don& M, y M, son matrices cuadradas.
b) Si V es un espacio vectorial n-dimensional sobre F y si TEA(Y)
'
satisface Tn = 0, pero Tn- # 0, prutbese que el conjunto {T)
(consistente en T) es indescornponible.
17. Sea TEA(V) y supongarnos que p(x) es el polinomio rninirno para T
sobre F.
a) Si p(x) es divisible por dos distintos polinornios irreducibles
p, (x) y p,(x) en F[x], pruCbese que {T) es descomponible.
b) Si para algdn TEA(V) es descomponible {T), pruCbese que el
polinornio rninimo para T sobre F es la potencia de un polinornio
irreducible.
18. Si TEA(V) es nilpotente, prutbese que T puede ser puesto en forrna
triangular sobre F y en esa forrna todos 10s elernentos de la diagonal son 0.
19. Si TEA( V) tiene solarnente 0 corno una raiz caracteristica, prutbese
que T es nilpotente.
5. FORMAS CAN~NICAS:
TRANSFORMACIONES NILPOTENTES
Una clase de transformaciones lineales que tienen todas sus raices carac-
teristicas en F es la clase de las nilpotentes, pues corno todas sus raices
caracteristicas son 0, es evidente que todas esdn en F. Por tanto, por el
resultado de la secci6n previa, una transforrnaci6n lineal nilpotente puede
siempre ser puesta en forrna triangular sobre F. Para algunos propcisitos,
esto no es suficientemente agudo, y corno veremos pronto, puede decine
bastante mas.
Aunque la clase de las transforrnaciones lineales nilpotentes es bastante
restringida, la verdad es que merece un estudio solo por sus propios rntritos.
Pero, lo que adn es mas importante para nuestros propbsitos, una vez que

290. 288 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
hemos encontrado una buena forma canonica para ellas, nos es facfi
encontrar una buena forrna canonica para todas las transformaciones
lineales que tienen todas sus raices caracteristicas en F.
Una palabra acerca del metodo que seguiremos en esta seccion. Podriamos
estudiar estos problemas "b8sicos" o podriamos basarnos en 10s resultados
acerca de la descomposicion de modulos que obtuvimos en el capitulo 4.
Nos hemos decidido por un compromiso entre ambas posibilidades;
estudiaremos el material en esta seccion y en la siguiente (sobre formas de
Jordan) independientemente de la nocion de modulo y 10s resultados acerca
de modulos desarrollados en el capitulo 4. Pero en la seccion que trata de la
forma candnica racional cambiaremos completamente de punto de vista,
introduciendo por medio de una transformacidn lineal dada una estructura
de modulo sobre el espacio vectorial bajo discusion; haciendo uso del
teorema 4.j tendremos, entonces, una descomposicion de un espacio vec-
torial, y la forma can6nica resultante correspondiente a una transformacibn
lineal dada.
Incluso aunque no usemos un enfoque basado en la teorla de modules,
por ahora, el lector debe darse cuenta de la analogia entre 10s argumentos usa-
dos en la prueba del teorema 4.j con 10s utilizados para probar el lema 6.10.
Antes de concentrar nuestros esfuerzos sobre transformaciones nilpo-
tentes probemos un resultado de inter& que verifica transformaciones
lineales cualesquiera.
LEMA Si V = V, @ V2@ ... @ Vk, donde cada espacio Vi es de
6.7.
dimensibn nl y es invariante bajo T, un elemento de A(V), entonces puede
encontrarse una base de V tal que la matriz de Ten esta base sea de la f o r m
donde cada A , es una matriz n, x n, y es la matriz de la transformacidn lineal
inducida por T sobre Vi.
Prueba. Escojamos una base de V como sigue: v,( '),..., u, (') es una
base de V,, v , ( ~ ) ,..., G, es una base de V2, y asi sucesivamente. Como
cada V,es invariante bajo T, oi') TE Vi, luego es una combination lineal de
ul('), ..., on,('), y solamente de ellos. Asl pues, la matriz de Ten la base asi
escogida es de la forma deseada. Que cada A , es la matriz de Ti, la trans-
formacibn lineal inducida sobre Vi por TI es claro por la misma definicibn &
matriz de una transformation lineal.

291. 16. FORMAS CANONICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES 289
Limitamos ahora nuestra atencion a las transformaciones nilpotentes.
6.8.
LEMA Si T E A( V) es nilpotente, entonces r , +r l T + ... +am T m ,
donde /as m i € F, es inrertible si a, # 0.
Prueba. Si S es nilpotente y r , # OEF, un simple chlculo muestra que
si S r = 0. Ahora bien, si T r = 0, S = a 1 T + a , T 2 + ... + a m F debe
tambien satisfacer Sr = 0 (prukbese). Luego para a, # 0 en F, a, S es +
invertible.
NOTACION. denotara la matriz t x t
M,
.
cuyas entradas son 0, except0 en la superdiagonal donde todas son 1.
D E F I N I C I ~ NTEA(V) es nilpotente, entonces a k le llamamos fndice
Si .
de nilpotencia de T si T k = 0 pero T k - ' # 0.
El resultado clave respecto a transformaciones nilpotentes es
TEOREMA~ .Si TEA(V) es nilpotente, de indice de nilpotencia n,,
6.
entonces puede encontrarse una base de V tal que la matriz de T en esta base
tenga la forma
"' M,,
donden, a n 2 > ... > n r y d o n d e n , + n 2 + ... +nr = dim, V.
Prueba. La prueba sera un poco detallada, de mod0 que a1 hacerla
separaremos algunas sus de partes como lemas.

292. 290 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
'
Como T n l = 0 pero T n l - # 0, podemos encontrar un vector L'E V <a1
' '
que o T n l - # 0. Afirmamos que 10s veciores v, vT, . . ., v T n l - son lineal-
mente independientes sobre F. En efecto, supongamos que cx, i5+cx2rT+ ...
'
+an,vTn' - = 0 donde las a,€ F; sea a, la primera a distinta de cero.
Tenemos entonces
... + a n , T n l - 7 = 0.
vTs-'(a,+a,+,T+
Como a, # 0, por el lema 6.8, as+ a s + ,T + .. . +cxnl Tnl-"s invertible y, por
'
tanto, vTS- = 0. Pero s < n , , luego esto contradice que cTnl - ' # 0.
Luego ninglin a, distinto de cero existe y v, cT, ..., v T n l - se ha mostrado
son linealmente independientes sobre F.
Sea V , el subespacio de V generado por v , = L', r, = vT, ..., L?,, =
r T n ' - I ; V I es invariante bajo T y, en la anterior base, la transforrnacion
lineal inducida por T sobre V , tiene como matriz M a , .
Hasta el momento hemos producido la esquina superior izquierda de
la matriz del teorema. Debemos, de alguna forma, producir el resto de esta
matriz.
LEMA 6.9. S i U E V l es ral que u T " ' - ~= 0, donde 0 < k < n , , entonces
u = uo T k para algtjn u , V l .
~
-'
Prueba. Como U E V , , u = a , v+a,uT+ ... + a , u ~ ~ +cxk+, L ; T ~ ... +
+ ( X , ~ L ' T " ~Asi. pues, O = uTnl-' = a , V T " ~ - , + ... + a k r ~ " l - ' . Pero
-~
r T n l - k .... cTn'-' son linealmente independientes sobre F, de donde
,
cx, = cx2 = ... = ak = 0, y por lo tanto, u = a,+, UT'+ ... + a n l u T n l - ' =
u o T k ,donde uo = ak+,r.+ ... +a n I v T " ~ - ~ E 'V , .
-
El argumento, hasta el momento, no ha sido nada complicado. Se hace
ahora un poco mhs denso.
LEMA 6.10. Exisre un subespacio W de V , invarianre bajo T , ral que
v= V , @ W.
Prueba. Sea W un subespacio de V , de la mayor dimension posible, tal
que:
I) V , n W = (0)
2) W es invariante bajo T.
+
Queremos ahora demostrar que V = V , W. Supongamos que asi no
fuera; entonces existiria un elemento Z E V tal que 2 4 V , + W. Como T n l = 0,
existe un entero k, 0 < k < n , tal que Z T ~ E I+ W y tal que Z T ' ~V , W
V +
para i < k. Asi pues, ZT" = u+w donde U E V , y W E W. Pero entonces
0 = zTnl = ( z T ~ ) T I I = u T " I - ~ +
-~ wTnl-'; pero, como tanto V , como W

293. 1 5. FORMAS CANONICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES 291
son invariantes bajo T, uTnl-'E V, y wTnl-'E W Como V, n W = (0) esto
.
nos dice que UT"'-& - W T " ' - ~V, n W = (O), de donde uTnl-' = 0.
= E
Segun el lema 6.9, u = uo Tk para algun u , ~ ; por tanto zTk = u+w =
V,
uoTk+ul. Seaz, = z-uo;entoncesz, Tk = z T ' - u , ~ ~= u - ~ W , y c o m o W
es un invariante bajo T esto implica z, Tm6W para toda m> k. Por otra
parte, si i < k, z, Ti = zTi-uo Ti$ W+ W pues de otra forma zTi deberia
,
+
estar en V, Wen contra de la eleccion de k.
'.
Sea W, el subespacio de V generado por W y z, , z, T, ..., z, Tk- Como
z, 4 W, y como W, 2 W la dimension de W, debe ser mayor que la de W.
,
Ademas como z, T'E Wy como Wes invariante bajo T, W, debe ser invariante
bajo T. Por la naturaleza maxima de W debe haber un elemento de la forma
~ ~ ~ + a , z , T+ ... +akz, Tk-I # 0 en W, n V, donde woe W NO
+a2z, .
todos 10s a , , ..., a, pueden ser cero; de otra forma tendriamos 0 #
woe W n V, = (O), una contradiccion. Sea a, el primer a distinto de cero;
entonces wo+z, T'- '(a,+a,+, T+ . .. +ak Tk-')e V,. Como a, # 0, por
lema 6.8, a,+a,+, T+ ... +a,Tk-' es invertible y su inversa R, es un
polinomio en T. Por tanto, W y V, son invariantes bajo R; pero, por lo
anterior, woR+z, T"- ' E VI R c V,, lo que obliga a que z, Ts-' V, + E
R +
W c V, W Como s- I < k esto es imposible; por tanto V, + W = V.
.
Como V, n W = (0), V = V, @ W, y el lema queda probado.
El trabajo pesado, por el momento, se termin6; ahora vamos a completar
la prueba del teorema 6.1.
Segun el lema 6.10, V = V, @ W donde W es invariante bajo T. Usando
las bases L',, . . .. o,, de V, y cualquier base de W como una base de V, por
el lema 6.7, la matriz de Ten esta base tiene la forma
donde A , es la matriz de T,, la transforrnacion lineal inducida sobre W
por T. Como T"' = 0, TZn2 0 para algun n, < n, . Repitiendo el argument0
=
usado para T, sobre W podemos descomponer W como hicimos con V
(0, aplicar induction sobre la dimension del espacio vectorial de hue
tratemos). Continuando este camino obtenemos una base de V en que la
~rlatriz T es de la forma
de
Que n, +n, + ... +n, = dim V es claro, ya que la dimen$6n de la matriz es
n x n donde n = dim V.

294. TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
D E F I N I C ~ ~ Nenteros n , , n, , ..., nr se llaman 10s invariantes de T.
LOS .
DEFINIC~~N. A ( V ) nilpotente, el subespacio M de V, de dimen-
Si T E es
si6n m, que es invariante bajo T, se llama ciclico con respecto a T, si :
1 ) MT'" = (0),MTm-I # (0);
2) hay un elemento ZE M tal que z, IT, ...,zTm- forma una base de M.
(Nota: La condicion (1) esth realmente implicada por la condici6n 2.)
LEMA 1. Si M, de dimensidn ,m, es ciclica con respecto a T , entonces
6.1
la dimensidn de MTk es m - k para todo k d m.
Prueba. Podemos obtener una base de MTk tomando la imagen de
cualquier base de M bajo Tk. Usando la base z, IT, ...,zTm- de M obtene-
mos una base zTk, zTk+I , ..., zTm- l de MTk. Como esta base tiene m-k
elementos, el lema queda probado.
El teorema 6.1 nos dice que dado un nilpotente T en A ( V ) podemos
encontrar enteros n, k n, B ... k n, y subespacios V , , ..., V, de V clclicos
con respecto a T y de dimensiones n, , n, ,...,n, respectivamente, ya que
v = V,@ ... @V,.
i Es posible que podamos encontrar otros enteros m, 2 m, 3 ... k m, y
otros subespacios U, , ..., Us de V, clclicos respecto a T y de dimensiones
m , , ..., ma, respectivamente, tales que V = U,@ ... @ U,? Afirmamos
que no es posible o, en otras palabras, que s = r y m , = n , ,m, = n,, ...,
m, = n, . Supongamos qtle tste no fuera el caso; entonces habrla un primer
entero i tal que m , # nl. Podemos suponer que mi < ni.
Consideremos VTm'. Por una parte, como V = V,@ ... @ Vr. VTm' =
V , Tm'@... @ ViT " @ ... @ VrTm'.
'' Como dim V , Tm' = n, -mi, dim V, Tm'
'= n,-m,, ...,dim VITm'= nl-ml (seglin lema 6.11E dim V T " " k ( n , -
nr,)+(n, - m,)+...+(nl-mi). Por otra parte, como V= U,@ ...@ Usy como
U,Tm'=(0) para j 2 i , V F ' = U ,Tm'@U,Tmi+ ...@ Ui-, 7"'. Asl pues
dim VT"' = (m,-ml) + (m,-mi) + ... + ( m i - , -mi).
Por nuestra elecci6n de i, n, = m,. n, = m,. ..., ni-, = m i - , , de donde
dim VTm' = (n, -m,)+(n, -mi)+ ... +(nl-, -mi).
Pero esto contradice el hecho anteriormente probado de que dim VTm'k
(n,-mi)+ ... +(ni-, - m l ) + ( n l - m l ) , y a q u e n l - m l > O .
Asl pues, hay un linico conjunto de enteros n, k n, ... k n, tal que V
es la suma directa de subespacios clclicos con respecto a T y de dimensiones
n,, n,, ....n,. Es decir. hemos demosrrado que 10s invariantes de T son
linicos.

295. Matricialmente, el argument0 que acabambs de mostrar ha probado que
si n, 2 n, 2 ... 2 n, y m, 2 m, 2 ... 2 m,, entonces las matrices
son semejantes solamente si r = s y n, = m, , n, = m,, ...,n, = m,.
Hasta el momento hemos probado la mitad mis dificil del
TEOREMA . DOS transformaciones Iineales nilpotentes son semejantes
6 ~
si y so'lo si tienen las mismas uariantes.
Prueba. La discusi6n que precede al teorema ha demostrado que si dos
transformaciones lineales nilpotentes tienen diferentes invariantes, entonces
no pueden ser semejantes, pues sus respectivas matrices
no pueden ser semejantes.
Pasemos a comprobar la parte del teorema en la otra diteccibn. Si las dos
transformaciones lineales nilpotentes S y T tienen 10s mismos invariantes
n, 2 ... 2 n,, pot el teorema 6.1 hay bases v , , ..., u,, y w,, ..., w,, de V
tales que la matriz de S en u,, ..., L;, y la de T en w , , ..., wn son, ambas,
iguales a
Pero si A es la transformaci6n lineal definida sobre V por u,A = w i , entonces
S = A,TA-' (iprudbese!, comphrese con el problema 32 al final de la
secci6n 3), de donde S y T son semejhntes.
Calculemos un ejemplo. Supongamos que

296. 2 94 TRANSFORMACIONES LINEALES - C ~ D
6
act~ia sobre F, con base u , = (1,0, O), u, = (0. 1, 0) y u, = (0,0, 1). Sea
L;, = U , ,o2 = U , T = u2 +-u,, o, = U, ; en la base u, , u,, o, la matriz de Tes
de forma que 10s invariantes de T son 2, 1. Si A es la matriz del cambio de
base, es decir
%la
un simple calculo muestra que
ATA-' = o o o .
Una observacion final: 10s invariantes de T determinan una particion de
n, la dimension de V. Reciprocamente, una particion de n, n , 2 ...
n,,
n , +n, + ...
+n, = n, determina 10s invariantes de la transformacion lineal
nilpotente
As; pues, el nljmero de clases distintas de semejanza de /as matrices nilpotentes
n x n es precisamente p(n), el nljmero de particiones de n.
6. FORMAS CANONICAS. UNA DESCOMPOSlClON DE V :
FORMA DE JORDAN
Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre F y sea Tun elemento
arbitrario de A,(V.). Supongamos que V , es un subespacio de V invariante
bajo T. Por tanto, T induce una transformacion lineal TI sobre V , definida
por u T , = uT para toda U E V , . Dado un polinomio cualquiera p ( x ) ~ F [ x ] .
afirmamos que la transformacion lineal inducida por q(T) sobre V , es
precisamente q(T,). (La prueba de esto se deja como ejercicio.) En par-

297. 16. FORMAS CANONICAS. U N A DESCOMPOSICION DE V: FORMA DE JORDAN 295
ticular, si q ( T ) = 0, entonces q ( T , ) = 0. Asi pues, T I satisface cualquier -
polinomio satisfecho por T sobre F. i Q u t podemos decir en la direccion
opuesta ?
LEMA 6.12. Supongamos que V = V ,@ V, donde V , y V, son subespacios
de V inuariantes bajo T. Sean T , y T , las transformaciones lineales inducidas
por T sobre V , y V,, respectivamente. Si el polinomio minimo de T I sohre F
es p, ( x )mientras que el de T2 es p2 (x),entonces el polinomio minimo pura T
sobre F es el minimo comlin mljltiplo de p,(x) y p, (x).
Prueba. Si p(x) es el polinomio minimo para T sobre F, como hemos
visto antes, tanto p ( T l ) como p(T,) son cero, de donde p , ( x ) ( p ( x ) y
p,(x) ( p(x). Pero entonces el minimo comlin multiplo de p, ( x ) y p,(x) debe
tambitn dividir a p(x).
Por otra parte, si q(x) es el minimo comun multiplo de p, ( x ) y p,(x),
I
consideremos q(T). Para r , E V , , como p, ( x ) q(x),v, q ( T ) = r , q ( T l )= 0;
analogamente, para r , E V,, r,q(T) = 0. Dada cualquier r e V, r puede
escribirse como r = L:, + v2 donde L?, l V , y L',EV 2 , en consecuencia de lo
cual rq(T) = ( r ,+r,)q(T) = v I q ( T ) + v 2 q ( T = O.Asi pues, q ( T ) = 0 y T
)
satisface q(x). Combinado con el resultado del primer parrafo, esto nos da el
lema.
COROLARIO. V = V I @... @ V k , donde todo Vi es invariante bajo T
Si
y si pi ( x )es polinomio minimo sobre F de T i , la transformacibn lineal inducida
por T sobre V i , entonces el polinomio minimo de T sobre F es el minimo
comun multiplo de p, ( x ) ,p2 ( x ) ,...,pk (x).
Dejamos la prueba del corolario al lector.
Sea T E A , ( V ) y supongamos que p(x) en F[x]es el polinomio minimo
de T sobre F. Seglin lema 3.21, podemos factorizar p(x) en F[x]en forma
...
linica como p(x) = q , (x)" q2(x)12 qk(x)Ik, donde 10s q,(x) son polinomios
irreducibles distintos en Fix] y donde I , , I,, ..., Ik son enteros positivos.
Nuestro objetivo es descomponer V en suma directa de subespacios in-
variantes bajo T tales que sobre cada uno de Cstos la transformaci6n lineal
inducida por Ttiene como polinomio minimo una potencia de un polinomio
irreducible . Si k = I, V mismo sirve a nuestro propcjsito. Supongamos pues
q u e k > 1.
I 1
Sea V , = { r e v oq, (T)I1= 0}, V, = { V E v vq,(T)12 = 0}, ..., Vk =
{ V E V rqk(T)Ik= 0). Es una trivialidad que cada Vi es un subespacio de V.
AdemPs, Vi es invariante bajo T, pues si U E V i , como T y q,(T) conmutan,
( u ~ ) q , ( T )= (uqi(T)ll) = OT = 0 . Por la definicion de Vi esto sitlia a
" T
uT en Vi. Sea Ti la transformaci6n lineal inducida por T sobre Vi.
TEOREMA~.N. Paracadai = 1,2, ..,k,Vi # ( 0 ) y V = V,@V,@ ... @
Vk.Elpolinomio minimo de Tl es qi{x)lr.

298. 296 TRANSFORMACIONES LINEALES - Csp. 6
Prueba. Si k = I entonces V = V, y no hay nada que necesite probarse.
Supongamos entonces que k > I .
Primero necesitamos probar que todo Vi # (0). Con este fin introducimos
10s k polinomios:
~ I ( X )= 4 2 ( ~ ) ' ~ q 3 ( ~ )4r(x)Ik,
I'...
Como k > I . li;(x) # p(x). de donde hi(T) # 0. Asi pues, dada i, hay un
1.e V tal que 11. = rlii(T) # 0. Pero u9qi(T)" = r(hi(T)qi(T)'i)= rp(T) = 0.
En consecuencia, 1 ~ '# 0 esta en Vi y por tanto Vi # (0). En realidad hemos
demostrado un poco mas, a saber, que VIii(T) # (0) esta en V,. Otra
observacion acerca de /ii(x) viene ahora a cuento, si Vj para j # i,
I
como qj(x)'j lii(x).rilli( T) = 0.
Los polinomios lii(x). /12(x),. .., lik(x)son primos relativos. (ipruebese!)
De aqui que segun el lema 3.20 podemos encontrar polinomios a , (x), ...,
a,(.u) en F[x] tales que a , (x)h,(x)+ ... +a,(x)h,(x) = I . De donde
tenemos. a,(T)Ii,(T)+ ... +&(T)h,(T) = 1, de donde, dado r e v , r =
1.1 = i ( a , (T)li,(T)+... +ak(T)Ilk(T)) ra, ( T ) h , ( T ) +... +rak(T)hk(T).
=
Ahora bien, cada rai(T)Iii(T)esta en VIi,(T), y como hemos probado
anteriormente que VIii(T)c V,, hemos demostrado ahora LI como o =
+
I., ... +r, , donde cada r i = [.ai(T)hi(T) esd en Vi. Luego V = V, +
+
v2+ ... v,.
Debemos ahora verificar que esta suma es una suma directa. Para
mostrar esto es suficiente probar que si ui+u2+ ... +uk = 0 con cada
uie V,, entonces cada ui ='O. Supongamos, pues, que u, + u, + ... + u, = 0
y que algun ui, digamos u, , no es 0. Multipliquemos esta relacion por
h, (T); obtenemos u, h, ( T ) + ... +u,Ii, ( T ) = Oh,(T) = 0. Ademas.
ujh,(T) = 0 paraj # 1 yaqueujeVj; laecuacion sereduceasiau,h,(T)=
0. Pero u,q,(T)" = 0 y como 11,(x) y q,(x) son primos relativos, esto
implica que u, = 0 (ipruebese!), lo que es, desde luego, incompatible con la
hipotesis de que u, # 0. Hasta el momento hemos conseguido probar que
v = V,$V,@ ... @V,.
Para completar la prueba del teorema debemos todavia probar que el
polinomio minimo de Ti sobre Vi es q(x)';. Por la definicion de V,. como
Viqi(T)li = 0, qi(Ti)li= 0, de donde la ecuacion minima de Ti debe ser un
divisor de qi(x)Ii, luego de la forma q,(x)fi con f i <Ii. Por el corolario al
lema 6.12, el polinomio minimo de T sobre F es el minimo comlin miltiplo
de q,(x)", ..., q,(x)** y debe, por tanto. ser q, (x)lr.. . q,(x)/*. Como este
polinomio minimo es en realidad q, (x)'~.. q,(x)Ik debemos tener que
.

299. 16. FORMAS CANONICAS. UNA DESCOMPOSICION DE V: FORMA DE JORDAN 297
fl 3 I , . f ,3 I , , ...,.fi B 1,. Combinada con la desigualdad de sentido
opuesto que antes probamos, esto nos da el resultado buscado, que I , = f ;
para i = 1, 2, ..., k , con lo que completamos la prueba del teorema.
Si todas las raices caracteristicas de T sucediera que estaban en F entonces
el polinomio minimo de T toma la forma particularmente sencilla q ( x ) =
( x - A I ) I 6 ... ( x - A,)', donde A , , ..., A, son las distintas raices caracteristicas
de T. Los factores irreducibles q , ( x ) anteriores son simplemente q i ( x ) =
x - A,. Notese que sobre V , , Ti solamente tiene A, como raiz caracteristica.
COROLARIO. toclas las distintas raices caracteristicas A , , . ., A, de T
Si .
se encuentran en F, entonces V puede escribirse como V = V , @ @ V, . ..
donde V i = { C E V ( r ( T - Ai)" = 0) y donde Ti tiene solamertte una raiz
caracteristica, A, , sobre V i .
Volvamos a1 teorema por un momento; usamos la misma notacion
T i , V i que en el teorema. Como V = V , @ ... @ V,, si la dimensi6n de V i
es n , , por el lema 6.7 podemos encontrar una base de V tal que en esa base la
rnatriz de T sea de la forma
donde cada A ; es una matriz ni x ni y es en realidad la matriz de Ti.
~ Q u C exactamente lo que andarnos buscando? Queremos encontrar
es
un elemento en la clase de semejanza de T que pueda distinguirse en alguna
forma. A la luz del teorema 6.h esto puede reformularse como sigue:
buscamos una base de V en que la matriz de T tenga una forma especial-
mente sencilla (y reconocible).
De acuerdo con la anterior discusion, esta busqueda puede quedar
limitada a las transformaciones lineales T i ,con lo que el problema general
puede reducirse de la discusion de transformaciones lineales generales a la
de las transformaciones lineales especiales, cuyos polinomios minimos
son potencias de polinomios irreducibles. Para la situacidn especial en que
todas las raices caracteristicas de T se encuentran en F es lo que vamos a
hacer a continuacion. El caso general en el que no ponemos restriccion
alguna sobre las raices caracteristicas de T lo estudiaremos en la pr6xima
seccion.
Estamos ahora en una feliz posicion. Hemos construido todas las piezas
' y todo lo que tenemos que hacer es juntarlas. Resulta de ello e importan-
!

300. 298 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
tisimo y utilisimo teorema en el que se exhibe lo que usualmente se llama
jorrna candnica de Jordan. Pero demos primer0 una definicion.
DEFINICION. matriz
La
con 1 en la diagonal y I en la superdiagonal y 0 en las demis entradas es un
bloque basico de Jordan perteneciente a I..
TEOREMA ~ .Sea T E F ( ~ tcon todas sus distintas rakes caracteristicas
6. A )
I., , . . ., i,,, en F. Entonces puede encontrarse una base de V en que la matriz T
sea de la,/'orma
donde cada
y donde Bi, ...., B , , son bloques basicos de Jordan pertenecientes a Ri.
Prueba. Antes de comehar notemos que un bloque basic0 rn x rn de
Jordan perteneciente a I es simplemente I. + M,, donde M, es la matriz que
se ha definido al final del lema 6.8.
De acuerdo con la combinaci6n del lema 6.7 y el corolario a1 teorema 6.n,
podemos reducirnos al caso en que T tiene solamente una raiz caracteristica
I, es decir, al caso en que T- I. es nilpotente. Asi pues, T = 1+ ( T - A ) , y

301. 16. FORMAS CANONICAS. UNA DESCOMPOSICION DE V: FORMA DE JORDAN 299
como T-A es nilpotente, seghn el teorema 6.1, hay una base en que su
matriz es de la forma
Pero entonces la matriz de Tes de la forma
usando la primera observacion hecha en esta prueba acerca de la relacion
entre un bloque de Jordan basico y las M,. Y esto completa el teorema.
Usando el teorema 6.1 podriamos arreglar las cosas de forma que en
cada J i , la dimensi6n de B i , 2 la dimensi6n de Biz 2 .... Cuando esto se
ha hecho, entonces la matriz
se llama la forma de Jordan de T. N6tese que el teorema 6.p para matrices
nilpotentes se reduce a1 teorema 6.1.
Dejamos como ejercicio lo siguiente: dos transJormaciones lineales en
A , V ) que tienen todas sus raices caracteristicas en F, son semejantes si y
(
solo si pueden llei1arse a la misma forma de Jordan.
Asi pues, la forma de Jordan actua como un "determinador" para
clases de semejanza de este tipo de transformaciones lineales.
En tCrminos de matrices, el teorema 6.p puede formularse como sigue:
sea A E Fn y supongamos que K es el campo de descomposicion del polinomio
minimo de A sobre F ; entonces puede encontrarse una matriz ini~ertible EK,
C
'
tat que C A C - estP en la forma de Jordan.
Dejamos 10s pocos puntos necesarios para hacer la traducci6n del
teorema 6.p a su forma matricial como ejercicio para el lector.
Una observacion final: si AEF" y si K n , donde K es el campo de des-

302. 300 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 8
composici6n del polinomio minimo de A sobre F,
donde cada J i corresponde a una raiz caracteristica distinta l i de A,
entonces la mul!iplicidad de l i como raiz caracteristica de A es, por defini-
cion n i , donde Ji es una matriz n i x n i . N6tese que la suma de las multi-
plicidades es exactamente n.
Es claro que analogamente podriamos definir la multiplicidad de una
raiz caracteristica de una transformacion lineal.
Problemas
1. Si S y T son transformaciones lineales nilpotentes que conmutan,
pruibese que ST y S + T son transformaciones lineales nilpotentes.
2. Mediante un calculo matricial directo, demukstrese que
no son semejantes.
3. Si n , 2 q , y m , 2 m , , pruebese, mediante un calculo matricial
directo que
son semejantes si y solo si n, = m , y n, = m,
*4. Si n , > n, 2 n, y m , 2 m, 2 m,, pruibese, por medio de un dlculo
matricial directo que
son semejantes si y solo si n , = m , ,n, = m, y n, = m,. -

303. 16. FORMAS CANONICAS. UNA DESCOMPOSICION DE V: FORMA DE JORDAN 301
5. a ) PruCbese que la matriz
es nilpotente y encukntrense sus invariantes y forrna de Jordan.
b) PruCbese que la rnatriz de la parte ( a ) no es semejante a
6. Pru6bese el lerna 6.12 y su corolario, incluso si las sumas que en C1
aparecen no son sumas directas.
7. PruCbese la afirrnacion hecha de que dos transforrnaciones lineales
en A , ( V ) todas cuyas raices caracteristicas se encuentran en Fson sernejantes
si y solo si sus forrnas de Jordan son iguales (except0 por una permutation
en la ordenacion de las raices caracteristicas).
8. ComplCtese la prueba de la version matricial del teorerna 6.p, dada
en el texto.
9. PruCbese que la matriz n x n
.- .
0 0 0 1 0
con entradas 1 en la subdiagonal y 0 todas las dernas, es sernejante a M,.
10. Si F tiene caracteristica p > 0 pruibese que A = (A ;) satisface
A = 1.
P
11. Si F ' tiene caracteristica 0, pruebese que A = (A ;)satisface
Am = 1 para m > 0 solamente si z = 0.

304. 302 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
12. Encuentrense todas las formas de Jordan posibles para:
a ) todas las matrices 8 x 8 que tienen x2(x- como polinomio
minimo:
h ) todas las matrices IOx 10 sobre un campo de caracteristica
diferente de 2, que tiene x 2 ( x - I)'(x+ I ) 3 como polinomio
nlinimo.
13. Pruebese que la matriz n x n
es semejante a
si la caracteristica de F es 0 o si es p y p t n. ;CuBI es la multiplicidad de 0
como raiz caracteristica de A ?
Una rnatriz A = (aij) se dice que es una matriz diagonal si a,, = 0
para i # j , es decir, si todas las entradas aparte de las de la diagonal
principal son 0. Una matriz, o transformacidn lineal, se dice que es diagonali-
-
zable si es semejante a una matriz diagonal (tiene una base en la que su
matriz es diagonal).
*14. Si T esta en A(V) entonces T es diagonalizable (si todas sus raices
caracteristicas estan en F) si y solo si siempre que v(T-A)'" = 0, para
L'E V y A E F, entonces u(T- A) = 0.
15. Usando el resultado del problema 14, prutbese que si E2 = E
entonces E es diagonalizable.
16. Si E2 = E y F Z = F prutbese que son semejantes si y s61o si tienen
el mismo rango.
17. Si la multiplicidad de cada una de las raices caracteristicas de T es 1,
y si todas las raices caracteristicas de T esthn en F, prukbese que T es
diagonalizable sobre F.
*18. Si la caracteristica de F es 0 y si TEA ( V) satisface Tm = I , prukbese
;
que si las raices caracteristicas de T estan en F entonces T es diagonalizable.
(Sugerencia: usese la forma de Jordan de T.)

305. 17. FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL 303
*19. Si A , B E F son diagonalizables y si conmutan, pruebese que hay un
elemento C EF,, tal que tanto C A C - ' como C B C - ' son diagonales.
20. Pruebese que el resultado del problema 19 es falso si A y B no
conmutan.
7. FORMAS CANONICAS:FORMA CANONICARACIONAL
La forma de Jordan es la mas comunmente usada para probar teoremas
acerca de las transformaciones lineales y las matrices. Desgraciadamente
tiene un serio inconveniente en 10s requerimientos que impone sobre la
localizacion de las raices caracteristicas. Es cierto que si T E A , ( V ) (o AE F,,)
no tiene sus raices caracteristicas en F, no tenemos mas que ir a una extension
finita K de F en que todas las raices caracteristicas de T se encuentran y
luego llevan T a su forma de Jordan sobre K . En realidad, este es un procedi-
miento operativo estandar; pero prueba resultados en K,, no en F,,. Muy
a menudo el resultado en F,, puede deducirse del resultado en K,,, pero hay
muchas ocasiones en que despuks que un resultado se ha establecido para
AEF,, considerado como un elemento en K,, , no podemos volver de K,
para obtener la informaci6n deseada en F,, .
Asi pues, necesitamos alguna forma canonica para elementos en A , ( V )
(o en F,,) que no presupongan nada sobre la locaiizacion de las raices
caracteristicas de sus elementos, una forma canonica y un conjunto de
invariantes creados en A , ( V ) mismo usando solamente sus elementos y
operaciones. La forma candnica rational, que describimos a continuacion en
el teorema 6.q y su corolario, es una forma canonica de tal tipo.
Sea T EA F ( V ) ;por medio de,T nos proponemos hacer de V un modulo
sobre F [ x ] ,el anillo de 10s polinomios en x sobre F. Hacemos esto definiendo
para cualquier polinomio , f ( x ) en F [ x ] , y cualquier ~ E Vf ( x ) r = l : f ( T ) .
,
Dejamos la verification al lector de que, bajo esta definicion de multiplica-
cion de elementos de V por elementos de F [ x ] , V se hace un F[x]-modulo.
Como V es de dimension finita sobre F, esta finitamente generado sobre F,
luego tanto mas sobre F [ x ] que contiene a F. Ademas. F [ x ] es un anillo
euclidiano; luego como un modulo finitamente generado sobre F [ x ] , por
el teorema 4.j, V es la suma directa de un numero finito de submodulos
ciclicos. Por la misma forma en que hemos introducido la estructura de
modulo sobre V , cada uno de estos submodulos ciclicos es invariante bajo T ;
ademas, hay un elemento m,, en un tal submodulo M, tal que todo elemento
m en M es de la forma m = m, f ( T ) para algun f ( x ) ~ F [ x ] .
Para determinar la naturaleza de T sobre V sera, por tanto, bastante
para nosotros conocer como parece T sobre un subm6dulo ciclico. Es esto
precisamente lo que intentamos determinar.
Pero efectuemos primero una descomposicion preliminar de -Y, como

306. 304 TRANSFORMACIONES LINEALES - C ~ D6.
hicimos en el teorema 6.n, de acuerdo con la descomposicion del polinomio
minimo de T como product0 de polinomios irreducibles.
Sea el polinomio minimo p ( x ) de T sobre F , p ( x ) = q , ( x ) " ... q,(x)'*
donde 10s q i ( x ) son polinomios irreducibles distintos en F [ x ] y donde
cada ei > 0; entonces, como vimos en el teorema 6.n, V = V , @ V,@ ...@ V,
donde cada Vi es invariante bajo T y donde el polinomio minimo de T
sobre Vi es q,(x)". Para resolver la naturaleza de un subm6dulo ciclico
para un Tarbitrario vemos, por esta discusion. que es suficiente establecer-
la para un Tcuyo polinomio minimo sea una potencia de uno irreducible.
Probamos el
LEMA6.1 3. Supongamos que T , en A , V ) , tiene como polinomio minimo
(
sobre F el polinomio p ( x ) = y o y x + , + + , '+
... yr- x r - xr. Supongamos,
ademas, que V como mddulo (de acuerdo con lo antes descrito). es un mddulo
ciclico (es decir, es ciclico respecto a T ) . Entonces hay una base de V sobre F
tat que, en esta base, la matriz de T es
Prueba. Como V es ciclico respecto a T , existe un vector r en V tal que
todo elemento w en Ves de la forma w = 13f(T) para alglin,f(x) en F [ x ] .
Ahora bien, si para algun polinomio s ( x ) en F [ x ] , v s ( T ) = 0,entonces
para cualquier w en V, w s ( T ) = ( ~ l f ' ( T ) ) s ( T= l l s ( T ) j ' ( T ) = 0;luego s ( T )
)
aniquila a todo V y, por tan@, s ( T ) = 0 Pero entonces p ( x ) l s ( x ) ya que
.
p ( x ) es el polinomio minimo de T . Esta observacion implica de inmediato
que v, vT, c T * , ..., pTr- son linealmente independientes sobre F, pues si
'
asi no fuera, entonces a, r + a , P T + . .. + a r - , v T ' - = 0 con a,, .. ., ar- ,
en F. Pero entonces u(a, + a , T + . . . + a r - , T r - ') = 0,y de aqui, seglin la
anterior discusion, p(x)l (*,+a, x + . .. + a r - , x r - I ) , lo que es imposible
ya que p ( x ) es de grado r salvo si a, = a , = .. . = a,-, = 0.
Como T' = - yo- y , T - ... I- y r - , T r - I , es inmediato que Tr+', para
k >, 0,es una combinacion lineal de I, T , ..., T r - ' y, por tanto, que f ( T )
para cualquier f ( x ) F [ x ] , es una combinacion lineal de I, T , ..., T r -
~ '
sobre F. Como cualquier w en V es de la forma w = vf(T) tenemos que w es
una combinacion lineal de v, 17T, . .., v T r - I .
Hemos probado, en 10s liltimos dos parrafos, que 10s elementos u, vT, ...,
z l r - ' forman una base de V sobre F. En esta base, como puede verificarse de
inmediato, la matriz de T es exactamente como afirmibamos.

307. 5 7. FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL 306
D E F I N I C ISi Nf(x) = yo+ y1 X +
~ . ... +y,-, xr-' +xr esth en F[x]
entonces la matriz r x r
se llama matriz compaiiera de f (x). La representamos por CCf(x)).
N6tese que el lema 6.13 dice que si V es ciclico respecto a T y si el
polinomio minimo de T en F[x] es p(x), entonces para alguna base de V la
matriz de T es C(p(x)).
Nbtese, ademis que la rnatriz C(f(x)), para cualquier polinomio mdnico
f (x) en F[x], satisface f (x) y tiene a f (x) como su polinomio minimo. (Vbase
el problema 4 a1 final de esta seccidn; vbase tarnbibn el problema 29 a1 final
de la secci6n 1.)
Probamos ahora un importantisimo teorema.
TEOREMA Si T en A,(V) tiene un polinomio minimo p(x)= q(x)',
6.~.
donde q(x) es un polinomio mdnico irreducible en F[x], entonces puede
encontrarse una base de V sobre Fen que la matriz de T sea de la forma
dondee = el > e, ... > e,.
Prueba. Puesto que V como modulo sobre F[x] esta finitarnente
generado, y como F[x] es euclidiano, podemos descomponer V como
V = V, @ ... @ V, donde.10~Vi son m6dulos ciclicos. Los Vi son, entonces,
invariantes bajo T; si Ti es la transformaci6n lineal inducida por T sobre V,,
su polinomio minimo debe ser un divisor de p(x) = q(x)', luego de la forma
q ( ~ ) Podemos reordenar 10s espacios de forma que el 2 e, 5 ... 2 e,.
~.
Ahora bien, q(T)" aniquila a cada Vi, de donde suprime a V, de donde
q(T)"= 0 Luego el > e; como el es claramente cuando mas igual a e,
.
tenemos que el = e.
Se&n el lema 6.13, como cada Vi es ciclico respecto a T podemos en-
contrar una base tal que la matriz de la transformaci6n lineal de T, sobre V,

308. 306 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
es C(q(x)".) Asi pues, segim el teorema 6.n, podemos encontrar una base d e
V tal que la matriz de Ten esta base es
COROLARIO. en A F ( V )tiene el polinomio minimo p(x) = q , (x)" ...
Si T
qk(x)Iksobre F, donde q , ( x ) ,. .., q k ( x )son polinomios irreducibles distintos
en F[x],entonces puede enconrrarse una base de V en la que la marriz de T sea
de laforma
donde cada
Prueba. Por el teorema 6.1, V puede ser descompuesto en la suma
directa V = V ,$ ... $ V,, donde cada Vi es invariante bajo T y donde el
polinomio rninimo de T i , la transforrnacion lineal inducida por T sobre V i ,
es qi(x)". Usando el lema 6.7 y el teorema anterior, obtenemos el corolario.
Si el grado de qi(x) es d,, notese que la suma de todos 10s dieij es n, la
dimension de V sobre F.
D E F I N I C ILaNmatriz de T en el enunciado del corolario anterior se
~ .
llama forma candnica racional de T.
D E F I N I C ILOS.polinomios q,(x)"', q , (e)'12,..., q, (x)'~",..,q,(x)'*',
~N .
..., qk(x)"'" en F[x]se llaman divisores elementales de T.
iUna definition mhs!

309. 5 7. FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL 307
DEFINICION. Si dimF(V ) = n, entonces el polinomio caracteristico de T,
pT(x),es el producto de sus divisores elementales.
Podremos identificar el polinomio caracteristico que acabamos de
definir con otro polinomio que construiremosexplicitamente en la secci6n 9.
El polinomio caracteristicode Tes un polinomio de grado n que se encuentra
en F[x]. Tiene muchas propiedades importantes, una de las cuales es la
contenida en la siguiente
OBSERVAC~ON. transformacidn lineal T e A F ( V ) satisface a su
Toda
polinomio caracteristico. Toda raiz caracteristica de T es una raiz de pT(x).
Nota 1. La primera parte de la anterior observacion es el enunciado
de un teorema muy famoso, el reorema de Cayley-Hamilton. Pero llamarlo
asi en la forma en que lo hemos expuesto resultaria un poco abusivo. El
meollo del teorema de Cayley-Hamilton es el hecho de que T satisface pT(x)
cuando a pT(x) se le da una forma concreta muy particular, fhcilmente
construible partiendo de T. Pero incluso en la forma en que aparece, la
observacion tiene un contenido bastante interesante, pues como el polinomio
caracteristico es un polinomio de grado n, hemos probado que todo elemento
de A F ( V )satisface un polinomio de grado n que se encuentra en F[x].Hasta
ahora, solo habiamos probado esto (en el teorema 6. k) para transformaciones
lineales que tenian todas sus raices caracteristicas en F.
Nota 2. Tal como esta formulada, la segunda parte no dice nada, pues
siempre que T satisface un polinomio, entonces toda raiz caracteristica de T
satisface ese mismo polinomio; asi pues, p T ( x ) no seria nada especial si lo
que se enuncia en el teorema fuera todo lo que es valido en 61. Pero la
historia real es la siguiente: Toda raiz caracteristica de T es una raiz &
pT(x), y reciprocamente, toda raiz de pT(x) es una raiz caracteristica de T ;
ademas, la multiplicidad de cualquier raiz de pT(x),como una raiz del polino-
mio, es igual a su multiplicidad como raiz caructeristica de T. Podriamos
probar lo dicho ahora, pero diferimos la prueba hasta mhs tarde, cuando
seamos capaces de hacerla de una forma mas natural.
Prueba de la observacrdn. Solamente tenemos que demostrar que T
satisface a pT(x), pero esto es casi trivial. Como pT(x) es el producto de
ql(x)CI1, 1 ( ~ ) C ...,,qk(x)ckl, y como e l l = e , , e l l = e l , ...,ekl = e,,
q 12 ...,
pT(x) es divisible por p(x) = q , (e)"'. . . q,(x)'*, el polinomio minimo de T.
Como p ( T ) = 0 se sigue que p T ( T ) = 0.
Hemos llamado a1 conjunto de 10s polinomios que aparecen en la forma
racional can6nica de T 10s divisores elementales de T. Seria muy conveniente
que Cstos determinasen una semejanza en A F ( V ) , pues entonces las clases
de semejanza en A F ( V ) estarian en una correspondencia biyejctiva con

310. 308 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
conjuntos de polinomios en F[x].Nos proponemos hacer esto, per0 primer0
establecemos un resultado que implica que dos transformaciones lineales
tienen 10s mismos divisores elementales.
TEOREMA Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F y supongamos
6.R.
que $ es un isomorfismo de. espacios uectoriales de V sobre W . Supon-
gamos que S E AF( V) y T E AF ( W )son tales que para cualquier U E V ( U S $ =
, )
(r$) T.) Entonces S y T tienen 10s mismos divisores elementales.
Prueba. Comenzamos con un simple chlculo. Si U E V, entonces (vS2) = $
((cS)S ) $ = ( ( r S ) $ )T = ((c$) T )T = (u$) T 2 . ES claro que continuando
anilogo proceso tendremos que (vSm)$= (v$)Tm para cualquier entero
*
m k 0, de donde para cualquier polinomio f ( x ) ~ F [ xy]para cualquier V E V
( ~ : f ( S ) )= (v*lf( T).
Si f ( S ) = 0, entonces ( v $ ) f ( T ) = 0 para cualquier U E V y coma $
,
transforma V sobre W tendriamos que W f ( T ) = (0). a consecuencia de lo
cual f ( T ) = 0. Reciprocamente, si g ( x )F[x]es tal que g ( T ) = 0, entonces
~
para cualquier r e V (l.g(S)$ = 0 y como JI es un isomorfismo, esto nos dice
,
que [g(S) ='O. Esto desde luego implica que g ( S ) = 0. Asi pues, S y T
satisfacen el mismo conjunto de polinomios en F[x], donde deben tener el
de
mismo polinomio minimo
donde q , (x), ...,q k ( x ) polinomios irreducibles distintos en F[x].
son
Si U es un subespacio de V invariante bajo S, entonces U$ es un sub-
espacio de W invariante bajo T , pues (U$)T = (US)$ c U$, Como U y
U$ son isomorfos, el polinomio minimo de S , , la transformation lineal
inducida por S sobre U es la misma, de acuerdo con las observaciones
anteriores que el polinomio minimo de T I ,la transformacidn lineal inducida
spbre U$ por T.
Ahora bien, como el polinomio minimo para S sobre V es p(x) =
q , (x)" ... q , ( ~ ) ' ~ ,
como hemos visto en el teorema 6.q y su corolario,
podemos tomar como el primer divisor elemental de S a1 polinomio 9 , (x)C1
y podemos encontrar un subespacio de V, de V que es invariante bajo S tal
que :
I ) V = V, @ M donde M es invariante bajo S ;
2) 10s unicos divisores elementales de S , , la transformaci6n lineal
inducida sobre V, por S, esq, (x)C1
;
3) 10s otros divisores elementales de S son 10s de la transformaci6n
lineal S2 inducida por S sobre M.
Combinamos ahora las afirmaciones hechas anteriormente y afirmamos:
1 ) W = W ,8N donde W , = V, $ y N = M$ son invariantes bajo T.

311. 5 7. FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL 309
2) El unico divisor elemental de T,, la transformacion lineal inducida
-
por T sobre W, es q, (x)" (que es un dirisor elemental de T ya que
el polinomio minimo de T es p(x) = q, (x)" ... q,(x)'").
3) Los otros divisores elementales de T son 10s de la transformaci6n
lineal T, inducida por T sobre N.
Como N = M$, M y N son espacios vectoriales isomorfos sobre F bajo
el isomorfismo $, inducido por $. Ademas, si U E M entonces (US,)$, =
(US)$ = (u$) T = (u$,) T,, de donde S, y T, estan en la misma relacion
con respecto a $ que S y T estaban respecto a $. Por induccion sobre la
,
dimension (o repitiendo el argumento) S, y T, tienen 10s mismos divisores
elementales. Pero como 10s divisores elementales de S son simplemente
q1(x)'' y 10s de S, mientras que 10s de T son simplemente q, (x)" y 10s de
T,, S y T deben tener 10s mismos divisores elementales, probando con ello
el teorema.
El teorema 6.q y su corolario nos dieron la forma canonica racional
y 10s divisores elementales. Nos gustaria apurar un poco mas la situacion y
ser capaces de afirmar alguna propiedad de unicidad. Es lo que hacemos en el
TEOREMA LOSelementos S y T en A,( Y) ion semejantes (en A , V))
6.s. (
si y sblo si tienen 10s misnlos dirisores elementales.
Prueba. Probar esto es sencillo en una direccibn, pues supongamos
que S y T tienen 10s mismos divisores elementales. Entonces hay dos bases
de Y sobre F tales que la matriz de Sen la primera base es igual a la matriz de
T en la segunda (y cada una de ellas igual a la matriz de forma racional
canonica). Pero como ya hemos visto varias veces antes, esto implica que
S y T son semejantes.
Vamos ahora a ir en la otra direccion. Tambien aqui el argumento se
asemeja estrechamente al usado en la seccion 5 en la prueba del teorema 6.m.
Como alli fuimos muy cuidadosos con todos 10s detalles, creemos que aqui
podemos permitirnos ser un poco mas esquemkicos.
Observemos primero que en vista del teorema 6.n, podemos limitarnos
al caso de la transformacion lineal cuyo polinomio minimo es una potencia
de un polinomio irreducible. Asi pues, sin perdida de generalidad podemos
suponer que el polinomio minimo de T es q(x)' donde q(x) es irreducible
en F [ x ]y de grado d
La forma canonica racional nos dice que podemos descomponer Yen la
forma V = V , @ ...@ Vr donde 10s subespacios V i son invariantes bajo T
y donde la transformacion lineal inducida por 7 sobre V i tiene como matriz
C(q(xYi),la matriz compafiera de q(.u)". Suponemos que lo que realmente
estamos intentando probar es lo siguiente: si V = U, @U,@ ... @Us donde
10s Uj son invariantes bajo T y donde la transformacion lined inducida

312. 310 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
por T sobre Uj tiene como matriz C(q(x)/j), f l 2 f22 .. . 2 1;. entonces
r = s y e l = f,,el = ,/;, ..,,e, = f,. (Pruebese que la demostracion de
esto es equivalente a la demostracion del teorema.)
Supongamos entonces que tenemos las dos descomposiciones arriba
descritas, V = V, $ . .. $ V, y V = U I Q . .. @U, y que algun ei ff J;.
Entonces hay un primer entero m tal que em # ,fm mientras que e, = f,, .. .,
,
em- = f m - , . Podemos suponer que em>.fm.
Ahora bien, g(T)Im suprime Urn,Urn+, . .., U ,de donde
, ,
Pero se puede demostrar que la dimensi6n de uiq(T)/" para i , < m es
d(J.- fm) (iprudbese!), de donde
Por otra parte, V ~ ( T3) V, q(T)lm@ . . $ . . . @ V , ~ ( T ) ~ " 'y como
~ ~ ,
Viq(T)fmtiene dimension d(ei- fm) para i < m, tenemos que
Como e, = f , , ..., ern-, = f m - , y em>fm esto contradice la igualdad antes
probada. Hemos, pues, probado el teorema.
COROLARIO Supongarnos que las dos matrices A y Ben Fnson semejantes
1.
en Kn donde K es una extensia'n de F. Entonces A y B son ya semejantes en Fn.
Prueba. Supongamos que A, BEF, son tales que B = C - 'AC con
CEK,. Consideramos a Kn como si actuara sobre K'"', el espacio vectorial
de n-tuples sobre K. Asi pues, F'"' esth contenido en K'"' y aunque es un
espacio vectorial sobre F no es un espacio vectorial sobre K. La imagen de
F'"', en K'"', bajo C no necesariamente incidira de nueclo en F'"' per0 en
cualquier caso F'"'C es un subconjunto de K'"' que es un espacio cectorial
sobre F (pruebese). Sea V el espacio vectorial F'"' sobre F, W el espacio
vectorial F'"'C sobre F y para ~ E sea r$ = LC.Ahora bien, A E A ~ y
V (V)
&A,( W ) y para cualquier V, (rA)G = rAC = rCB = ( r $ ) B, de donde
las condiciones del teorema 6.r se satisfacen. Asi pues, A y B tienen 10s
mismos divisores elementales; de acuerdo con el teorema 6.s, A y B deben
ser semejantes en F,.
Una palabra de advertencia: el corolario no afirma que si A, BEF, son
tales que B = C - ' AC son CEKn entonces C debe necesariamente estar en
Fn;esto es falso. Lo que afirma simplemente es que si A, BEF, son tales que
B = C - 'AC con CEK,, entonces existe un DEFn(posiblemente diferente a
C) tal que B = D- 'AD.

313. 5 7. FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL ' 311
Problemas -
1. Verifiquese que V se hace un F[x] modulo bajo la definition dada.
2. En la prueba del teorema 6.s proporcionense demostraciones com-
pletas de todos 10s puntos en que se sefiala (prukbese).
*3. a) PruCbese que toda raiz del polinomio caracteristico de T es una
raiz caracteristica de T.
b) PruCbese que la multiplicidad de cualquier raiz de p,(x) es
igual a su multiplicidad como una raiz caracteristica de T.
4. Pruebese que para f(x)€F[x], C(f(x)) satisface f(x) y tiene a f(x)
como su polinomio minimo. iCual es su polinomio caracteristico?
5. Si F es el campo de 10s numeros racionales, encukntrense todas las
formas canonicas racionales posiblzs y todos 10s divisores elementales para:
a) Las matrices 6 x 6 en F que tienen (x- 1) (x2+ 1)' como poli-
,
nomio minimo.
b) Las matrices 15 x 15 en F,, que tienen (x2+ X + 1)' (x3+ 2)'
como polinomio minimo.
c) Las matrices 10 x 10 en F,, 'que tienen (x2+ 1)' (x3+ 1) como
polinomio minimo.
6. a) Si K es una extension de F y si A esta en K,, pruCbese que A puede
.
escribirse como A = 1 , A , + ... + I , A , , donde A , , .., A, estiin
en F, y donde A,, ..., 1 , estan en K y son linealmente indepen-
dientes sobre F.
b) Con igual notacion que en la parte (a), pruCbese que si BEF, es
tal que AB = 0 entonces A , B = A , B = ... = A,B = 0.
c) Si C en F, conmuta con A pruCbese que C conmuta con cada uno
de 10s A , , A , , ..., A,.
*7,. Si A , , ..., A, esthn en F, y son tales que para ciertos I , , ..., I , en K ,
una extension de F, 1 , A , + ... + I k A k es invertible en K,, prutbese que
si F tiene un nzimero injinito de elemenros podemos encontrar a , , ..., a, en F
tales que a , A , + ... + a , A, es invertible en F,,.
*8. Si F es un campojinito, pruCbese que el resultado del problema 7 es
falso.
*9: Usando 10s resultados de 10s problemas 6 (a) y 7, pruCbese que si F
tiene un numero infinito de elementos entonces siempre que A, BEF, son
semejantes en K,,, donde K es una extension de F, entonces son semejantes
en F,,. (Esto nos da una prueba, independiente de las formas canonicas del
corolario 1 a1 teorema 6.s en el caso particular en que F es un campo
infinito.)

314. 31 2 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
10. Usando chlculos con matrices (pero siguiendo 10s lineamientos
marcados en el problema 9), pruebese que si F es el campo de 10s numeros
reales y K el de 10s nGmeros complejos, entonces dos elementos en F, que
son semejantes en K, son ya semejantes en F,.
8. TRAZA Y TRANSPUESTA
Desputs de la dificultosa marcha en las liltimas secciones, la falta de
complicaciones del material sobre el que ahora vamos a tratar va a llegarnos
como un agiadable respiro.
Sea F un 'camp0 y A una matriz en Fn.
D E F I N I C I ~ Nfraza de A es la suma de 10s elementos de la diagonal
La .
principal de A.
Representaremos a la traza de A por tr A; si A = (zij), entonces
n
Las propiedades fundamentales de la funcion traza estan contenidas en el
6.14. Para A, BEFnJ. ;E F.
LEMA .
I ) tr (;.A) = i. tr A;
2) tr (A+B) = tr A+tr B;
3) tr (AB) = tr (BA).
Prrreba. Establecer ( I ) y (2) (que aseguran que la traza es una funcional
lineal en Fn)es sencillo y se deja como' ejercicio para el lector. Solamente
presentamos la prueba de la parte (3) del lema.
Si A = (2,) y B= (fiij). entonces ne = (yij) donde 'iij = aspkj Y
k= 1
B = (lrij) donde pi, =
A x
n
k= 1
Bikzkj.
Asi pues. (AB) = X y i i =
i
xi
; si intercambiamos el orden de
sumaci6n en la ultima suma, tenemos

315. 5 8. TRAZA Y TRANSPUESTA 313
Prueba. Sea B = CA-I; entonces tr (ACA-I) = tr (AB) = tr (BA) =
tr (CA-'A) = tr C.
Este corolario es importante por dos razones; primere, nos permitira
definir la traza de una transformacidn lineal arbitraria; segundo, nos
permitiri encontrar una expresi6n alternativa para la traza de A.
DEFINICI~N. Si TEA(V) entonces tr T, la tram de T, es la traza de
m , (T) donde m, (T) es la matriz de Ten una base cualquiera de V.
Afirmamos que la definici6n tiene sentido y depende solamente de T y no
de cual sea la base de V que se emplee. En efecto, si m , ( T ) y m,(T) son
matrices semejantes, entonces, segun el corolario al lema 6.14, ambas
tienen la misma traza.
LEMA6.1 5. Si TEA ( V), er1tonce.v tr T es la slrrna de las raices caracteri ti-
d
cas de T (usando-cada raiz caracteristica tantas 1-eces como su niultiplicid d ) .
Prueha.' Podemos suponer que T es una matriz en F, ; si K es el campo
de descomposici6n para el polinomio mininio de Tsobre F. entonces en K,,
por el teorema 6.p, T puede llevarse a su forma de Jordan, J. J es una
matriz sobre cuya diagonal aparecen las raices caracteristicas de T, cada
raiz que aparece tantas veces como unidades tiene su multiplicidad. Asi
pues, tr J = suma de las raices caracteristicas de T; per0 como J es de la
forma ATA-I, tr J = tr T, y esto prueba el lema.
Si T es nilpotente, entonces todas sus raices caracteristicas son 0, de
donde, de acuerdo con el lema 6.15, tr T = 0 Pero si T es nilpotente,
.
..
entonces tambiCn lo son T2, T3, .. luego tr Ti = 0 para todo i 2 1.
jY quC podemos decir en la otra direction, es decir, si tr Ti = 0, para
i = 1, 2, ...?, jse sigue de ello que T es nilpotente? Con esta generalidad
la contestaci6n es no, pues si F es un campo de caracteristica 2, entonces la
matriz unidad
+
en F2tiene traza 0 (pues I I = 0)al igual que todas sus potencias. per0 es
claro que la matriz unidad no es nilpotente. Pero si restringimos la
caracteristica de F a 0,el resultado es verdaderamente cierto.
LEMA6.16. Si F es un campo de caracteristica 0 y si TcAF(V ) es fa1 que
tr T'= 0 para totlo i 2 I . entonces T es nilpotente.

316. 314 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Prueba. Como TEA,(V), T satisface alglin polinomio minimo p(x) =
x"'+a,xm-I+ ... + a r n ;comoTm+z,Tm-I+... +a,-, T+z, = 0, tomando
trazas de ambos lados, tenemos
tr T m + a , tr T m - ' + ... +a,-, tr T+trz, = 0.
Pero por hipotesis, tr Ti = 0 para i 2 I, luego tenemos tr a, = 0; si
dim V = n, tr a, = na,, de donde na, = 0. Pero la caracteristica de F es 0;
luego n # 0, de donde se sigue que a, = 0. Como el termino constante del
polinomio minimo de Tes 0, por el teorema 6.b Tes singular y por tanto 0 es
una raiz caracteristica de T.
Podemos considerar a T como una matriz en F, y, por tanto, tambikn
como una matriz en K,, donde Kes una extension de Fque, a su vez, contiene
todas las raices caracceristicas de T. En K,, seglin el teorema 6.j, podemos
poner T en forma triangular, y como 0 es una raiz caracteristica de T,
podemos realmente llevarla a la forma
donde
es una matriz (n- I) x (n- I) (10s * indican partes en cuyas entradas no
estamos interesados). Ahora
de donde 0 = tr Tk = tr TZk.Luego T , es una matriz (n - I ) x (n- I ) con
la propiedad de que tr TZk= 0 para todo k 2 1. 0 bien usando induccion
sobre n, o repitiendo el argument0 sobre T, que usamos para T, tenemos,
como a,, . . ., a, son las raices caracteristicas de T,, que a, = .,. = an = 0.
Luego cuando T se pone en forma triangular todas sus entradas en la
diagonal principal son 0, lo que implica que T sea nilpotente (prukbese).
Este lema, aunque pueda parecer particular, nos servirh en una gran
cantidad de casos. Hacemos uso inmediato de CI para probar un resultado
usualmente conocido como el lema de Jacobson.

317. 5 8. TRAZA Y TRANSPUESTA 315
LEMA 6.17. Si F es de caracteristica 0 y si S y T, de A,(V), son tales que .
ST- T S conmuta con S, entonces ST- TS es nilpotente.
Prueba. Para cualquier k >, I, calculamos (ST-TS)'. Ahora bien,
'
(ST- TS)' = (ST- TS)'- (ST- T S ) = (ST- TS)k- ST-(ST- TS)'- TS. '
'
Como ST- TS conmuta con S, el termino (ST- TS)k- ST puede escribirse
en la forma S((ST- TSlk- I ) T. Si hacemos B = (ST- TS)k- T vemos que '
(ST- TS)k = SB- BS; de donde tr ((ST- T S ) k )= tr (SB- BS) = tr (SB)-
tr (BS) = 0 seglin el lema 6.14. El lema anterior nos dice ahora que ST- T S
debe ser nilpotente.
La traza nos provee de una funcional lineal sobre Fn (y, por tanto,
sobre A,( V)) en F, extremadamente litil. lntroducimos ahora una impor-
tante transformaci6n de Fnen si mismo.
DEFINICION.A = ( a i j ) €Fn,entonces la transpuesta de A, escrita como
Si
A', es la matriz A' = ( y i j ) donde y i j = a j i para todas las i y j.
La transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiahdo 10s
renglones de A con las columnas de A. Las propiedades formales basicas de
la transpuesta, estan contenidas en
LEMA 6.18. Para cualesquiera A, BEF, ,
1 ) (A')' = A ;
2) ( A + B)' = A'+ B ' ;
3 ) (AB)' = B'A'.
Prueba. Laspruebas de las partes (I) y (2) son muy sencillas y se dejan
como ejercicio para el lector; nos contentamos nosotros con la prueba de la
parte (3).
Supongamos que A = ( a i j ) y B = ( B i j ) ; entonces AB = (Aij) donde
n
Por tanto, por definition, (AB)' = ( p i j ) , donde p i j = ,Iji =
k=l
1 ajkPki.
Por otra parte, A' = ( y i j ) donde y i j = a j i y B' = ( t i j ) donde t i j =p j i ,
n n n
de donde el elemento (i, j ) de B'A' es 1 t i k y k j = 1 Pkia
k= 1 k= l
jk = 1 a,ikPki=
k= I
p i j . Es decir, (AB)' = B'A', con lo que hemos verificado la parte (3)del lema.
En la parte (3), si nos fijamos en el caso particular en que A; = B,
obtenemos ( A 2 ) ' = (A')'. Continuando obtenemos (Ak)' = (A')k para todo
entero positivo k. Cuando A es invertible, entonces ( A - I ) ' = (A_')- l .

318. 316 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Existe otra propiedad de la transpuesta, a sab_er, si ;.EF entonces (;.A)' =
AA' para toda AEF,,. Ahora bien, si AEF, satisface un polinomio r O A m +
+
a, A m - ' ... +rm 0, obtenemos ( r o A m +... +rm)' = 0' = 0. Calculando
=
+ +
explicitamente ( r oAm ... r,)' usando las propiedades de la transpuesta,
obtenemos ao(A ')"+a, (A1)"-' + ... +rm 0, es decir, A' satisface
=
cualquier polinomio sobre F al que satisfaga A. Como A = (A')', por el
mismo razonamiento, A satisface cualquier polinomio sobre F a que 1
satisfaga A'. En particular, A y A' tiene el mismo polinomio minimo
sobre F y, por tanto, tienen las misr?ias raices caracteristicas. Puede de-
mostrarse que todas las raices tienen la misma multiplicidad en A que en A'.
Esto es evidente una vez que se establece que A y A' son realmente semejantes
(vCase el problema 14).
D E F I N I C ILaN .
~ matriz A se dice que es una matriz sir~iPtricasi A' = A.
DEFINIC~~N.
La matriz A se dice que es una matriz antisir?i&trica si
A' = -A.
0
Cuando la caracteristica de F es 2, como I = - I. no podemos distinguir
entre matrices simetricas y antisimetricas. Para lo q~re resta de esta seccidn,
conrenkios de uria rez por todas que la caracteristica de F es dijkrente de 2.
Tenemos procedimientos muy sencillos para producir matrices simetricas
y matrices antisimetricas. Por ejemplo, si A es una matriz arbitraria,
entonces A + A' es simttrica y A - A ' es antisimetrica. Si pensamos que
A = f(A+A')+f(A-A'), vemos que toda matriz resulta ser la suma de
una matriz simdtrica y otra antisimetrica. Esta descomposici6n es ~inica
(vtase el problema 19). Otro metodo de producir matrices simttricas es el
que sigue: s i A es una matriz arbitraria, entonces tanto AA' como A'A son
simttricas. (N6tese que no tienen porqut ser iguales.)
Esth en la naturaleza de todo matemhtico que, una vez que s ha dado
e
un concepto interesante surgido de una situaci6n particular, ha de intentar
despojarlo de las particularidades de su origen y emplear las propiedades
claves del concepto como medio de hacerlo mhs abstracto. Procedemos a
seguir tal camino con la transpuesta. Tomamos, como propiedades formales
de mayor interes, aquellas que aparecen en el enunciado del lema 6.18 que
afirma que sobre F, la transpuesta define un antiautomorfismo de period0 2.
,
Nos lleva esto a la siguiente
D E F I N ~ CUna N .
~ ~ aplicacion de F, en F se llama adjunta sobre F, si
, , ,
I ) (A*)* = A;
3) (A+B)* = A*+B*;
3) (AB)* = B*A*;
para cualesquiera A, BEF .
n

319. 18. TRAZA Y TRANSPUESTA 317
Notese en que no insistimos en que ().A)* = ;.A* para I E En realidad,
F.
en algunas de las adjuntas mas interesantes este no es el caso. Pasamos a
discutir una tal. Sea F el campo de 10s numeros complejos; para A =
( r i j ) € sea A* = y i j ) donde y i j = ? i j i , el conjugado complejo de scij. En
F,,,
este caso * suele llanlarse adjunta liermitiana sobre F,,. Dentro de unas pocas
secciones haremos u n estudio bastante extensivo de las matrices bajo la
adjunta hermitiana.
Todo lo que hemos dicho acerca de la transpuesta como, por ejemplo,
10s conceptos de simetria y antisimetria, puede ser aplicado a las adjuntas
generales, y hablamos de elementos simetricos bajo * (es decir. de aquellos
A tales que A* = A), de elementos antisimetricos bajo *, etc. En 10s ejercicios
del final de esta seccion, hay muchos ejemplos y problemas que se refieren a
adjuntas en general.
Pero ahora, como diversion, juguemos un poco con la adjunta hermitiana.
No llamamos a nada de lo que obtenemos un teorema, no porque no se.
merezcan tal titulo, sino mas bien porque 10s volveremos a hacer mas tarde
(y 10s designaremos entonces propiamente) partiendo de un punto de vista
central.
Asi pues, supongamos que F es el campo de 10s numeros complejos y
que la adjunta * sobre F,, es la adjunta hermitiana. La matriz A se llama
hermitiana si A" = A.
Primera observacihn: si A # OEF,, entonces tr(AA*)>O. Segunda
observacion : Como una consecuencia de la primera observacion, si A, , ...,
A,EF,, y si A l A l * + A 2 A 2 * + ... +A,A,* = 0, entonces A, = A, = ... - -
A, = 0. Tercera observacion: Si 1. es una matriz escalar, entonces I* = A.
el conjugado complejo de 1..
Supongamos que AE F,, es hermitiana y que el numero complejo %+Pi.
donde sc y p son reales e i 2 = - I , es una raiz caracteristica de A. Tenemos,
pues, que A - (sc + Pi) no es invertible; pero entonces (A -(sc +Pi)) (A -
(%-Pi)) = (A -2)' + P 2 no es invertible. Pero si una matriz es singular
debe eliminar una matriz distinta de cero (teorema 6.b, corolario 2). Debe
haber, por tanto, una matriz C # 0 tal que C ( ( A - C X ) ~ + = ~ ) Multipli-
P 0.
camos esto a la derecha por C* y obtenemos:
C(A - r)' C* + P2 CC* = 0.
Sea D = C(A - 9 ) y E = PC. Como A* = Ayr es real, C(A - r ) ' C * =
D D * ; como es real, P2CC* = EE*. Luego la ecuacion ( I ) toma la forma
D D * + EE* = 0 ; por las observaciones antes hechas esto implica D = 0 y
E = 0. Solamente vamos a usar la relacion E = 0. Como 0 = E = PC y
como C # 0, debemos tener P = 0. ;Qut es exactamente lo que hemos
probado? En realidad, hemos probado el bello e importanre resultado de
que si Lrn nlitnero cotnplqjo . es una raiz caracteristica de una matriz liermitiana.
;
entonces . debe ser real. Aprovechando las propiedades del campo de 10s
;

320. 318 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
n~imeros complejos se puede, realmente, reformular esto como sigue:
Las raices caracteristicas de una matriz hermitiana son, todas, reales.
Continuamos con esta vena un poco mAs adelante. Para A E F , , sea
B = A A * ; B es una matriz hermitiana. Si el nlimero real a es una raiz
caracteristica de B, ipuede a ser un numero real arbitrario o debe estar
restringido de algun modo? Afirmamos que a debe ser no negativo. Pues
si a fuera negativo entonces a = - P 2 , donde P es un numero real. Pero
entonces B-a = B+P' = AA*+P' no es invertible, de donde hay un
C # 0 tat que C ( A A * + P 2 ) = 0. Multiplicando por C * a la derecha y
razonando como anteriormente, tenemos p = 0, una contradiccion. Hemos
demostrado que cualquier raiz caracteristica real de AA* debe ser no
negativa. En realidad, lo de "real" en la anterior afirmacion es supeduo y
podriamos decir: para cualquier A E F , todas las raices caracteristicas de
AA* son no negativas.
Problemas
1. PruCbese que tr ( A + B ) = tr A +tr B y que para AEF, tr (AA) =
A tr A.
2. a ) Usando un argument0 basado en la traza pruebese que si la
caracteristica de F es 0 entonces es imposible encontrar A, BEF,
tales que AB- BA = 1.
6 ) En la parte (a), pruebese que en realidad 1 - ( A B - BA) no puede
ser nilpotente.
3. a ) Sea f una funcion definida sobre F,, con valores en F tales que:
1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) ,
2 ) f ( W = Af(A),
3 ) f ( A B ) = f(BA),
para todo A, BEF,, y para todo AEF. Prutbese que hay un
elemento a , ~ F t a lque f ( A ) = a, tr A para todo A en F,.
6 ) Si la caracteristica de F es 0 y si la f de la parte ( a ) satisface la
propiedad adicional de que f ( l ) = n, pruibese que f ( A ) = tr A
para todo A E F,,.
Notese que el problema 3 caracteriza la funci6n "traza".
*4. a ) Si el campo F tiene un numero infinito de elementos, pruebese
que todo elemento en F, puede escribirse como la suma de
matrices regulares.
6 ) Si F tiene un numero infinito de elementos y sif, definido sobre F,
y con sus valores en F, satisface
1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) ,
2 ) f ( W = Af(A),
3) f ( B A B - = f(All

321. 18. TRAZA Y TRANSPUESTA 31 9
para toda AEF,, I,E y todo elemento invertible Ben F,, pruebese
F -
determinado y toda AEF,.
que f ( A ) = a, tr A para un ~ , E F
5. Pruebese que el lema de Jacobson para elementos A, B en F, si n es
menor que la caracteristica de F.
6. a) Si CEF,, definamos la aplicacion dc sobre F, por d,(X) =
XC- CX para coda XEF,. Pruebese que dc(XY) = (dc(X))Y+
X(dc(Y)). (;No le recuerda esto al lector la derivada?)
6) Usando la parte (a), pruebese que si AB- BA conmuta con A,
entonces para cualquier polinomio q ( x ) ~ F [ x q(A)B- Bq(A) =
],
q'(A) (AB- BA), donde q l ( x )es la derivada de q(x).
*7. osese la parte (6) del problema 6 para dar una prueba del lema de
Jacobson. (Sugerencia: Sea p(x) el polinomio minimo para A y co~~siderese
0 = p(A)B - Bp(A).)
8. a) Si A es una matriz triangular, pruibese que las entradas sobre la
diagonal de A son exactamente todas las raices caracteristicas de
A.
6) Si A es triangular y 10s elementos en su diagonal principal son 0,
pruibese que A es nilpotente.
9. Para cualquier A, BEF, y LEF prudbese que (A')' = A, (A + B)' =
A'+ B' y (IA)' = I A ' .
10. Si A es invertible, prutbese que ( A - I)' = (A')- '.
11. Si A es antisimttrica, prukbese que 10s elementos en su diagonal
principal son, todos, cero.
12. Si A y B son matrices simdtricas, prukbese que AB es simdtrica si y
solo si AB = BA.
13. Proporci6nese un ejemplo de una A tal que AA' # A'A.
*14. DemuCstrese que A y A' son semejantes.
15. Los elementos simktricos en F, forman un espacio vectorial;
encuentrese su dimensi6n y exhibase una de sus bases.
*16. Denotemos por S el conjunto de 10s elementos simitricos de F,;
pruebese que el subanillo de F, generado por S es, todo, F,.
*17. Si la caracteristica de F e s 0 y AEF, tiene traza 0 (tr A = 0) pruCbese
'
que hay una CEF, tal que CAC- tiene solamente 0 en su diagonal principal.
*18. Si F es de caracteristica 0 y AEF, tiene traza 0, pruCbese que existen
B, CEF, tales que A = BC-CB. (Sugerencia: Primer paso, sup6ngase,
por el resultado del problema 17, que todos 10s elementos diagonales de A
son 0.)

322. 320 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
19. a) Si * es cualquier adjunto sobre F,, sea S = {A ~ g , A* = A) y
:
sea K = {AEF,(A* = -A). Prutbese que S + K = F,.
b) Si AEF, y A = B + C donde BES y CEK, prutbese que B y C
son dnicos y determlnense.
20. a) Si A, BES prutbese que A.B+ BAES.
b) Si A, BEK prutbese que AB- BAEK.
c) Si A E S BEK pruCbese que A B - B A E S ~que AB+BAEK.
~
21. Si 4 es un automorfismo del campo F definimos la aplicacion @
sobre F por: si A = (alj) entonces @(A) = (4(aij)). Prutbese que
,
@(A+B) = @(A)+@(B) que @(AB) = @(A)@(B)para toda A, BEF,.
y
22. Si * y @ definen dos adjuntos sobre F,, prutbese que la aplicacion
$ : ~ - , ( ~ * ) @ ~ a r a t o d~ ~ ~ , , s a t i s f a c e $ ( ~ +$(A)+$(B)y$(AB) =
o = B)
$(A) $ (B) para cualesquiera A, BEF . ,
23. Si * es un adjunto cualquiera sobre F y I es una matriz escalar en
,
F,, prutbese que I * debe tambitn ser una matriz escalar.
*24. Supongamos que conocemos el siguiente teorema: si $ es un auto-
morfismo de F (es decir, $ transforma F sobre tl mismo, de tal mod0 que
, ,
+
$(A B) = $(A)+ $(B) y $(AB) = $(A)+ $(B)) tal que $(I) = I para
toda matriz escalar I , entonces hay un elemento PEF, tal que $(A) =
'
PA P- para todo A E F . Basindose en este teorema, prutbese que : si * es
,
un adjunto de F, tal que I* = I para toda matriz escalar I , entonces existe
'
una matriz PEF, tal que A* = PA'P- para to& AEF,. Ademis, P- 'P'
debe ser un escalar.
'
25. Si PEF es tal que P - P' # 0 es un escalar, prutbese que la aplicacion
,
definida por A* = PA'P-' es un adjunto sobre F,.
*26. Basindose en el teorema acerca de automorfismo enunciado en el
problema 24, prutbese lo siguiente: Si * es un adjunto sobre F hay un
,
automorfismo 4 de F de period0 2 y un elemento PEF, tales que A* =
'
P(@(A))'P- para todo A EF, (para notacion, vtase el problema 21).
'
Ademas, P, debe satisfacer P - @(P)' es un escalar.
Los problemas 24 y 26 indican que una adjunta general sobre F no ,
esti tan alejada de la transpuesta como se habria creldo a primera' vista.
**27. Si $ es un automorfismo de F, tal que $(I) = I para todos 10s
escalares, prutbese que hay un PEF, tal que $(A) = PAP-' para todo
AEF,.
En el resto de 10s problemas, F serd el campo de 10s nzimeros complejos y
* la adjunta hermitianu sobre F, .

323. 5 9. DETERMINANTES 321
28. Si AEF,, pruebese que hay matrices hermitianas 6nicas B y C tales
queA = B + ~ c( i 2 = -1).
29. PruCbese que tr A A* > 0 si A # 0.
30. Por calculo direct0 de las entradas de las matrices, pruCbese que si
A , A , * + ... + A , A,* = 0, entonces A , = A , = ...
= A, = 0.
31. Si A estl en F, y s BAA* = 0, pruebese que BA = 0.
i
32. Si AEF, es hermitiana y BA' = 0, pruCbese que BA = 0.
*33. Si A E F , es hermitiana y si 1, p son dos raices caracteristicas reales
distintas de A y si C ( A - 1 ) = 0 y D ( A -p) = 0, pruebese que C D = D C =
0. (Sugerencia: Considtrese primer0 el caso en que C y D son hermitianos y
luego apliquese el resultado del problema 31).
*34. a ) Suponiendo que todas las raices caracteristicas de la matriz
hermitiana A estan en el campo de 10s nirmeros complejos,
combinando 10s resultados de 10s problemas 32 y 33, y el hecho
de que las raices deben, por tanto, ser todas reales, y el resultado
del corolario del teorema 6.n, pruebese que A puede ser puesta en
forma diagonal; es decir, que hay una matriz P tal que PAP-'
es diagonal.
b) En la parte ( a ) prutbese que P puede escogerse de forma que
PP* = 1.
I
35. Sea V, = { A E F , AA* = 1). Prutbese que V, es un grupo bajo la
multiplicaci6n de matrices.
36. Si A conmuta con AA* - A*A, pruCbese que AA* = A*A.
9 . DETERMINANTES
La traza define una funci6n importante y irtil del anillo de las matrices
F, (y de A , ( V ) ) en F; sus propiedades se relacionan en su mayor parte con
las propiedades aditivas de las matrices. lntroduciremos ahora la funcibn,
airn mas importante, conocida como el determinante, que transforma F,
en F. Sus propiedades eSan estrechamente ligadas con las propiedades
multiplicativas de las matrices.
Aparte de su efectividad como argument0 para probar teoremas, el
determinante es valioso para usos "practicos". Dada una matriz T, podemos
construir en ttrminos de determinantes explicitos un polinomio concreto
cuyas raices son las raices caracteristicas de T; a~in mas, la multiplicidad de
una raiz de este polinomio es igual a su multiplicidad com'o raiz caracteristica
de T. En realidad, el polinomio caracteristico de T, definido anteriormente,
puede exhibirse como este polinomio determinante explicitamentel

324. 322 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Los determinantes juegan tambitn un papel fundamental en la solucion
de sistemas de ecuaciones lineales. Por esta direction es por la que
motivaremos su &finici6n.
Hay muchas formas de desarrollar la teoria de determinantes, algunas
muy elegantes y otras muy aburridas. Nosotros hemos escogido un camino
distinto del de cualquiera de estos extremos, pero que para nosotros tiene
la ventaja de que podemos alcanzar 10s resultados necesarios para nuestra
discusi6n & las transformaciones lineales con la mayor rapidez posible.
En lo que sigue, F sera un campo arbitrario, F, el anillo de las matrices
n x n sobre F, y F'")el espacio vectorial & n-adas sobre F Por una matriz
.
entenderemos dcitamente un elemento en F,,.Como es usual, las letras
griegas indicarhn elementos de F (salvo advertencia en contra).
Consideremos el sistema de ecuaciones
Nos preguntamos: ibajo quC condiciones sobre las a i j podemos resolver
para x , y x2 con 8, y 8, dadas cualesquiera? 0, lo que es equivalente, dada
la matriz
jcuindo esta matriz transforma F") sobre si mismo?
Procediendo como en secundaria, eliminamos x , entre las dos ecuaciones;
,
el criterio de solubilidad resulta, entonces, ser que a , a,, - a 1 2 a 2 , # 0.
Pasamos ahora a1 sistema de tres ecuaciones lineales
y de nuevo nos preguntamos sobre las condiciones de solubilidad para
@, ,P2 y P3 arbitrarias. Eliminando x , entre estas dos a la vez, y luego x2 de
las restantes dos ecuaciones, obtenemos como criterio de solubilidad
Usando estos dos como modelo (y con el presentimiento de que psto va
a funcionar) daremos el gran salto hasta el caso general y definiremos el
determinante de una matriz arbitraria n x n sobre F. Pero fijCmonos antes un
poco en la notacion.

325. 19. DETERMINANTES 323
Sea Snel grupo simktrico de grado n ; considerarnos que 10s elernentos
de Sn estan actuando sobre el conjunto {I, 2, ..., n ) . Para aeS,,, a(i)
denotara la imagen de i bajo a. (Carnbiarnos la notacion escribiendo la
perrnutacion corno si actuara a la izquierda en lugar de. corno previarnente, a
la derecha. Lo hacernos para facilitar la escritura de 10s subindices.) El sirnbolo
( - I)" para oeSn indica + I si o es una perrnutacion par, y - 1 . si es una
perrnutacion impar.
D E F I N I C I ~ N A = (oij), entonces el determinante de A, lo que se
Si .
escribe: det A, es el elernento de F
rcS,
.
( - I )Qz,,(l,a2,(,, .. a,,,,,
Usarernos a veces la notacion
a,, ..- @ ~ n
zn1 ... ann
para el deterrninante de la rnatriz
a,,
Notese que el deterrninante de una rnatriz A es la surna (si prescindimos,
por el mornento, de 10s signos) de todos 10s productos posibles de entradas
de A en 10s que aparezcan uno y solo uno de cada rengl6n y colurnna. En
general es una labor pesada desarrollar el deterrninante de una matriz-
fijtrnonos que hay nada menos que n! tkrrnino;; en la expansi6n-mas para
al rnenos un tipo de matriz podernos hacer este desarrollo visualmente, a
saber
LEMA 6.19. El determinante de una matriz triangular es el producto de
sus entradas en la diagonal principal.
Prueba. Ser triangular irnplica dos posibilidades, a saber, o todos 10s
elernentos por encima de la diagonal principal son 0, o todos 10s elementos
por debajo de la diagonal principal son 0. Probarernos aqui el resultado
para A de la forrna

326. 324 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
e indicaremos el pequefio cambio en el argument0 a emplear para la otra
clase de matrices triangulares.
Como a,, = 0 salvo si i = 1, en la expansion de det A j la unica con-
tribuci6n no nula viene de aquellos tkrminos donde a(]) = 1. Asi pues,
como a es una permutacion, a(2) # 1 ; pero si a(2) > 2, a,, = 0; luego,
,(,
para obtener una contribucion no nula a det A, a(2) = 2. Continuando
de esta forma, debemos tener a(i) = i para todo i, lo que es lo mismo
que decir que en la expansion de det A el unico termino distinto de cero se
presenta cuando a es el elemento identidad de S,. De aqui que la suma
de 10s ri! tdrminos se reduce a exactamente uno solo, a,, a,, ...a , que es lo
,,
que el teorema afirma.
Si A es una triangular inferior comenzamos con el extremo opuesto
probando que para una contribuci6n distinta de cero a(n) = n, luego que
a(n-1) = n-1,etc.
Algunos casos especiales son de interks:
1) Si
es diagonal, det A = All2 ... A,.
2) Si
la matriz identidad, entonces det A = 1
3) Si
la matriz escalar, entonces det A = An.

327. Obskrvese tambiin que si un rengldn o columna de una marriz esrli com-
puesta solo de ceros, entonces el determinante es 0, pues cada ttrmino del
desarrollo del determinante serh un product0 en el que a1 menos uno de 10s
factores es 0, de donde cada ttrmino es 0.
Dada la matriz A = (a,,) en F podemos considerar su primera fila
,
L', = (z, l , a,,, .. ., al,) como un vector en F'"), y antilogamente para su
segunda fila, u,, y las restantes. Podemos considerar entonces det A como
una funcion de 10s n vectores o,, ..., u,. Muchos resultados se pueden
enunciar mhs sucintamente en estos ttrmjnos, por lo que a menudo con-
sideraremos det A = d(ul, ..., 0,); en este caso la notacibn siempre se
entiende que implica que u1 es el primer rengldn, u, el segundo, y asl sucesiva-
mente, de A.
Una observaci6n miis: aunque estamos trabajando sobre un c a m p ,
podriamos sin la menor dificultad suponer que esthbamos trabajando sobre
un anillo conmutativo, except0 en las obvias ocasiones en que dividimos
por elementos. Esta observaci6n solamente vendrl a cuento cuando
discutamos determinantes de matrices que tengan entradas polinomiales, lo
que haremos dentro de poco en esta misma secci6n.
LEMA 6.20. S i AEF y y E F, entonces d(ul , ..., ui- l , yo,, v,+ ... 0,) =
,
yd(u1, ., ui- 1 , ui, U I + 1, .., 0,).
N6tese que el lema dice que si todos 10s elementos de un rengl6n de A
son multiplicados por un elemento fijo y de F, entonces el determinante
de A queda tambitn multiplicado por y.
Prueba. Como solamente las entradas de la i-tsima fila han cambiado,
, ,
el desarrollo de d(u, , ..., v,- , yo,, ui+ , ..., u,) es
como esto es igrral a y 1(-1)"
oes,
a,,(,, ... ... a,.(.), es claro que es
igual a yd(ul, ..., v,).
Antes de probar el resultado, veamos quC es lo que dice y lo que no dice.
No dice que det A+det B = det(A + B); esto es falso como puede verse en
el ejemplo
donde det A = det B = 0 mientras que det (A+ B) = 1. Dice que si A y B
son matrices iguales en 'todas partes salvo en el i-ksimo renglbn-entonces

328. 326 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
la nueva matriz obtenida de A y B usando todos 10s renglones de A except0
el i-esima. y usando como i-esimo renglon la sumz de 10s i-esimos renglones
de A y B, tiene un determinante igual a det A +det B. Si
entonces
Prltrba. Si c., = ( z , , ,...,z,,) ..... r i = (ziI,....!xi,,) I;
..... = (z,, ,...,z,,) y
si = (pi,. ..., pi,,).entonces
illi
Las propiedades que aparecen en 10s lemas 6.19. 6.20 y 6.2 1. junto con
las que aparecen en el pr6ximo lema, puede demostrarse que caracterizan
a la funcion determinante (vkase el problema 13 al final de esta seccibn).
Asi pues, la propiedad formal exhibida en el siguiente lema es basica en la
teorla de determinantes.
LEMA6.22. Si dos renglones de A son igrrales (es decir. si or =us para
r # s), entonces det A = 0.
Prueba. Sea A = (aij) y supongamos que para ciertos r, s con r # s
zrj = aSj para todo j Consideremos el desarrollo
.
det A = 1 (-
ncS.
I)"z~,,(
l) Zra(r1 zm(r)... zna(n).
En el desarrollo, apareamos 10s tkrminos como sigue: Para aeS, apareamos
el tkrmino ( - l)"z ,,,,,
... a,,,,, con el termino ( - 1): al,o,l,... a,,,,, ,,

329. donde r es la transposicion (u(r), u(s)). Como r es una transposicion y
r Z = 1, esto nos &, ciertamente, un aparejamiento. Pero como a,(,, =
as,(,,, por hipotesis, y as,(,, = a,,,(,,, tenemos que a,,(,, = a,(,,. Anlloga-
mente, as,(,, = a,,,(,, . Por otra parte, para i # r y i # s, como ru(i) = u(i),
,c
(x = air,(i,. Luego 10s tCrminos a,,(,, ...a,,(,, y a,,,(,, ... a,,(,, son
iguales. El primer0 aparece con el signo (- 1)" y el segundo con el signo
(- 1)'" en la expansion de det A. Como r es una transposici6n y por tanto
una permutation impar, ( - I)'" = -(- 1)". Por tanto, en el aparejamiento,
10s tCrminos apareados se cancelan mutuamente en la suma, de donde
det A = 0. (La prueba no depende de la caracterlstica de F y es igualmente
vhli& incluso en el caso de caracteristica 2.)
De acuerdo con 10s resultados hasta ahora obtenidos, podemos deter-
minar el efecto sobre un determinante de una matriz && de una permuta-
cion de sus renglones.
LEMA 6.23. El intercambio de dos renglones de A cambia el signo de su
determinante.
Prueba. Como hay dos renglones iguales, s e g h el lema 6.22, d(u, , ...,
01-1, Ui+uj, UI+I,..., uj-1, 17j+1,..., 0,) = 0. Usando el lema 6.21
u ~ + u j 9
varias veces po&mos desarrollar esto para obtener d(v,, ..., v,-, , v,, ...,
~ j - ~ , u..., 0,)
j, + d(u1, ..., ~ ~ - uj, , ..., ~ j - l , u i , ..-, + d(ul,...,v1-l,
1 0,)
u,, ..., uj- 01, ..., on) + ,,
d(u1, ..., 0,- uj, ..., uj- ,, uj, ..., 0,) = 0.
Pero ca& uno de 10s 6ltimos dos ttrminos tiene en tl dos renglones iguales.
de donde, seglin el lema 6.22, cada uno es 0. La anterior relacion se reduce
entonces a d(v,, ..., v,-, , u,, ..., vj-, , vj, ..., v,) + ,,
d(vl, ..., vl-
,,
uj, ..., vj- vi, ..., 0,) = 0, que es precisamente lo que el lema afirma.
COROLARIO. la matriz B se obtiene de la A mediante una permutacidn
Si
de 10s renglones de A, entonces det A = f det B, siendo el signo + 1 si la
permutacidn es par, y - 1 si la permutacidn es impar. ,
Estamos ahora !en position de unir piezas para probar la propiedad
algebraica bhsica & la funci6n determinante, a saber, que preserva 10s
productos. Como un homomorfismo de la estructura multiplicativa de F en
,
F el determinante adquirirh ciertas caractedsticas importantes.
TEOREMA Pura A, BEF , det (AB) = (det A) (det B).
6.f. ,
Prueba. Sea A = (a,,) y B = (&); Sean las filas & B 10s vectores
u, , u,, ..., u,. Introducimos 10s n vectores w, , ...,w como sigue:
,

330. 328 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Consideremos d(w,, ..., w,); desarrollando este determinante y haciendo
un uso mliltiple de 10s lemas 6.20 y 6.21, obtenemos
En esta suma mliltiple i, , ..., in van tomando independientemente todos
10s valores desde I hasta n. Pero, si cualesquiera dos i, = is entonces
u,, = ui, de donde d(ui,, ..., uic, ..., ui,, ..., urn)= 0 por el lema 6.22. En
otras palabras, 10s unicos ttrminos en la suma que pueden dar una contribu-
ci6n distinta de cero son aquellos para 10s que todo 10s i,, i,, ..., in son
distintos, es decir, aquellos para 10s que la aplicacion
1 2 n
u =
(i, i, - i,,)
es una permutacion de 1, 2, ..., n. Ademls, cualquier permutacion tal es
posible.
Observernos finalmente que seglin el corolario del lema 6.23, cuando
es una permutacion, entonces d(uil, u,,, ..., u,.) ...,
= (- l ) a d ( ~ I , u,) =
(- det B. Tenemos asi
d(wl , --., ) =
4 1
aeS.
a,,(,)(- 1)' det B
= (det B) (det A).
Deseamos ahora identificar ahora -d(w, , ..., w,) como det (AB). Pero
cornow, = a , , u , + ... +a,,u,,
tenernos que d(w, , ..., w,) es det C, donde el primer rengl6n de C es w, , la
segunda es w, , etc.
Pero si desarrollamos w, en tCrminos de coordenadas obtenemos

331. que es el primer renglon de AB. Analogamente uj, es el segundo renglon de -
AB, y asi sucesivamente, para el resto de 10s renglones. Luego C = AB.
Como det (AB) = det C = d(u7,. .... u.,) = (det A) (det B), hemos probado
el teorema.
COROLARIO Si A es inrerrible entonces det A # 0 y det (A - ) =
I.
(det A)- '
Prueba. Como A A - I = I, d e t ( A A - I ) = det I = I. Luego segun el
teorema. I = det (AA - I ) = (det A) (det A - I ) . Esta relacion afirma en-
I
'
tonces que det A # 0 y det A - = -
det A
COROLARIO Si A es invertible, entonces para toda B, det (ABA-
2. I) =
det B.
Prueba. Usando el teorema en la forma en que s aplico a (AB)A-
e
tenemos det ((AB) A - I ) = det (AB) det ( A - I ) = det A det B det ( A - I ) .
Aplicando el corolario I esto s reduce a det B. Luego det ( A B A - I ) =
e
det B.
El corolario 2 nos permite definir el determinante de una transformacion
lineal. Pues si TEA( V) y m, ( T ) es la matriz de Ten alguna base de V, para
otra base, si m,(T) es la matriz en esta segunda base. entonces. segdn el
teorema 6.h, m,(T) = Cm, ( T ) C - I , de donde det (m,(T)) = det (m, ( T ) )
segdn el anterior corolario 2. Es decir. la matriz de Ten cualquier base tiene
e l misma determinante. Luego la definicibn: det T = det m, ( T ) es en
realidad iridependiente de la base y provee a A ( V ) de una funcion determi-
nante.
En uno de 10s primeros problemas, la finalidad del problema era la de
probar que A', la matriz transpuesta de la A, es semejante a A. Si esto fuera
cierto (y lo es), entonces A' y A de acuerdo con el corolario 2 anterior
tendrian el mismo determinante. No es, pues, motivo de asombro que poda-
mos dar una prueba directa de este hecho.
LEMA6.24. det A = det A'.
Prueba. Sea A = (aij) y A ' = (bij): desde luego, pij = zji. Ahora bien
mientras que

332. 330 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Per0 el tkrrnino ( - I )"z,,,,, . . . a,,,,, es igual a ( - I)'a,,- .. . a,,-,,,, ,,,,.
(pruebese). Pero a y a - ' son de la rnisrna paridad, es decir, si a es irnpar,
entonces tarnbien lo es a - I , rnientras que si a es par entonces a - es par.
Luego
Finalrnente, corno a recorre S,, a - ' recorre tarnbien por ello S,,. Luego
det A' = (- l)n~'zln-~ll,~~~~nn-l,n~
n' ' E S,,
= det A.
A la luz del lema 6.24, el intercambio de 10s renglones y las colurnnas
de una matriz no cambia su determinante. Pero entonces 10s lemas 6.20,
6.2 1, 6.22 y 6.23 que son rdlidos para operaciones con renglones de la mafriz,
se ~Serifican
igualmenfe para las columnas de la mafriz.
Hacernos un uso inrnediato de la observacion para derivar la regla de
Cramer para la resoluci6n de un sistema de ecuaciones lineales.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
llamarnos a A = (a,,) la rnatriz del sistema y a A = det A el deferminanfe
del sisfema.
Supongamos que A # 0 ; es decir, que
De acuerdo con el lema 6.20 (en su forma modificada para columnas en
lugar de para renglones),
a,, zIIxi a - V RIB
xiA =
anl .-. a,, xi - - a an,
Pero corno una consecuencia de 10s lernas 6.21 y 6.22, podemos aiiadir

333. 5 9. DETERMINANTES 331
cualquier multiplo de una columna a otra sin cambiar el determinante
(vtase el problema 5). Anadase a la i-tsima de x i A , x, veces la primera
colurnna, x , veces la segunda. .. .. xi veces 1a.j-esima (para todo j # i ) . Asi
pues
y usando a,, x , +... +a,,xn = 2,. vemos finalmente que
Ai
De donde. .rj = -. Esto es
A
TEOREMA (REGLA CRAMER). es delemiinante A del sistema de
6.u. DE Si
ecrracione.~
lineales
Ai
us dijkrente de cero, entonces la solucidn del sistema ~'iene
dada por x i = -'
A
rlonde A , es el determinante obtenido de A a1 reemplazar en la i-hima columna
par P I , Dz. ....
fin.
Ejeniplo. El sistema
x,+2xz+3x, = - 5
Ix,+x,+x, = -7
x,+x,+x, = 0
tiene determinante

334. 332 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
de donde
Podemos relacionar la invertibilidad de una matriz (o transformacion
lineal) con el valor de su determinante. El determinante nos provee, por
tanto, de u n criterio de invertibilidad.
TEOREMA A es inrerrible si +v sblo si det A # 0.
6.v.
Prueba. Si A es invertible. hemos visto en el corolario I del teorema 6.t.
que det A # 0.
Supongamos ahora que el det A # 0 donde A = (zij). Segun la regla de
Cramer, podemos resolver el sistema
.
para x , .... x, dando /3,, ..., 3 arbitrarios. Como una transformacion
/,
.
lineal sobre F'"'. A ' es pues*suprayectiva, en realidad el vector ( P I , . ., 8,)
:
( 2)
es la imagen bajo A' de -1,., - . Por ser suprayectiva, seglin el teo-
..
rema 6.d, A' es invertible, de donde A es invertible (pru~bese).
Podemos ver el teorema 6.v desde un punto de vista alternarivo y
probablemente mas interesante. Dada A E F , podemos sumergirla en K,
donde K es una extension de F escogida de mod0 tal que en K,, A pueda ser
puesta en forma triangular. Hay, por tanto, un BE K, tal que
aqui A , , . . ., A, son todas las raices caracteristicas de A , cada una apareciendo
tantas veces como unidades tiene su multiplicidad como raices caracteristicas
de A. Asi pues, det A = det ( B A B - I ) = A, A, ... segun el lema 6.19.
Pero A es invertible si y solo si ninguna de sus raices caracteristicas es cero;

335. 5 9. DETERMINANTES 333
...
pero det A # 0 si y solo si i., i 2 i., # 0, es decir, si ninguna de las
-
raices caracteristicas de A es 0.Luego A es invertible si y solo si det A # 0.
Este argument0 alternativo tiene algunas ventajas, pues al efectuarlo
probamos realmente un subresultado interesante por si mismo, a saber ,
LEMA 6.25. det A es el producto, contando /as niultiplicidades, de las
raices caracteristicas de A.
DEFINICION. Dada AEF,,, la ecuacidn secular de A es el polinomio
det ( x - A ) en F [ x ] .
Generalmente lo que hemos llamado la ecuacion secular de A se suele
llamar polinomio caracteristico de A. Pero hemos definido ya el polinomio
caracteristico de A como el producto de sus divisores elementales. Es un
hecho (rkase el problenia 8 ) yue el polinomio caracteristico de A es igual a su
ecuacidn secular, pero corno nosotros no necesitarnos desarrollar esto
explicitamente en el texto. introducirnos el tCrmino de ecuacion secular.
Calculemos un ejemplo. Si
en tonces
de donde d e t ( x - A ) = ( x - 1 ) x - ( - 2 ) ( - 3 ) = x2-x-6. Asi pues, la
ecuacion secular de
es x 2 - X - 6 .
Unas cuantas observaciones acerca de la ecuacibn secular: Si i. es una
raiz de det ( x - A), entonces det (I.- A ) = 0;de donde, segun el teorerna 6.v,
1.- A no es invertible. Asi pues, I. es una raiz caracteristica de A. Reciproca-
mente. si i. es una raiz caracteristica de A, i.- A no es invertible, de donde
det (i.- A ) = 0 y. por tanto, i. es una raiz de det ( x - A). Asi pues, el
polinomio explicit0 y computable "ecuacion secular de A", nos proporciona
un polinonlio cuyas raices son exactamente las raices caracteristicas de A.
Necesitamos subir un escalon mis y probar que una raiz dada entra como
una raiz de la ecuacion secular precisamente tantas veces como sa multiplici-

336. 334 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
dad como raiz caracteristica de A. En efecto, si Ai es la raiz caracteristica cte
A con multiplicidad m i , podemos poner A en forma triangular de mod0 que
donde cada Ai aparece en la diagonal mi veces. Pero
B(x-A)B-' = x-BAB-' =

337. de modo que det ( x - A ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = ( x - i . , ) m l ( x - j . l ) m l. . .
( x - l , ) " * , y, por tanto, cada i.,, cuya multiplicidad como raizcaracteristica
de A es m i , es una raiz del polinomio det(x- A ) de multiplicidad exactamente
igual a m i . Y hemos probado el
TEOREMA Las raices caracteristicas de A son las raices, con la
6.w.
multiplicidad correcta, de la ecuacion secular, det ( x - A ) , de A.
Damos termino a esta seccion con el significativo e historic0 teorema de
Cayley- Hamilton.
TEOREMA Toda A E Fn satis/ace su ecuacion secular.
6.x.
Prueba. Dada cualquier matriz invertible B E K , , donde K es una
extension cualquiera de F, A E F y BAB- ' satisfacen 10s mismos polinomios.
Ademas, como det ( x - BAB- ' ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = det ( x - A ) , BAB- '
y A tienen la misma ecuacion secular. Si podemos demostrar que algun
B A B - ' satisface su ecuacion secular, se seguira de ello entonces que A
tambien la satisface. Pero podemos escoger K 2 F y B E K , de mod0 que
BAB- sea triangular; en tal caso ya vimos bastante antes (teorema 6 . k )
que una matriz triangular satisface su ecuaci6n secular. Luego el teorema
queda probado.
1. Si F es el campo de 10s numeros complejos. evaluense 10s siguientes
determinantes :
2. para que caracteristicas de Fson 0 10s siguientes determinantes?
3. Si A es una matriz con entradas enteras tales que A - es tambitn
una matriz con entradas enteras, i,c~lSles
pueden ser 10s valores de det A ?

338. 336 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
4. Prutbese que si se suma el mliltiplo de un rengl6n a otro no se
cambia el valor del determinante.
*5. Dada la matriz A = (ajj), sea A i j la matriz obtenida de la A quitando
el i-esimo renglon y la ,j-esima columna. Sea M I.J. = ( - 1)"' det Aij.
A Mij se le suele llamar cofactor de ail. PruCbese que det A = airMi, + ...
+ainM,.
:]
6. a) Si A y B son submatrices ccadradas, prutbese que
det ( = (det A ) (det B ) .
[ 1)
h ) Generalicese la parte !a) a
det A2 ...
donde cada A ; es una submatriz cuadrada.
7. Si C(f) es la matriz compafiera del polinomio j'(x), prutbese que la
ecuacion secular de C(j )esjlx).
'
8. Usando 10s problemas 6 y 7 prutbese que la ecuacion secular de A
es su polinomio caracteristico. (Vtase la secci6.n I ; esto prueba la obser-
vacion que antes hicimos de que las raices de p,(x) aparecen con multiplici-
dades iguales a sus multiplicidades como raices caracteristicas de T.)
9. Usando el problema 8, proporcionese una prueba alternativa del
teorema de Cayley-Hamilton.
10. Si F es el campo de 10s numeros rationales, calclilense la ecuacion
secular y las raices caracteristicas con sus multiplicidades de
11. Para cada una de las matrices de problema 10, verifiquese, por
calculo matricial directo, que satisface su ecuaci6n secular. -

339. *12. Si el rango de A es r, prukbese que hay una submatriz cuadrada -
r x r de A de determinante distinto de 0, y si r <n, que no hay ninguna
+ +
submatriz ( r I ) x ( r I ) de A con esta propiedad.
*13. Seaf una funcion de n variables de F'") a F tal que:
a) ,f(r,, ..., c,) = 0 para r i = L;.EF(")
con i # j.
6) f ( r l , ..., a r i , ..., r n ) = a f ( r I , .... r,) para toda i y ZEF.
Pruebese que ,f'(~5,, ..., 11,)
= det A para cualquier AEF,, donde r i es la
primera fila de A, L,, la segunda, r'tc.
14. h e s e el problema 13 para probar que det A' = det A.
a) PruCbese que AB y BA tienen la misma ecuacion secular (carac-
teristica).
6) Proporcionese un ejemplo en donde AB y BA 110 tengan el mismo
polinomio minimo.
16. Si A es triangular prukbese, por un calculo directo, que A satisface
su ecuacion secular.
17. usese la regla de Cramer para calcular las soluciones en el campo
real de 10s sistemas:
a) x+y+z =t I b) x+y+z+w = I
2x+3y+4z = I x+2y+32+4w = 0
x-y-z = 0 x+y+4z+5w = I
x+y+5z+6w = 0.
18. a) Sea GL(n, F ) el conjunto de todos elementos de Fn cuyo deter-
minante es diferente de 0 PruCbese que GL(n. F ) es un grupo
.
bajo la multiplicacion de matrices.
b) Sea D(n, F ) = { A E GL(n, F ) ldet A = 1 ). Pruebese que D(n. F )
es un subgrupo normal de GL(n, F).
C ) PruCbese que GL(n, F)/D(n, F ) es isomorfo al grupo de elementos
distintos de cero de F bajo la multiplicacion.
19. Si K es un campo extensibn de F, sea E(n. K. F ) = {AeGL(n, K ) (
det A E F ) .
a) PruCbese que E(n, K, F ) es un subgrupo normal de GL(n. K ) .
*b) Determinese GL(n, K)/E(n, K, F).

340. 338 TRANSFORMACIONES LiNEALES - Cap. 6
*U). Si F es el campo de 10s numeros racionales, prudbese que cuandosN
es un subgrupo normal de D(2, F ) entonces o N = D(2, F ) o N consiste
solamente en matrices escalares.
10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS
Y NORMALES
En nuestras consideraciones previas acerca de las transformaciones
lineales, la naturaleza especifica del campo F ha jugado un papel relativa-
rnente insignificante. Cuando se hizo sentir fue usualmente respecto a la
presencia o ausencia de raices caracteristicas. Ahora, por primera vez,
restringiremos el campo F -generalmente sera el carnpo de 10s nurneros
complejos, per0 a veces sera el de 10s numeros reales- y haremos un gran
uso de las propiedades de 10s nurneros complejos y reales. A menos que
explicitamente se diga lo contrario, en toda esta seccidn F representarci a1
;amPo de 10s ntjmeros complejos.
Haremos tambidn un uso extensivo y constante de las nociones y resul-
tados de la seccion 4, capitulo 4, sobre espacios con product0 interior.
Aconsejamos al lector que revise y asimile por completo tal material antes de
seguir mas adelante.
Una observation mas acerca de 10s numeros cornplejos: hasta ahora
hernos evitado usar resultados que no hubieran sido probados en el libro.
Ahora, sin embargo, nos vernos forzados a desviarnos de esta norma y a
ernplear un hecho basico referente al campo de 10s nurneros complejos, el
llarnado "teoreina fundamental del cilgebra", sin que aqui lo dernostrernos.
Nos desagrada sacar tal resultado corno quien dice del aire, enunciarlo
corno un hecho y pasar sin mas a hacer uso de dl. Desgraciadarnente, es
esencial para lo que sigue y hacer aqui una digresion para probarlo nos
llevaria dernasiado lejos. Esperamos que la mayoria de 10s lectores habran
estudiado ya su dernostracion en un curso sobre variables cornplejas.
HECHO. Un polinomio con coeficientes que son ntjmeros complejos tiene
I
todas sus raices en el campo complejo.
El hecho 1 puede reformularse diciendo que 10s linicos polinornios
irreducibles no constantes sobre el campo de 10s nurneros cornplejos son 10s
de grado I .
HECHO Los tjnicos polinomios irreducibles no constantes sobre el
2.
campo de 10s ntjmeros reales son 10s de grado I o grado 2.
La f6rmula para las raices de una ecuacion cuadratica nos perrnite
probar facilrnente la equivalencia de 10s hechos 1 y 2. -

341. 1 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES 339
La irnplicaci6n inrnediata, para nosotros, del hecho I, serh que to& -
transformacidn lineal de las que aqui consideraremos ten&d sus rafces
caracteristicas en el campo de los ntimeros complejos.
En lo que sigue, V seri un espacio vectorial de dirnensi6n finita con
producto interior sobre F, el carnpo de 10s nirrneros cornplejos; el producto
interior de dos elementos de V se escribirh, corno antes se hizo, corno (0, w),
LEMA 6.26. Si TcA(V) es tal que (vT, v) = 0 para todo VEV, entonces
T = 0.
Prueba. Como (uT, v) = 0 para V E V dados u, iuc V ((u + w) T, u + w) =
, ,
0. Desarrollando esto y haciendo uso de que (r:T, a) = (wT, w) = 0, obtene-
mos
1) (uT, w) +(w T, u) = 0 para cualesquiera u, W E V.
Como la ecuaci6n (I) se verifica para w arbitrario en V, debe aun
verificarse si reemplazamos en ella w por iw, donde i2 = - 1 ;pero (uT, iw) =
- i(uT, w), mientras que ((iw) T, u) = i(wT, u). Sustituyendo estos valores
en (I) y cancelando i tenemos
Surnando (I) y (2) tenernos (wT, u) = 0 para cualesquiera u y w de V ,
de donde, en particular, (wT, wT) = 0. Por las propiedades delinitoriris de
un producto interior esto implica que wT = 0 para todo WE V, de donde
T = 0. (Nola: si V es un espacio con producto interior sobre el c a m p real,
el lema puede ser falso. Por ejemplo, sea V = {(a, /3))a, 8 reales, donde el
producto interior es el producto punto. Sea T la transformacibn lineal que
manda (a, 8 ) en (-8, a). Una simple comprobaci6n nos dice que (vT, v) = 0
para cualquier vc V, sin embargo, T # 0.)
DEFINICI~N. transformaci6n lineal TcA(V) se diceque es unitaria si
La
(uT, oT) = (u, o) para cualesquiera u, oc V.
Una transformaci6n unitaria es una que preserva toda la estructura de V,
su suma, su multiplication por escalares y su producto interior. N6tese que
una transformaci6n unitaria preserva la longitud, puesto que
I I ~ I I = JIG? = Jm)
IIVTII.
=
iEs lo reciproco cierto? La contestacibn nos la da el
LEMA
6.27. Si (oT, oT) = (o, u) para to& V E V, entonces T es unitaria.
Prueba. La prueba tiene el mismo estilo que la del lema 6.26. Sean
u, U E V;
por hipotesis ((u+ o) T, (u+ v) T) = (u+ v, u+ v). Desa~ollandoy

342. 340 TRANSFORMACIONES LINEALES -C s a 6
simplificando, tenemos
1) (uT, oT)+(i?T, T ) = (u. r ) + ( r , u),
u
para cualesquiera u; L:E V. Reem plazando en ( 1 ) I: pro ir y calculando esto nos
da
2) - ( u T , o T ) + ( r T , u T ) = -(u. r ) + ( r , u ) .
Sumando (I) y ( 2 ) obtenemos (uT. r T ) = (u, o) para cualesquiera
u, V E V, de donde T es unitario.
Caracteritamos la propiedad de ser unitario en terminos de la accion
sobre una base de V.
TEOREMA ~ .La transformacidn lineal T sobre V es unitaria si y s6lo si
6.
lleoa una bare ortonormal de V en una base ortonormal de V.
Prueba. Supongamos que { r , , .... r,) es una base ortonormal de V ;
por tanto, ( r i . r j ) = 0 si i # j, mientras que ( r i . vi) = 1 . Queremos demos-
trar que si T es unitario, entonces { r , T, ..., v n T ) es tambitin una base
ortonormal de V. Pero ( r i T, r j T ) = ( t i ,r j ) = 0 para i # j y (v,T, oi T ) =
( c i , ri) = I , de donde ciertamente { r , T, ..., rn T ) es una base ortonormal
de V.
Por otra parte, si T E A ( V )es tal que tanto { o , , ...,on) como {o, T, ...,
L, T } son bases ortonormales de V, para u. U ' E V tenemos entonces
;
n
de donde por la ortonormalidad de las pi, (u, W ) = gigi. Per0 uT =
i= 1
. giri T y u*T =. x'/?,ri T, de donde por la ortonormalidad de las
1= 1 i= I
n
ri T , (uT, u7T) = 2 r i d i = (u. W ) , lo que prueba que T es unitaria.
i= 1
El teorema 6. y nos dice que un cambio de base de una base ortonormal a
otra base tambien ortonormal es precisamente lo que produce una transfor-
macion lineal unitaria.
LEMA 6.28. Si T E A( V ), entonces dada cualquier rE V , existe un elemento
U'EV, que depende de r y de T. tal que (uT. r ) = (u, w) para toda U E V. Este
elemento 'queda linicamente determinado por r y T.
Prueba. Para probar el lema es suficiente exhibir un W E V que trabaje
para todos 10s elementos de una base de V. Sea { u , ...., u,} una base

343. 110. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES 34 1
ortonormal de V ; definimos =
.
1 ( u i ~ , Un facil calculo muestra que
i = 1
(')ui.
(ui,w)=(uiT,c.), de donde el elemento tc. tiene la propiedad deseada.
Que u1es unico puede verse como sigue: Supongamos que (uT,v) = (u,ul,) =
(u, w,); entonces (u, ul, - 117,) = 0 para toda U E V, lo que obliga al poner
P
u = U ' ~ - U ' ~ a q u e r c , = u.,.
El lema 6.28 nos permite dar la siguiente
DEFINICION. T E A (V ) , entonces el adjunto liermitiano de T , al que
Si
representaremos por T*, se define por (uT, 1.) = (u, rT*) para cualesquiera
u, l l E v.
Dado L.E V acabamos de obtener una expresion explicita para rT* (como
w ) y prodriamos usar esta expresion para probar las distintas propiedades que
deseamos tenga T*. Pero preferimos hacerlo de mod0 que no tengamos
que depender de una base determinada.
LEMA 6.29. Si T E A (V ) ,etttonces T*t.-A(V ) .
Ademas:
I ) (T*)* = T,
2) ( S + T ) * = S*+T*,
3) (AS)* = IS*,
4 ) (ST)* = T*S*,
para S, T E A ( V )cualesquiera y todo 1.
Prueba. Debemos primer0 probar que T* es una transformacion lineal
sobre V. Si u, u, u. estan en V, entonces (u, ( r + u ~ ) T *= (uT, U + W ) =
)
+ + +
(uT, u ) (uT, w) = ( u ,rT*) (11. utT*) = (u,rT* UTT*), consecuencia
en
+
de lo cual (L'+w) T* = i.T* KT*. Analogamente, para AE F, (u, ( l v )T*) =
(uT, Ac) = I(uT, L.) = ;(U,rT*) = (u,j.(i.T*)), de donde (Av)T* = A(;T*).
Con lo que hemos probado que T* es una transformacion lineal sobre V.
Para ver que (T*)' = T, notemos que (u.r(T*)*)= (uT*,1,) = (v,uT*) =
(rT, U ) = (u, uT) para todo u. L.E V. de donde c.(T*)* = uT lo que implica
que (T*)* = T. Dejamos las pruebas de ( S + T)* = S* + T* y de (AT) =
IT* para el lector. Finalmente, (u, ST)*)' = (uST, v) = (US, oT*) =
(u, cT*S*) para u, L.E V cualesquiera; esto implica v(ST)* = ilT*S* para
cualquier C E V lo que nos dice que (ST)' = T* S*.
Como consecuencia del l h a tenemos que la adjunta hermitiana define
una adjunta, en el sentido de la section 8, sobre A(V).
La adjunta hermitiana nos permite dar una descripcion alternativa para
las transformaciones unitarias en terminos de la relacion de T y T*.
6.30. T E A( V )es trnittrria .si !. stilo .i TT" = I .
LEMA

344. 342 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Prueba. Si T es unitaria, entonces para todo u, V E V (u, vTT*) =
,
(uT, oT) = (u, o), de donde TT* = 1. Por otra parte, si TT* = 1, entonces
(u, o) = (u, o n * ) = (uT, vT), lo que implica que T es unitaria.
TEOREMA Si {ol,..., on) es una bare ortonormal de V y si la matriz
6.2.
de TEA(V) en esta base es (alj), entonces la rnatriz de T* en esta base es
(Bij), dondeBij = ajl.
Prueba. Como las matrices de T y T* en esta base son, respectivarnente,
(a$ Y (Pij), entonen oi T = x
n
1x1
aijvj y v1 T* =
1
f Pijvj. Ahora
i=1
bien,
de las 0,. Lo que prueba el teorema.
Este teorema nos interesa muy en particular a la luz de lo que hicimos
anteriormente en la secci6n 8. Pues la adjunta hermitiana abstracta definida
sobre el espacio con producto interior V cuando cs trasladado a matrices
,
en una base ortonormal de V no se hace otra cosa que la adjunta hermitiana
,
concreta explicita que definimos para las matrices.
Usando la representation matricial en una base ortonormal, afirmamos
que TEA(V) es unitaria si y solo si siempre que (alj) es la matriz de Ten
en esta base ortonormal, entonces xn
I= 1
aljEik= 0 para j # k, mientras que
n
/a,,/' = 1. En ttrminos de productos punto sobre espacios vectoriales
i= 1
complejos, esto nos dice que 10s renglones de la matriz de T forman un
conjunto ortonormal de vectores en F'") bajo el producto punto.
DEFINICI~N. ( V) se llama autoadjunta o herrnitiana si T* = T.
TEA
Si T* = - T, entonces llamamos a T antiherrnitiana. Dada cualquier
SEA(V),
2
+
'*
'
y como -
2 y2i hermitianas, S = A+iB, donde tanto A como B
son
son hermitianas.
En la secci6n 8, usando el chlculo de matrices, probamos que cualquier
raiz caracterlstica compleja de una matriz hermitiana es real; a la luz del
hecho 1, esto puede cambiarse para que diga: To& raiz caracteristica de
una matriz hermitiana es real. Volvemos ahora a probar esto desde el punto
de vista, mhs uniforme, de un espacio con producto interior.

345. 5 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NOAMALES 343
TEOREMA Si T E A ( V ) es hermitiana, entonces todas sus raices
6.2,.
caracteristicas son reales.
Prueba. Sea A una raiz caracteristica de T ; hay pues una v # 0 en V
tal que uT = Ac. Calculamos: A(u, r ) = (Ar, 1') = (oT, o) = (v, oT*) =
= Ac) = X(r, como
(1: L ~ T ) (L', 11); # 0, como tenemos A = 1, 1 es real.
( 1 3 , ~ )
Deseamos describir formas canonicas para transformaciones lineales
unitarias, hermitianas e incluso de tipos mas generales que serhn tambiCn
mas sencillas que las formas de Jordan. Es por esto por lo que apartcen 10s
siguientes lemas que, aunque de interes independiente, son en su mayor
parte de naturaleza mas bien tkcnica.
LEMA 1. Si S E A ( V )y si cSS* = 0, entonces rS = 0.
6.3
Prueba. Consideremos (vSS*, c ) ; como rSS* = 0, 0 = (vSS*, v) =
(US,v(S*)*) = (US,U S ) segun el lema 6.29. En un espacio con product0
interior esto implica que vS = 0.
COROLARIO. T es hermitiana y V T = 0 para k 2 1, entonces vT = 0.
Si ~
Prueba. Mostramos que si vT2" = 0, entonces cT = 0; pues si S =
T2"-', entonces S* = S y SS* = T2", de donde (rSS*, r ) = 0 implica que
0 = vS = uT2"-'. Continuando hacia abajo en esta forma, obtenemos
vT = 0. Si vTk = 0, entonces rT2" = 0 para 2" > k, de donde vT = 0.
lntrdducimos una clase de transformaciones lineales que contiene como
casos especiales las transformaciones unitarias, hermitianas y antihermi-
tianas.
D E F I N I C ~T E A( v ) se dice que es normal si T* T* T
~N. =
En lugar de probar 10s teoremas que siguen para transformaciones
unitarias y para transformaciones hermitianas separadamente, lo que
haremos serii probarlos para transformaciones normales y derivar, como
corolarios, 10s resultados deseados para las unitarias y hermitianas.
6.32. Si N es una transformacidn lineal normal y si cN = 0 para
LEMA
vN* = 0.
V E V, entonces
Prueba. Consideremos (vN*, ilN*); por definition, (i'N*, ON*)=
(vN*N, V ) = (vNN*, o), ya que NN* = N*N. Pero 1.N = 0, de donde
ciertamente vNN* = 0. De esta forma obtenemos que (r.N*.I'N*) = 0, de
donde forzosamente ha de tenerse cN* = 0.

346. 344 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
COROLARIO i I, es una raiz caracteristica de la transformacion normal
I. S
N jvsi1.N = i.o, entonces r N * = l r .
Priieha. Como N es normal, N N * = N * N , de donde tenemos ( N - A)
(N-i.)* = ( N - I ) ( N * - X ) = NN*-AN*-XN+AX = N*N-E.N*-XN+
i.2 = ( N * - 2 ) ( N - I ) = ( N - I ) * ( N - I ) , es decir. N - I . es normal. Como
r ( N - i.) = 0 , por La normalidad de N - 1. se tiene del lema: r ( N - A)* = 0 .
de donde i.N* = X i t i
El corolario enuncia el interesante hecho de que si i. es una raiz carac-
teristica de la transformacion normal N , no solamer~tees una raiz
caracteristica de N * , sino que cualquier vector caracteristico de N pertene-
ciente a i. es un vector caracteristico de N* perteneciente a X y viceversa.
2.
COROLARIOSi T es unitaria y si 1. es una ,raiz caracteristica de T ,
etitonces (E.1 = 1 .
Prireba. Como T es unitaria, es normal. Sea I una raiz caracteristica de
T y supongamos que tlT = I r con r # 0 en V. Por el corolario 1 , r T * =Xr,
luego r = ilTT* = ArT* = A h , ya que T T * = I . Luego tenemos 11 = I ,
lo que nos dice ( I ) = 1.
Hacemos una pausa para ver adonde vamos. Nuestro objetivo ininediato
es probar que una tiansformacion normal N puede llevarse a la forma
diagonal por una unitaria. Si i,,, ..., A, son raices caracteristicas distintas
de V. usando el teorema 6.n podemos descomponer V como V = V, ...
@ V,. donde para L.,E Vi, oi(N-A,)"' = 0.De acuerdo con esto, necesitamos
estudiar dos cosas, a saber: la relacion entre vectores que se encuentran en
distintos V,, y la naturaleza caracteristica de cada V,. Cuando estas dos
cosas hayan sido estudiadas, seremos capaces de reunirlas para probar el
teorema deseado.
LEMA
6.33 Si N es normal y v N k = 0,entonces i!N = 0.
Prueba. Sea S = N N * ; S es hermitiana, y s e g h la normalidad de N ,
r S k = ~ ( N N * ) '= U N ' ( N * ) ~ 0.De acuerdo con el corolario al lema 6.31.
=
deducimos que U S = 0,es decir, o N N * = 0.Aplicando el lema 6.31 se tiene
que ilN = 0.
COROLARIO.i N es normal y si para I E F , ~ ( N - r l )= 0, entonces
S ~
r N = Ic.
Prueba. De la normalidad de N,se sigue que N - A es normal, de donde,
a1 aplicar el lema que acabamos de probar a N - A obtenemos el corolario.

347. 1 10. TRANSFORMACIONES H R I I N S UNITARIAS
E MTA A . Y NORMALES 345
Siguiendo con la discusidn que precedia al liltimo lema, este corolario
demueslra que todo ivctor en V, es un irector caracteristic.~de N perte-
neciente a la r a i l caracteristica A,. Hemos delern~inado naluraleza de V, ;
la
ahora procederemos a investigar la interrelacibn entre dos distintas V,.
LEMA 6.34. Sea N una trans/ormacibn normal y supongamos que 3. y p
son dos raices caracteristicas distintas de N. Si 1%. u* son rle V y tales que
PN = Irl, u-N = pul, entonces (I., u1) = 0.
Prueba. Calculamos ( r N , u)) de dos formas diferentes. Como una
consecuencia de que ilN = 217, ( P N .w ) = (Ar, K ! ) = A(r, w ) . Como ulN =
pul, usando el lema 6.32 obtenemos que ulN* = pw. de donde ( r N , u 3 )=
(I.,u l N * ) = (17,Pu') = j ~ ( r ul). La comparacion de 10s dos calculos, nos da
,
I ( [ . ,LP) = p ( i 3 , y como # 11, de ello resulta que (1.. u,) = 0.
u').
Todo el trabajo preliminar ya ha sido hecho para que podamos probar
este basico y bello teorema:
TEOREMA. ~ Si . N es una trans/ormacidn lineal normal sobre V,
6 ~
entonces existe una base ortonorrnal, consistente en rectore$ caracteristicos
de N , en la cual la matriz de N es diagonal. Equii?alentemente,si N es una
matriz normal, existe una mafriz unitaria U tal que U N U - ( = U N U * ) es
diagonal.
Prueba. Completamos el esquema informal que hemos hecho de la
prueba antes de la demostracion del lema 6.33.
Sea N normal y sea A , , . . ., A, las distintas raices caracteristicas de N.
Por el corolario al teorema 6 . 4 podemos descomponer V en la ,forma
V = V , O ... 0 V, donde toda a , € V i es aniquilada por ( N - Por el
corolario al lema 6.33, V i consiste solamente en vectores caracteristicos de N
pertenecientes a la raiz caracteristica A,. El producto interior de V induce un
producto interior sobre V , ; por el teorema 4.h. podemos encontrar una base
de V i ortonormal respecto a su producto interior.
Por el lema 6.34, 10s elementos pertenecientes a distintos V i son ortogo-
nales. Luego la union de las bases ortonormales de las V i nos proporciona
una base ortonormal de V. Esta base consiste en 10s vectores caracteristicos
de N , de donde en esta base la rnatriz de N es diagonal.
No probamos el equivalente matricial dejandolo como un problema;
solamente seiialamos que dos hechos son necesarios:
1 ) Una transformaci6n unitaria (teorema 6.y) cambia una base orto-
normal por una base tambitn ortonormal.
2) En un cambio de base, la matriz de una transformacion lineal se
cambia por conjugacion por.la matriz del carnbio de base (teorema 6.h).

348. 346 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Los dos corolarios que siguen son casos muy particulares del teorema 6.2,.
per0 como cada uno de ellos es tan importante por si mismo, 10s enunciamos
como corolarios para subrayarlos.
I.
COROLARIOSi T es una transjbrmacidn unitaria, entonces hay una base
ortonormal en la que la matriz de T es diagonal; equiualentemente, si T es una
'
matriz unitaria, entonces hay una matriz unitaria U fa1 que UTU - (= U T U * )
es diagonal.
COROLARIO Si T es una transformacidn lineal hermitiana, entonces
2.
existe una base ortonormal en l a que la matriz de T es diagonal; equiua-
lentemente, si T es una matriz hermitiana, entonces existe una matriz unitaria
'
U fa1 que UTU- ( = UTU*) es diagonal.
El teorema probado es el resultado bhsico para las transformaciones
normales, pues las caracteriza en forma neta como precisamente aquellas
transformaciones que pueden llevarse a la forma diagonal por unitarias.
Tambien muestra que la distincion entre transformaciones normales,
hermitianas y unitarias es solamente una distincion causada por la naturaleza
de sus raices caracteristicas. Precisamos esto en el
LEMA
6.35. L a transformacidn normal N es:
I ) Hermitiana si y solo si sus raices caracteristicas son reales;
2 ) Unitaria si y solo si sus raices caracteristicas son todas de valor abso-
lute I .
Prueba. Argumentamos usando matrices. Si N es hermitiana, entonces
es normal y todas sus raices caracteristicas son reales. Si N es normal y
tiene solamente raices caracteristicas reales, entonces para alguna matriz
unitaria U, U N U - ' = UNU* = D donde D es una matriz diagonal con
elementos reales en la diagonal. Asi pues, D* = D ; como D* = ((/NU*)* =
UN*U*, la relacion D* = D, implica UN*U* = UNU*, y como U es
invertible obtenemos N* = N. Luego N es hermitiana.
Dejamos al lector la prueba de la parte referente a las transformaciones
unitarias.
Si A es una transformaci6n lineal cualquiera sobre V, entonces tr (AA*)
puede calcularse usando la representation matricial de A en cualquier base
de V. Escogemos una base ortonormal de V; en esta base si la matriz de A
es ( a i j ) entonces la de A* es ( p i j ) donde pij = i j i Un chlculo simple nos
.
1
muestra entonces que tr ( A A * ) = laij(2y esto es cero si y s61o si todo
1.1
a,j = 0,es decir, si y s61o si A = 0.En una palabra, tr (AA*) = 0 si y s61o

349. 5 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES 347
si A = 0. Este es un criterio util para mostrar que una transformaci6n
lineal dada es 0. llustramos esto en el siguiente
LEMA
6.36. Si N es normal y AN = NA, entonces AN* = N*A.
Prueba. Queremos demostrar que X = AN*- N*A es 0; lo que haremos
es probar que tr XX* = 0, y deducir de'esto que X = 0.
Como N conmuta con A y con N * , debe conmutar con AN*- N*A, asi
pues XX* = ( A N * - N * A ) (NA*- A * N ) = ( A N * - N * A ) N A * - ( A N * -
N * A ) A * N = N { ( A N * - N * A ) A * ) - { ( A N * - ' N * A ) A * ) N. Como XX* es de
la forma NB- BN, la traza de XX* es 0. Luego X = 0, y AN* = N*A.
Acabamos de ver que N* conmuta con todas las transformaciones lineales
que conmutan con N, cuando N es normal; esto es suficiente para que
forzosamente N* sea una expresion polinomial en N. Pero esto puede
dernostrarse directamente como una consecuencia del teorema 6.z2 (vease el
problerna 14).
La transformacion lineal T es herrnitiana si y solo si ( r T , 11) es real para
todo v~ V (vkase el problema 19). De especial interks son aquellas trans-
formaciones lineales hermitianas para las que ( r T , r ) 2 0 para todo r e V.
Las llamamos transformaciones lineales no negatiras y denotamos el hecho
de que una transformacibn lineal sea no negativa escribiendo T 2 0. Si
T 2 0 y ademas ( r T , L') > 0 para r # 0 entonces llamamos a T positka
(o positii.amente definida) y escribimos T > 0. Queremos distinguir a estas
transformaciones lineales por sus raices caracteristicas.
LEMA 6.37. La transformacibn lineal hermitiana T es no negatira (positica)
si y sdlo si todas sus raices caracteri'sti *asson no negatiras (positiras).
Prueba. Supongamos que T 2 0 ; si 1 es una raiz caracteristica de T,
entonces uT = l r ? para algun r # 0. Luego 0 < ( r T , r ) = (Au, r ) = 1(c, u);
como ( r , u) > 0, se deduce que 12 0.
Reciprocamente, si Tes hermitiana con raices caracteristicas no negativas.
entonces podemos encontrar una base ortonormal { r , , ..., r,) consistente
en vectores caracteristicos de T. Para cada r , , r i T = ,Ii r i , donde l i 2 0.
Dado ~ E Vr , = L a i c i de donde cT = x a i r i T = Xi.,.airi. Per0 entonces
(vT, v) = ( I l i a i : , , L a i c i ) = Lliaicxi por la ortonormalidad de las r i .
Como l i 2 0 y aicxi 2 0, se tiene ( r T . r ) 2 0, de donde T 2 0.
Los resultados correspondientes para el caso "positivo" se dejan como
ejercicio.
6.38. T 2 0 si y s61o si T
LEMA = AA* para alguna A.
Prueba. Demostramos primer0 que AA* 0. Dado ~ E V(uAA*, L ! ) =
,
( r A , P A ) = 0, de donde AA* 2 0.

350. 348 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
Por otra parte. si 7 2 0 podemos encontrar una rnatriz unitaria U tal que-
donde cada ibi una raiz caracteristica de 7. luego toda i i 2 0.Sea
es
como cada i i 2 0,cada pies real, luego S hermitiana. Por tanto U*SU es
hermitiana: per0
Hemos representado a 7 en la forrna AA*, donde A = U*SU.
Notese que realrnente hernos probado un poco mhs; a saber, si al
construir S hubieramos escogido la raiz no negativa fiipara cada l i ,
entonces S, y U*SU, habria sido no negativa. Luego T 2 0 es el cuadrado de
una transformacion lineal no negativa; es decir, toda 7 3 0 tiene una raiz
cuadrada no negativa. Esta raiz cuadrada no negativa puede demostrarse
que es unica (vease el problema 24).
Cerramos esta seccion con una discusion sobre las matrices unirarias y
hermitianas sobre el campo real. En este caso, las matrices unitarias se
llaman ortogonales, y satisfacen QQ' = I . Las hermitianas son en este caso
exactamente simetricas.
Afirmamos que una niatriz real simitrica puede llecarse a la ,forma
diagonalpor una matriz ort~gonal. A una matriz real simitrica: Podemos
Sea
considerar a A actuando sobre un espacio real V con product0 interior.
Considerada como una matriz compleja, A es hermitiana y por tanto todas
sus raices caracteristicas son reales. Si estas son A,, . . ., ik entonces V
puede descomponerse en V = V, @ .. . @ V,, donde L : ~ ( A = 0 para
r i e Vi. Como en la prueba del teorema 6.33 esto trae como consecuencia
obligada riA = i.iri. Usando exactarnente la misma prueba que la que
usamos en el lema 6.34, mostrarnos que para vie Vi, L'/E Vj con i # j,

351. 1 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES 349
(i.,, r j ) = 0. Podernos, pues. encontrar una base ortonorrnal de V todos
cuyos elernentos Sean vectores caracteristicos de A . El carnhio de bases.
de la base ortonorrnal {( 1, 0, . . ., 0). (0. 1 , 0.. . ., 0). . . ., (0, . . .. 0. 1 ) : a esta
nueva base se efectua rnediante una rnatriz unitaria real. es deci~.por una
ortogonal. Asi pues. A puede llevarse a forrna diagonal por una niatriz orto-
gonal. probando nuestra afirrnacion.
Deterrninar forrnas canonicas para las matrices ortogonales reales sobre
el carnpo real es un poco mas cornplicado, tanto en su respuesta corno en su
ejecucion. Pasarnos ahora a estudiar este problerna; per0 antes varnos a
hacer una observacion general acerca de todas las transforrnaciones uni-
tarias.
Si W es un subespacio de V invariante bajo la transforrnacion unitaria 7,
;es cierto que W', el cornplernento ortogonal de W, es tarnbien invariante
bajo T? Sea W E W y X E W'; tenernos entonces: (KT. x T ) = ( 1 1 . . x ) = 0:
corno W es invariante bajo T y Tes regular, WT = W, de donde xT, para
X E W', es ortogonal para todo W. Luego es cierto que ( W 1 ) T cW'.
Recuerdese que V = W e W'.
Sea Q una rnatriz ortogonal real; entonces T = Q + Q- ' = Q + Q' es
sirnetrica, de donde tiene raices caracteristicas reales. Si estas son i., , .. .. i.,,
entonces V puede descomponerse en V = V, @ .. . Q V,, donde r , e Vi
implica r i T = Airi. Las Vi son mutuamente ortogonales. Afirmamos que
cada Vi es invariante bajo Q (pruebese). Luego, para discutir la accion de Q
sobre V, es suficiente describirla sobre cada Vi.
Sobre V,, corno Air, = r i T = r i ( Q + Q - I ) , multiplicando por Q
tenemos L.,(Q~-A, + 1 ) = 0. Se presentan dos casos particulares, a saber:
Q
Ai = 2 y li = -2 (que pueden, desde luego, no ocurrir). pues entonces
r i ( Q + 1)' = 0, lo que nos lleva a ri(Qf I ) = 0. Sobre estos espacios. Q
actua corno I o corno - I .
Si X i # 2, - 2, entonces Q no tiene ningun vector caracteristico sobre V,,
de donde para 17 # OE Vi, L', L'Qson linealmente independientes. El sub-
espacio que generan, W, es invariante bajo Q, ya que r Q 2 = I,,i.Q- 1.. Ahora
, bien, V, = W e W' con W' invariante bajo Q. Luego podemos presentar a
Vi corno la suma directa de dos subespacios bidimensionales mutuamente
ortogonales invariantes bajo Q. Para encontrar formas canonicas de Q
sobre V, (de donde sobre V), solamente debemos resolver el problerna para
matrices ortogonales reales 2 x 2.
Sea Q una matriz ortogonal real 2 x 2 que satisface Q2 -i.Q+ I = 0:
supongamos que Q = . La ortogonalidad de Q implica :
1) a2+p2 = I,
2) y 2 + 6 2 = I ,
3) ay+p6 = 0 ;

352. 350 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
como Q2 - 1 Q + I = 0 el determinante de Q es I, de donde
.
Afirmamos que las ecuaciones 1, . .., 4, implican que a = d, B = - y.
Como rx2+B2 = I, 191 < 1, de donde podemos' escribir 9 = cos 8 para
algun angulo real 8; en estos ttrminos = sen 8. Por tanto, la matriz Q
toma la forma
Todos 10s espacios usados en todas nuestras decomposiciones eran
mutuamente ortogonales, luego eligiendo bases ortogonales en cada uno de
eilos obtenemos una base ortonormal de V. En esta base la matriz de Q es
Como hemos ido de una base ortonormal a otra tambikn ortonormal, y
como esto se ha conseguido por una matriz ortogonal, dada una matriz
ortogonal real Q podemos encontrar una matriz ortogonal T tal que TQT- '
(= TQT*) es de la forma que acabamo~de describir.

353. 5 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES
Problemas -
1. Determinese cuales de las siguientes matrices son unitarias, cuales
hermitianas. cuales normales.
2. Para aquellas matrices del problema I que sean normales, encuin-
trense sus raices caracteristicas y llevense a la forma diagonal por una
matriz unitaria.
3. Si T es unitaria, prutbese usando tan solo la definicion ( L ~ T T ) =
u,
(v, u) que T es no singular.
4. Si Q es una matriz ortogonal real. prutbese que det Q = +I
5. Si Q es una matriz real simitrica que satisface Qk = I para k Z 1,
prutbese que Q 2 = 1.
6. Complitese la prueba del lema 6.29 mostrando que (S+ T)* =
S* + T* y (AT)* = AT*.
7. Prutbense las propiedades de * en el lema 6.29 haciendo uso de la
forma explicita de w = uT* dada en la prueba del lema 6.28.
8. Si T es antihermitiana, pruibese que todas sus raices caracteristicas
son imaginarias puras.
9. Si T es una matriz real antisimitrica n x n, prutbese que si n es impar
entonces det T = 0.
10. Por un calculo matricial directo, prutbese que una matriz real
sirnttrica 2 x 2 puede ser puesta en forrna diagonal por una ortogonal.
11. Cornpldtese la prueba delineada para la parte de equivalencia de
matrices del teorema 6.2,.

354. 352 TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
12. Pruebese que una transformacion normal es unitaria si y solo si las
raices caracteristicas son todas de valor absoluto igual a I .
13. Si N , , . . .. N, es un numero finito de transforrnaciones normales
que conmutan. pruebese que existe una transformacion unitaria T tal que
todas las T N , T ' son diagonales.
14. Si N es normal. pruebese que N * = p ( N ) para algun polinomio p ( x ) .
15. Si N es normal y si A N = 0 pruebese que A N * = 0.
.
16. Pruebese que A es normal si y solo si A conmuta con AA*.
17. Si N es normal pruebese que N = Z L i E i donde E i 2 = E i , Ei* = E i ,
y las Li son las raices caracteristicas de N . ( A ksta se le llama la resolucibn
espectral de N . )
18. Si N es una transformacion normal sobre V y sif(x) y g ( x ) son dos
polinomios primos relatives con coefi~ient~s reales, pruibese que si r f ( N ) =
0 y u , g ( N ) = 0 para r , u. en V , entonces (1:. u1) = 0.
.
19. Pruebese que una transformacion lineal T sobre V es hermitiana si
y solo si ( r T , 1.) es real para todo a € V.
20. Pruebese que T > 0 si y solo si T es hermitiana y tiene todas sus
raices caracteristicas positivas.
21. Si A 2 0 y B a 0 y A B = BA, prudbese que A B 2 0.
22. Prukbese que si A a 0, entonces A tiene una raiz cuadrada no
negativa rinica.
23. Si A 2 0 y ( r A , 11) = 0, prukbese que r A = 0.
24. a ) Si A a 0 y A* conmuta con la transformacion hermitiana B,
entonces A conmuta con B.
b) Prutbese la parte ( a ) sin exigir que B sea hermitiano.
25. Sea A = ( a i j )una matriz n x n real simetrica.
Sea
A, = ( a 1 1 ... als)
a,, a.a a,
a) Si A > 0, prutbese que A, > 0 para s = 1. 2, ...,n.
b ) Si A > 0, prukbese que det A, > 0 para s = 1, 2, ..., n.
c ) Si det A , > O para s = 1, 2, ..., n, prutbese que A >0.
d) Si A 2 0, pruebese que A, 2 0 para s = 1, 2, ...,
n.

355. 1 11. FORMAS CUADRATICAS REALES 363
e) Si A 2 0, pruCbese que det A, 2 0 para s = 1, 2, ...,n.
j ) Proporcionese un ejemplo de una A tal que det A, 2 0 para toda
s = 1,2, ..., n y, sin embargo, A no sea no negativo.
26. Prudbese que cualquier matriz compleja puede ser llevada a la forma
triangular por una matriz unitaria.
Cerramos el capitulo con una breve discusi6n sobre formas cuadrhticas
sobre el campo de 10s numeros reales.
Sea V un espacio real con producto interior y supongamos que A es una
transformaci6n lineal (real) simdtrica sobre V. La funci6n valuada en el
campo real Q(u) definida sobre V por Q(v) = (vA, v) se llama la jorma
cuadratica asociada con A.
Si consideramos, c6mo podemos hacer sin p4rdida de generalidad, que
A es una matriz simdtrica real n x n, (all) actuando sobre F(") y que el
producto interior para (S,, ..., 6,) y (y,, ..., y,) en Fen) es el nlimero real
+
S, y, +S2 y2 ... +Sn y,, para un vector arbitrario v = (x,, ...,xn) en Fen),
un simple ciilculo muestra que Q(v) = (vA, v) = a,, x, + ... +a,,xn2 +
2 C ailxixl.
i< j
Por otra parte, dada una funci6n cuadriitica cualquiera en n variables
+ C
.. . ynnxn2+2 yijxix,, con coeficientes reales y,], es claro
y, , x i 2 +
r<i
que podemos realizarla como la forma cuadratica asociada con la matriz
real simCtrica C = (y,]).
En el espacio euclidiano n-dimensional una funci6n cuadrhtica sirve
para definir las superficies cuadricas. Por ejemplo, en el plano real la forma
ax2+Pxy+ yy2 & lugar a una secci6n c6nica (posiblemente con su eje
mayor inclinado). No es ildgico pensar que las propiedades geomitricas de
esta secci6n c6nica deben estar ligadas intimamente con la matriz simdtrica
con la que su forma cuadratica estii asociada.
Recordemos que en geometria analitica elemental se prueba que por
una rotaci6n de ejes adecuada la ecuacion ax2+/3xy+ yy2 puede, en el
+
nuevo sistema de coordenadas, tomar la forma a, ( x ' ) ~ y, (Y')~. Recor-
demos que a , + y , = a + y y ay-/3'/4 = a, y,. Luego a, y y, son las rakes
caracterbticas de la matriz

356. 354 TRANSFORMACIONES LIN.EALES - Cap. 6
la rotacion de ejes es tan solo un cambio de bases por una transformacion
ortogonal, y lo que hicimos en la geometria fue simplemente llevar la
matriz simetrica a su forma diagonal por una matriz ortogonal. La natu-
raleza de ax2+Dxy+ y y 2 como conica estaba basicamente determinada
por la magnitud y signo de sus raices caracteristicas a , y y , .
Una discusion analoga puede llevarse a efecto para clasificar las super-
ficies cuadricas en el espacio tridimensional y, ciertamente, para supeficies
cuadricas en espacios de dimension n. Lo que esencialmente determina la
naturaleza geometrica de la superficie cuhdrica asociada con a , , x , + . . . +
a,,xn2 + 2 a i j x i x j es la magnitud y signo de las raices caracteristicas de
i< j
la matriz ( a i j ) . Si no estuviesemos interesados en el achatamiento relativo
de la superficie cuadrica (por ejemplo, si consideramos una elipse como una
circunferencia aplastada), entonces podriamos ignorar la magnitud de las
raices caracteristicas distintas de cero y el factor determinante de la forma
de la superficie cuidrica seria el nlimero de raices caracteristicas 0 y el
nlimero de positivas (y de negativas).
Estas cosas motivan, y al mismo tiempo se clarifican en ella, la discusion
que sigue, que culmina en la ley de inercia de Sylrester.
Sea A una matriz real simetrica y consideremos su forma cuadratica
asociada Q ( I . ) ((.A, 1.). Si T es una transformacion lineal real no singular
=
cualquiera, dado ~ E F ' " 'I. = u ' T para alglin weF("),de donde ((,A, v) =
,
(ulTA, wT) = (u'TAT', w ) . Luego A y TAT'definen, efectivamente, la misma
forma cuadritica. Sugiere esto la siguiente
D E F I N I C I ~ N . matrices simttricas reales A y B son congruente3 si hay
DOS
una matriz real no singular T tal que B = TAT'.
LEMA
6.39. La congruencia es una relacidn de equitlalencia.
Prueba. Escribamos, cuando A es congruente a B, A r B.
1) A = A pues A = I A l ' .
2) Si A r B entonces B = TAT' donde T es no singular, de donde
A = SBS' donde S = T - I . Luego B r A.
3) Si A r B y B r C, entonces B = TAT' mientras que C = RBR', de
donde C = RTAT'R' = (RT)A(RT)', y por tanto A z C.
Corno la relacion satisface las condiciones definitorias para una relacidn
de equivalencia, el lema queda probado.
El principal teorema que concierne a las congruencias es su caracteriza-
cicin, contenida en la fey de Sylvester.

357. 1 11. FORMAS CUADRATICAS REALES 366
TEOREMA ~ Dada la matriz real simkrrica A hay una matriz inoerrible
6 . ~ .
T tal que
donde I, e I, son respecrivamenre las matrices unirarias r x r y s x s y donde 0,
es la 0 matriz t x t. Los enreros r+s, el rango de A, y r-s, la signatura de A,
caracrerizan la clase de congruencia de A. Es decir, dos matrices sirnktricas
reales son congruenres si y sblo si tienen el mismo rango y la misma s i g ~ t u r a .
Prueba. Como A es real simktrica sus raices caracteristicas son todas
.
reales; Sean I , , ..., I , sus raices caracteristicas positivas y - I , + , , ..,&+,
sus raices negativas. Por la discusi6n al final de la secci6n 10 podemos
encontrar una matriz ortogonal real C tal que
donde r = n - r -s. Sea D la matriz diagonal real

358. TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6
un simple ciilculo muestra que
'
Luego hay 'una matriz de la forma requerida en la clase de congruencia de A.
Nuestra tarea es ahora demostrar que esta es la unica matriz en la clase
de congruencia de A de esta forma o. lo que es equivalente. que
son congruentes solamente si r = r', s = s' y t = t'.
Supongamos que M = TLT' donde T es invertible. Por el lema 6.3 el
rango de M es igual al de L: como el rango de M es n- t' mientras que el de
L es n - t , tenemos, t = t'.
Supongamos que r < r': como n = r + s + t = r1+s'+ t', y como t = t'.
debemos tener s > s'. Sea U el subespacio de F ( " )de todos 10s vectores que
tienen las primeras y las ultimas t coordenadas iguales a 0; U es de
dimensibn s y'para rr # Oen U,(uL, u) < 0.
Sea W el subespacio de F'"' para el que 10s componentes r'+ I, ..., r ' + s
son todos 0; sobre W, (wM. 1 ~ 2 0 para cualquier W E W. Como T es
)
invertible, y como W es (n - s')-dimensional, WT es (n -sl)-dimensional.
Para U ~ E (u~M, 2 0; de donde (wTLT', w ) 2 0; es decir, (wTL. uyT) 2 0.
W, u')
Por tanto, sobre WT, (u,TL, 1cT) 2 0 para todos 10s elementos. Ahora bien,
dim (WT)+dim (U) = (n-s')+r = n+s-sf > n; luego seglin el corolario
a1 lema 4.8, WTn U # 0. Pero esto no tiene sentido, pues si x # OE WTn U ,
por una parte, estando en U,(xL, x) < 0, mientras que por la otra, estando
en WT, (xL. x) 2 0. Luego r = r' y s = s'.
El rango r+s, y la signatura r-s, determinan desde luego r y s, y por lo
tanto t = (n- r-s), de donde determinan la clase de congruencia.
Problemas
1. Determinense el rango y la signatura de cada una de las siguientes
formas cuadriiticas reales:
a) X, +'2xI xr + x Z 2 .
6) x , 2 + x , x z + 2 x , x 3 + 2 x 2 2 + 4 ~ 2 ~ 3 + 2 x 3 2 .

359. 8 11. FORMAS CUADRATICAS REALES 367
2. Si A es una matriz simktrica con entradas complejas, prudbese que
podemos encontrar una matriz invertible compleja B tal que
y que r , el rango de A, determina la clase de congruencia de A respecto a la
congruencia compleja.
3. Si Fes un campo de caracteristica diferente de 2, dada AEF,, pmdbese
que existe una BE F tal que BAB' es diagonal.
,
4. PruCbese que el resultado del problema 3 es falso si la caracteristica de
F es 2.
HALMOS, PAUL R. Finite Dimensional Vector Spaces, segunda edici6n.
D. Van Nostrand Company, Inc.. Princeton, Nueva Jersey, 1958.

361. Topicos selectos
EN ESTE liltimo capltulo nos hemos marcado dos objetivos. El primero de
ellos es presentar algunos resultados matemfiticos que penetren m8s
profundamente que la mayor parte del material que hasta ahora hemos
visto, resultados que Sean mas sofrsticados y un poco apartados del desarrollo
general que hemos seguido. Nuestro segundo objetivo es escoger resultados
de esta clase cuya discusi6n, ademas. haga uso de una gran seccion transversa
de ideas y teoremas de 10s anteriormente expuestos en este libro. Con estas
tinalidades en mente hemos escogido tres temas como puntos focales de este
capitulo.
El primero de estos es un teorema famoso probado por Wedderburn en
1905 ("A Theorem on Finite Algebras". Transactions o the- American
f

362. 360 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
Mathematical Society, vo1.6 (1905), paginas 349-352) que afirma que un
anillo con divisidn que tiene solamente un numero finito de elementos debe
ser un campo conmutativo. Daremos dos pruebas de este teorema, total-
mente diferentes una de otra. La primera seguira fielmente la prueba
original de Wedderburn y usara un argument0 tip0 conteo; se apoyara en
gran medida sobre resultados que desarrollamos en el capitulo sobre teoria
de grupos. La segunda usara una mezcla de argumentos de la teoria de
grupos y de la teoria de campos. y sacarh un gran partido del material que
estudiamos en estas dos teorias. La segunda prueba tiene la evidente ventaja
de que en su curso de ejecuci6n obtendremos ciertos resultados colaterales
que nos permitirhn proceder a la prueba, en el caso de 10s anillos con
division, de un ,bell0 teorema debido a Jacobson ("Structure Theory for
Algebraic Algebras of Bounded Degree", Annals o Mathematics, vol. 46
f
(1945). paginas 695-707) que es una generalization de gran alcance del
teorema de Wedderburn.
Nuestro segundo gran tema es un teorema debido a Frobenius ("Uber
lineare Substitutionen und bilinearen Formen", Rerue fiir die reine und
angewandte Mathematik, vol. 84 (1877). especialmente las phginas 59-63)
que afirma que 10s ~inicos anillos con division algebraicos sobre el campo de
todos 10s numeros reales son el campo de 10s numeros reales, el campo
de 10s numeros complejos y el anillo con division de 10s cuaternios reales.
El teorema sefiala un papel linico para 10s cuaternios y es sorprendente, en
cierto modo, que Hamilton 10s descubriera en su forma, podriamos decir, un
poco ad hoc. Nuestra prueba del teorema de Frobenius, ahora completa-
mente elemental, es una variacion de un enfoque marcado por Dickson y
Albert; empleara resultados de la teoria de polinomios y de la teoria de
campos.
Nuestro tercer objetivo es el teorema de que todo entero positivo puede
representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este famoso resultado
parece que fue conjeturado ya por el primitivo matemhtico griego Diofantos.
Fermat trabaj6 en su demostraci6n sin tixito y anuncio con tristeza su
derrota (en un escrito donde el, sin embargo, resolvi6 el teorema de 10s dos
cuadrados que nosotros probamos en la secci6n 8 del capitulo 3). Euler
abrio grandes brechas que, aprovechadas por Lagrange, permitieron que
Cste, en 1770, diera una primera prueba completa. Nuestro enfoque serh
completamente distinto del de Lagrange. Tiene sus raices en el trabajo de
Adolfo Hurwitz y empleara una generalizaci6n de 10s anillos euclidianos.
Usando nuestras tecnicas de teoria de anillos sobre un cierto anillo de
cuaternios, el teorema de Lagrange caera como una consecuencia.
En nuestra marcha hacia el establecimiento de estos teoremas, cose-
charemos muchas ideas y resultados interesantes de por sl. Esto es carac-
teristico de un buen teorema - su prueba invariablemente conduce a
resultados colaterales de casi igual interts.

363. 1. CAMPOS FINITOS
Antes que podamos entrar en una discusion del teorema de Wedderburn
y de 10s anillos finitos con division, es esencial que investiguemos la
naturaleza de 10s campos que tienen solo un numero finito de elementos.
Tales campos se llaman camposfinitos. Es claro que existen campos finitos,
pues el anillo Jp de 10s enteros modulo cualquier primo p nos da un ejemplo
de tal campo. En esta secci6n determinaremos todos 10s posibles campos
finitos y muchas de las importantes propiedades que poseen.
Comenzamos con el
LEMA 7.1. Sea F un campo finito con q elementos y supongamos que
F c K donde K es tambikn un campo finito. Entonces K tiene q" elementos
donde n = [ K :4.
Prueba. K es un espacio vectorial sobre F y como K es finito es cierta- ,
mente de dimension finita como espacio vectorial sobre F. Supongarnos que
[K: F ] = n ; entonces K tiene una base de n elementos sobre F. Sea r , , . .., i:,
una tal base. Entonces todo elemento en K tiene una representacion linica
en la formaa,o,+a,c,+ ... +anondondea,, a ,,..., a, esdn todasen F.
Asi pues, el numero de elementos en K es el numero de a, L', + a, V , + ... +
anrnque se producen cuando las I,, a,, . .., a,, van tomando valores sobre F.
Como cada coeficiente puede tomar q valores, K debe tener q" elementos.
I.
COROLARIO Sea F un campofinito; entonces F tiene pmelementos donde
el nrimero primo p es la caracteristica de F.
Prueba. Como F tiene un numero finito de elementos, el corolario 2 al
teorema 2.a, f l = 0 donde f es el numero de elementos de F. Asi pues, F
tiene caracteristica p para algljn numero primo p. Por tanto F contiene un
campo Fo isomorfo a J p . Como Fo tiene p elementos, F tiene pm elementos
donde m = [ F : Fo] segun el lema 7.1.
2.
COROLARIO Si el campo finito F tiene pm elementos, entonces todo a € F
satisface a Pn = a.
Prueba. Si a = 0, la afirmacion del corolario es trivialmente cierta.
Por otra parte, 10s elementos distintos de cero de F forman un grupo
bajo la multiplicaci6n de orden pm- I, luego, segun el corolario 2 al teo-
rema 2.a. aPm-' = I para todo a # 0 en F. Multiplicando esta relacion por
a obtenemos aPm= a.
De este ljltimo corolario podemos ficilmente pasar al

364. 302 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
LEMA 7.2. Si el campo jinito F tiene pm elementos, entonces el polinomb
xP"'- x en F [ x ] se ,factoriza en F [ x ] como xP"'- x = l ( x - A).
l
LEF
Prueba. De acuerdo con el lema 5.2, el polinomio xp"'-x tiene cuando
mas pm raices en F. Pero, segun el corolario 2 a1 lema 7.1, conocemos p" de
tales raices, a saber, todos 10s elementos de F. Por el corolario al lema 5.1
podemos concluir que xP"'-x = l ( x - A ) .
l
AEF
COROLARIO. el campo F tiene pm elementos, entonces F es el campo de
Si
descomposicibn del polinomio xp" - x.
Prueba. Por el lema 7.2, xp"'-x se descompone en F. Pero no puede
descomponerse en un campo mas pequeiio. porque ese campo tendria que
tener todas las raices de este polinomio y, por tanto, tendria que tener al
menos pm elementos. De esta manera, F es el campo de descomposicion de
xP"'- X.
Como vimos en el capitulo 5 (teorema 5.j) cualesquiera dos campos de
descomposicion sobre un campo dado de un polinomio dado son isomorfos.
A la luz del corolario al lema 7.2 podemos enunciar
LEMA 7.3. Cualesquiera dos campos finitos 9ue tienen el mismo ntimero
de elementos son isomorfos.
Prueba. Si estos campos tienen pm elementos, por el anterior corolario
ambos son campos de descomposici6n del polinomio x P m - x , sobre J,.
luego ambos son isomorfos.
Asi pues, para cualquier entero m y cualquier numero primo p hay, salvo
isomorfismo, cuando mas un campo que tienepmelementos. El proposito del
proximo lema es demostrar que para cualquier numero primo p y cualquier
entero m hay un campo que tiene pm elementos. Cuando hayamos hecho
esto, sabremos que hay exactamente un campo con pm elementos, donde p
es un primo arbitrario y m entero arbitrario.
LEMA 7.4. Para todo numero primo p y todo entero posirivo m exisre un
campo con pm elementos.
Prueba. Consideremos el polinomio x P m - x en J,[x], el anillo de
polinomios en x sobre J,, el campo de 10s enteros mod p. Sea K el campo
de descomposici6n de este polinomio. En K sea F = { a ~ K l = a } . Los
a ~
elementos de F son, pues, las raices de x p - x que, seglin el corolario 2 a1
lema 5.6 son distintas, de donde F tiene pmelementos. Afirmamos ahora que

365. 4 1. CAMPOS FlNlTOS 363
F es un campo. Si a, b E F, entonces up" = a, bP"' = b, y asi ( ~ b ) ~= ar" bP"'
"'
= ab; luego abeF. Ademas, como la caracteristica es p, (a+b)"' =
aPmf bPm= a k b , de donde a_+beF. Por consiguiente Fes un subcampo de
K y, por tanto, un campo. A mostrar que el campo F tiene pm elementos,
1
hemos probado el lema 7.4.
Combinando 10s lemas 7.3 y 7.4, tenemos
TEOREMA 7.A. Para todo nljmero primo p y todo entero positiro m, hay un
campo ljnico 9ue tiene pmelemenros.
Volvamos ahora, por un momento, a la teoria de Ics grupos. El resultado
de la teoria de 10s grupos que buscamos, determinarl la estructura de
cualquier subgrupo rnultiplicativo finito del grupo de elementos distintos
de cero de un campo y, en particular, determinara la estructura multiplica-
tiva de cualquier campo finito.
LEMA Sea G un grupo abeliano Jinito con la propiedad de que la
7.5.
relacidn x" = e se satisface por, a lo mas. n elementos de G, para todo entero n.
Entonces G es un grupo ciclico.
Prueba. Si el orden de G es una potencia de algun numero primo y
entonces el resultado es muy sencillo. Supongamos, en efecto, que a e G es
un elemento cuyo orden es todo lo grande que sea posible; su orden debe
ser q' para algun entero r. Los elementos e, a, a', ..., aq'-' nos dan 9'
soluciones distintas de la ecuaci6n xqr = e que, por nuestra hipbtesis,
implica que estas son todas las soluciones de la ecuaci6n. Ahora bien, si
beG, su orden es q" donde s < r , de donde b = (bq')q'-' = e. Por la
'
observaci6n anteriormente hecha, esto obliga a que b = a' para algdn i, y
por lo tanto G es ciclico.
El grupo abeliano finito general G, puede realizarse como G = S,, S,, .. .
Sqkdonde las qi son 10s distintos divisores primos de o ( G ) y donde 10s S~
son 10s subgrupos de Sylow de G. Ademas, todo elemento g e G puede
escribirse de forma Jinica como g = s, s,. ..s,, donde si€Sqi (vCase la
seccidn 7, capitulo 2). Cualquier soluci6n de 2 = e en Sqi es una de x" = e
'
en G , de forma que todo Sqi hereda la hip6tesis que hemos impuesto
sobre G. Por las observaciones del primer parrafo de la prueba, cada S,, es
.
un grupo ciclico; sea a i un generador de Sqi Afirmamos que c = a , a,. ..a,
es un generador ciclico de G. Para verificar esto, todo lo que tenemos que
hacer es probar que o ( G ) divide a m, el orden de c. Como c = e, tenemos
'
"
que a I m a z m.. a,"' = e. Por la unicidad de la representation de un elemento
.
de G como un product0 de elementos en las S,,, concluimos que aim = e
para ioda i. Luego o ( S q i ) J mpara toda i. Luego o ( G ) = o(Sqi)o(Sq,) ...
o(S,,)(m. Pero m ( o ( G ) , luego o ( G ) = m. Lo que prueba que G es ciclico.

366. 364 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
El lema 7.5 tiene una consecuencia importante.
LEMA Sea K un campo y sea G un subgrupo finito del grupo multi-
7.6.
plicatilio de elementos distintos de cero de K. Entonces G es un grupo ciclico.
Prueba. Como K es un campo, cualquier polinomio de grado n en K [ x ]
tiene cuando mas n raices en K. Luego, en particular, para cualquier entero
n. el polinomio i -I tiene cuando mas n raices en K, y tambikn cuando mls,
n raices en G, evidentemente. La hipotesis del lema 7.5 se satisface, luego G
es ciclico.
Aun cuando la situation de un campo finito es un caso particular tan
solo del lema 7.6, es de interks en tantos campos que lo subrayamos
enunciandolo corno un
TEOREMA El grupo multiplicatii~ode elementos distintos de cero de un
7.8.
campo finito es ciclico.
Prueba. Sea F un campo finito. Aplicando simplemente el lema 7.6 con
F = K y G = grupo de elementos distintos de cero de F, tenemos el resultado.
Concluimos esta seccion usando un argument0 de conteo para probar la
existencia de soluciones de ciertas ecuaciones en un carnpo finito. Nece-
sitaremos el resultado en una demostracion del teorerna de Wedderburn.
LEMA Si F es un campofinito y a # 0, /? # 0 son dos elementos de F,
7.7.
+
entonces p o d e m encontrar elementos a y b en F tales que I aa2 +/?b2 = 0.
Prueba. Si la caracteristica de F es 2, F tiene 2" elementos y cada
elernento x en F satisface x2" = X . Asi pues, cada elemento en F es un
cuadrado. En particular a- ' = a2 para alguna ae F. Usando esta a y b = 0
tenemos l +aa2 + /?b2 = I +aa- ' +O = 1 + 1 = 0, en donde la liltima
igualdad es una consecuencia d.el hecho de que la caracteristica de F es 2.
Si la caracteristicade Fes un ndmero impar primop, F tiene p" elernentos.
Sea Wa = {I +ax21xeF). iCuhntos elementos hay en W,? Debemos
cornprobar cuantas veces I +ax2 = I +ay2, Pero esta relacion obliga a que
ax2 = ay2 y, pot tanto, corno a # 0, a que x2 = y 2 . Finalmente, esto nos
lleva a que x = fy. Luego para x # 0 tenemos de cada par x y - x un
elemento en W , y para x = 0 obtenemos I E W,. Luego W , tiene
I + -pR-l
=- p"+l elementos. Anhlagamente Wp = { -/?x21 x E F } tiene
2 2
p"+l elementos. Corno tanto Wa como Wp tiene miis de la mitad de 10s
2

367. $ 2 . TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FlNlTOa CON DIVISION 365
elementos de F deben tener una interseccion no vacia. Sea CE W , n W g.
Como C E W,, c = l +aa2 para algun a c F ; como c c W p , c = -/3b2 para
algun ~ E F Por tanto, l + a a 2 = -Bb2, que por transposicion nos da el
.
resultado deseado, I +aa2 +/3b2 = 0.
Problemas
1. De acuerdo con el teorema 7.b, 10s elementos distintos de cero de J ,
forman un grupo ciclico bajo la multiplicaci6n. Cualquier generador de este
grupo se llama una raiz primiti~lade p.
a ) Encukntrense las raices primitivas de: 17, 23, 3 1.
b) ~Cuantas raices primitivas tiene un primo p?
2. Usando el teorema 7b pruebese que x 2 = - 1 mod p es soluble si y
solo si el primo impar p es de la forma 4n+ 1.
3. Si a es un entero no divisible por el primo impar p pruCbese que
x2 = a mod p es soluble para alglin entero x si y solo si a ' ~ - " ' r 1 mod p.
~
(Se llama a esto el criterio de Euler para que a sea un residuo cuadratico
mod p.)
4. Usando el resultado del problema 3 determinese si
a ) 3 es un cuadrado mod 17.
b ) 10 es un cuadrado mod 13.
5. Si el campo F tiene pn elementos prukbese que 10s automorfismos de
F forman un grupo ciclico de orden n.
6. Si F es un campo finito, por 10s cuaternios sobre F entenderemos el
conjunto de todos 10s a , + a , i + a , j + a , k donde a,, a , , a , , a , € F y donde la
suma y la multiplicacion se efectuan como en 10s cuaternios reales (es decir,
i2 = j2 = k2 = ijk = - I, etc.). PruCbese que 10s cuaternios sobre un
s
campo finito no forman un anillo con division.
2. TEOREMA D E WEDDERBURN SOBRE ANILLOS
FINITOS CON DIVISION
En 1905, Wedderburn prob6 el teorema, considerado ahora como
clasico, de que un anillo finito con division debia ser un campo conmutativo.
Este resultado ha captado la imaginacion de la mayoria de 10s matemhticos,
por lo inesperado de su contenido en que dos cosas aparentemente tan
ajenas como son el numero de elementos de un cierto sistema algebraic0 y la
multiplicacion en ese sistema, aparecen de pronto en una estrecha inter-
relacion. Aparte de su intrinseca belleza el resultado ha sido muy-importante

368. 366 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
y litil. pues surge en 10s m b variados contextos. Para citar solo un ejemplo;
la unica prueba conocida del hecho puramente geomktrico de que en una
geometria finita la configuracion de Desargues implica la de Pappus (para
la definicion de estos terminos vCase cualquier buen texto de geometria
proyectiva) consiste en reducir el problema geomttrico a uno algebraico, y
este problema algebraico tiene una solucion basada en el teorema de
Wedderburn. Para 10s algebristas, el teorema de Wedderburn ha' servido
como trampolin para saltar a una gran Brea de investigacion, durante algunas
decadas, concerniente a la conmutatividad de anillos.
TEOREMA~ .Un anillo finito con dirisidn es necesariamente un campo
7.
conmutatiro.
Primeraprueba. Sea K un anillo finito con division y sea Z = {zEKI
zx = xz para todo x e K ) su centro. Si Z tiene q elementos entonces, como
en la prueba del lema 7. I, se sigue que K tiene qnelementos. Nuestro objetivo
es probar que Z = K, o lo que es equivalente, que n = 1.
Si aeK, sea N(a) = {xeKlxa = ax). N(a) claramente contiene a Z, y,
como una simple comprobacion revela, N(a) es un subanillo con division
de K. Asi pues, N(a) contiene qn'"' elementos para algun entero n(a).
Afirmamos que n(a) divide a n. En efecto, 10s elementos distintos de cero de
N(a) forman un subgrupo de orden qn'"'- 1 del grupo, bajo la multiplication,
de elementos distintos de cero de K, que tiene qn- I elementos. De acuerdo
con el teorema de Lagrange (teorema 2.a) q n ( " ) - 1 es un divisor de q n - 1 ;
per0 esto obliga a que n(a) sea un divisor d e n (vease el problema I al final de
esta seccion).
En el grupo de elementos distintos de cero de K tenemos la relacion de
'
conjugacion usada en el capitulo 2, a saber, a es conjugado de b si a = x - bx
para algun x # 0 en K.
Segun el teorema 2.h el numero de elementos de K conjugados de a es
el indice del normalizador de a en el grupo de elementos distintos de cero de
qn - 1
K. Por tanto, el numero de conjugados de a en K es - Aliora bien, .
qnlo) -
I
a e Z si y solo si n(a) = n, luego, por la ecuacion de clase (vease el corolario
al teorema 2.h)
donde la suma es efectuada sobre una a en cada clase conjugada para a no
en el centro.
El problema se ha reducido a probar que ninguna ecuacion tal como la (I)
puede verificarse en 10s enteros. Hasta este punto hemos seguido la prueba
del articulo original de Wedderburn con casi absoluta fidelidad. Wedderburn

369. 12. TEOREMA D E W E D D E R B U R N SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION 367
prosigue hasta desechar la posibilidad de la ecuacidn ( I ) haciendo uso del
siguiente resultado de la teoria de numeros debido a Birkhoff y Vandiver:
para n > 1 existe un numero primo que es un divisor de qn- I , pero no es
un divisor de ningun qm- l donde m es un divisor propio de n, con las
excepciones de 26- 1 = 63 cuyos factores primos ya se presentaron como
divisores de 22- I y 2 3 - 1, y n = 2, y 9 un primo de la forma 2'- 1. Si
admitimos este resultado, ~comoacabariamos la prueba? Este numero
primo seria un divisor del primer miembro de (I) y tambien un divisor de
cada ttrmino de la suma que aparece en el segundo miembro pues divide a
qn- I , pero no a q"'"' - I ;luego este primo dividiria tambien a q- I dAndonos
una contradiccion. El caso 26- 1 se tendria tambikn que desechar, pero
esto es sencillo. En el caso n = 2, la otra posibilidad no cubierta por el
anterior argumento, no hay ningun subcampo entre Z y K lo que obliga a
que Z = K. (iprutbese! Vtase el problema 2.)
Pero no queremos aplicar el resultado de Birkhoff y Vandiver sin probarlo
y su prueba nos llevaria a una digresion demasiado larga. Buscamos, pues,
otro artificio. Nuestra finalidad es encontrar un entero que divida a
qn- 1
, para todos 10s divisores n(a) de n, pero que no divida a q - I. Una
p') 1
-
vez hecho esto, la ecuacion (I) sera imposible salvo para n = I y, por tanto,
el teorema de Wedderburn habra sido probado. El medio que emplearemos
con este proposito es la teoria de polinomios ciclot6micos. (Los hemos
mencionado en 10s problemas al final de la secci6n 6, capitulo 5.)
Consideremos el p'olinomio x" - 1 como elemento de C[x] donde C es el
campo de 10s nlimeros complejos. En C[x]
donde este producto se toma sobre todos 10s 1que satisfacen 2 = 1.
Un numero complejo 0 se dice que es una raiz primitiva n-ksima de la
unidad si 8" = 1 pero 8m # I para cualquier entero positivo m c n. Los
numeros complejos que satisfacen x" = 1 forman un subgrupo finito, bajo
la multiplicacidn, de 10s numeros complejos, de donde, seglin el teorema 7.b,
este grupo es ciclico. Cualquier generador ciclico de este gr'upo debe,
entonces, ser una raiz nCsima primitiva de la unidad, de donde sabemos
que tales rakes primitivas existen. (Alternativamente, 0 = eZXi'" nos da una
raiz primitiva de la unidad.)
Sea @,(x) = n(x-0) donde este producto se toma sobre todas las
raices n-tsimas primitivas de la unidad. Este polinomio se llama polinomio
ciclotdmico. Enumeramos 10s primeros polinomios ciclotornicos: @, (x) =
x-l,@,(x) = X + 1,rn3(x) = x 2 + x + I,@.+(x) x ~ + ~ , @ ~ ( x 4)+ x 3 +
= = x
x 2 + x + 1, Q6(x) = x2-x+ I .
Notese que todos ellos son polinomios m6nimos con coeficientes
enteros.

370. 368 TOPlCOS SELECTOS - Cap. 7
Nuestro primer objetivo es probar que, en general, @,(x) es un polinomib
m6nico con coeficientes enteros. Reagrupamos la forma factorizada de
3- I como se nos da en (2), y obtenemos
Por induccion, suponemos que ad(x)es un polinomio m6nico con coeficientes
enteros para d 1 n, d # n. Luego 2 - l = mn(x)g(x) donde g(x) es un
'
polinomio monico con coeficientes enteros. Por tanto
que, a1 dividirse realmente (o por comparacion de coeficientes), nos dice que
mn(x)es un polinomio monico con coeficientes enteros.
Afirmarnos ahora que para cualquier divisor d de n, donde d # n,
en el sentido de aue el cociente es un volinomio con coeficientes enteros.
n
Para ver esto observemos primer0 qui xd- I = mk(x), y como todo
kid
divisor de d es tambitn un divisor de n, reagrupando ttrminos en el segundo
miembto de (3) obtenemos xd- 1 sobre el segundo miembro; ademhs, como
d < n, xd- l no envuelve a @,(x). Por tanto, Y - 1 = @,(x) (xd- l)f(x)
n
donde f (x) = Qk(x) tiene coeficientes enteros y por tanto
kin
I=
k +d
on
(x)
xd- l
en el sentido de que el cociente es un polinomio con 'coeficientes enteros. Y
esto establece nuestra afirrnacion.
Para cualquier entero t, @,(t) es un entero y, por lo anteriormente dicho,
como un entero divide a (tn- l)((td- I). En particular, volviendo a la
ecuacion (I),
y @,(q)I (qn- I ) ; luego por (I), @,(q) l(q - 1). Afirmamos, sin embargo., que
si n > 1 entonces I@,(q))> q- I . Pues @,(q) = n(q-8) donde 8 toma 10s
valores de todas las raices primitivas n-tsimas de la unidad y Jq- 8 ) > q- 1
para todo 8 # 1 una raiz de la unidad (prutbese) de donde IcDn(q)l =

371. 12. TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION 369
IlI(/- 01 > q - I . Es claro entonces que @,(q) no puede dividir a q - I. lo
que nos lleva a una contradiccion. Debemos por tanto suponer que n = 1.
lo que obliga a admitir el teorema de Wedderburn.
Segundaprueha. Antes de examinar explicitamente 10s anillos finitos
con division una vez mhs, probamos algunos lemas preliminares.
7.8.
LEMA Sea R un anillo y sea a€ R. Sea Ta la aplicacidn de R en si
mismo dejnida por xTa = xu - ux. Entonces
Prueba. iQue es X T , ~ ?xTa2 = (xTa)Ta= (xu-ax)Ta = ( x u - a x ) a -
a(xa-ax) = xu2 -2axa+a2x. iQui podemos decir acerca de X T , ~ ?
xTa3 = ( x T a 2 ) T a= ( x u 2 - 2 a x a + a 2 x ) a - a ( x a 2 - 2 a x a + a 2 x ) = xu3-
+
3axa2 3a2xa-a3x. Continuando de esta forma o por induction. obtenemos
el resultado del lema 7.8.
COROLARIO. R es un anillo en el que px = 0 para toda XE-R,donde p es
Si
-
un numero primo. entonces xTaPm xuPn' apn'x.
=
Prueba. De acuerdo con la f6rmula del lema 7.8, si p = 2, XT,' =
x u 2 - a 2 x , ya que 2axa = 0 Asi pues. ,xTa4 = ( x u 2 - a 2 x ) a 2- a 2 ( x a 2 -
.
a 2 x ) = xu4-a4x, y asi sucesivamente hasta xTa2".
Sip es u n primo impar. de nuevo, seg~in formula del lema 7.8.
la
y como
para i < p , todos 10s tirminos medios desaparecen y nos quedamos con
xTaP = xuP-aPx = xTaP. Ahora bien, xTaP2= X(T,,,)~ = xTaP2.y asl
sucesivamente por las potencias mhs altas dep.
LEMA 7.9. Sea D un anillo con dirlisidn de caracteristica p > 0 con cenfro 2,
y sea P = {O, 1, 2, . . ., (p- 1)) el subcampo de Z isomorfo a J,. Sapongarnos

372. 370 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
que a€ D, a $ Z es tal que aP" = a para algrin n 2 I. Entonces existe una x i D
tal que
I ) xax-' # a .
'
2) xax- E P(a), el campo obtenidopor la adjuncibn de a a P.
Prueba. Definamos la aplicacion Ta de D en si mismo por yTa = ya-ay
para todo Y E D.
P(a) es un campo finito, ya que a es algebraic0 sobre P y tiene, digamos,
pm elementos. Todos ellos satisfacen up" = u. De acuerdo con el corolario al
lema 7.8, yTaPm= yap" - up"y = ya-ay = yTa, luego Tap"'= Ta.
Ahora bien, si AE P(a), (Ax)Ta= (1x)a-a(1x) =ixa- l a x =A(xa-ax) =
i.(xTa),ya que A conmuta con a. Asi pues, la aplicacion A de D en si mismo
1
definida por 1I:y +Ay conmuta con Ta para todo AE P(a). Ahora bien, el
polinomio up"'- u = n
(u - A ) por el lema 7.2. Como Ta conmufa con
I. E P ( a )
l.I para fodo I E P(a), y como T~~~ T a , tenemos que 0 = T,~"- Ta =
=
Si para todo 1 # 0 en P(a), Ta-11 no aniquila a ningun elemento
distinto de cero en D (si y ( T a - i f ) - 0 implica y = 0), como T a ( T a - I ,I ) .. .
(Ta- 1 I ) = 0,donde 1., , ..., I, son 10s elementos distintos de cero de P(a),
,
tendriamos, Ta = 0. Es decir, 0 = yTa = ya-ay para todo ED, lo que
obligaria a que a e Z en contra de la hipotesis. Luego hay un i. # 0 en P(a)
y un x # 0 en D tales que x(Ta-AI) = 0 Escribiendo esto explicitamente,
.
'
xu-ax-).x = 0;de donde xax- = a+;, esta en P(a) y no es igual a a ya
que I # 0 Lo que prueba el lema.
.
COROLARIO. el lema 7.9, xax-
En ' = a' # a para alglin entero i.
Prueba. Sea a de orden s; entonces en el campo P(a) todas las raices del
polinomio u I son I , a, a2. ..., a ' ya que estas son, todas, raices
" "
distintas y son s en total. Como (xax-I)" xu"-' = I, y como
xax- ' E P(a),xax- es una raiz en P(a)de u I , de donde xax- ' = a'.
"
Tenemos ya todas las piezas que necesitabamos para efectuar nuestra
segunda prueba del teorema de Wedderburn.
Sea D un anillo finito con division y sea Z su centro. Por induccion,
podemos suponer que cualquier anillo con division que tenga menos
elementos que D es un campo conmutativo.
Hagamos notar primer0 que si a, ED son tales que b'a = ab' pero
ba # ab, entonces ~ ' E ZEn efecto, consideremos N(bl) = {xEDIb'x =
.
xb'). N(bl)es un subanillo con division de D; si no fuera D, por nuestra
hipotesis de induccion seria conmutativo. Pero tanto a como b se encuentran
en N(bl)y no conmutan, luego N(bl)no es conmutativo, luego debe ser todo
D. Luego ~ ' E Z .

373. 5 2. TEOREMA DE W E D D E R B U R N SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION 371
Todo elemento distinto de cero en D tiene orden finito; luego alguna .
potencia positiva de el cae en Z . Dado W E Dsea el orden de w relativo a Z
el entero positivo minimo m(u1) tal que u."'~""EZ. Escojamos un elemento a
en D, per0 no en Z , que tenga el minimo orden relativo a Z posible, y sea tal
orden r. A.firmamos que r es un nljmero prirno, pues si r = r , r , con
I < r , < r , < r. entonces a'' no esta en Z . per0 (ar')" = a r e Z , luego a"
tiene un orden relativo a Z menor que el de a.
Por el corolario al lema 7.9, hay un X E D tal que xax- = a' # a ;
luego = x(xax- ' ) x - ' = x a i x - ' = (xax- I ) ' = (ai)' = ai2. Analo-
gamente, tenemos x r - ' ax-"- " - a i i r - " Pero r es un nlimero primo, luego
-
por el pequeiio teorema de Fermat (corolario al teorema 2.a), i r - ' = I +u,r,
de donde 1 ) = a' +"or - aaUor= i a donde i = aUoreZ. Asi pues,
.
Xr - l
a = l a x r - I . Como x $ Z , por la naturaleza minima de r , x r - ' E Z . Por
la observacion del parrafo anterior, corno xa # ax, x r - ' a # axr-' y por
'
lo tanto I # I . Sea b = x r - ; entonces bab- ' = i a ; por consiguiente,
).'ar = (bab-I)' = b a r b - ' = a', ya que a r e Z . Esta relacion obliga a que
).' = I .
Afirmamos que si Y E D, entonces siempre que y r = I ha de tenerse y = 1'
para algun i, pues en el campo Z ( y ) hay cuando mas r raices del polinomio
ur - I ; 10s elementos I. i., .. ., i r - de Z son todos distintos, ya que 1es
R2,
del orden primo r y todos ellos constituyen las r raices de u r - 1 en ZQ), en
consecuencia de lo cual y = 1'.
Como A' = 1. br = Arbr = (Ib)' = ( a - ba)' = a- bra, de donde '
obtenemos abr = bra. Como a conmuta con br, pero no conmuta con b
por la observacion antes hecha, br debe estar en Z . Segun el teorema 7.b, el
grupo multiplicative de 10s elementos distintos de cero de Z es ciclico; sea
~ E un generador. Entonces a' = yi, b = y k ; si , j = sr, entonces a' = y,
Z ' "
de donde (ay")' = I ; esto implicaria que ay" i i , lo que implica ~ E en Z
contra de a$ Z . De donde r k j ; anhlogamente r k k . Sea a , = ah y b, = b i ; un
calculo direct0 partiendo de ha = ;.ah nos lleva a a , b, = pbla, donde
.-
p = n j k e Z . Como el numero primo r que es el orden de i , no divide ni a j
ni a k , i . j k = I , de donde 11 # I. Notese que ur = 1 .
Veamos donde estamos. Hemos producido dos elementos a, y 6, tales
que :
1) a l r = bIr = XEZ;
2) a , b , = pb, a , . con p # I en Z .
3) pr = 1.
Calculamos ( a , - ' b , ) ' ; ( a l - ' b , ) 2 = a l - ' b 1 a , - ' b l = a , - ' ( b , a , - ' ) b l =
'
a, -'(pa, - b,)b, = pa,-'bl '. '
Si caiculamos ( a , - b , ) ) encontramos que
).
es igual a ~ i "' a , - 3 b l Continuando de esta forma obtenemos (al-' 6,)' =
+ 2 + . " + ( r -I ) - r blr = +Z+".+(r- I ) =
a1 p r i r - " I 2 , Si r es un primo
impar, corno pr = I, tenemos p r ' r - ' " 2 = I, de donde (a1-'b,)' = 1.
'
Siendo una solucion de y r = I, a , - 6 , = i' de mod0 que b, = A'a, ; per0

374. 372 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
entonces pb, a, = a, b, = b, a , , lo que contradice p # I . Luego si r es in
ndmero primo impar, el teorema estP probado.
Debemos ahora descartar el caso r = 2. En esta situacion especial
tenemosdoselementosa,. b,eD talesquea12= b12= zeZ.a, 6, = jtblal
dondep2=Iyp#I.Asipues,p=-Iya,b,= -h,a,#h,a,;como
consecuencia, la caracteristica de D no es 2. De acuerdo con el lerna 7.7
podemos encontrar elementos C, qeZ tales que I + i2 -zq2 = 0.
Consideremos (a, + Cb, + qa, b, 12; al computar esto encontsamos que
+
(a, Cb, +Val b1)2= a ( ] + C2 -zq2) = 0.Estando en un anillo con division
esto implica que a,+Cb,+qa,b, = 0; luego 0 # 2aI2 = a , ( a , +jh,+
gal 6,) + (a, + [b, +qal b,)a, = 0. Esta contradiccion termina la prueba y el
teorema de Wedderburn queda establecido.
Esta segunda prueba tiene la ventaja de que podemos utilizar partes de
ella para establecer un resultado notable debido a Jacobson, a saber,
TEOREMA ~ (JACOBSON). D un anillo con dirisidn tal que para todo
7. . Sea
a e D existe un entero positiro n(a) > 1, dependiente de a, tal q~re
a"'"' = a.
Entonces D es un campo conmutatiro.
Pruebrr. Si a # 0 esta en D, entonces a" = a y (2a)" = 2a para algunos
enteros n, m > I . Sea s = (n- I ) (m- I)+ I; s > 1 y un simple cllculo
muestra que a' = a y (241)' = 2a. Pero (247)" = 2"a" ='a, de donde
2'0 = 20 de lo que se obtiene ( 2 L 2 ) a = 0.Asi pues. D tiene caracteristica
p > 0. Si P c Z es el campo que tienep elementos (isomorfo a J,), como a es
algebraic0 sobre P, P(a) tiene un numero finito de elementos. en realidad
pb elementos para alfin entero h. Asi pues. como aeP(a). aph= a. Por
tanto, si a $ Z todas las condicionesdel lema 7.9 se satisfacen, de donde existe
una b€D tal que
Por el mismo argumento, bPk = b para algun entero k > I . Sea
pk P"
W = {xeDlx =
i=1
1 pijaib'
j= I
donde pije P}. W es finito y es cerrado
respecto a la adicion. Por virtud de (1) es tambiCn cerrado respecto a la
multiplication (iverifiquese!). Luego W es un anillo finito con division ; por
el teorema de Wedderburn es conmutativo. Pero a y b estan ambas en W;
por tanto, ab = ba en contra de que a'b = ba. Y esto prueba el teorema.
El teorema de Jacobson realmente se verifica para cualquier anillo R que
satisfaga 6 " = a para todo a € R, no solamente para anillos con division.
''
La transicion del caso de anillo con division a1 caso general aunque no

375. $2. TEOREMA DE W E D D E R B U R N SOBRE ANTILLOS FlNlTOS CON DIVISION 373
dificil exige la aplicacion del axiorna de election, y discutirlo nos llevarla
demasiado lejos.
I. Si t > I es un entero y (tm- I ) 1 (tn- I), pruebese que m In.
2. Si D es un anillo con division, pruebese que su dimensi6n (como
espacio vectorial) sobre su centro no puede ser mayor que 2.
3. Pruebese que cualquier subanillo finito de un anillo con divisi6n es
un anillo con division.
4. a ) Sea D un anillo con division de caracteristica p # 0 y sea G un
subgrupo finito del grupo de elementos distintos de 0 de D bajo
la multiplicacion. Pruebese que G es abeliano. (Sugerencia:
considerese el subconjunto {XE x = ZA,gi, A,€ P, g , G}.)
Dl ~
b ) Pruebese en la parte (a) que G es realrnente ciclico.
*5. a) Si R es un anillo finito en el que x" = x, para todo XER donde
n > I, pruebese que R es conmutativo.
b ) Si R es un anillo fihito en el que x 2 = 0 implica que x = 0,
pruebese que R es conmutativo.
*6. Sea D un anillo con division y supongamos que ED solamente
tiene un nurnero finito de conjugados (es decir, solamente un ndmero finito
de elernentos x- ' ax). Pruebese que a tiene solamente un conjugado y debe
estar en el centro de D.
7. ljsese el resultado del problema 6 para probar que si un polinomio
de grado n con coeficientes en el centro de un anillo con divisi6n tiene n + 1
raices en el anillo con division, entonces tiene un numero infinito de rakes
en ese anillo con division.
*8. Sea D un anillo con division y K un subanillo con divisi6n de D
tal que xKx- ' c K para todo x # 0 de D. Pruebese que o K c Z, el centro de
D, o K = D. (Este resultado se conoce como el teorema de Brauer-Cartan-
Hua.)
*9. Sea D un anillo con division y K un subanillo con division de D.
Supongamos que el grupo de elementos distintos de cero de Kes un subgrupo
de indice finito en el grupo (bajo la multiplicacion) dk elementos distintos de
cero de D. Pruebese que entonces o D es finito o K = D.
10. Si 0 # 1 es una raiz de la unidad y si q es un entero positivo, prudbese
que lq-Ot>q-I.

376. 374 TOPICOS SPLECTOS - Cap. 7
3. TEOREMA DE FROBENIUS
En 1877, Frobenius clasifico todos 10s anillos que tienen el carnpo de 10s
numeros reales en su centro y que satisfacen, adernas. una condicion que
describiremos posteriorrnente. La finalidad de esta secci6n es presentar este
trabajo de Frobenius.
En el capitulo 6 sefialamos dos importantes hechos acerca del campo de
10s numeros complejos. Los recordarnos aqui :
HECHO I . Todo polinornio de grado n sobre el campo de 10s numeros
complejos tiene todas sus n raices en el campo de 10s nurneros cornplejos.
HECHO LOS 6nicos polinornios irreducibles sobre el carnpo de 10s
2.
numeros reales son de grado I o 2.
DEFINICION. algebra con division D se dice que es algebraica sobre
Una
un campo F si :
I ) Festa contenido en el centro de D;
2) todo a€ D satisface un polinornio no trivial con coeficientes en F.
Si D, corno espacio vectorial, es de dimension finita sobre el campo F
que esta contenido en su centro, se puede rnostrar facilrnente que D es
algebraico sobre F (vease el problerna 1 al final de esta seccion). Pero puede
suceder que D sea algebraico sobre F y, sin embargo, no sea de dimension
finita sobre F.
Cornenzarnos nuestra discusi6n sobre anillos algebraicos con divisi6n sobre
el campo real investigando, en primer lugar. cuhles son 10s algebraicos
sobre el carnpo cornplejo.
LEMA 7.10. Sea C el campo de 10s nljmeros complejos y supongarnos que
el anillo con dirisidn D es algebraico sobre C. Entonces D = C.
Prueba. Supongarnos que a€ D. Corno D es algebraico sobre C , an+
z, a"- '+
... + a n - , a + a, = 0 para algunas c i , , u2, . .., a, en C .
Ahora bien, el polinornio p ( x ) = x"+ci, Y- ' + ... +a,- ,x+cin en
C[x]puede, por el hecho I, factorizarse en C [ x ]en un producto de factores
lineales; es decir, p ( x ) = ( x - 1 1 )( x - A 2 ) ... (x-I.,) donde A , , I , , ..., A,
estan todos en C. Como C esta en el centro de D, todo elemento de C
conmuta con a, de donde p(d) = ( a - A , ) ( a - A 2 ) . . . (a-A,). Pero, por
hipbtesis, p(a) = 0, luego ( a - A , ) ( a - 1 , ) .. . ( a - I,) = 0. Corno un producto
en un anillo con division es solo cero en el caso de que uno de 10s factores,
a1 menos, sea cero, concluimos que a - 1 , = 0 para algun k, de donde
a = ,Ik,entonces se tiene que a e C . Por tanto, todo elemento de D es de C ;
como C c D, se obtiene D = C .

377. 13. TEOREMA DE FROBENlUS 375
Estamos ahora en posicion de probar el clisico resultado de Frobenius, a
saber
TEOREMA (FROBENIUS). D un anillo con divisidn algebraico
7.~ Sea
sobre F, el campo de 10s.ntimeros reales. Entonces D es isomorfo a uno de
10s siguientes: el campo de 10s n~imerosreales, el campo de 10s ntimehos
complejos, o el anillo con diuisidn de 10s cuaternios reales.
Prueba. La prueba consta de tres partes. En la primera, y mas sencilla,
resolvemos la cuestion para el caso conmutativo; en la segunda, suponiendo
que D no es conmutativo, construimos una replica de 10s cuaternios reales en
D; en la tercera parte mostramos que esta rkplica de 10s cuaternios satis-
face completamente a D.
Supongamos que D # F y que a estl en D, pero no en F. De acuerdo con
nuestras hipotesis, a satisface algun polinomio sobre F, de donde alg6n
polinomio irreducible sobre F. Si esta ecuacion es lineal, a debe estar en F en
contra de lo supuesto. Asi que podemos suponer que a 2-2aa+/l = 0 donde
a, BE F. Luego (a - a)2 = a 2- 8; afirmamos que a 2 - /l < 0, pues, de otra
forma tendria una raiz cuadrada 6 y tendriamos a-a = +S y, por tanto, a
estaria en F. Como a 2- p < 0 se puede escribir como - y 2 donde y E F. En
consecuencia (a- a)' = - y ', de donde
a # F podemos encontrar reales a, y tales que
ar
(.- -
Y
-
=
ria>'- =
I. Asi pues si
1.
U E D,
a-a
Si D es conmutativo, escojamos a e D, a$ F y sea i = -donde a, y en F
Y
se escogen de mod0 que hagan i2 = - 1. Por tanto, D contiene a F(i), un
campo isomorfo al campo de 10s numeros complejos. Como D es conmutati-
vo y algebraico sobre F es evidentemente tambien algebraico sobre F(i).
Segun el lema 7.10 concluimos que D = F(i). Luego si D es conmutativo
entonces es F o F(i).
Supongamos, entonces, que D no es conmutativo. Afirmamos que el
centro de D debe ser exactamente F. Si asf no fuera, habria un a en el centro
que no %ria de F. Pero entonces para algunas a, yeF, . ( =
-I - 1 de
i Y )
forma que el centro contendria un campo isomorfo al'& ios numeros
complejos. Pero, de acuerdo con el lema 7.10, si 10s numeros complejos
(o un campo isomorfo a cllos) estuviese en el centro de D entonces D = C,
luego D seria conmutativo. Por tanto, Fes el centro de D.
a-a
Sea asD, a#F; para algunas a, ~ E Fi ,= -satisface i2 = - 1. Como
Y
i#F, i no esta en el centro de D. Por lo tanto hay un elemento beD tal que

378. 376 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
c = h i - i h # 0.Calcularnos ic+ci; ic+ci = i ( b i - i b ) + ( b i - i h ) i = ihi-i2h
+h i 2 - i h i = 0. ya que i 2 = - I . Asi pues, ic = - c i ; deducimos de
esto que ic2 = - c ( i c ) = - C ( - c i ) = c 2 i , es decir. c 2 conmuta con i. Aho-
ra bien. c satisface alguna ecuacion cuadratica sobre F, c2+Ac+p = 0.
Corno c2 y i t conmutan con i. Ac debe tambitn conrnutar con i : es decir.
Aci = iAc = Air = - k i , de donde 2Aci = 0, y corno 2ci # 0. tenemos
que j. = 0. Luego c2 = - p ; corno c $ F (pues ci = -ic # i c ) podemos
decir, corno antes hicirnos, que 11 es positivo y por lo tanto kt = v 2 donde
C
Y E F .Por lo tanto. c 2 = - i2; sea j = -. Entoncesj satisface
v
Sea k = ii. Las i, j, k que hernos construido se cornportan corno las de 10s
cuaternios. de donde T = {z, + z , i + z2J+ 2, k 1 z, , 2 , , z2 , 2, E F ) forrna
un subanillo con division de D isomorfo a 10s cuaternios reales. iHernos
construido una rtplica T, del anillo con division de 10s cuaternios reales
en D!
Nuestro ultimo objetivo es dernostrar que T = D.
Si r e D satisface r 2 = - I, sea N ( r ) = { x e D l x r = r x } . N ( r ) es un
subanillo con division de D ; adernas, r , y por lo tanto todos 10s *,+a, r ,
zo , z , E F, estan en el centro de N ( r ) . Segdn el lerna 7.10, de ello se sigue que
N ( r ) = { z o+ z , r 1 a,, a , E F . Luego si x r = r x entonces x = a. + a , r para
.
algunas zo a , en F.
u-a
Supongarnos que u E D, u $ F . Para algunos a, B E F, u1 = -sat isface
B
u12 = -I . Afirmamos que wi+iw conrnuta tanto con i corno con w ; para
i(uli+iw) = iu3i+i2w = iwi+ w i 2 = (iw+ w i ) i ya que i 2 = - 1. Analoga-
mente. w(lci+iw) = (wi+iw)w. Por la observacibn del phrafo anterior,
u'i+iuT = z ; + z ; i = ao+a, W. Si w # T esta ultima relacion implica z , = 0
(pues de otra forma podriamos resolver para w en terminos de i). Luego
u>i+iui = Z ~ E F Analogarnente. wj+jw = P,EF y w k + k w = ~ , E F . Sea
.
Entonces

379. 14. CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS 377
analogamente zi+,j: = 0 y z k + k z = 0. Afirmamos que estas relaciones -
+
obligan a : ser 0. En efecto. 0 = zk k z = :ij+ ij: = ( z i + iz),j+ i(,jz- ; j ) =
a
i ( j z - z j ) . pues z i + i z = 0. Pero i # 0. y como estamos en un anillo con
division de ello se sigue que ,I:-zj = 0. Pero ,j:+zj = 0. Luego 2.1: = 0. y
como 2 j # 0, tenemos := 0. Volviendo a la expresicin para z tel1enlos
de donde u 9 eT, en contradiccion con ut$ T. Luego, ciertamente, i ~ T. Como
e
U-51
w = - , u = /lu1+z y p o l lo tanto, I I E 7'. Hemos probado qile cualquier
1)
elemento de D esth en T. Como T c D concluimos que D = T ; como T es
isomorfo a 10s cuaternios reales tenemos que D es isomorfo al anillo con
division de 10s cuaternios reales. Pero esto es. exactamente. el enunciado del
teorema.
Problemas
1. Si el anillo con division D es de dimension finita como espacio
vectorial sobre el campo F contenido en el centro de D, pruebese que D es
algebraico sobre F.
2. Proporcionese un ejemplo de un campo K algebraico sobre otro campo
F, per0 no finito dimensional sobre F.
A es un anillo algebraico sobre un campo F y A no tiene divisores de
se que A es un anillo con division.
4. CUATERNlOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS
CUATRO CUADRADOS
En el capitulo 3 consideramos cierta clase particular de dominios
enteros. la de 10s dominios euclidianos. Cuando 10s resultados de esta clase
de anillos se aplicaban al anillo de 10s enteros gaussianos obteniamos, como
una consecuencia, el famoso resultado de Fermat de que todo numero
+
primo de la forma 4n I es la suma de dos cuadrados.
Consideraremos ahora un subanillo particular del de 10s cuaternios que
en todos 10s aspectos, salvo en el de su falta de conmutatividad. parecera
un anillo euclidiano. A causa de ello sera posible caracterizar explicitamente
a sus ideales izquierdos. Esta caracterizacion de 10s ideales izquierdos nos
llevara rapidamente a una prueba del teorema clasico de Lagrange, de que
todo en tero posi tivo es una suma de cuatro cuadrados.

380. 378 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
Sea Q el anillo con division de 10s cuaternios reales. Procedemos a
introducir una operacion adjunta en Q, *, por la siguiente
+
DEFINICION. x = r , r , i + r , j + r 3k en Q, el adjunto de x , al que
Para
denotaremos por x*, estl definido por x* = r , - r , i - r 2j- r 3k .
LEMA 1 . El adjunlo en Q satisface
7.1
I ) x** = x
+
2 ) (Sx yy)* = Sx* + yy*
4 ) (xy)* = y * x *
para todo x , y en Q y cualesquiera reales S y y.
Prueba. Si x = ao+a, i + r 2 j + a 3 k , entonces x* = r , - r , i - r 2 j - r 3 k .
luego x** = (x*)* = a,+a, i + r 2 j + r 3 k , lo que prueba ( I ) .
Sean x = r o + r ,i + r 2 j + r 3 k y y = Po+ PI i + P 2 j + P 3 k elementos de
Q y Sean 6 y y numeros reales arbitrarios. Entonces 6x+ yy = ( 6 r o + yp,) +
(Sa, + yP,)i + (Sa, + yP2)j + (Sr, + ~/3,)k, luego, por la definicion de *,
(ax+ YY)* = ( r o o + y P o ) - (Sr,+ yP1)i - ( 6 ~ + r P 2 ) j - (6r3+ rP3)k =
2
+
S(ao-a, i - r 2 j - a 3 k ) y ( p O - p , i - P 2 j - P 3 k ) = ax*+ yy*. LO que es
claro que prueba (2).
A la luz de (2), para probar (3) es suficiente hacerlo para una base de Q
sobre 10s reales. Lo probamos para la base 1, i , j, k . Ahora bien, i j = k , de
donde (ij)* = k* = - k = ,ji = ( - j ) ( - i ) = j * i * . Analogamente (ik)* =
k * i * , (jk)* = k * j * . Ademas, (i2)* = ( - 1)" = - I = ( i * ) ' , y analogamente
para j y k. Como (3) es cierto para 10s elementos de la base y (2) se verifica, (3)
es cierto para todas las combinaciones lineales de 10s elementos de la base
con coeficientes reales, de donde (3) se verifica para x y y de Q arbitrarios.
D E F I N I C ~Si N E Q entonces la norma de x , a la que representaremos
~ X.
por N ( x ) , esta definida por N ( x ) = xx*.
Notese que si x = ao+a, i + a 2 j + a 3 k , entonces N ( x ) = xx* =
(ao+ali+a2j+a3k) (ao-a,i-a2j-a3k) = a o 2 + a , 2 + r 2 2 + a 3 2 ; por
tanto, N ( 0 ) = 0 y N ( x ) es un numero real positiro para x # 0 en Q. En
particular, para cualquier nimero real r , N ( a ) = a2. Si x # 0, notese
I
que x - I = -x*.
N (a)
LEMA
7.12. Para lodo x, Y E Q, N(xy) = N(x)N(y).
Prueba. Por la misms definicion de la norma, N ( x y ) = ( x y ) ( x y ) * ; por
parte ( 3 ) del lema 7.1 1 , (xy)* = y*x* y por lo tanto N ( x y ) = xyy*x*.
Pero yy* = N ( y ) es un numero real y por tanto esta en elsentro de Q; en

381. § 4. CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS 379
.
particular debe conmutar con x*. Por consiguiente, N ( x y ) = x ( y y * ) x * = ,
( x x * ) (YJ*) = N ( x ) N ( y ) .
Como una consecuencia inmediata del lema 7.12 se tiene.
LEMA7.13 (IDENTIDADLAGRANGE). a,, a I , a 2 , a, y Po, B, , B 2 , /3,
DE Si
son nlinieros reales, entonces (a, + a , + a2 + a, 2, +
(PO PI + +
P2 8, 2 , =
( ~ o P o - ~ I -a2P2-a3B3)'+(aoB1 + ~ I B O +
PI ~ , P ~ - ~ , B ~ ) ~
+(aoB2-a1
P , + a 2 P o + ~ 3 8 1 ) ~+ (ao83+a1 P2-a182+a3BoI2-
Prueha. Hay desde luego una prueba obvia de este resultado, la de
efectuar las multiplicaciones en ambos miembros y comparar 10s resultados.
Pero una forma mas fhcil de reconstruir el resultado y a1 mismo tiempo
probarlo, es observar que el primer miembro es N ( x ) N ( y ) , mientras que el
segundo miembro es N ( x y ) con, x = a o + a l i + a 2 j + a 3 k y y = Po+Pl i+
p , j + P , k . De acuerdo con el lema 7.12, N ( x ) N ( y ) = N ( x y ) , luego la
identidad de Lagrange.
La identidad de Lagrange nos dice que la suma de cuatro cuadrados por
la suma de cuatro cuad~ados de nuevo, de una forma muy especifica, la
es,
suma de cuatro cuadrados. Un resultado muy impresionante de Adolf
Hurwitz dice que si la suma de n cuadrados por la suma de n cuadrados es
de nuevo una suma de n cuadrados, donde esta ~iltimasuma tiene termi-
nos bilinealmente calculables partiendo de las otras.dos sumas, entonces
n = 1, 2, 4 u 8. Hay, en realidad, una identidad para el product0 de
sumas de ocho cuadrados, pero es demasiado largo y complicado para
transcribirlo en este lugar.
Veamos ahora por que es oportuno introducir el anillo de Hurwitz de
cuaternios reales. Sea I = +(I + i+j+ k ) y
H = { m o I + m I i + m 2 j + m 3 k ) m o , m , , m,, m, enteros).
LEMA 7.14. H es un subanillo de Q. Si X E H , entonces x * H y N ( x ) es un
~
enter0 positivo para todo elemento disrinro de cero x de H.
Dejamos la prueba del lema 7.14 para el lector. No ofrece dificultad
alguna.
En cierto modo, H podria parecernos un anillo un poco extraiio, arbi-
trario. iPor que usar 10s cuaternios ( ? iPor quC no considerar simplemente
el anillo mas natural Q, = { m o + m l i + m 2 j + m 3 k lm,, m , , m , , m,
enteros? La contestation es que Q, no es suficientemente grande, mientras
que H es, segun el lema clave que sigue algo que parece suficiente. Necesita-
mos este lema por que nos va a permitir caracterizar 10s ideales izquierdos
del anillo. Esta posibilidad quiza fue la raz6n por la que Hurwitz se inclin6 a
trabajar en H en lugar de en Q,,

382. 380 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
LEMA I5 (ALGORTIMOL A U I V I S I ~ N
7. DE IZQUIERDA). a ?. h elenienros
Sran
rlr H cot1 h # 0. Etitonces existeti (lo. elrtilrtitos c ?. d m H. tales <lire a =
r . h + t l . N ( d )< N ( h ) .
Pnreha. Antes de probar el lema, veamos que es lo que nos dice. Si
observamos la seccion del capitulo 3 que trata de 10s anillos euclidianos,
podemos ver que el lema 7.15 nos asegura que, except0 por su falta de
conmutatividad, H tiene todas las propiedades de u n anillo euclidiano. El
hecho de que 10s elementos de H puedan fallar en cuanto a conmutatividad
se refiere, no nos preocupa. Ciertamente, debemos tener un poco de cuidado
para no saltar a conclusiones erroneas; por ejemplo, a = ch+r/, per0 no
tenemos ningun derecho a suponer que a es tambien igual a bc+c/, pues b
y c es posible que no conmuten. Pero esto no influira en ningun argument0
de 10s q ue usenios.
Debemos conienzar por probar el lema en un caso muy particular, a
saber, aquel en que a es u n elemento arbitrario de H, per0 h es u n entero
positivo n. Supongamos que a = to < + t , i + t z , j + t 3 k donde t,,. t , , t , y r ,
son enteros y que h = n donde ti es un entero positibo. Sea c = x , < + x , i +
.
s 2 . j + x , k donde .yo. .v, x , y .r3 son enteros auli por determinar. Queremos
escogerlosen tal forma que hagan que obligadamente N ( a - c t i ) < . N ( n ) = ti2.
Pero
Si pudiksemos escoger 10s enteros x,, x , , x , , x , de tal forma que se tuviera
to-nxol < + n , ( t o + 2 t l - n ( l o f 2 x l ) l < n n l t o + 2 1 , t i y Ito+
+ <
21, - n ( t o 2 x 3 )I n entonces lendriamos
que es el resultado deseado. Pero afirmamos que esto siempre puede hacerse:
n
I ) Hay u n entero x, tal que t o = x , n + r donde - - < r. < ti ; para
-
2 2
n
este x , , ( t o - x , n J = ( r J< -.
2

383. 3 4. CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS 381
+ +
I ) Hay iln entero k lal que to I t , = k t i r y 0 < r < n. Si k - t o es par,
-
+ +
pcingase 2.r, = k - t,, ; entonces to 21, = (2x, to)n r y It,+ 21, - +
(2.-, + t,,)tl( = r < ti. Si, por otra parte, k - to es impar, hagamos
I.-, = k-t,,+1;entoncest0+Zt, =(2.rl+t,-I)n+r =(2x,+to)n+
r-ti. de donde I t o + 2 t , - ( I x , + t o ) t i ) = ( r - t i I C t i ya que O < r < t i .
Podemos, pues, encontrar un entero .r, que satisfaga 1to+2t, -
(I.r,+ t l , ) t l l < 11.
3) Corno en ( 2 ) . podemos encontrar enteros s2 y x, que satisfacen
+ + + +
1 to 2t2 - ( I x 2 tO)ti1 < t i y Ito 21, -(2.r3 to)nl < t i respectiva-
menle.
En el caso especial en que a es un elemento arbitrario de H y h es un
entero positico. hemos niostrado que el lema es cierto.
Vamos ahora al caso general en que a y b son elenientos arbitrarios de
H y h # 0. Segun el lema 7.14. n = hh* es un entero positivo. luego exisle
un CE H tal que ah* = oi+d, donde N ( d , ) < N(n). Luego N(uh* -cn) <
N(t1); pero t i = hh* de donde tenemos N(ab*-&be) < N(n) y, por tanto.
N ( ( a- ch)h") < NO?) = N(bh*). De acuerdo con el lema 7.12. esto se reduce
a N(a-ch) N ( b * ) < N(h)N(be);como N ( b * ) > 0 tenemos N(a-cb) < N(b).
+
Haciendo d = a - cb tenemos a = ch d donde N ( d ) < N(b). Y esto
completa la prueba del lema.
Como en el caso conmutativo, podemos deducir del lema 7.15 el
LEMA 7.16. Sea L un irleal iiquierdo ile H. Entonces existe un elemento
UE L /a/ c/ue toclo elentento en L es un 11iLltip10iztluierdo de 11 : en otras palabras,
existe L r n LIE L tal (/lie todo XE L es de la/ornia x = r u dotide r E H.
Prirehu. Si L = (0) nada hay que probar. simplemente hacemos 11 = 0.
Podemos. pues. suponer que L tiene elementos distintos del cero. Las
normas de 10s elementos distintos de cero son enteros positivos (lema 7.14)
de donde hay un elemento 11 # 0 en L cuya norma es minima entre las de 10s
elementos distintos de cero de L. Si XEL, segun el lema 7.15, x = crt+d
donde N(t1) < N(u). Pero d esta en L porque x y u. y por tanto cu, estan
en L que es un ideal izquierdo. Luego N ( d ) = 0 y, por tanto, d = 0. De
donde es una consecuencia que x = cv.
Antes de que podamos probar el teorema de 10s cuatro cuadrados. que
es la finalidad de esta seccion, necesitamos un lema mas, a saber
LEMA
7.17. S i a~ H entonces a - ' E H st' y solo s i N(a) = 1.
Prueba. Si tanto a como a - esthn en H entonces. segun el lema 7.14,
,
tanto N(a) como N ( a - I ) son enteros positivos. Pero aa- = I. de donde, '
de acuerdo con el lema 7.12. N(a) N ( a - ') = N(aa- I ) = N ( I ) = 1. Luego
ha de tenerse N(a) = 1.

384. 382 TOPICOS SELECTOS - Cap. 7
Por otra parte, si a€ H y N ( a ) = I, entonces aa* = N ( a ) = I y a- ' = a*.
Pero segun el lema 7.14, como a € H tenemos ~ * E Hde donde a- ' = a*
,
estl tambien en H .
Hemos determinado bastante de la estructura de H para usarlo en forma
efectiva en el estudio de las propiedades de 10s enteros. Probamos ahora el
clasico teorema de Lagrange.
TEOREMA~ .Todo entero positiro puede expresarse como la suma de 10s
7.
cuadrados de cuatro enteros.
Prueba. Dado un entero positivo n afirmamos en el teorema que n =
x o Z+ x , + x , + x , para cuatro enteros x,, x , , x, y x , . Como todo entero
se factoriza en un product0 de numeros primos, si todo numero primo
fuera realizable como una suma de cuatro cuadrados, teniendo en cuenta la
identidad de Lagrange (lema 7.13), todo entero seria expresable como una
suma de cuatro cuadrados. Hemos reducido el problema para poder con-
siderar tan solo n~imeros primos n. El numero primo 2 es claro que puede
escribirse como la suma de cuatro cuadrados: 2 = 1 + 1 + 0 2 + 0 2 .
Luego, sin perdida de generalidad, podemos suponer que n es un nljmero
primo impar. Como es costumbre, lo denotamos por p.
Consideremos 10s cuaternios Wp sobre 'Jp, 10s enteros mod p ; Wp=
{x,+z,i+a,j+a,k~a,, a , , z,, a , ~ J p j . Wp es un anillo finito; ademas,
como p # 2 no es conmutativo, pues i j = -ji # ji. Luego, segcn el
teorema de Wedderburn, no puede ser un anillo con division, de donde
segun el problema I al final de la seccion 5 del capitulo 3, debe tener un
ideal izquierdo que no sea ni ( 0 ) ni Wp.
Pero entonces el ideal bilateral V en H definido por V = { x , ( + x , i+
x,j+x,k lp divide a x,, x , , x, y x,) no puede ser un ideal izquierdo
maximo de H , ya que H / V es isomorfo a W,. (i Pruebese!) (Si V fuera un
ideal maximo izquierdo en H. H / V , y por tanto W,, no tendria otros
ideales izquierdos que ( 0 ) y H I V ) .
Hay, pues, un ideal izquierdo L de H que satisface: L # H , L # V, y
L 2 V. De acuerdo con el lema 7.16, hay un elemer~tou e L tal que todo
elemento de L es un multiple izquierdo de u. Como p~ V, P E L , de donde
p = cu para algun C E H . Como u$ V, c no puede tener un inverso en H , pues
'
de otra forma u = c- p estaria en V. Luego N ( c ) > 1 por lema 7.17. Como
L # H, u no puede tener un inverso en H , de donde N ( u ) > 1. Luego
p = cu, P 2 = N ( p ) = N(cu) = N(c)N(u). Pero N(c) y N(u) son enteros,
pues tanto c como u estan en H, ambos son mayores que I y ambos dividen
a p 2 . La unica forma de que esto sea posible es que N(c) = N(u) = p.
Como U E H , u = m,(+m,i+m,j+m,k donde m,, m , , m,, m, son
enteros; luego 2u = 2mo(+2m,i+2m,j+2m,k = (m,+m,i+m,j+m,k)
+2ml i+2m,j+2m3k = mo+(2ml +mo)i+(2m, +mo)j+(2m,+mo)k. Por
tanto, N(2u) = m, + (2ml + m,), + (2m, + m,)' + (2m3 rn,),. + Pero

385. 5 4. CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA D E LOS CUATRO CUADRADOS 383
*
N(2u) = N ( 2 ) N ( u ) = 4p ya que N ( 2 ) = 4 y N(u) = p. Hemos demostrado
+ +
que 4p = mo2+ ( 2 m , + m o ) 2 (2m2+mo)2 (2m3+ m o ) 2 . Y ya casi hemos
terminado.
Para terminar la prueba introducimos un viejo truco de Euler: Si
2a = xO2 x I + x~~ + x j 2 , donde a, x,, x , , x2 y x, son enteros, entonces
+
a = yo2+ y , + y 2 2+ y 3 2 para algunos enteros y o , y , , y , , y,. Para ver
esto notese que corno 2a es par, 10s x son todos pares, todos impares, o dos
pares y dos impares. En cualquiera de 10s tres casos podemos renurnerar 10s
x y aparearlos de forma que
sean todos enteros. Pero
Como 4p es una suma de cuatro cuadrados, segun la observacion que
acabamos de hacer 2 p tambiCn 10s es; corno 2p es una suma de cuatro
cuadrados, p tambien debe ser igual a una tal suma. Luego p = ao2+ a , +
para algunos enteros a,. a , , a , , a , , y el teorema de Lagrange ha
quedado establecido.
Este teorerna es el punto de partida de una gran area de investigacibn
en teoria de numeros, la del llamado problema de Waring. Se pregunta en
Cste si todo entero puede escribirse corno una suma de un numero fijo de
potencias k-esimas. Por ejernplo, puede demostrarse que todo entero es la
suma de nueve cubos, diecinueve cuartas potencias, etc. En el presente
siglo el gran maternaticp Hilbert demostro que el problema de Waring tiene
una respuesta afirmativa.
Problemas
I. PruCbese el lema 7.14.
2. EncuCntrense todos 10s elementos a de Qo tales que a - ' esta tambiin
en Qo.
3. Pruibese que hay exactamente 24 elementos a en H tales que a-I
esth tarnbiin en H.Determinense todos ellos.

386. 384 TOPICOS SELECTOS Cap. 7
4. Proporcitinese un ejemplo de illla (I y ulia h. h # 0. ell (tales qile sea
I ,
,
iniposible encontrar y J en Q, que satisfagon u = ( . / I + ( / d o ~ i d e ( d ) <
N
rV(h).
5. Prukhese qile si U E H elitonces exislen enreros z. /I tales que
u 2 + . l u + / I = 0.
6. Pru~hese qile hay un entero positivo que no puede escribirse como la
silnia de trcs cuadrados.
"7. Ex1iih;ise 1111 nuniero i n f n i t o de enteros positives que no puedan
escrihirse como la sunia de tres cuadrados.
1,ecturas suplementarias
Para ilna discusion niLs profunda de campos finitos: ALBERT, A. A.,
F ~ ~ ~ i c l a ~ ~ Coriceprs of' Higlier Algebra. University of Chicago Press,
ie~iral
Chicago, 1956. ,
Para muchas pruebas del reorema de 10s cuatro cuadrados y una discusi6n
del problema de Waring: HARDY, G. H. y WRIGHT, E. M., An Ilitro-
segunda edicion. Clarendon Press,
d ~ ~ c r i olo the Tlieory of Nir~~ibers,
n
Oxford, Inglaterra, 1945.
Para otra prueba del teorema de Wedderburn: ARTIN, E., "Ober einen Satz
von Herrn J. H. Wedderburn", Abhancll~ingen.Hamburg, Mathemarisches
Seminar, vol. 5 ( 1928). pags. 245-250.

387. lndice analitico
ABEL,229, 244, 249 Antihermitiana, 342
Abeliano, grupo, 41 Antisimetrica, matriz, 3 16
Adjunci6n de un elemento a un campo, Aplicacion(es) 21, 22
2111 composition de, 24
~djunto(sj,317, 320 conjunto de todos los, inyectiva, 26,
cuaternios, 377 39
hermitiana, 317, 320, 341, 342 identidad, 22
ALBERT, 360, 384 igualdad de, 24
Algebra, 253 inverso de un, 26
booleana, 20 producto de, 24
con divisi6n algebraica sobre F, restrlcci6n a un subconjunto, 28
de todas las matrices n X n sobre suprayectiva, 23
272 inyectiva, 23
de transformaciones lineales, 252 ARTIN,229, 249, 384
lineal, 252 Asociados, 129, 147
teorema fundamental del, 338 Asociativa(s), ley(es), 25, 34, 39
Algebraica, extensi6n, 204 Asociativo, anillo, 104
Algebraico, elemento, 200, 201 Autoadjunta, matriz, 342
de grado n, 203 Automorfismo(s):
nlimero. 205-206 campo fijo de un grupo de, 230
entero, 206 de grupos, 72
Algoritmo: de K relativos a T, grupo de los, 231
de divisi6n izquierda, 380 de un grupo, 72
euclidiano, 29 del campo, 229
Alternante, grupo, 249 exteriores, grupo de 10s. 76
de grado n, 86 interiores, 73
Angulo, trisecci6n del, 222 interiores, grupo de 10s. 73, 74
Anillo(s), 103, 253 Axioma de elecci6n, 120
asociativo, 104
booleano, 1 12 Base(s), 162, 166
cociente, 117, 1 19 dual, 174
con elemento unitario, 104 ortonormal, 340
conmutativo, 104 dadas, matriz de una transformaci6n
de divisi6n, 109 lineal respecto a, 266
de matrices rationales 2 X 2, 106 Bessel, desigualdad de, 187
de polinomios, 136 Binaria, relacibn, 22
de polinomios en n variables, 146 B ~ K H O F 36, 367
F.
de todas las funciones reales conti- Biyectiva. correspondencia(s), 26
nuas, 121 conjunto de todas las, 26. 39
de transformaciones lineales. 158 Booleana, ilgebra, 20
euclidiano, 126, 377 Booleano, anillo. 112
' homomorfismos de, 113 Brauer-Cartan-Hua, teorema de. 373
isomorfismos de, 115 BURNSIDE. 102
no asociativo, 104
po!inomio sobre un, 146 Campo(s), 105, 109
unldad de un, 128 adjunci6n de elementos a un, 200
Aniquilador de un subespacio, 175 automofismos de, 229 -

388. Campos, Complemento, 1 6
de cocientes, 123. 1 5
2 Complemento ortogonal. 182
de descompsici6n. 2 1 . 2 16-21 . 236.
4 9 Composici6n de aplicaciones, 24
238
-- - Congruencia. clases de, 33, 357
de h~ncionesracionales en n variables. mbdulo n, 33
146 m a u l 0 un subgrupo, 48
simktricas, 236 Congruente. 354
extension de un. 198 Conjugaci6n. 88
fijo de un grupo de automorfismos, 230 Conjugado(s). 84
finito. 105. 361, 363. 364 clases de, 89. 95
perfecto. 228 elementos, 88
Cancelacion, leyes de, 43 subgrupos. 1 10
Canbnica(s) forma(s), 280 Conjunto(s):
de Jordan, 298 ajenos. 1 5
racionales. 303, 306 ajenos, 1 4
Caracteristica, 333 mutuamente. 1 5
de un dominio entero, 112 de indices, 14
finita, l 12 de 10s enteros m6dulo n: 34
Caracteristicas. rakes. 26 1, 28 1-282,284 de subconjuntos, 23
multiplicidad de las, 300 de todas las aplicaciones inyectivas. 26,
Caracteristico, polinomio, 307 39
subgrupo, de C,76 diferencia de, I 5
vector, 263 jmagen de un. bajo un mapeo. 23
Cardan, formulas de, 243 ~nfinito.28
Cartesiano, producto, 16 intersection de, 14
CAUCHY. 92 ortonormal, 183
Cauchy. teorema de. 67. 92 teoria de, 12
CAYLEY. 77 uni6n de, 1 . 1
3 5
Cayley-Hamilton, teorema de, 255, 307, vacio, I 3
335, 336 Conmutador(es), 245
Cayley, teorema de, 77 de C. 71. 245
Centralizador, 55 subgrupos, mih altos, 245
Centro de un grupo, 55, 74 Conmutativas, leyes, 34
Cero, divisores de, 109 Conmutativo(s) anillo, 104
matriz, 272 anillos de polinomios sobre anillos, 145
Cerrado respecto a una operaci6n, 39 grupo, 40
Ciclica, descomposici6n, 94 Construcci6n con regla y comphs, 220
Ciclico, 190 Construcci6n o prueba invariante, 174,
grupo, 42, 47 175
enerador de un, 55 ~onstr"ctible, 222
m& ulo, 190 nlimero, 220
subespacio. 292 Contenido de un polinomio, 143, 147
subgrupo. 47 Correspondencia biyectiva. 26
Ciclotomico, polinomio, 243, 367 Cramer, regla de, 330, 331
Clase(s): Crilerio:
- .~ ~
de congruencia, 33, 257 de Eisenstein, 144, 232, 24 1
de conjugados. 89, 95 de Euler, 365
de equivalencia, 18 Cuaternio(s), 1 18, 2 12, 220, 286, 365,
de semejanza, 279 375
ecuaci6n de, 90, 366 adjunto de un, 378
lateral derecha, 54 enteros, 377
izquierda, 54 norma de un, 378
Cociente, anillo, 1 15, 117, 119 Cuatro cuadrados. teorema de los, 377
espacio. 160 Cubo, duplicacion del, 222, 223
estructura, 58
grupo, 56, 58 De dimension finita, 163
m6dul0, 189, 194 De Euclides. algoritmo. 29
Cocientes, c a m p de, 123, 125 De las casillas, ley. 110
Coeficientes, 1 37 De Morgan. reglas de. 19
Cofactor. 336 Dcfinida psitiva, 347
Columna de una matriz. 269 Dliu W.?I'RI)EN,
VAN, 249
Comhinaci6n lineal, 163 I)crech:~. clase lateral, dc rln sl~hprl~po.
Compa!era, matriz. 305 4X
Complejo, espacio vectorial, 178 inverlihle ;I la. 255 -

389. Derecho, ideal. I I9 Entcro, dominio, I09
Derivada, 142, 224 caracteristica de un. 1 12
Desargues, teorema de, 366 F.nlero(s). 28
Descomponible, conjunto de transforma- algebraicos. 206
ciones lineales. 287 g;iussl;inos. 133
Descomposicicin en ciclos, 94 p;~1icipaci6nde un. 93
Desigualdad: prinios rclativos. 30
de Bessel. I87 Entcros rncidulo 11. conjunfo de, 34
de Schwarz. 18 1. 187 Equivalencia. clase de, 18
del triangulo, I87 Fscalar (es). 156. 178
Determinante(s), 32 1 matrices, 272
de un sistema de ccuaciones lineales. F.spacio(s):
330 cociente. 160
de una matriz. 323 con proaucto interior. 178, 180. 338
de una transformacicjn lineal. 329 dual. 171. 173
Diagonal, matriz, 276. 302 vectorial, 156
subconjunto, 16 vectorial complejo. 178
Diagonalizable. 302 vectorial real. 178
Espectral. resoluci6n. 352
DICKSON. 360 Expansi6n lineal. 163
DiecisietePgono regular, 224 Extension:
Diferencia. conjunto, I5 algebraica, 204
(O cociente), rncjdulo, I89 de un, campo, 198
simttrica de dos conjuntos, 19 finita. 198-201
Ditdrico, grupo, 61 grado de una. 198
Dimension, 168 normal, 236, 237, 240
DIOFANTO, 360 separable. 229
Directa, suma: simple. 226, 227
de m6dulos. 190 Exterior, suma directa, 160
exterior, 160 Exteriores, grupo de automorfismos, 76
interior, 160 Euclidiano, anillo. 126, 377
Distributiva(s) ley(es), 34. 104 EULER, 1, 360, 383
5
Divisor(es), 29 Euler, criterio de, 365
elementales, 308. 309 funci6n T de. 5 1. 77, 219. 242
Division algebraica, blgebra con. 374
algoritmo de la, para polinornios, 139 Factor. grupo, 58
anillo con, 109 Factorizacidn bnica, dominio de, 148
Divisibilidad, 127 teorerna de. 3 1, 131
Dominjo: FEIT. 67
de factorizacihn linica. 148 FERMAT, 126, 133, 135, 360, 377
51,
entero, 109 Fermat, pequeiio teorema de, 371
Dual(es). base(s), 174 Finita, caracteristica, 1 12
espacro(s). 17 1 , 173 Finitamente generado($, m6dulo(s), 190
seiundo, 174 teorema fundamental sobre, 190
Duplication del cubo, 222, 223 Finito(s):
carnpo(s), 105, 361, 363, 364
grupo, 40
de clase, 90, 366 grupos abelianos, teorerna sobre, 192
Eisenstein, criterio de. 144. 232. 241 Forma(s):
Elecci6n. axioma de. 120 can6nica. 280
Elementales. divisores, de una transfor- canonica de Jordan, 298
rnacicin lineal, 306-309 de Jordan, 299
funciones sirnttricas, 234, 236 racional canonica, 303, 306
F,lernento(s): real cuadritica, 353
adjuncicin de un, a un carnpo, 200 triangular, 279, 282
algehraico, 200 F6rrnulas de Cardan, 243
conjugados, 88 FROBENIUS, 374360.
en un rncjdulo, orden de, 195 Frobenius. teorema de, 374
identidad. 39 Funcional lineal. 173, 188
orden de un, 50 Funciones:
period0 de un, 50 anillo de todas las. reales cotinuas. 121
primo. 130. 147 racionales, 139. 233
separable. 228 racionales simttricas, 233, 234
Eneiigono regular, 224 simttricas elernentales, 234. 236

390. GALOIS, 198 56. ( u , v ) , 158
Galois, grupo de. 229, 239. 247, 248 (V,W), 172, 173, 351
teoria de. 216, 229. 237 HomogCneas, ecuaciones lineales, 177
teorema fundamental de la teoria de, Homomorfismo(s), 61, 1 13
239 de anillos, 1 13
Gauss, lema de, 143, 145, 147 de espacios vectoriales, I58 .
Gaussianos, enteros. 133 de grupos, 61
GELFOND, 207 de m6dulos, 190, 194
Generado por: ndcleo de un, 62. 114
U, subgrupo, 7 1 HURWITZ, 207, 360, 379
W, subgrupo de G, 47
Generador de un grupo ciclico. 55 (it]>, entrada, 270
Grado n: Ideal(es), 1 15, 116, 120
algebraic0 de, 203 derecho, 119
de f ( x ) , 146 izquierdo, 118
de un polinomio, 138 m4xim0, 120
de una extensibn, 198 primo, 151
grupo alternado de, 86 principal. 127
grupo sirnktrico de, 40, 81, 233, 246, radical de un, 152
249, 278 Idernpotente, 260
Gram-Schmidt, proctso de ortogonaliza- Identidad, elemento, 39
cion de, 183 aplicaci611, 22
Grupo(s), 39 Identidades:
abeliano, 40 de Lagrange, 379, 382
alternante, 249 de Newton, 242
alternante de grado n, 86 Igualdad de dos conjuntos. 13
autornorfismos de un, 72 Igualdad de aplicaciones, 24
centro de un, 55, 74 Imagen, 22
cicliw, 42, 47 de un conjunto bajo una aplicaci6n, 23
cociente, 56, 58 inversa, 23, 6 4 ,
conmutativo, 40 Impar, perrnutaclon, 86
de automorfismos, c a m p fijo de un,Independencia lineal, 162
230 fndice:
de automorfismos de K relativos a F , de H en G, .49
23 1 de nilpotencia, 289
de automorfismos exteriores de G, 76 Inercia, ley de Sylvester de la, 354
de automorfismos interiores, 73, 74 Infinito, conjunto, 28
de Galois, 229, 239, 247, 248 Interior, producto, 178, 180
de permutaciones, 81 espacios con, 178, 180, 338
dikdrico, 61 Interior, surna directa, 160
factor, 58 Interior(es), automorfismo(s), 73
finito, 40 grupo de, 73, 74
generador de un, ciclico, 55 Interseccibn de conjuntos, 14, 15
homornorfismos de, 61 Invariante, construccibn o prueba, 174,
isomorfismo de, 64 175
isomorfos. 64 subespacio, 280, 285
orden de un, 40 Invariantes:
simktrico, 93, 323 de transformaciones lineales nilpoten-
simple, 66 tes, 292, 293, 294
soluble, 99, 246 de un grupo abeliano finito, 193
Inversa, imagen, 23, 64
HALMOS, 195, 357 Inverso de una aplicaci6n, 26
HALL,102 Inverso, elemento, 39
HAMILTON, 107, 360 Invertible, transformaci6n lineal, 255
HARDY, 384 Irreducible, conjunto de transformacio-
HERMITE, 207, 208 nes lineales, 286
Hermitiano(a), adjunto, 317, 320, 341, elemento, 147
342 m6dul0, 195
rnatriz, 317, 321 polinomio, 140
transformaci6n, 338, 343, 347 lineales homogineas, 177
transformaci6n lineal, 346 rango de un sisterna de, lineales, 177
HexBgono, regular, 223 secular, 333
HILBERT, 207, 383 Isomorfismo:
Horn: de anillos, 115

391. Isomorfismos. Matriz(es),
de espacios vectoriales, 158 permutation, 278
de grupos, 64 semisimitrica, 3 16
de m6dulos, 194 simCtrica real, 348
Isomorfos, anillos, 115 teoria de las 252, 265
espacios vectoriales, 158 transpuesta de una, 315
.grupos, 64 traza de una, 312
Izquierdo(a), algoritmo de divisi6n. 380 triangular, 28 1-282
clase lateral, 54 unidad, 272
ideal, 118 Mbximo. ideal, 120
invertible, 255 Mdximo comdn divisor. 29. 128
McCoy, 153
JACOBSON, 360, 372 MCKAY, 102 92,
Jacobson, lema de, 314, 319 Minimo, polinomio, 202. 256
teorema de, 372 Minimo comdn mdltiplo. 34. 132
Jordan, bloque de, 298 M6dulo(s), 188. 304
forma canonica de, 298 ciclico, 190
forma de, 299 de una congruencia. 33
diferencia o cociente de. I89
LAGRANGE, 360, 377
49, finitamente generado. 190
Lagrange, identidad de. 379, 382 finitamente generados, teorema fr~ndi~-
teorema de, 50, 382, 383 mental sobre, 190
Lema: homomorfismo entre. 190. 194
de Gauss, 143, 145, 147 irreducible, 194
de Jacobson. 3 14, 31 9 isomorfismo entre, 194
de Schur, 195 orden de un elemento en un, 195
Ley(es): rango de un, 191
asoclativa, 25, 34, 39 sobre R, 189
conmutativa, 34 M6nic0, polinomio, 144
de cancelaci6r1, 43 Morgan, leyes de De, 19
de inercia de Sylvester, 354 MOTZKIN.127, 153
de las casillas, 110 Mdltiple, rafz, 225
de Sylvester, 354 Multiplicative, sistema, 125
distributiva, 34 Multiplicidad de una raiz, 21 1
doblemente distributiva, 104 Multiplicidad de una raiz caracteristica.
LINDEMANN, 207 300
Lineal(es): Mdltiplo, minimo comdn, 34
blgebra, 252 Mutuamente ajenos, 15
com binacih, 163
ecuaclones; n-variables:
determ~nantede un sistema de, 330 anillo de polimonios en. 146
homogkneas, 177 c a m p de las funciones racionales en.
rango de un sistema de, 177 146.
expansi6n, 163 polinomlos en, 233
funcional, 173, 188 Newton, identidades de, 242
independencia, 162 Nilpotencia, indice de, 289
Linealmente dependientes, vectores, 164 Nilpotentes, transformaciones lineales.
LIOUVILLE, 207 287, 288
Longitud, 178, 180 invariantes de, 292. 293, 294
NIVEN,207, 250
MACLANE. 36 No abeliano, 40
Matrices n X n sobre F. 271 No asociativos, anillos, 104
Algebra de todas las, 272 No negativas, transformaciones lineales.
Matriz(es), 265 347
columna de una, 270 No triviales, subgrupos, 46
compafiera, 305 Norma, 180
de una transformaci6n lineal respecto de cuaternios, 378
a bases dadas, 266 Normal(es), extensi6n. 236, 237, 240
determinante de una, 323 subgrupo(s), 56, 57
diagonal, 276, 302 transformaci6n lineal. 338, 343, 34.5
escalar, 272 Nbcleo. 158
renglbn de una, 270 de un homomorfismo, 62, 1 14
hermitiana. 317, 321 Nbmero(s):
ortogonal, 349 algebraicos, 205-206 _

392. Ndmero(s1 Primo. elemento.
constructible. 220 raiz primitiva de un. 365
primo, 30 Primos relativos, 130
trascsndente, 205, 207 Principales, anillo de ideales, 127
Principio de las casillas, l I0
Orhita de S respecto a e, 83 Producto:
Orden: cartesiano, 16
de G , 40 de aplicaciones, 24
de un elemento. 5 1 interior, 178, 180
de un elemento en un m5dulo. 195 punto, 179
Operation, cerrado respecto a una, 39 Propio, subconjunto, 13
Ortogonal(es), 182, 349, 350 Proyeccion, 22
complemento, 182 Punto, producto, 178
matrices, 349
Ortogonalizacion, proceso de Gram- R-modulo. 189
Schmidt, 183 unitario, 189
Ortonormal, base, 340 Racional(es), forma. can6nica. 303. 306
conjunto, 183 func~ones,139, 233
campo de, 235
psubgrupo de Sylow, 98 simttricas, 233. 234
Pappus, teorema de, 366 polinomios sobre un campo, 143
Par, permutaci6n. 85 Radical de un ideal, 152
Partici6n(es), 193, 294 Radicales, soluble por, 243, 244, 247,
de un entero, 93 249
Pentadecagono regular, 224 Raiz ti-2s-(ma primitiva de la unidad, 242
Pentigono regular, 223 Raiz(es), 2 1 1 , 224
Pequefio teorema de Fe~.mat,37 1 caracteristicas, 261, 28 1. 282. 284
Perfecto, campo, 228 de polinomios, 21 1
Periodo de un elemento. 5 1 multiples, 225
Permutacion(es), grupos de. 8 1 multiplicidad de una, 21 1
impar, 86 Rango, 356
matriz de una, 278 de un m6dul0, 191
par, 85 de un sistema de ecuaciones lineales,
Perpendicularidad, 178, 182 176
Pi (7). funcihn, de Eules. 5 1. 77. 2 19. 242 de una transformaci6n lineal, 257. 258
Pol~nomio(s): Keal(es):
anillo de, 136 anillo de las funciones continuas, 121
anillos de, sobrc con~nutativos.145 cuaternios, 107
caracteristico, 307 espacio vectorial, 178
ciclot6mic0, 243, 367 formas cuadriticas, 353
contenido de un, 143 matriz simttrica, 348
en n variables, 233 Reflexividad de relaciones. 17
general de grado tr. 244 Regla de Cramer. 330. 33 I.,
grado de un, 138 Regla y compis. construcclon con, 220
irreducible, 140 Reglas de De Morgan. 19
minimo, 202, 255 Regular:
mbnico, 144 diecisieteigono. 224
primitivo, 143 heptigono, 223
raices de un, 210 hexigono. 223
simktrico, 236 n-igono, 224
sobre el campo racional. 143 pentadecigono, 224
sobre un anillo. 146 pentigono. 223
valor de un, 200 transformacion lineal, 255
POLLARD, 249 Relaci6n(es):
Positiva, transformacion lineal. 347, binarias, 22
Positivamente definida. transformacron li- de equivalencia. 17
neal, 347 reflexividad de una, 17
Primitiva, 148 simetria de una. 17
raiz n-tsima, de la unidad. 242. 367 transitividad de una. 17
plinomio, 143 Relativos, primos, 130
r e de un primo. 365 enteros primos, 30
Primo, elemento. 1 30. 147 Rengldn de una matriz, 269
ideal, 151 Residuo cuadratico, 100, 365
numero, 30 Res~duo,teorema de1,-200

393. Resoluci6n espectral, 352 Submodulo, 190
Restriction de una aplicacion a un sub- Suma:
conjunto, 28 directa exterior, 160
directa interior, 160
SAMUEL, 153 Suprayectivas, aplicaciones, 23
Schwarz. desigualdad de. 181. 187 SYLOW. 9792,
SCHNEIDER, 207 Sylow, teorema de, 68, 97, 98 101,
Schur, lema de, 195 82
Secular, ecuacion, 333 Sylvester, ley de, 354
SEGAL, 102 Sylvester, ley de inercia de. 354
Segundo dual, 174
Semejanza, 279 Teorema:
Semicampo, 108 de Brauer-Cartan-Hua. 373
Separable, elemento, 228 de Cauchy, 67. 92
extension. 229 de Cavlev. 77
SIEGEL, 207; 250 de caylei-~amilton, 255, 307,
Signatura, 355, 356 335, 336
Sirnetria de relaciones, 17 de Desargues. 366
SimCtrica(s), diferencia, de dos conjun- de factorizacibn Cnica, 31, 141
tos, 19 de Frobenius. 374
funciones. elementales. 234. 236 de Jacobson, 372
funcionei rationales, 233, 234 de la teoria de Galois, fundamental,
campo de las, 235 239
matriz, 316 de ~agrange, 50, 382, 383
matriz real. 348 de 10s cuatro cuadrados, 377
SimCtricos, grupos, 93, 323 de Pappus, 366
grupos de grado n, 42, 81, 233, 246, de Sylow, 68, 97, 98, 101
249, 278 de Wedderburn, 361, 365, 367, 382
SimCtricos, polinomios, 236 de Wilson, 99, 135
teoremas sobre, 236 del Blgebra, fundamental, 338
Sim~le. extension. 226. 227 del residuo, 210
fundamental del algebra, 338
~ i l g u i a r ;257 fundamental de la teoria de Galois.
transformacidn lineal, 255 239
Sistema de ecuaciones lineales: fundamental sobre 10s grupos abelianos
rango de un, 176 finitos, 192
determinante de un. 330 fundamental sobre 10s modulos finita-
Sistema m~lti~licativo; 125 mente generados, 190
Soluble, grupo, 99, 245 pequefio de Fermat, 371
w r radicales, 243, 244, 247, 249 sobre 10s grupos abelianos finitos, fun-
damental, 192
conjunto de, 23 sobre 10s mddulos finitamente gemra-
diagonal. 16 dos, fundamental, 190
propio, 13 sobre polinomios simCtricos. 236
restriccion de una aplicacion a un, 28 Teoria:
Subespacio, 158 de conjuntos, 12
aniquilador de un, 175 de Galois. 216, 229, 237
ciclico, 292 de matrices, 252, 265
invariante, 280. 285 THOMPSON, 66
Subgrupo(s), 46 Trascendentes, nhmeros, 205, 207
caracteristico, 76 Transformation (es) lineal (es), 253
ciclico generado por ( I , 47 i l p b r a de las 252
clase lateral derecha de un, 48 anillo de, 158
conjugado, 101 conjunto dcsconiponible de, 287
conmutador, 71, 245 determ~nantede una, 329
conmutador superior. 245 divisores elementalus dc una, 306
derecha, clase lateral, de un, 48 hurmitiana, 342, 346
generado por a, ciclico, 47 invariantes de una, n~lpolente,294
pcnerado p)r G, 7 1 ~nvertible,255
~ c n c r ; ~ poro It'. 47
~l irreducible, conjunto de, 216
1141 lrivii~l.4 0 ~natrizde unn, en unas bases dadas,
111)1111:11. 3 0 . ;7 266
1) I l l . ' S
I nilpotente, 287, 288
I1 ll;ll. 4 0 no negirliva. 347

394. L'ransformaci6n (es) Vacio, conjunto, 13
not tnal. 343, 345, 347 Valor de un polinomio, 200
p1~41lil, 347 Valor propio, 261
1.1nb.o de una, 257, 258 VANDER WAERDEN, 249
regular. 255 VANDIVER, 367
inbnlar. 255 Vector(es). 157
t ~ i u ude una, 313 caracteristicos. 263
unitaria, 340, 346 linealmente dependientes, 164
I ransitividad de relacioaes, 17 Vectorial(es), espacio(s), 155
I'ran~posiciones, 85 complejo, 178
I l4an5puesta. 3 12 homomorfismo entre, 158
de una matriz, 315 isomofismo entre, 158
't (aza. 312, 319 real, 178 ,
de u n s matriz. 312
de unlt t r a n s f k a c i o n lineal, 313 WAERDEN, VAN DER, 249
'I'riangular, 279 Waring, problema de. 383
formo, 279, 282 . WEDDERBURN, 366
359,
mat I iz. 279-282 Wedderburn, teorema de 361, 365, 367,
l I iiingulo, desigualdad dcl. 187 382
rt iwcci6n de un bwulo. 222 WEISNG~~~~
WIELANDT, 97
Wilson, teorema de, 99, 135
Unidad en un algebra de matrices, 272 WRIGHT,384
Unidad cn ud anillo. 128
,I-64ma raia. prirnitiva de, 242. 367
Unitin tie conjuntos, 13, 15
Unitwio, K-mdulo, 189 2 X 2, anillo de las matrices racional'es,
U ~ k a r i a ,transformaci6n. 338, 342, 346 106
Esra o h terntino d e imprimirse
el dia 4 d e noviembre d e 1980,
en 10s talleres d e
1,itogriiifca Ingramex, S. A..
se encuadernb en
Ediciones ,y Encuadernaciones Trillos, S. A.,
se timron
2 000 c.iettlplares, mtis sobrantes de reposicibn

395. hacer practicas sobre 10s resultddos obte-
' -
a
nidos. Otrcip problerhas se han *luido
no tanto para ser resueltm en ,su totali-
dad, sino mas bien para que el estudian-
te, a1 intentar su soluci6n, maneje y se
. ejercite en 10s diferentes aspedos del
tema, teniendo asi oportunidad, precisa-
mente por la dikultad que ofrece la solu-
ci6n, de conocer varios caminos hacia la
misma. Otros problemas se han incluido
como material preliminar o precursor de
conceptos que proseguirhn en el orden
del aprendizaje.
OBRA A F ~ N
Anhlisis matemhtieo
Curso de introdmi&
Teoria de 10s grupos
Marehall Hall Jr.
La presente obra ofrece una exposici6n muy com-
pleta de un aspect0 tan fandamental del algebra
moderna como es la teorfa de 10s grupos.
Supone del estudiante un conocimiento elemental
de Algebra moderna. Entre sus campos de aplica-
ci6n figuran - ademas de las ciencias puras - la
eetadlatica superior, la ingenieria y la economia.
Todos 10s fundamentos de la materia aparecen
clara y detalladamente tratados y se reaumen
gran parte de 10s temas de mayor inter& de la
teoria de 10s grupos: grupoa abelianos infinitos,
estru~turade 10s grupos, redes de subgrupos,
representaci6n de grupos, etc. En el liltimo capi-
tulo se desarrolla una presentaci6n algebraica de
diatintos t6picos,de la geometria proyectiva, de
gran inter&.
Es un texto pdcticarnente autosuficiente, no
requbre obra auxiliar alguna para su cabal
comprensi6n. Por otra parte, ofrece una selecta
bibliografia mediante la cual todo estudiante o a ,
investigador podr8. orientarse en 10s temas que
sean de su particular inter&.

396. 1
. . I
- L a presente obra ha sido pen- -'