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FUNCIÓN INVERSA
FUNCIÓN INYECTIVA:
     f

         7
 1       11   Sí es inyectiva.
 2       15
 3       21
 4       31
g
2
3        8   No es inyectiva.
4        9
5       10
7       11




              No es inyectiva.
Sí es inyectiva.
FUNCIÓN SOBREYECTIVA:
          h
  2                7
  3                8
  4                9   Sí es sobreyectiva.
  5               10

              t
                   5
      2
                   7
      3
                  12
      4
                  19   No es sobreyectiva.
      9
                  23
f : IR → IR




     No es sobreyectiva.
f : IR → IR




     Sí es sobreyectiva.
FUNCIÓN BIYECTIVA:
Una función es biyectiva si y sólo si es
inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
NOTA:
  Por lo tanto, para determinar si una
  función dada es o no biyectiva se
  le deben estudiar la inyectividad y
  la sobreyectividad      al   mismo
  tiempo.
OBTENCIÓN DEL CRITERIO DE
          UNA FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo:
Halle el criterio de la función inversa
en cada caso.
1) f ( x) = 3 x + 7
       y = 3x + 7
x = 3y + 7
x − 7 = 3y
 x−7
     =y
  3
             −1x−7
    ⇒ f ( x) =
                3
2) g ( x) = 2 x − 7
              3


      y = 2x − 7
              3


       x = 2y − 7 3


       x + 7 = 2y     3

        x+7
            =y 3

         2
x+7 3 3
3      = y
     2
     x+7
3        =y
      2
3
    4 x + 28
             =y
       2                    3
                             4 x + 28
                      −1
                  ⇒ g ( x) =
                                2
CALCULO DE IMAGEN INVERSA
Ejemplo:
            2x                         −1
Si f ( x) =    − 7, halle el valor de f (10).
            3
       2x
 10 =     −7
       3
          2x
 10 + 7 =
           3
2x
17 =
     3
17(3) = 2 x
51 = 2 x
51            R/
   =x
 2                  −1      51
                   f (10) =
                            2
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
                    −1
Si f (3) = 4 y f (6) = 7, encuentre
el criterio de la función lineal f ( x).
Primero que nada se debe aplicar la
 definición de función inversa para
“encontrar” dos puntos pertenecientes
 a f (x), se sabe por definición que
la x de f es y de f –1 y que la y
de f es x de f –1 por lo tanto se
tiene:
( 3,4) ∧ ( 7,6)    son puntos del gráfico de f ( x).


( 3,4)            ( 7,6)
 x1 y1             x2 y 2

    y2 − y1
 m=
    x2 − x1
6−4
m=
   7−3
    2
 m=
    4
    1
 m=
    2
 b = y − mx
1
b = 4 − (3)
       2
    5
b=
    2
                            1    5
f ( x) = mx + b   ⇒ f ( x) = x +
                            2    2
           x+5
∴ f ( x) =
            2

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Función inversa.

  • 2. FUNCIÓN INYECTIVA: f 7 1 11 Sí es inyectiva. 2 15 3 21 4 31
  • 3. g 2 3 8 No es inyectiva. 4 9 5 10 7 11 No es inyectiva.
  • 5. FUNCIÓN SOBREYECTIVA: h 2 7 3 8 4 9 Sí es sobreyectiva. 5 10 t 5 2 7 3 12 4 19 No es sobreyectiva. 9 23
  • 6. f : IR → IR No es sobreyectiva.
  • 7. f : IR → IR Sí es sobreyectiva.
  • 8. FUNCIÓN BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. NOTA: Por lo tanto, para determinar si una función dada es o no biyectiva se le deben estudiar la inyectividad y la sobreyectividad al mismo tiempo.
  • 9. OBTENCIÓN DEL CRITERIO DE UNA FUNCIÓN INVERSA Ejemplo: Halle el criterio de la función inversa en cada caso. 1) f ( x) = 3 x + 7 y = 3x + 7
  • 10. x = 3y + 7 x − 7 = 3y x−7 =y 3 −1x−7 ⇒ f ( x) = 3
  • 11. 2) g ( x) = 2 x − 7 3 y = 2x − 7 3 x = 2y − 7 3 x + 7 = 2y 3 x+7 =y 3 2
  • 12. x+7 3 3 3 = y 2 x+7 3 =y 2 3 4 x + 28 =y 2 3 4 x + 28 −1 ⇒ g ( x) = 2
  • 13. CALCULO DE IMAGEN INVERSA Ejemplo: 2x −1 Si f ( x) = − 7, halle el valor de f (10). 3 2x 10 = −7 3 2x 10 + 7 = 3
  • 14. 2x 17 = 3 17(3) = 2 x 51 = 2 x 51 R/ =x 2 −1 51 f (10) = 2
  • 15. EJEMPLOS DE APLICACIÓN −1 Si f (3) = 4 y f (6) = 7, encuentre el criterio de la función lineal f ( x). Primero que nada se debe aplicar la definición de función inversa para “encontrar” dos puntos pertenecientes a f (x), se sabe por definición que la x de f es y de f –1 y que la y de f es x de f –1 por lo tanto se tiene:
  • 16. ( 3,4) ∧ ( 7,6) son puntos del gráfico de f ( x). ( 3,4) ( 7,6) x1 y1 x2 y 2 y2 − y1 m= x2 − x1
  • 17. 6−4 m= 7−3 2 m= 4 1 m= 2 b = y − mx
  • 18. 1 b = 4 − (3) 2 5 b= 2 1 5 f ( x) = mx + b ⇒ f ( x) = x + 2 2 x+5 ∴ f ( x) = 2