3. INVESTIGAR, APRENDER Y
PROFUNDIZAR LOS
CONOCIMIENTOS DE LAS
FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARITMICAS, MEDIANTE UN
TRABAJO ESCRITO PARA MEJORAR Y
COMPRENDER MEJOR LA MATERIA.
4.
Se llama función inversa o reciproca de f a
otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1 (b) = a.
5.
Significa que cada elemento de "B" tiene como
mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto
no nos dice que todos los elementos de "B"
tengan alguno en "A").
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
6.
Significa que cada elemento de "B" tiene por lo
menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
Una función f (de un conjunto A a otro B) es
sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo
menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras
palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde
con un elemento del dominio por lo menos.
7.
Significa inyectiva y sobreyectiva a la vez. Así
que hay una correspondencia perfecta "uno a
uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva
si, para cada y en B, hay exactamente un x en A
que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es Biyectiva si es a la vez
inyectiva y sobreyectiva.
8. PODEMOS OBSERVAR QUE
Si dos funciones son inversas su composición
es la función identidad.
f o f -1 = f -1 o f = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de
la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa,
f−1(x), y la inversa de una función
9. Se escribe la ecuación de la función con
x e y.
Se despeja la variable x en función de la
variable y.
Se intercambian las variables.
10.
11.
Esta función se encuentra definida así
Donde a > 0 y a ≠ 1 se denomina función
exponencial.
12.
Para a>1 (es decir, b>0) es monótona
creciente desde 0 hasta ∞+; para a<1(es
decir, b<0) es monótona decreciente desde
∞- hasta 0, tanto más rápidamente cuanto
mayor sea ð bð.
Si a=1, se reduce a la función constante f(x) =1
y no la consideramos como función
exponencial.
13.
TEOREMA (LEYES DE LOS EXPONENTES))
Y si a > 0, b > 0, x ϵ R e y ϵ R, se cumplen las
siguientes igualdades:
1)
4)
2)
5)
3)
6)
14. 1) El dominio de la función es el conjunto R. Esto
significa que
Está definido para todo x ϵ R
2) El rango o recorrido de la función es el conjunto
(o; ∞+). Esto significa que
Para todo x ϵ R+
15. 3) La función exponencial es igual a 1 cuando x = 0.
Es decir,
=1
4) Si 0 < a < 1, la función es estrictamente
decreciente. Esto significa que:
5) Si 0 < a < 1, se tiene que:
16. 6) Si a > 1, la función ax es estrictamente
creciente. Es decir, se verifica que:
7) Si a > 1, se tiene que
17. LA GRAFICA DE LA FUNCION CUANDO ES DECRECIENTE
TIENE UN COMPORTAMIENTO DE ESTA MANERA
Algunas características de las funciones
exponenciales decrecientes:
1) El dominio es el conjunto de los números
reales.
2) El recorrido es el conjunto de los
números reales positivos.
3) El valor de y se acerca a cero pero nunca
será cero, cuando x toma valores positivos.
4) Todas las funciones intersecan al eje y en
el punto (0,1).
5) Son funciones continuas.
18. LA GRAFICA DE LA FUNCION CUANDO ES ESTRICTAMENTE
CRECIENTE TIENE UN COMPORTAMIENTO DE ESTA MANERA
Algunas características de las funciones
exponenciales crecientes:
1) El dominio es el conjunto de los números
reales.
2) El recorrido es el conjunto de los números
reales positivos.
3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será
cero, cuando x toma valores negativos.
4) Todas las funciones intersecan al eje y en el
punto (0,1).
5) Son funciones continuas.
19.
La función exponencial natural es la función ƒ
definida por:
El dominio de la función exponencial es el
conjunto de los números reales y su recorrido es
el conjunto de los números positivos.
Cuando a = e = 2.71828182…. la función se
denomina exponencial natural y se escribe en
lugar de
20.
Para a>1 (es decir, b>0) es monótona
creciente desde 0 hasta ð; para a<1(es decir,
b<0) es monótona decreciente desde ð hasta
0, tanto más rápidamente cuanto mayor sea
ð bð.
lim ax = + ð (a>1) lim ax = 0 (0<a<1)
Xððxðð
21.
22.
Es la función inversa a la función exponencial
por eso podemos determinar que:
y = ax
x = log a x
Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo
de y en la base a es x".
23.
Esta función existe en base a lo demostrado
anteriormente:
x = ð (y) = loga y, definida para 0<y<+ð, si
a>0 y að1.
Escribamos ahora la función de otra
forma:
y = ð (x) = loga x
La ecuación logay = x se lee "el logaritmo
de y en la base a es x".
24.
La función logaritmo de base a donde a > 0 y a ≠
1, es la función inversa de . Se la representa por:
Por lo tanto:
Se tiene, entonces, que
25. 1. El dominio de
es el conjunto (o, ∞+).
Esto significa que
Está definido para todo x > 0
2. El rango o recorrido de
Esto significa que:
Para todo x > 0
es el conjunto R.
26. 3. Si 0 < a < 1, la función es estrictamente
decreciente. Esto significa que:
4. Si 0 < a < 1, se tiene que
5. Si a > 1, la función
es estrictamente
creciente. Esto significa que:
27. 6. Si a > 1, se tiene que
7. Cuando a = e = 2.718288182…. la función
se llama logaritmo natural y se la representa
por Inx. Es decir
Por lo tanto
Y
28. 8. Cuando a = 10,
se llama logaritmo
común y suele representarse por logx. Es
decir,
Por lo tanto
Y
log10 = 1
29.
La función logarítmica solo está definida
sobre los números positivos.
Los números negativos y el cero no tienen
logaritmo
La función logarítmica de base a es la
recíproca de la función exponencial de base a.
Las funciones logarítmicas más usuales son la
de base 10 y la de base e = 2’718281...
Debido a la continuidad de la función
logarítmica, los límites de la forma
30.
31.
Se llama logaritmo natural o logaritmo
neperiano a la primitiva de
Que toma el valor 0 cuando la variable x toma
el valor 1. En resumen:
35.
Las función inversa es muy importante como
antecedente para el estudio de estas funciones.
Para la función exponencial existe su inversa,
que en este caso es la función logarítmica.
Las funciones exponenciales son muy
importantes analizarlas junto con las funciones
logarítmicas pues se encuentran ligadas entre
ellas para su estudio.
36.
Este tipo de funciones nos ayudan a despejar,
resolver incógnitas y problemas dentro de la
administración y también dentro de los
campos de investigación científica cuando
necesitamos saber el comportamiento de las
variables que alteran el mercado de las
empresas.
La coordenada que siempre va a coincidir en
todas las funciones exponenciales y
logaritmicas va a ser (0,1) pues gracias a las
propiedades podemos comprobar esta teoria.
37.
Es importante tomar en cuenta los
antecedentes pues son el punto de partida de
nuestro estudio para que se pueda desarrollar
de una manera correcta.
Los conceptos que se adquieren en el estudio
es necesario ponerlos en práctica dentro de
las funciones pues como hemos visto dentro
de funciones, abarca todo tipo de conceptos
aprendidos.
38.
Es importante realizar correctamente las
funciones pues dentro de los análisis
matemáticos que se presentaran en el
futuro existen variables que necesitaran de
graficas para su estudio y análisis.
Es importante tener presente que ante
todo siempre es posible analizar cualquier
tipo de función mediante su gráfica.
39.
ARYAH Jaddish, MATEMATICAS APLICADAS A LA
ADMINISTRACION Y A LA ECONOMIA.
LEITHOLD, Luis; ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON
GEOMETRIA ANALITICA
INTERNET.-Youtube: Videos de FUNCIONES
EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. Ing. Vargas.
INTERNET.- Google: FUNCION INVERSA, FUNCION
EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
ÁLGEBRA.- Dr. RECALDE, Ángel, Tercera Edición
