Este documento presenta información sobre las funciones cuadráticas. Explica brevemente el origen histórico de las funciones cuadráticas y su desarrollo por matemáticos árabes. Luego define la función cuadrática y describe su representación gráfica como una parábola. Finalmente, detalla conceptos como raíces, representación analítica, representación gráfica, cortes con los ejes x e y, y extremos de la función cuadrática.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U. E. N. Zarina de Asuaje
Barquisimeto- Edo- Lara
Integrantes:
Año/Sección: 3er Año Sección “H”
Barquisimeto, Junio del 2012
1

2. INDICE
PORTADA………………………………………………….………………..PAG. 01
INDICE……………………………………………………………………….PAG. 02
INTRODUCCION…………………………………………………….……..PAG. 03
RESEÑA HISTORICA………………………………………………………PÁG. 04
FUNCION CUADRATICA…………………………………………………PÁG. 05
REPRESENTACION ANALITICA………………………………………..PAG. 06
REPRESENTACION GRAFICA…………………………………………...PAG. 07
RESUMEN…………………………………………………………………...PAG. 08
ANEXOS……………………………………………………………………..PAG. 09
CONCLUSIONES……………………………………………………………PÁG. 11
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………..PAG. 12
2

3. INTRODUCCION
El presente trabajo esta diseñado de forma práctica y sencilla para comenzar a conocer
un poco de esta extraordinaria herramienta, recorriendo lo conceptos y características de
Función Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica,
forma desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el
eje y, corte con el eje x, extremos y un resumen de todo lo visto en el contenido.
El Objetivo del trabajo realizado será estudiar más a fondo los nombres antes
mencionados
representación
(Función
analítica,
Cuadrática,
forma
Grafica
desarrollada,
de
Funciones
forma
Cuadráticas,
factorizada,
forma
raíces,
crónica,
representación grafica, corte con el eje y, corte con el eje x, extremo) para lograr entender
la importancia, características y propiedades de los mismos.
Esto nos ayudara, mas adelante, de manera significativa a aclarar ciertas dudas que
tengamos con respecto a la materia, así mismo aclarar dudas a terceros.
3

4. RESEÑA HISTORICA
Función Cuadrática
Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la
época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C.
aproximadamente.
Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los
conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al
Álgebra y la Trigonometría.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa alKhwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones
cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era
dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos
que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor
influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète
(1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una
ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de
ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
4

5. FUNCION CUADRATICA
Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:
En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo
eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a
es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas
aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.
GRAFICA DE FUNCIONES CUADRATICAS
RAICES
Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para
los cuales.
Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces,
denotadas habitualmente como:
y
,
dependiendo del valor del discriminante Δ definido
como
* Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
* Una solución real doble si el discriminante es cero:
* Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
5

6. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA
Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se
le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una
interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.
FORMA DESARROLLADA
La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del
polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:
Con
FORMA FACTORIZADA
Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:
Siendo a el coeficiente principal de la función, y
y
las raíces de
.En el caso de que el
discriminante Δ sea igual a 0 entonces
por lo que la factorización adquiere la forma:
En este caso a
se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
FORMA CANÓNICA
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
A esta forma de expresión se la llama forma canónica (o reducida). Siendo a el coeficiente
principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta
expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el procedimiento llamado completando el
cuadrado:
Dado:
Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
6

7. Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.
Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.
Sustituyendo:
La expresión queda:
REPRESENTACION GRAFICA
CORTE CON EL EJE Y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale
cero (0):
Lo que resulta:
La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
CORTE CON EL EJE X
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:
Se tiene que:
7

8. Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x,
que se obtienen, como es sabido, por la expresión:
Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
EXTREMOS
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si
parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras
que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
la coordenada x del
Dada la función en su forma desarrollada:
vértice será simplemente:
La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.
Dada la forma canónica:
las coordenadas explícitas del vértice
son: (h,k).
RESUMEN
Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.

Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.

Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.

Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.

Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)

Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0,
pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.
8

9. 9

10. Cortes con los ejes
Influencia de los parámetros en la
gráfica de las funciones cuadráticas
Representación gráfica
de una función cuadrática
Partes
Aplicación de Valor Absoluto
a Función Cuadrática
Viete
10

11. CONCLUSIONES
El trabajo antes mencionado nos permitió entender y conocer acerca de la Función
Cuadrática, Grafica de Funciones Cuadráticas, raíces, representación analítica, forma
desarrollada, forma factorizada, forma crónica, representación grafica, corte con el eje y,
corte con el eje x, extremos.
Habiendo analizado y entendido estos conceptos presentados estaremos mejor
preparados, no solo en el área de matemáticas, sino también en la parte de simetría.
11

12. BIBLIOGRAFIA
1. Grupo Epsilon, ed (9 de 1994) (en español). Estudio de funciones : la función
cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7.
2. Gallego Palomero (7 de 1989) (en español). Función cuadrática (1 edición).
Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8.
3. thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
4. www.juntadeandalucia.es/.../funciones/teoriafuncioncuadratica/...
5. matematicatuya.com/FUNCIONES/11funcionescuadraticas.html
6.
www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html
12