Nociones basicas sobre geometria esfericaemmanuel317
Se presentan las nociones básicas de la geometría esférica. Se compara con la geometría plana para reconocer las diferencias de esta maravillosa geometría no euclidiana. Vale la pena aclarar que esta es una geometría particular de la llamada "geometría elíptica"
Nociones basicas sobre geometria esfericaemmanuel317
Se presentan las nociones básicas de la geometría esférica. Se compara con la geometría plana para reconocer las diferencias de esta maravillosa geometría no euclidiana. Vale la pena aclarar que esta es una geometría particular de la llamada "geometría elíptica"
Perspectiva axonométrica. Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.
Concepto de Escala, origen de escala, tipos de escala, relación de escala y proporción // Concept Scale, home of scale, scale types, scale and proportion relationship
Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Electróni...MATEOESTEBANCALDERON
Los espacios y sub-espacios vectoriales están aplicados en muchos campos de la vida cotidiana, en ingeniería, es muy útil para todo sin embargo en este trabajo analizaremos su aplicación a un área específica de la ingeniería electrónica y automatización.
Perspectiva axonométrica. Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.
Concepto de Escala, origen de escala, tipos de escala, relación de escala y proporción // Concept Scale, home of scale, scale types, scale and proportion relationship
Aplicaciones de espacios y subespacios vectoriales en la carrera de Electróni...MATEOESTEBANCALDERON
Los espacios y sub-espacios vectoriales están aplicados en muchos campos de la vida cotidiana, en ingeniería, es muy útil para todo sin embargo en este trabajo analizaremos su aplicación a un área específica de la ingeniería electrónica y automatización.
1. GEOMETRÍA
EL LENGUAJE DEL ESPACIO Y LAS FORMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Ms. Ana María Teresa LUCCA
matematicaconhistoria.jimdo.com
4. Geometría proyectiva
Siglo XV
Surge una nueva geometría a partir de los
esfuerzos de los artistas del Renacimiento
para dibujar y pintar el mundo tal cual
como aparece a la vista.
Arte representativo o figurativo
10. Geometría proyectiva
La principal dificultad en hacer
arte representacional es que el artista
se esfuerza por proyectar
una imagen bidimensional
de un objeto tridimensional.
21. Curso en el Arte de la Medida
Importancia de la geometría y la medición
en el arte figurativo
Aplica la matemática a
problemas de perspectiva.
22. Durero
Escribe sobre el problema de duplicar un cubo.
Demuestra familiaridad con las secciones
cónicas.
Quiere analizar y hacer accesible a sus
contemporáneos en el norte de Europa la teoría
detrás del arte que estaba siendo creado.
24. Pero Durero…
nos dice cómo construir lo que hoy
llamaríamos una proyección
–y lo que Leonardo imaginó
como un panel de vidrio–
entre el observador y el objeto.
25.
26. Consecuencias…
Fue un primer paso importante en el desarrollo
de la geometría proyectiva.
Proporcionaron un contexto para su posterior
estudio, así como los primeros ejemplos
concretos de proyecciones.
A pesar de que no se demostraron teoremas, su
trabajo sirvió de base para investigaciones
matemáticas más rigurosas.
31. Recordemos…
una proyección de una imagen suele
cambiar tanto los ángulos como las
longitudes que uno encuentra en la
imagen original.
32. ¿cuáles, si las hay,
son las propiedades
que siguen siendo
las mismas de una
proyección a la
siguiente?
33. Muy evidente!!!
Aunque ni la forma ni el
tamaño del triángulo son
preservadas, la imagen de
cualquier triángulo bajo una
proyección es siempre
otro triángulo.
34. Tratado sobre la Sección Perspectiva
Contiene el primer teorema de la
geometría proyectiva.
Demuestra la existencia de una propiedad
no obvia de una transformación
proyectiva.
36. Teorema de Desargues
Dados dos triángulos, si las líneas determinadas
por los pares de vértices correspondientes
todas se reúnen en un punto común,
entonces los puntos determinados por los lados
correspondientes se encuentran todos
a lo largo de una línea común.
39. Desargues descubre que…
No importa cómo
es proyectada una sección cónica,
el resultado es otra sección cónica.
40. Desargues demostró que…
La imagen de una elipse bajo una
proyección debe ser
una elipse,
una parábola o
una hipérbola.
No existen otras posibilidades.
parábola
hipérbola
41. Conclusión:
Una proyección de una sección cónica
es siempre una sección cónica,
y es en este sentido que
todas las cónicas son "lo mismo"
en la geometría proyectiva.
43. Ensayo sobre Cónicas
Expone sus conclusiones a partir de la búsqueda de otras
propiedades de las figuras geométricas que fueran
invariantes bajo proyecciones.
45. Con Desargues y Pascal…
la geometría proyectiva tuvo un comienzo
prometedor.
Desafortunadamente sus descubrimientos
fueron, en su mayor parte, ignorados.
46. 1639 – 1951
Anteproyecto de un intento
de hacer frente
a los eventos de la reunión
de un cono con un plano.
50. Monge el incansable
Desarrolló la geometría descriptiva.
Escribió sobre análisis matemático, química, óptica,
meteorología, metalurgia, reforma educativa y otros temas.
Era maestro en la Escuela Militar de Mézières
Aceptó un segundo puesto de enseñanza simultáneo en la
Academia de Ciencias de París.
Aceptó un tercer puesto simultáneo como examinador de
cadetes navales.
Ayudó a establecer el sistema métrico decimal en Francia.
51. Monge
Priorizó la geometría por sobre el análisis.
Utilizó métodos geométricos para expresar y
resolver problemas en análisis.
54. Teorema de Pascal Teorema de Brianchon
Comparamos?
Dado un hexágono inscrito
dentro de una sección
cónica, los puntos de
intersección de los lados
opuestos del hexágono están
contenidos en una sola recta.
Dado un hexágono
circunscrito alrededor de
una sección cónica, las rectas
que conectan vértices
opuestos del hexágono se
intersecan en un solo punto.
57. Obras de Poncelet
Aplicaciones de Análisis y Geometría
1862/4
Tratado sobre las propiedades proyectivas
de las figuras
1814
58. Poncelet
Padre de la geometría proyectiva
Fue quien primero identificó muchas de las características
más importantes de las figuras que se preservan bajo
proyecciones.
59. Razón cruzada
No se preserva:
𝑨𝑩/𝑩𝑪
Sí se preserva:
𝑨𝑪
𝑪𝑩
𝑨𝑫
𝑫𝑩
𝑨𝑩/𝑩𝑪 ≠ 𝑨′
𝑩′
/𝑩′
𝑪′
𝑨𝑪
𝑪𝑩
𝑨𝑫
𝑫𝑩
=
𝑨′
𝑪′
𝑪′ 𝑩′
𝑨′ 𝑫′
𝑫′ 𝑩′
60. Importancia…
Cualquier transformación del espacio que preserva la razón
cruzada es una transformación proyectiva.
En otras palabras, los conceptos de razón cruzada y
proyección están íntimamente relacionados.
La razón cruzada se puede utilizar para comprender cómo
las posiciones de los puntos cambian bajo las proyecciones.
61. Teorema de Pascal Teorema de Brianchon
Recordemos!!!
Dado un hexágono inscrito
dentro de una sección
cónica, los puntos de
intersección de los lados
opuestos del hexágono están
contenidos en una sola recta.
Dado un hexágono
circunscrito alrededor de
una sección cónica, las rectas
que conectan vértices
opuestos del hexágono se
intersecan en un solo punto.
62. Teorema de Desargues
Dados dos triángulos, si las líneas determinadas
por los pares de vértices correspondientes
todas se reúnen en un punto común,
entonces los puntos determinados por los lados
correspondientes se encuentran todos
a lo largo de una línea común.
los puntos determinados
lados
todos se encuentran en una recta
las rectas determinadas vértices
intersectan todas
en un punto
64. Atención!!!
No hay un principio de dualidad en
la geometría euclidiana, aunque podemos
encontrar declaraciones duales aisladas,
tales como el Teorema de Pappus.
73. Principios de 1800
Evariste Galois
(1811 – 1832)
Niels Henrik Abel
(1802 – 1829)
Nueva forma de pensar la matemática.
74. Cómo?
Ellos comenzaron reconociendo la existencia
de ciertas estructuras lógicas que son compartidas
por diferentes tipos de matemática.
aritmética y análisis
geometría y álgebra
75. Estructura más interesante…
Es una herramienta muy útil para ayudar
a los matemáticos a entender cómo
"funciona" la matemática.
76. Para tener en cuenta…
Un grupo es un conjunto de símbolos que se pueden
combinar, sujeto a ciertas restricciones, para producir otros
símbolos que también están en el grupo.
La interpretación que le damos a los símbolos depende de
las preguntas que estamos haciendo y de qué objetos
deseamos estudiar.
Hay ciertos criterios que cada grupo satisface, y hay otros
criterios en los que un grupo puede diferir de otro.
clasificar grupos
77. ¿Qué hizo Klein?
Examinó el conjunto de movimientos que es
característico de cada geometría.
El conjunto de todos estos movimientos
característicos formaba un grupo.
Cada geometría podría estar asociada con un
grupo de movimientos.
78. Ejemplo…
Geometría euclidiana
El conjunto de movimientos que definen la geometría es el
conjunto de todas las rotaciones y traslaciones que se pueden
aplicar a cualquier figura.
movimientos euclidianos
Las propiedades geométricas de la geometría euclidiana son
exactamente aquellas propiedades que se mantienen sin
cambios bajo todo movimiento euclidiano.
longitud y medidas angulares
79. Ejemplo…
Geometría euclidiana
Dos de tales movimientos se pueden combinar para producir
un tercer movimiento.
producto de movimientos
El conjunto de todos estos movimientos, cuando son
combinados de esta manera, forma un grupo.
grupo de movimientos euclidianos
80. Klein descubrió que…
el conjunto de todos los movimientos proyectivos también
forma un grupo.
los elementos en este grupo de movimientos
dejan otras propiedades –por ejemplo,
la razón cruzada o la propiedad de
ser una cónica– sin cambios.
81. Klein descubrió también que…
En comparación con
el grupo de movimientos euclidianos,
el grupo de todos los movimientos
proyectivos tiene una estructura
un poco más complicada.
82. Revelaciones…
La geometría euclidiana y la geometría
proyectiva están relacionadas entre sí.
La geometría euclidiana es en realidad un caso
muy especial en el campo más grande y más
inclusivo de la geometría proyectiva.
87. Postulado de las paralelas
Si una (recta) transversal cae en dos rectas de tal
manera que los ángulos interiores en un lado de la
transversal son menores que dos ángulos rectos,
entonces las rectas se encuentran en ese lado en el
que los ángulos son menos que dos ángulos rectos.
88. Objetivo…
Demostrar que las rectas se intersectarán
utilizando todos los axiomas y postulados
de Euclides excepto el quinto postulado.
90. Hacia el 1700
Euclides estaba en lo correcto después de todo.
Se había empezado a pensar que matemáticamente hablando el quinto
postulado no era una consecuencia lógica de cualquier otra cosa en la
geometría euclidiana, sino que era una idea independiente.
91. Versión de Lobachevsky
Dada una recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙,
es posible construir exactamente una recta
que pasa por 𝑃 y es paralela a 𝑙.
92. Versión alternativa de Lobachevsky
Dada una recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙,
existen al menos dos líneas rectas que
pasan por 𝑃 y son paralelas a 𝑙.
97. Postulado de Bolyai
Dada una recta y un punto
no sobre la recta, existen una
infinidad de rectas distintas
a través del punto dado
y paralelas a la recta dada.
98. Sus resultados en…
Ciencia absoluta del espacio
Un intento de introducir estudios jóvenes a los
elementos de las matemáticas puras.
János Bolyai
Farkas Bolyai
102. Gauss sabía que…
Una de las consecuencias de la geometría
no euclidiana descrita por Lobachevsky
es que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es siempre menor que 180°.
103. Además…
La suma de las medidas de los ángulos interiores
de un triángulo disminuye a medida que
el área del triángulo aumenta.
