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Geometria 2
- 1. GEOMETRÍA EL LENGUAJE DELESPACIO Y LAS FORMAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Ms. Ana María Teresa LUCCA matematicaconhistoria.jimdo.com
- 2. MATEMÁTICA Y ARTE DURANTEEL RENACIMIENTO GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas
- 3. 1000 años despuésde… Pappus de Alejandría Siglo III d.C.
- 4. Geometría proyectiva Siglo XV Surgeuna nueva geometría a partir de los esfuerzos de los artistas del Renacimiento para dibujar y pintar el mundo tal cual como aparece a la vista. Arte representativo o figurativo
- 5. Arte europeo –Edad Media
- 6. Arte europeo –Edad Media
- 7. Arte europeo –Edad Media
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- 10. Geometría proyectiva La principaldificultad en hacer arte representacional es que el artista se esfuerza por proyectar una imagen bidimensional de un objeto tridimensional.
- 11. Leonardo da Vinci Andreadel Verrocchio (1435 – 1488) (1452 – 1519)
- 12. El bautismo deCristo – 1474/5
- 13. Notas de Leonardo (1508– 1509)
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- 16. A través delos cuadernos de Leonardo aprendemos sus ideas sobre la base matemática para la pintura y el dibujo figurativo.
- 17. Antecesores… León Battista Alberti (1404– 1472) Piero della Francesco (1420 – 1492)
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- 19. Ángulos y distanciascambian
- 20. Alberto Durero Michael Wolgemut (1434– 1519) (1471 – 1528)
- 21. Curso en elArte de la Medida Importancia de la geometría y la medición en el arte figurativo Aplica la matemática a problemas de perspectiva.
- 22. Durero Escribe sobre elproblema de duplicar un cubo. Demuestra familiaridad con las secciones cónicas. Quiere analizar y hacer accesible a sus contemporáneos en el norte de Europa la teoría detrás del arte que estaba siendo creado.
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- 24. Pero Durero… nos dicecómo construir lo que hoy llamaríamos una proyección –y lo que Leonardo imaginó como un panel de vidrio– entre el observador y el objeto.
- 26. Consecuencias… Fue un primerpaso importante en el desarrollo de la geometría proyectiva. Proporcionaron un contexto para su posterior estudio, así como los primeros ejemplos concretos de proyecciones. A pesar de que no se demostraron teoremas, su trabajo sirvió de base para investigaciones matemáticas más rigurosas.
- 27. LOS PRIMEROS TEOREMAS GEOMETRÍA– El lenguaje del Espacio y las Formas
- 28. ¿Qué es unteorema? Un teorema es una afirmación que no es evidente por sí misma y que se ha demostrado verdadera.
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- 30. Desargues… inventó su propiovocabulario.
- 31. Recordemos… una proyección deuna imagen suele cambiar tanto los ángulos como las longitudes que uno encuentra en la imagen original.
- 32. ¿cuáles, si lashay, son las propiedades que siguen siendo las mismas de una proyección a la siguiente?
- 33. Muy evidente!!! Aunque nila forma ni el tamaño del triángulo son preservadas, la imagen de cualquier triángulo bajo una proyección es siempre otro triángulo.
- 34. Tratado sobre laSección Perspectiva Contiene el primer teorema de la geometría proyectiva. Demuestra la existencia de una propiedad no obvia de una transformación proyectiva.
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- 36. Teorema de Desargues Dadosdos triángulos, si las líneas determinadas por los pares de vértices correspondientes todas se reúnen en un punto común, entonces los puntos determinados por los lados correspondientes se encuentran todos a lo largo de una línea común.
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- 38. Resultados en Anteproyecto deun intento de hacer frente a los eventos de la reunión de un cono con un plano.
- 39. Desargues descubre que… Noimporta cómo es proyectada una sección cónica, el resultado es otra sección cónica.
- 40. Desargues demostró que… Laimagen de una elipse bajo una proyección debe ser una elipse, una parábola o una hipérbola. No existen otras posibilidades. parábola hipérbola
- 41. Conclusión: Una proyección deuna sección cónica es siempre una sección cónica, y es en este sentido que todas las cónicas son "lo mismo" en la geometría proyectiva.
- 42. Blaise Pascal Etienne Pascal (1588– 1651) (1623 – 1662)
- 43. Ensayo sobre Cónicas Expone sus conclusiones a partir de la búsqueda de otras propiedades de las figuras geométricas que fueran invariantes bajo proyecciones.
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- 45. Con Desargues yPascal… la geometría proyectiva tuvo un comienzo prometedor. Desafortunadamente sus descubrimientos fueron, en su mayor parte, ignorados.
- 46. 1639 – 1951 Anteproyectode un intento de hacer frente a los eventos de la reunión de un cono con un plano.
- 47. REDESCUBRIMIENTO DE LA GEOMETRÍAPROYECTIVA GEOMETRÍA – El lenguaje del Espacio y las Formas
- 48. ¿Qué pasó en150 años?
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- 50. Monge el incansable Desarrolló la geometría descriptiva. Escribió sobre análisis matemático, química, óptica, meteorología, metalurgia, reforma educativa y otros temas. Era maestro en la Escuela Militar de Mézières Aceptó un segundo puesto de enseñanza simultáneo en la Academia de Ciencias de París. Aceptó un tercer puesto simultáneo como examinador de cadetes navales. Ayudó a establecer el sistema métrico decimal en Francia.
- 51. Monge Priorizó la geometríapor sobre el análisis. Utilizó métodos geométricos para expresar y resolver problemas en análisis.
- 52. Mayor legado deMonge… sus estudiantes.
- 53. Charles-Jules Brianchon Redescubrió el Teoremade Pascal (1785 – 1864)
- 54. Teorema de PascalTeorema de Brianchon Comparamos? Dado un hexágono inscrito dentro de una sección cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos del hexágono están contenidos en una sola recta. Dado un hexágono circunscrito alrededor de una sección cónica, las rectas que conectan vértices opuestos del hexágono se intersecan en un solo punto.
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- 57. Obras de Poncelet Aplicacionesde Análisis y Geometría 1862/4 Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras 1814
- 58. Poncelet Padre de lageometría proyectiva Fue quien primero identificó muchas de las características más importantes de las figuras que se preservan bajo proyecciones.
- 59. Razón cruzada Nose preserva: 𝑨𝑩/𝑩𝑪 Sí se preserva: 𝑨𝑪 𝑪𝑩 𝑨𝑫 𝑫𝑩 𝑨𝑩/𝑩𝑪 ≠ 𝑨′ 𝑩′ /𝑩′ 𝑪′ 𝑨𝑪 𝑪𝑩 𝑨𝑫 𝑫𝑩 = 𝑨′ 𝑪′ 𝑪′ 𝑩′ 𝑨′ 𝑫′ 𝑫′ 𝑩′
- 60. Importancia… Cualquier transformacióndel espacio que preserva la razón cruzada es una transformación proyectiva. En otras palabras, los conceptos de razón cruzada y proyección están íntimamente relacionados. La razón cruzada se puede utilizar para comprender cómo las posiciones de los puntos cambian bajo las proyecciones.
- 61. Teorema de PascalTeorema de Brianchon Recordemos!!! Dado un hexágono inscrito dentro de una sección cónica, los puntos de intersección de los lados opuestos del hexágono están contenidos en una sola recta. Dado un hexágono circunscrito alrededor de una sección cónica, las rectas que conectan vértices opuestos del hexágono se intersecan en un solo punto.
- 62. Teorema de Desargues Dadosdos triángulos, si las líneas determinadas por los pares de vértices correspondientes todas se reúnen en un punto común, entonces los puntos determinados por los lados correspondientes se encuentran todos a lo largo de una línea común. los puntos determinados lados todos se encuentran en una recta las rectas determinadas vértices intersectan todas en un punto
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- 64. Atención!!! No hay unprincipio de dualidad en la geometría euclidiana, aunque podemos encontrar declaraciones duales aisladas, tales como el Teorema de Pappus.
- 65. Principio de dualidad JosephDíaz Gergonne (1771 – 1859)
- 66. El diario deGergonne Annales de mathématique pures et appliqués Annales de Gergonne
- 67. Mejor manera deexpresar la geometría geometría sintética métodos analíticos - álgebra
- 68. Karl Georg Christianvon Staudt Carl Friedrich Gauss (1798 – 1867)
- 69. Aporte de vonStaudt Demostró que la geometría proyectiva es una rama independiente de la geometría.
- 70. Felix Klein (1849 –1925)
- 71. Klein se preguntó… ¿Cuálesson las relaciones entre estas geometrías?
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- 73. Principios de 1800 EvaristeGalois (1811 – 1832) Niels Henrik Abel (1802 – 1829) Nueva forma de pensar la matemática.
- 74. Cómo? Ellos comenzaron reconociendola existencia de ciertas estructuras lógicas que son compartidas por diferentes tipos de matemática. aritmética y análisis geometría y álgebra
- 75. Estructura más interesante… Esuna herramienta muy útil para ayudar a los matemáticos a entender cómo "funciona" la matemática.
- 76. Para tener encuenta… Un grupo es un conjunto de símbolos que se pueden combinar, sujeto a ciertas restricciones, para producir otros símbolos que también están en el grupo. La interpretación que le damos a los símbolos depende de las preguntas que estamos haciendo y de qué objetos deseamos estudiar. Hay ciertos criterios que cada grupo satisface, y hay otros criterios en los que un grupo puede diferir de otro. clasificar grupos
- 77. ¿Qué hizo Klein? Examinóel conjunto de movimientos que es característico de cada geometría. El conjunto de todos estos movimientos característicos formaba un grupo. Cada geometría podría estar asociada con un grupo de movimientos.
- 78. Ejemplo… Geometría euclidiana Elconjunto de movimientos que definen la geometría es el conjunto de todas las rotaciones y traslaciones que se pueden aplicar a cualquier figura. movimientos euclidianos Las propiedades geométricas de la geometría euclidiana son exactamente aquellas propiedades que se mantienen sin cambios bajo todo movimiento euclidiano. longitud y medidas angulares
- 79. Ejemplo… Geometría euclidiana Dosde tales movimientos se pueden combinar para producir un tercer movimiento. producto de movimientos El conjunto de todos estos movimientos, cuando son combinados de esta manera, forma un grupo. grupo de movimientos euclidianos
- 80. Klein descubrió que… el conjunto de todos los movimientos proyectivos también forma un grupo. los elementos en este grupo de movimientos dejan otras propiedades –por ejemplo, la razón cruzada o la propiedad de ser una cónica– sin cambios.
- 81. Klein descubrió tambiénque… En comparación con el grupo de movimientos euclidianos, el grupo de todos los movimientos proyectivos tiene una estructura un poco más complicada.
- 82. Revelaciones… La geometría euclidianay la geometría proyectiva están relacionadas entre sí. La geometría euclidiana es en realidad un caso muy especial en el campo más grande y más inclusivo de la geometría proyectiva.
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- 84. GEOMETRÍA NO-EUCLIDIANA GEOMETRÍA –El lenguaje del Espacio y las Formas
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- 86. Nikolai Ivanovich Lobachevsky Universidad de Kazan (1792 – 1856)
- 87. Postulado de lasparalelas Si una (recta) transversal cae en dos rectas de tal manera que los ángulos interiores en un lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, entonces las rectas se encuentran en ese lado en el que los ángulos son menos que dos ángulos rectos.
- 88. Objetivo… Demostrar que lasrectas se intersectarán utilizando todos los axiomas y postulados de Euclides excepto el quinto postulado.
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- 90. Hacia el 1700 Euclides estaba en lo correcto después de todo. Se había empezado a pensar que matemáticamente hablando el quinto postulado no era una consecuencia lógica de cualquier otra cosa en la geometría euclidiana, sino que era una idea independiente.
- 91. Versión de Lobachevsky Dadauna recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙, es posible construir exactamente una recta que pasa por 𝑃 y es paralela a 𝑙.
- 92. Versión alternativa deLobachevsky Dada una recta, 𝑙, y un punto, 𝑃, no sobre 𝑙, existen al menos dos líneas rectas que pasan por 𝑃 y son paralelas a 𝑙.
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- 94. Aquí… La suma delos ángulos interiores de un triángulo es siempre menor que 180°.
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- 96. János Bolyai Farkas Bolyai (1775– 1856) (1802 – 1860)
- 97. Postulado de Bolyai Dadauna recta y un punto no sobre la recta, existen una infinidad de rectas distintas a través del punto dado y paralelas a la recta dada.
- 98. Sus resultados en… Cienciaabsoluta del espacio Un intento de introducir estudios jóvenes a los elementos de las matemáticas puras. János Bolyai Farkas Bolyai
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- 100. Carl Friedrich Gauss (1777– 1855) Ferdinand Karl Schweikart (1780 – 1859)
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- 102. Gauss sabía que… Unade las consecuencias de la geometría no euclidiana descrita por Lobachevsky es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor que 180°.
- 103. Además… La suma delas medidas de los ángulos interiores de un triángulo disminuye a medida que el área del triángulo aumenta.
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- 105. Nos vemos lapróxima…