Este documento presenta 21 problemas matemáticos que deben ser resueltos como parte de un trabajo escolar. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, funciones cuadráticas, ecuaciones fraccionarias e irracionales, logaritmos y operaciones con números complejos. El trabajo debe ser entregado el 23 de noviembre de 2012 para una evaluación de curso remedial.

1. Iván Darío Montoya Baena.
Área: Matemáticas
I.E.R.Chaparral
Año 2012
Trabajo como prerrequisito para realizar la evaluación de curso remedial de los tres
períodos académicos del año 2012. Debe entregarse en hojas de Block con una
excelente presentación el día viernes 23 de Noviembre del presente año.
1. Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:
2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación y método gráfico:
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de comparación y cramer:
4. Resuelve por el método que consideres más adecuado:
5. Dos de los siguientes sistemas tienen solución única, uno de ellos es incompatible
(no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Intenta
averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Después,
resuélvelos gráficamente para comprobarlo:
6. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:

2. 7. Halla las soluciones de estos sistemas:
8. Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,8 €; tres barras de pan y cuatro
litros de leche cuestan 4,7 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro
de leche?
9. La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte
del otro es 6. ¿De qué números se trata?
10. Por una calculadora y un cuaderno habríamos pagado, hace tres días, 10,80 €.
El precio de la calculadora ha aumentado un 8%, y el cuaderno tiene una rebaja del
10%. Con estas variaciones, los dos artículos nos cuestan 11,34 €. ¿Cuánto costaba
cada uno de los artículos hace tres días?
11. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €. Después
de algún tiempo, los vende por 2 157,50 €. Con el equipo de música perdió el 10% de
su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto lecostó cada uno?
12. En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El
encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg.
¿Cuánto tiene que poner de cada clase?
13. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 400 km. Un coche sale desde A
hacia B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente, sale otro coche desde B hacia
A a 110 km/h. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? ¿A qué distancia de A se
producirá el encuentro?
14. El perímetro de un rectángulo es de 20 cm, y su área,
de 21 cm2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
g
15. Si acortamos en 2 cm la base de un rectángulo y en 1 f 5
cm su altura, el área disminuye en 13 cm2. Calcula las 4
dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es 3
de 24 cm. 2
j
1
16 Grafique las siguientes funciones: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = (x + 5)2 – 8 ; g(x) = -3x2 – 6x + 12 ; h(x) = x2 -1
2
– 4x + 4 ; t(x) = -x + 3x Indicar para cada una: a) -2
-3 h
-4
-5

3. Ceros o raíces e intersección con el eje y; b) Coordenadas del vértice y eje de
simetría; c) Intervalos de positividad y negatividad; d) Intervalos de crecimiento
y decrecimiento e) Máximos y mínimos.
17. Las funciones g, h y j fueron obtenidas desplazando el gráfico de f(x)= x2.
Escriban la fórmula de cada una de las funciones.
Indique cuántas raíces reales tienen cada una de las funciones graficadas en el
ejercicio anterior.
18. Halle, si es que existen, las raíces reales de las siguientes funciones:
a) f(x) = (x-3)2 – 9 b) g(x) = 4x2 – 5x
c) h(x) = – x2 – 4 d) j(x) = x2 + 3x + 2 e) k(x) = –4x2 + 4x – 1
19. Grafique las siguientes funciones. Para ello, determinen previamente las
raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el
punto de intersección con el eje de las ordenadas (y).
p(x) = x2 - 2x - 8 q(x) = - x2 + 6x - 9
r(x) = (2x - 1)(x + 2,5) s(x) = -0,5(x + 1)2 – 1,5
t(x) = - x2 - x - 2
20. Sin resolverlas, indique el tipo de raíces que tiene cada una de las
siguientes ecuaciones:
a) 3x – x2 + 0,1= 0 b) x2 + 4 = 0 c) − 1 + 2x – 9x2 = 0 d) 3x2 - 1 =
9 2
0
21. Exprese en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:
f(x) = x2 + x g(x) = - x2 + 1 h(x) = x2 + 6 x – 27
j(x) = -2 x2 - 7 x – 3 k(x) = - x2 + 12 x – 36 p(x) = 4 x2 – 1
22. Las siguientes funciones cuadráticas están escritas en forma canónica.
Exprésenla en forma factorizada:
f(x) = 2(x - 1)2 – 2 g(x) = 3(x + 1)2 – 12 h(x) = - x2 + 2
2 2
j(x) = 4(x - 2) – 1 k(x) = - 5(x + 4) q(x) = 9(x + 1)2 – 4
23. Escriba cada una de las siguientes funciones cuadráticas en la forma
ax2+bx+c
f(x) = 6 (x - 1)(x+9) g(x) = 5 (x - 4)2 - 125
h(x) = - 3 x2 + 8x + 3 j(x) = -4x2
24. Reconstruir las ecuaciones cuyas raíces son:
1 3 −5 1
a) 3 y − b) -1 y 9 c) y d) -3 y −
3 2 2 2

4. 25. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias e irracionales de segundo
grado:
a ) x ( x 2 − 3 x ) − 4 ( x − 1) = x3 b) x 2 + x + 1 = 0 c) ( x + 1) = (1 − 3 x )
2 2
d)
2x −1
=
x
e)
(x − 2) = 12
f)
x +1
= 2x
x −3 x + 4 3 (x + 2) x
g)
( x + 2 ) = ( 3x - 4 ) h)
( x +1) + ( x - 3 ) = 5
( x - 3 ) ( x+ 2 ) ( x + 3 ) ( x - 1) 4
i)
( x +1) + 3x = 1
( x + 2) ( x + 2) 4
2
j)
5
+
4
=1 k)
( x² - 1) + 5 = 3
( x +1) ( x - 1)
2
( x - 2) ( x - 2)
l)
( x² + x + 3 ) = ( 2x + 5 )
( x² - x + 3 ) ( 2x +7 )
26. Calcule los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1,
2
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 3-x
c) h(x) = (1/3)x
d) k(x) = (1/3)-x
27. Calcule los valores que toman las siguientes funciones para x =-2, -1, 0, 1, 2
x −x
a) f ( x) = 5 c) f ( x) = 5
x −x
1 1
b) f ( x) =   d) f ( x) =  
5 5
28 Represente gráficamente las siguientes funciones:
x x
1 1
a) f ( x) =   c) f ( x) =  
2 5
x x
1 1
b) f ( x) =   d) f ( x) =  
3  10 
29. Hallar el logaritmo de:

5. a) log2 4 = f) log2 0,5 =
b) log3 27 = g) log2 0,25 =
c) log2 16 = h) log2 0,125 =
d) log5 125 = i) log6 216 =
e) log3 243 = j) log 100000 =

6. 30. Resolver:
31 Efectuar las siguientes operaciones:
a) 5 + 7 i + 5 – 7 i =
b) 1 + 3 i + 2 + 5 i - (3 – 2 i) =
c) 2 + i + 1 + i - (2 + 3 i + 5 – 2 i) =
32. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 4 – 8 i - (x + 2 i) = 4 – 9 i
b) x + 2 i - (2 – 5 i) = 7 – 3 i
33. Calcular:
3 − 2i 1 4+i 1 + 3i
a) b) c) d)
2+i (1 − i )5 1 − 3i 2+i
3 − 2i 5 − 5i 1 2 5/ 2−i 3
e) f) g) − +
2 − 3i 3 + 4i 2 + i 3 1+ i 3 2+i 3
34. Halle los valores pedidos, justificando todos los pasos, sabiendo que cada
par de triángulos son semejantes:

7. 36. Para hallar la altura de un asta de bandera, un muchacho cuyos ojos se
encuentran a 1.65 metros del suelo coloca una vara de 3 metros de largo
clavada en el piso a 15 metros de distancia del asta. Entonces retrocediendo
2.55 metros encuentra que donde va l apunta del asta está alineada con la
punta de la vara. ¿Cuál es la altura del asta?