Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica que una función cuadrática puede escribirse como f(x)=ax2+bx+c y tiene la forma de una parábola. Describe cómo encontrar el vértice, eje de simetría, ceros y raíces de una función cuadrática. Además, explica cómo graficar funciones cuadráticas y resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el método de completar el cuadrado.

1. Tema VI
Funciones Cuadráticas
Precálculo

2. Función Cuadrática
Una función cuadrática es una función que puede ser
escrita en la forma f  x   a  x  h   k  a  0  .
2
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
La gráfica de una función cuadrática tiene forma
de U y se conoce como una parábola.

3. Vértice de una Parábola
• Si una parábola abre hacia arriba, tiene un
punto mínimo.
• Si una parábola abre hacia abajo, tiene un
punto máximo.
• Este punto más bajo o más alto es el vértice
de la parábola.
• La forma del vértice de una función cuadrática
es f(x) = a(x – h)2 + k.
• El vértice de la parábola es (h, k).

4. Forma del Vértice de una Función
Cuadrática
f  x  a  x  h  k
2
Indica una
Indica una reflexión a través del Indica una translación vertical
eje de x y/o una compresión o translación
estiramiento vertical. horizontal

5. Escribiendo Funciones Cuadráticas
Transformadas
• Utiliza las siguientes descripciones para escribir las
funciones cuadráticas en la forma del vértice.
1) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x, estirada
verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades a la
izquierda para crear g.
2) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de
1/3 y trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo
para crear g.
3) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x y trasladada 5
unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba para crear g.
4) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de
1/3 y luego trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia
abajo para crear g.

6. Eje de Simetría
• El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de una parábola que divide la parábola en dos
mitades congruentes.
• La función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene el eje
de simetría x = h.

7. Identificando el Eje de Simetría
• Identifica el eje de simetría para la gráfica
de:
1. f(x) = 2(x + 2)2 – 3
2. f(x) = (x – 3)2 + 1
3. f(x) = -½(x + 5)2 – 8

8. Forma Estándar
• La forma estándar de una función
cuadrática es f(x) = ax2 + bx + c, donde a ≠
0.

9. Propiedades de una Parábola
• Para f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son
números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las
siguientes propiedades:
– La parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo
si a < 0.
– El eje de simetría es la recta x = -b/2a.
– El vértice es el punto (-b/2a, f(-b/2a)).
– El intercepto en y es c.

10. Graficando Funciones Cuadráticas en
Forma Estándar
• Considera la función f(x) = x2 - 4x + 6.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia
abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.

11. Graficando Funciones Cuadráticas en
Forma Estándar
• Considera la función f(x) = -4x2 - 12x - 3.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia
abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.

12. Graficando Funciones Cuadráticas en
Forma Estándar
• Considera la función f(x) = -2x2 - 4x.
– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia
abajo.
– Encuentra el eje de simetría.
– Encuentra el vértice.
– Encuentra el intercepto en y.
– Grafica la función.

13. Valores Mínimos y Máximos
• Abre hacia arriba
– Cuando una parábola abre hacia arriba, el valor de y del
vértice es un mínimo.
– El dominio es todos los números reales.
– El alcance es todos los valores mayores o iguales al
mínimo.
• Abre hacia abajo
– Cuando una parábola abre hacia abajo, el valor de y del
vértice es un máximo.
– El dominio es todos los números reales.
– El alcance es todos los valores menores o iguales al
máximo.

14. Encontrando Valores Mínimos o Máximos
• Encuentra el valor mínimo o máximo de cada
función. Luego establece el dominio y el
alcance de la función.
1. f(x) = 2x2 – 2x + 5
2. f(x) = x2 – 6x + 3
3. f(x) = -2x2 – 4

15. Ceros de una función
Un cero de una función es el valor de entrada x
que hace que el valor de salida f ( x) sea igual a
cero.
Los ceros de una función son los interceptos en x.
y
x
Las coordenadas x
son los ceros.

16. Raíces de una Ecuación
• La solución de una ecuación cuadrática de la
forma ax2 + bx + c = 0 son raíces.
• Las raíces de una ecuación son los valores de
la variable que hacen la ecuación cierta.

17. Propiedad del Producto Cero
• Para todo número real a y b,
– Si el producto de dos cantidades es igual a cero,
por lo menos una de las cantidades es igual a
cero.
– Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

18. Encontrando Ceros por Factorización
• Encuentra los ceros de cada función por
factorización.
1. f(x) = x2 – 8x + 12
2. g(x) = 3x2 + 12x
3. f(x) = x2 – 5x – 6
4. g(x) = x2 – 8x
5. f(x) = x2 – 4x – 12
6. g(x) = 3x2 + 18x

19. Encontrando Raíces Factorizando
• Encuentra las raíces de cada ecuación por
factorización.
1. 9x2 = 1
2. x2 – 4x = -4
3. 25x2 = 9
4. x2 + 25 = 10x

20. Utilizando Ceros para Escribir Funciones
1. Escribe una función en forma estándar con
ceros 2 y -1.
2. Escribe una función en forma estándar con
ceros 5 y -5.
3. Escribe una función en forma estándar con
ceros 4 y -7.

21. Propiedad de la Raíz Cuadrada
• Para resolver una ecuación cuadrática, puedes sacar
la raíz cuadrada a ambos lados. Asegúrate de
considerar las raíces positivas y negativas.
Si x  a y a es un número real
2
no negativo, entonces x   a .

22. Resolviendo Ecuaciones Utilizando la
Propiedad de Raíces Cuadradas
5) 4x  11  59
3) 3 x  4   5
1) 2
2
 20 68 2) x2  12x  16  28
6) 2  10x 36  27
4)  8 25 49

23. Completando el Cuadrado
2
b
Para completar el cuadrado de x  bx, suma   .
2
2
2
b x2  6x
x  bx   
2
2 2
6
 b
2 x  6x   
2
x  2
 2
x2  6x  9
 x  3
2

24. Completando el Cuadrado
• Completa el cuadrado para cada expresión. Escribe
la expresión que resulta como un binomio
cuadrado.
1. x2 – 2x + __
2. x2 + 5x + __
3. x2 + 4x + __
4. x2 – 4x + __
5. x2 + 3x + __
6. x2 – 14x + __
7. x2 + 9x + __

25. Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas ax2
+ bx + c = 0 por Completando el Cuadrado
1) Reúne todos los términos con variable en un lado de la ecuación y las constantes al otro lado.
2) Si es necesario, divide en ambos lados para hacer que el coeficiente que contiene x 2 sea 1.
2
b
3) Completa el cuadrado sumando   a ambos lados de la ecuación.
2
4) Factoriza la expresión que contiene variables como un cuadrado perfecto.
5) Saca la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
6) Resuelve por los valores de la variable.

26. Resolviendo una Ecuación Cuadrática
Completando el Cuadrado
1. x2 = 27 – 6x
2. 2x2 + 8x = 12
3. x2 – 2 = 9x
4. 3x2 – 24x = 27
5. x2 = 12x – 20
6. 18x + 3x2 = 45

27. Escribiendo una Función Cuadrática en la
Forma del Vértice
• Escribe cada función cuadrática en la forma
del vértice e identifica el vértice.
1. f(x) = x2 + 10x – 13
2. g(x) = 2x2 – 8x + 3
3. f(x) = x2 + 24x + 145
4. g(x) = 5x2 – 50x + 128
5. f(x) = x2 + 16x – 12
6. g(x) = 3x2 – 18x + 7

28. Números Imaginarios
f  x  x 1
2
La unidad imaginaria i está definida como 1.

29. Números Imaginarios
• Un número imaginario es la raíz cuadrada de
un número negativo.
• Los números imaginarios se puede escribir de
la forma bi, donde b es un número real e i es
la unidad imaginaria.
• El cuadrado de un número imaginario es el
número negativo original.

30. Simplificando Raíces Cuadradas de
Números Negativos
• Expresa cada número en términos de i.
1) 3 16 4) 2 36
1
2)  75 5)  63
3
3) 12 6) 5 121

31. Resolviendo una Ecuación Cuadrática con
Soluciones Imaginarias
• Resuelve cada ecuación
1. x2 = -81
2. 3x2 + 75 = 0
3. x2 = -36
4. x2 + 48 = 0
5. 9x2 + 25 = 0

32. Números Complejos
• Un número complejo es un número que
puede ser escrito de la forma a + bi, donde a y
b son números reales e i = √-1
• a es la parte real, b es la parte imaginaria.
• Números reales son números complejos con b
= 0.
• Números imaginarios son números complejos
con a = 0.

33. Igualando Dos Números Complejos
• Dos números complejos son iguales si y solamente
si sus partes reales son iguales y sus partes
imaginarias son iguales.
• Encuentra los valores de x y y que hacen cada
ecuación cierta.
1. 3x – 5i = 6 – (10y)i
2. 2x – 6i = -8 + (20y)i
3. -8 + (6y)i = 5x - i√6
4. 4x + 10i = 2 – (4y)i

34. Encontrando Ceros Complejos de
Ecuaciones Cuadráticas
• Encuentra los ceros de cada función.
1. f(x) = x2 – 2x + 5
2. g(x) = x2 + 10x + 35
3. f(x) = x2 + 4x + 13
4. g(x) = x2 – 8x + 18
5. f(x) = x2 + 10x + 26
6. g(x) = x2 + 4x + 12

35. Encontrando Conjugados Complejos
• El conjugado complejo de cualquier número
complejo a + bi es el número complejo a – bi.
• Encuentra cada conjugado complejo.
1. 2i – 15
2. -4i
3. 9–i
4. i - √3
5. -8i
6. 8 + 5i
7. 6i

36. La Fórmula Cuadrática
Si ax  bx  c  0  a  0  ,
2
entonces las soluciones, o raíces, son
b  b  4ac
2
x .
2a

37. Funciones Cuadráticas con Ceros Reales
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la
Fórmula Cuadrática.
f  x   x  3x  7
2

38. Funciones Cuadráticas con Ceros Reales
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la
Fórmula Cuadrática.
f  x   x  8x  10
2

39. Funciones Cuadráticas con Ceros
Complejos
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la
Fórmula Cuadrática.
f  x   2x  x  2
2

40. Funciones Cuadráticas con Ceros
Complejos
• Encuentra los ceros de cada función utilizando la
Fórmula Cuadrática.
f  x   3x  x  8
2

41. Discriminante
• El discriminante es la parte de la Fórmula
Cuadrática que puedes utilizar para determinar el
número de raíces reales de una ecuación
cuadrática.
b  4ac
2

42. Discriminante
El discriminante de la ecuación ax 2  bx  c  0  a  0  es b 2  4ac.
Si b 2  4ac  0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales.
Si b 2  4ac  0, entonces la ecuación tiene una solución real.
Si b 2  4ac  0, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas.

43. Analizando Ecuaciones Cuadráticas
Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada
ecuación.
x  4 x  8
2

44. Analizando Ecuaciones Cuadráticas
Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada
ecuación.
x  4x  2
2

45. Analizando Ecuaciones Cuadráticas
Utilizando el Discriminante
• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada
ecuación.
x  30  12 x
2

46. Plano Complejo
• El plano complejo es un conjunto de ejes
coordenados el eje horizontal representa
números reales y el eje vertical representa
números imaginarios.

47. Graficando Números Complejos
• Grafica cada número complejo.
1. -3 + 0i
2. -3i
3. 4 + 3i
4. -2 + 4i

48. Determinando el Valor Absoluto de un
Número Complejo
• Encuentra cada valor absoluto.
1. |1 – 2i|
2. |23i|
3. |3 + 5i|

49. Sumando y Restando Números Complejos
• Suma o resta. Escribe el resultado de la
forma a + bi.
1. (10 + 3i) – (10 – 4i)
2. (4 + 2i) + (-6 – 7i)
3. (5 – 2i) – (-2 – 3i)

50. Multiplicando Números Complejos
• Multiplica. Escribe tu respuesta de la forma a
+ bi.
1. (7 + 2i)(7 – 2i)
2. (6i)(6i)
3. -2i(2 – 4i)
4. (3 + 6i)(4 – i)

51. Evaluando Potencias de i
1)  3i12
2) i 25
1 7
3) i
2
4) i 42
5)  6i14
6) i 63

52. Dividiendo Números Complejos
3  7i
Simplifica .
8i

53. Dividiendo Números Complejos
3i
Simplifica .
2i

54. Dividiendo Números Complejos
3  10i
Simplifica .
5i

55. Dividiendo Números Complejos
2  8i
Simplifica .
4  2i