Calculo Vectorial - Parte II

CALCULO VECTORIAL
PARTE II
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

Contenido:
Vectores en el espacio bidimensional
Espacio tridimensional y vectores
Producto punto
Producto cruz
Rectas en el espacio tridimensional
Planos
Cilindros y esferas
VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL

11.1 VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL
Introducción: Hasta este punto hemos concentrado el estudio, principalmente, en
las funciones de una sola variable cuyas gráficas existen en un plano
bidimensional. En esta sección iniciamos el estudio del cálculo de varias variables
con una introducción a los vectores en el espacio bidimensional.
Escalares: Un escalar es simplemente un número real y se representa mediante
una letra itálica minúscula, a, k o x. Los escalares se usan para representar
magnitudes y pueden tener unidades específicas asociadas; por ejemplo, 80 pies o
20 °C.

Vectores geométricos: Un vector o vector de desplazamiento puede considerarse
como una flecha que conecta dos puntos A y B en el espacio. La cola de la flecha se
llama punto inicial y la punta de la flecha se denomina punto final. Como se
muestra en la Figura, un vector puede representarse utilizando una letra negrita tal
como v o, si deseamos enfatizar los puntos inicial y final A y B, utilizamos para
representar el vector. Ejemplos de cantidades vectoriales mostrados en la Figura
son el peso p, la velocidad v y la fuerza de fricción retardadora Fƒ.

Vectores iguales Vectores paralelos
La distancia entre los puntos inicial y final de un vector se denomina longitud,
magnitud o norma del vector y se denota mediante .

Suma de vectores:
Resta o diferencia de vectores:

Magnitud: Con base en el teorema de Pitágoras y la Figura, definimos la
magnitud, longitud o norma de un vector a={a1,a2} como

Vectores unitarios: Un vector que tiene magnitud 1 recibe el nombre de vector
unitario. Obtenemos un vector unitario u en la misma dirección que un vector
distinto de cero a al multiplicar a por el escalar positivo k = 1/|a| (recíproco de su
magnitud). En este caso afirmamos que es la normalización del vector a. La
normalización del vector a es el vector unitario debido a que
El multiplo escalar u = 1/|a| a

11.2 ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y VECTORES
Sistema de coordenadas rectangular en el espacio tridimensional: En tres
dimensiones, o espacio tridimensional, se construye un sistema de coordenadas
rectangulares utilizando tres ejes mutuamente perpendiculares. El punto en el cual
estos ejes se intersecan se denomina origen O.
Estos ejes se marcan de acuerdo con la llamada regla de la mano derecha: Si los
dedos de la mano derecha, apuntando en la dirección del eje x positivo, se curvan
hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará entonces en la dirección del nuevo
eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se denomina eje z. Las
líneas punteadas en la figura representan los ejes negativos. Ahora bien, si

Octantes: Cada par de ejes de coordenadas determina un plano de coordenadas.
Como se muestra en la Figura, los ejes x y y determinan al plano xy, los ejes x y z
determinan al plano xz, etcétera. Los planos de coordenadas dividen el espacio
tridimensional en ocho partes conocidas como octantes. El octante en el cual las
tres coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante.

Fórmula de la distancia: Para determinar la distancia entre dos
puntos P1=(x1,y1,z1) y P2=(x2,y2,z2)en el espacio tridimensional, vamos a considerar
sus proyecciones sobre el plano xy. Como puede observar en la Figura, la distancia
entre (x1,y1,0) y (x1,y1,0) sigue de la fórmula usual de la distancia en el plano. En
consecuencia, del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo P1P3P2
tenemos

Si y son los vectores de posición de
los puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2)
entonces el vector está dado por

Los vectoresunitarios i, j, k: Cualquier vector a en el espacio bidimensional puede
escribirse como una combinación lineal de i y j: a= a1 i + a2 j. De igual manera,
cualquier vector a={a1,a2,a3} en el espacio tridimensional se puede expresar como
una combinación lineal de los vectores unitarios
i = {1,0,0} j = {0,1,0} k = {0,0,1}
Empleo de los vectores i,j,k para representar
un vector de posición a

11.3 PRODUCTO PUNTO

11.3 PRODUCTO PUNTO
Producto punto de los vectores unitarios
i · j = j · i = 0
j · k = k · j = 0
i · k = k · i = 0
i · i = j · j = k · k = 1

11.3 PRODUCTO PUNTO
Componente de a sobre b: Es posible usar las componentes de a = a1 i + a2 j + a3 k
en terminos del producto punto:
a1 = a · i a2 = a · j a3 = a · k
comp i a = a · i comp j a = a · j comp k a = a · k
comp b a = |a| cos Θ

11.3 PRODUCTO PUNTO
Interpretación física del producto punto: Cuando una fuerza constante de
magnitud F mueve un objeto a una distancia d en la misma dirección de la
fuerza, el trabajo realizado es simplemente
W = F d
Sin embargo, si una fuerza constante F aplicada a un cuerpo actúa en un ángulo Θ
respecto a la dirección de movimiento, entonces el trabajo realizado por F se
define como el producto de la componente de F en la dirección del desplazamiento
y la distancia |d| que se mueve el cuerpo
W = |F| cos Θ |d| = |F| |d| cosΘ
Entonces el trabajo realizado es
W = F · d

11.4 PRODUCTO CRUZ
El producto cruz, que se presenta en esta sección, sólo está definido para vectores
en el espacio tridimensional y genera otro vector en el espacio tridimensional.

11.4 PRODUCTO CRUZ
Regla de la mano derecha: Una caracterización alterna del producto cruz utiliza la
regla de la mano derecha. Como se observa en la Figura, si los dedos de la mano
derecha apuntan a lo largo del vector a y después se curvan hacia el vector b, el
pulgar dará la dirección de a x b.

11.4 PRODUCTO CRUZ
Volumen de un paralelepípedo: Si los vectores a, b y c no yacen en el mismo
plano, entonces el volumen del paralelepípedo con bordes a, b y c que se muestra
en la Figura es

11.4 PRODUCTO CRUZ
Interpretación física del producto cruz: En física una fuerza F que actúa en el
extremo de un vector de posición r, como se muestra en la Figura, se dice que
produce una torsión τ definida por τ = r x F. Por ejemplo, si |F|= 20 N, |r|= 3.5
m, y Θ = 30º entonces,
τ = (3.5) (20) sen 30º = 3,5 N-m
Si F y r están en el plano de la página, la regla de la mano derecha implica que la
dirección de τ es hacia afuera de la misma, y perpendicular a ella (hacia el lector).
Como podemos advertir en la otra Figura, cuando una fuerza F se aplica a una llave
de tuercas, la magnitud de la torsión es una medida del efecto de rotación
alrededor del punto pivote P y el vector τ se dirige a lo largo del eje de la tuerca. En
este caso τ apunta hacia adentro de la página.

11.5 RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Línea que pasa por P0 y paralela a v Línea que pasa por P0 y P1
r - r0 = t v r = r0 + t(r1 - r0)
r = r0 + t v
t es un escalar de proporcionalidad

11.5 RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

11.6 PLANOS
Además, si P(x, y, z) representa cualquier punto sobre el plano,
y entonces como se ilustra en la figura, r - r0 yace en el plano S.
Se concluye que una ecuación vectorial del plano es
En concreto, si el vector normal es entonces n = ai + bj + ck entones la ecuacion
anterior se produce una ecuación rectangular o cartesiana del plano que contiene
a P0(x0,y0,z0):

11.6 PLANOS

11.6 CILINDROS Y ESFERAS
Cilindro: Las superficies ilustradas en las figuras se llaman cilindros. Usamos el
término cilindro en un sentido más general que el de un cilindro circular recto.

Específicamente, si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al
plano, entonces el conjunto de todos los puntos (x, y, z) generado al mover una
línea que recorra a C paralela a L se denomina cilindro. La curva C recibe el nombre
de directriz del cilindro. Vea la Figura.
Ejemplo de cilindros

Esferas: Como la circunferencia, una esfera puede definirse por medio de la
fórmula de la distancia.
Si r denota la distancia fija, o radio de la esfera, y si el centro es P1(a,b,c) entonces
un punto P(x, y, z) está sobre la esfera si y sólo si [d(P1,P]2=r2, o

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