Este documento define las relaciones binarias y sus propiedades. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Luego describe las propiedades fundamentales de las relaciones binarias como reflexivas, simétricas, transitivas y totales. Finalmente, proporciona ejemplos y representaciones gráficas de relaciones binarias como diagramas cartesiano y de Venn.

1. Autor: David Lopez
Cedula: 19665740
Materia: Algebra
Profesor: Domingo Méndez
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
San Cristóbal, Estado Táchira
Relaciones
Binarias

2. Concepto
• Sean A y B conjuntos no vacíos, se llama relación
binaria a cualquier subconjunto del producto
cartesiano AxB.
• Esta relación se puede denotar de diversas
formas:
• 1- Como pares ordenados (a, b).
• 2- Indicando que aRb.
• 3- Como una mezcla entra los dos anteriores
R(a,b).

3. A los conjuntos A y B se les conoce como
conjunto de partida y conjunto de llegada.
Al conjunto de elementos de A que
aparecen en la relación se llama dominio y
se representa Dom(R) .
Al conjunto de elementos de B que
aparecen en la relación se llama imagen y
se representa Im(R) .
Características

4. A={0, 1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5},
RA,B={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>}
A={0,1,2,3},
RA
2=A2={<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>,
<3,3>}.
Ejemplos

5. Para representar las relaciones binarias podemos
utilizar dos tipos de gráficos:
a)El diagrama cartesiano: donde representaremos
los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de
cada conjunto.
Representaremos las relaciones por medio de
puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas)
o por medio de cruces si lo representamos
mediante cuadrículas.
b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas
de Venn): representaremos los elementos del
conjunto dentro del círculo y representaremos las
relaciones mediante flechas.
Representaciones

6. Ejemplos
Representar la siguiente relación:
R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}
Cuadricula Diagrama de venn

7. Propiedades
Las relaciones binarias se dividen en dos grandes grupos: las homogéneas y las
heterogéneas, en dependencia de si los conjuntos A y B coinciden o no
respectivamente; cada una con sus propiedades que permiten sub-clasificaciones.

8. Relaciones Homogéneas
• una relación binaria homogénea es la
que se da entre los elementos de un
único conjunto, llamando A al conjunto,
tendríamos:
representada en la figura, se
puede ver que solo hay un
conjunto, el A y que la
relación entre los elementos
es interior al conjunto, en
este caso representado por
las flechas.

9. Relaciones Heterogéneas
• Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se
llama heterogénea cuando A es distinto de B:
Lo que también se llama correspondencia matemática
A la derecha podemos ver
un diagrama sagital, en el
cual se representan los dos
conjuntos de la relación
binaria, asociando a cada
pincel la cara que está
pintada del mismo color.

10. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
• Las relaciones binarias homogéneas hayan otras
clasificaciones en tanto sus elementos
satisfacen una serie de propiedades que
veremos a continuación.
Relaciones reflexivas
• Sea R una relación sobre A, se dice que es
reflexiva si y solo si todo elemento de A está
relacionado consigo mismo.
• El caso más singular es el de las relaciones
puramente reflexivas, también conocidas como
identidades cuya formulación es IA
2={<x,x>|
para toda x en A}.

11. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Relaciones irreflexivas
• Una relación binaria homogénea R sobre el
conjunto A es irreflexiva si no hay ni un solo
par de la forma <x,x> en R.

12. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Relaciones simétricas
• La relación R sobre A es simétrica cuando
para todo par <x,y> de R, su inverso <y,x>
también pertenece a la relación.

13. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Relaciones anti-simétricas
• Dados dos elementos del conjunto si el
primer elemento está relacionado con el
segundo, entonces, el segundo no está
relacionado con el primero: xRy → y noR x.

14. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Relaciones transitivas
• Sea R una relación sobre A2, ésta se dice
transitiva si y solo si a R pertenecen los
pares <x,y> e <y,z>, entonces <x,z> también.

15. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Relaciones totales
• Se dice que una relación binaria homogénea
R sobre el conjunto A es total cuando entre
dos elementos cualquiera distintos x,y de A
xRy ó yRx.

16. Propiedades fundamentales de las
relaciones binarias.
Propiedad conexa
• Dados dos elementos cualesquiera del
conjunto estos están relacionados. O bien
xRy o bien yRx.

17. https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3
n_binaria
http://matematica.laguia2000.com/general/r
elaciones-binarias
http://www.ecured.cu/Relaci%C3%B3n_binar
ia
Referencias