Este documento trata sobre los conceptos básicos de los códigos de grupo y la teoría de la información. Explica que un código de grupo utiliza el grupo B^n y define una función codificadora (m,n). También describe los conceptos clave de un código como el alfabeto, las palabras código, el tamaño de un código y la distancia de Hamming. Finalmente, presenta un teorema sobre cómo un código con una distancia d puede corregir t errores y u borrones.

1. Grupos y Códigos
Leidys Pimenel
11-1091

2. Código de grupo
Hasta ahora, no se había usado el hecho de que B^n
sea un grupo. Una función codificadora (m,n) se le
llama código de grupo.

3. En todo código hay que considerar su alfabeto
A. Se llama así al conjunto
de los símbolos que se emplean y, en principio,
puede ser cualquier conjunto
finito. El código se llama binario cuando el
alfabeto consta de 2 elementos.
En los ejemplos anteriores el alfabeto es A =
f0; 1g. Un código C sobre el
alfabeto A es cualquier subconjunto no vacío
de An
. Los elementos de C se
llaman palabras-codigo. Las palabras-codigo
tienen longitud n y se representan de la forma
x1x2::xn con xi 2 A. Se llama tamaño de un
código C al
número de palabras-codigo que contiene y
será denotado por M.

4. Mensaje: es una sucesión finita de caracteres de un alfabeto finito.
Se elije como alfabeto al conjunto B = {0, 1}, cualquier carácter o
símbolo que se desea transmitir se representara como una sucesión
de m elementos de b.
El conjunto Bes un grupo bajo la operación binaria + cuya tabla de
multiplicación. En caso de que se piense B como el grupo z, entonces
+ es simplemente la adición modulo.
La tarea básica en la transmisión consiste en reducir la probabilidad
de recibir palabas diferentes a las que se enviaron.
Primero se elige un entero n> m función inyectiva, a la que se llama
función codificador.

5. La teoría de códigos correctores es una de las
aplicaciones mas recientes
del algebra. En los años cuarenta, Richard
Hamming, uno de los creadores de
la teoría de códigos, contaba la siguiente
anécdota. Cuando trabajaba para
la compañía Bell Laboratorios tenia acceso a
los computadores solo los fines
de semana.

6. En Teoría de la Información se denomina distancia de Hamming a la
efectividad de los códigos de bloque y depende de la diferencia entre una
palabra de código válida y otra. Cuanto mayor sea esta diferencia, menor es
la posibilidad de que un código válido se transforme en otro código válido
por una serie de errores. A esta diferencia se le llama distancia de Hamming,
y se define como el número de bits que tienen que cambiarse para
transformar una palabra de código válida en otra palabra de código válida.
Si dos palabras de código difieren en una distancia d, se necesitan d errores
para convertir una en la otra.
Por ejemplo:
La distancia Hamming entre 1011101 y 1001001 es 2.
La distancia Hamming entre 2143896 y 2233796 es 3.
La distancia Hamming entre "tener" y "reses" es 3.

7. Teorema
Si C es un código de distancia d = 2t + u + 1, entonces C puede corregir t
errores y u borrones.
DEMOSTRACION: Sea y la cadena recibida que contiene, a lo más, t
errores y l · u borrones y denotemos por S el conjunto de todas las cadenas
que tienen en común con y las n ¡ l componentes que no son borrones.
Vamos a probar que no puede haber dos palabras-codigo c1 y c2 tales que
d(ci ; S) · t para i = 1; 2. En efecto, si existen s1 y s2 pertenecientes a S tales
que d(ci; si) · t, entonces
t + t + u ¸ d(c1; s1) + d(c2; s2) + d(s1; s2) ¸ d(c1; c2);

8. Conceptos Básicos
• Mensaje: sucesión finita de caracteres de un alfabeto finito
• Palabra: Sucesión de ceros y unos
• Función codificadora (m,n): función inyectiva e: Bm
• Palabra clave: elemento en el code
• Peso de x, |x|: numero de unos en x
• Código de verificación de paridad