Este documento resume los tipos principales de códigos, incluyendo códigos lineales como Hamming, Golay y Reed-Muller, y códigos cíclicos como BCH y Reed-Solomon. También explica conceptos clave como equivalencia de códigos, codificación y decodificación de códigos lineales y cíclicos, y cotas como la de Hamming y Singleton.

1. NOMBRE: Marco Muñoz
FECHA: 13/11/2017
¿Qué tipos de códigos se conocen?
Las familias más conocidas de estos códigos son:
Códigos lineales: de Hamming, de Hamming extendidos, simplex, de Golay, de
Reed- Muller, de Goppa geométricos.
Códigos cíclicos: BCH, de Reed-Solomon, de residuos cuadr´aticos, de Goppa
clásicos.
Códigos no-lineales: Hadamard, Kerdock, Justesen, Preparata.
¿A qué se refiere la equivalencia y automorfismo de códigos?
Dos códigos C y D, q-arios decimos que son equivalentes si se puede obtener
uno del otro a través de una combinación de operaciones de
los siguientes tipos:
1. Permutación de las posiciones.
2. Permutación de los símbolos de una posición fija.
A que se refiere un código lineal.
Un código lineal q-ario de longitud n y rango k es un subespacio L ⊂ F n q de
dimensión k. Así el subespacio L es un [n, k] q-código; Si L tiene distancia d
entonces L es un [n, k, d] q-código; Si L ⊂ Z n 2, en general se escribe
simplemente [n, k, d]-código
Que son los códigos duales u ortogonales
Un código lineal C se llama auto ortogonal si C <=~C y se llama auto dual si la
igualdad se verifica; es decir, C = ~C
Claramente, para ser autodual, es condición necesaria tener dimensión n=2 2

2. Codificación y decodificación de códigos lineales
Para hacer la codificación en códigos lineales usamos una aplicación lineal que
tiene que ser inyectiva; luego el espacio de las palabras de longitud k verifica
F^k~= C. Cuando un código es muy grande, se aprecia con claridad la necesidad
de codificar y descodificar por formula. El proceso de codificación es en
general, mucho más fácil que el de decodificación. La razón es que en la
decodificación hemos incluido la corrección de errores, lo más costoso.
Cuáles son los constructores con códigos lineales
Pinchado, Extendido, Plotkin
A que se refiere la Cota de Hamming, Singleton y Códigos MDS
Cota de Hamming: En los datos codificados en Hamming se pueden detectar
errores en un bit y corregirlos, sin embargo no se distingue entre errores de dos
bits y de un bit (para lo que se usa Hamming extendido). Esto representa una
mejora respecto a los códigos con bit de paridad, que pueden detectar errores
en sólo un bit, pero no pueden corregirlo.
Cota de Singleton y Códigos MDS: Esta cota es sencilla pero muy ´útil y da
lugar a los códigos de Reed Solomon, que veremos después, y que se usan para
la reproducción de los CD. 4.3.1. Teorema. Para d ≤ n se tiene que Aq(n, d) ≤ q
n−d+1. Demostración. Trivialmente, Aq(n, n) = q = q n−n+1 y vamos a hacer
descenso. Sea d < n. Aq(n, d) ≤ qAq(n − 1, d) ≤ · · · ≤ q n−d Aq (d, d) = q n−d
(q) = q n−d+1. 4.3.2. Observación. En particular, para un [n, k, d]-código lineal
q-ario, k ≤ n − d + 1. 4.3.3. Definición. Un código que verifica la igualdad en el
teorema anterior se conoce como código separable de distancia máxima
(maximum distance separable MDS). La primera propiedad es obvia, aunque
muy importante.
Investigue sobre los tipos especiales de códigos lineales: Hamming y códigos
simples, de Golay y Reed-Muller
Hamming: El código de Hamming agrega tres bits adicionales de comprobación
por cada cuatro bits de datos del mensaje. El algoritmo de Hamming (7.4) puede
corregir cualquier error de un solo bit, pero cuando hay errores en más de un
bit, la palabra transmitida se confunde con otra con error en un sólo bit, siendo
corregida, pero de forma incorrecta, es decir que la palabra que se corrige es
otra distinta a la original, y el mensaje final será incorrecto sin saberlo. Para
poder detectar (aunque sin corregirlos) errores de dos bits, se debe añadir un
bit más, y el código se llama Hamming extendido.

3. Golay: el código binario de Golay es un tipo de código corrector de
errores usado en las comunicaciones digitales. El código binario de Golay, junto
con el código terciario de Golay tiene una particularidad y conexión interesante
con la teoría de los grupos esporádicos finitos en matemáticas. El código lleva
el nombre en honor a Marcel J.E Golay.
Reed-Muller: Los códigos Reed-Muller son una familia de códigos lineales de
corrección de errores utilizados en las comunicaciones. Los códigos de Reed-
Muller pertenecen a las clases de códigos localmente estables y de códigos
localmente decodificables, por lo que son útiles en el diseño de pruebas
probabilísticamente verificables en la teoría de la complejidad computacional.
Investigar los siguientes códigos cíclicos:
Códigos cíclicos y anillos de polinomios
Ceros de un código cíclico y matriz de control
Codificación y decodificación en códigos cíclicos.
Codificación: La codificación de un código lineal es bien simple, basta con
multiplicar la matriz generadora G del código por el bloque a codificar, esto es:
Sea m ∈ Kn q el bloque a codificar y sea G una matriz generadora de nuestro
código C entonces el bloque codificado será mtG. Observamos que dar un código
lineal en realidad no es más que dar una matriz generatriz G y que el proceso
de codificación de un bloque exige la realización de nk sumas y productos (k es
la dimensión del código). En cuanto a la codificación de un código cíclico el
proceso es exactamente el mismo, solo varia la forma de la matriz generatriz
G que en este caso es tiene una forma particular.

4. Decodificación: Varia la forma de corregir el error debido a las particularidades
de estos códigos, pues no va a ser necesaria guardar la tabla completa de
síndrome/líder, aunque nos vamos a ver forzados a realizar alguna que otra
operación más. Aparte de esto la matriz H de control posee la forma particular
vista con anterioridad