Este documento contiene una guía sobre cálculo vectorial con 11 secciones que abarcan temas como funciones vectoriales de una variable real, dominio y recorrido, límites y continuidad, derivadas e integrales. La guía incluye ejercicios para practicar cada tema, como determinar el dominio y recorrido de funciones dadas, calcular límites, derivadas y primitivas de funciones vectoriales, y analizar la continuidad y derivabilidad.

1. UNIVERSIDAD DE TARAPACA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CALCULO III
GUÍA # 1
1. ¿Qué es una función vectorial de una variable real ?.Describa que entiende
por una
función real de una variable real y señale sus elementos principales.
2. ¿Qué entiende por imágen de un elemento bajo una función f ?. Es-
tablezca
claramente la diferencia entre la función y la imágen de la función.
3. Si ~f (t) =
p
t; t2
;
1
t
, determine ~f (5) , ~f
1
5
, ~f
p
7 , ~f (b)
y ~f (3b)
4. ¿Qué es el Dominio de una función vectorial de una variable real ?.Como
Ud. sabe,
una función vectorial ~f , de una variable real se puede escribir en términos
de un
n tupla ordenada de funciones reales fj ; j = 1; 2; 3 . ¿ Qué relación
existe
entre Dom
!
f y Domfj ?.
5. De acuerdo a lo anterior, determine el Dominio de cada una de las
siguientes
funciones, a) ~f (t) =
p
t; t2
;
1
t
b) ~f (t) = ln t;
p
1 t
c) ~f (t) =
p
t 1;
t
2
d) ~f (t) =
r
1 + t
1 t
; ln
t
t 1
6. ¿ Qué es el Recorrido de una función vectorial de una variable real ?.
Geométricamente, ¿ qué representa este Recorrido ?. Si ~f : I R ! R3
es una función vectorial de una variable real tal que ~f (t) = (f1 (t) ; f2 (t) ; f3 (t)) ;
8t 2 I , ¿ Qué relación existe entre Re c ~f y Re c fj ; j = 1; 2; 3 ?.
7. Determine el Recorrido de cada una de las siguientes funciones
a) ~f (t) =
1 t
1 + t2
;
2t
1 + t2
; b) ~f (t) = ln (t 1) ;
p
t;
1
t 1
c) ~f (t) =
p
t 1;
t
2
; d) ~f (t) =
r
1 + t
1 t
; ln
t
t 1
8. Si ~f (t) = (a cos t; a sin t) , con a > 0 y t 2 [0; 2 ] . Muestre que
Re c ~f
representa una circunferencia en R2
.
9. Si ~f (t) = a cos t~i + b sent ~j , donde a; b > 0 y Domf = [0; 2 ] .
Muestre
que Re c ~f representa una elipse en R2
. Dibuje esta elipse para a = 2
y b = 4
1

2. 10. Muestre que Re c ~f , para ~f (t) = t2
; t representa una parábola en
R2
.
11. Describa el grá…co del Recorrido de las funciones
a) ~f (t) = t~i + t ~j + sen t ~k b) ~f (t) = t cos t; t sen t;
t
2
12. Muestre que las relaciones cartesianas y que los Recorridos de las
correspondientes funciones vectoriales representan el mismo grá…co
a) 2x 3y + 4 = 0, b) ~f (t) = (3t + 4; 2t + 4), c) y = ex
d) ~f (t) = ln t~i + t ~j, e) y2
= x3
, f) ~f (t) = t2
; t3
Operaciones Algebraicas
13. El Algebra de funciones permite obtener nuevas funciones a partir de
funciones dadas. Al respecto, señale con el detalle correspondiente, que
signi…ca
a) Que dos funciones ~f y ~g sean iguales.
b) ~f (x) , donde 2 R es una constante y ~f una función vectorial.
c) La función suma, producto escalar y producto vectorial de dos funciones
~f y
~g , dadas. ¿ Cuáles son sus respectivos Dominios?.
14. Para cada caso, determine ~f + ~g , ~f ~g y ~f ~g , con sus respectivos
dominios, si
a) ~f (t) = t2
; 6t ; ~g (t) = (3t; 8)
b) ~f (t) =
p
t 7; t; t2 ; ~g (t) = 3t;
1
t2 1
; t
15. Describa, señalando todos los aspectos, la composición de una función
vectorial de
una variable real ~f y una función real de una variable real ' :
16. Dadas una función vectorial de una variable real ~f y una función real
de una
variable real ' , de modo que ~f ' existe, ¿ es cierto que, en este caso
Dom ~f ' =
n
t 2 Dom' = ' (t) 2 Dom ~f
o
?:
¿ Por qué ?.Haga un diagrama detallado para la composición ~f ' .
17. Para cada uno de los casos, determine las función ~f ' y sus respec-
tivo dominio,
si
a) ~f (t) = t2
; 1 t ; ' (t) =
p
t
b) ~f (t) = 3t 4;
5
t
; ' (x) =
t
5
c) ~f (t) =
p
t 8~i + 4t ~j ; ' (t) = t3
d) ~f (t) =
p
t~i +
1
t
~j t ~k ; ' (t) = 5t
e) ~f (t) = (ln (t + 1) ; t; t 1) ; ' (t) = et
1
2

3. Límites y Continuidad de Funciones Vectoriales de una
variable
real
18. ¿Qué signi…ca que lim
t!to
~f (t) = ~L donde ~f es una función vectorial
de una variable
real ?. .
19. ¿Qué signi…cado geométrico le puede atribuir a lim
t!to
~f (t) = ~L , en
R2
?,¿ en R2
?
20. Si ~f (t) = t; t2 , calcule y marque la posición de ~f (0:9) , ~f (0:99) , ~f (1:1) , ~f (1:01)
y ~f (1:001) . Use la de…nición dada para veri…car que lim
t!1
~f (t) = (1; 1)
21. Determine, si existe, lim
t!to
~f (t) cuando,
a) ~f (t) =
p
t; t2
; sent y to = 2
b) ~f (t) = ln t;
p
1 + t2;
2t
4 t2
y to = 2
c) ~f (t) =
t
1 + t2
;
1 + 2t
t2
; 3t2
y to = 3
22. Demuestre que si lim
t!to
~f (t) existe, entonces es único
23. Pruebe que si lim
t!to
~f (t) = ~L1 y lim
t!to
~g (t) = ~L2 entonces
a) lim
t!to
~f + ~g (t) = ~L1 + ~L2
b) lim
t!to
~f ~g (t) = ~L1
~L2
c) lim
t!to
~f ~g (t) = ~L1
~L2 sólo en R3
24. Si A R , ' : A ! R una función real de una variable real y
~f : A ! Rn una
función vectorial de una variable real tal que lim
t!to
' (t) = y lim
t!to
~f (t) = ~L ,
demuestre
que lim
t!to
'~f (t) = ~L
25. Determine cuando una función vectorial de una variable real ~f (t) es
contínua en
t = to . ¿ Qué condiciones expresa el hecho que una función ~f (t) sea
contínua en
t = to ?.De acuerdo a esto, cuándo una función no es contínua en un punto?
26. Demuestre que la continuidad de funciones vectoriales de una variable
real puede
probarse, probando la continuidad de las funciones componentes.
27. Determine si las funciones dadas son contínuas en el punto indicado,
a) ~f (t) =
t
p
t
; t en to = 0
3

4. b) ~f (t) =
8
<
:
t2
1
t 1
; 1 si t 6= 1
(0; 0) si t = 1
en to = 1
c) ~f (t) = ln (t + 1) ~i + t ~j + (t 1) ~k en to = 9
d) ~f (t) = jtj ;
t2
1
t + 1
en to = 1
28. Encuentre los puntos, si los hay, donde las siguientes funciones no son
contínuas y
trace el recorrido de cada una de ellas ;
a) ~f (t) = (et
; t) si Dom~f = [0; 2]
b) ~f (t) =
8
<
:
t;
sent
t
si t 2 (0; 2]
(0; 1) si t = 0
c) ~f (t) = t~i + t ~j + [t] ~k si t 2 [0; 4]
29. Dada la función vectorial ~f (t) de…nida por
~f (t) =
p
1 t2;
1 cos2
t 1
4
t 1
4
2 ;
p
t
1 e2
p
t
!
a) Determine el Dominio de ~f (t) :
b) Hallar lim
t!0
~f (t) , si existe.
c) Determinar los puntos de discontinuidad.
¿Es posible rede…nir ~f (t) de modo que sea contínua en el intervalo (0; 1)
?
30.. Si ~f (t) y ~g (t) son contínuas en t = to . Demuestre que ~f + ~g ,
~f ~g y ~f ~g
son contínuas en t = to . Demuestre además, que si ' (t) es una función
real de
una variable real, contínua en t = to entonces '~f (t) es contínua en
t = to .
Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales de una
variable
real.
31. ¿Qué signi…ca que una función vectorial de una variable real ~f sea
derivable en
t = to ?. ¿De que depende fundamentalmente el hecho que ~f sea deriv-
able en
t = to ?. Discuta su respuesta.
32. ¿Qué signi…ca que ~f : [a; b] ! Rn , sea derivable en [a; b] ?
33. Calcular la derivada de la función vectorial ~f (t) en to = 0 , si
4

5. a) ~f (t) =
8
<
:
t3
sen
1
t
;
t
1 + e
1
t
si t 6= 0
(0; 0) si t = 0
b) ~f (t) =
8
<
:
t2
sen
1
t
; 1 + t2
si t 6= 0
(1; 0) si t = 0
c) ~f (t) =
8
<
:
e2t
; t2
sen
1
t
si t 6= 0
(1; 0) si t = 0
34. Demuestre que si ~f : [a; b] ! Rn es derivable en [a; b] entonces ~f
es contínua
en [a; b] . ¿ El recíproco es verdadero ?. Dé un ejemplo que con…rme su
respuesta.
35. Encuentre ~f0
(1) si,
a) ~f (t) = (ln t; t), b) ~f (t) =
r
1 + t2
1 + t
; t2
1;
1
t
!
c) ~f (t) = cos2
t; sen2
t , d) ~f (t) = cosh t; senh 1 t2
36. Si ~f (t) = sen2 t; cos 2 t; 2t t2 determine ~f0
(t) y ~f0
(0) .
37. Determine las derivadas ~f0
(t) si,
a) ~f (t) = cos t; sen2
t; sent; tgt
b) ~f (t) = ln 1 + t2 ~i + arctgt ~j +
1
1 + t2
~k
c) ~f (x) = (xex
; ln 3x; 0) y x (t) = ln t
d) ~f (x) = cos
p
x; arctgx;
1
1 +
p
x
y x (t) = t2
+ 2t + 1
38. Considere las funciones ~f (t) = (2t; 3; 0) , ~g (t) = 1; t; t2
y ' (t) = 1
3 t3
.
Determine ;
~f0
(t) , ~g0
(t) , '0
(t) , ~f + ~g
0
(t) , '~f
0
(t) ,
~f ~g
0
(t) ,
~f ~g
0
(t) , ~g ~f
0
(t) y ~f '
0
(t)
39. Dada ~f (t) = ~u cos $t + ~vsen$t , donde ~u y ~v son vectores con-
stantes,
demostrar que
a) ~f (t)
d~f
dt
= $ (~u ~v) b) d2 ~f
dt2
+ $2
f = ~0 :
40. Dada la función vectorial ~f (t) =
2t
1 + t2
;
1 t2
1 + t2
; 1 , demuestre que
el ángulo
formado por ~f (t) y ~f0
(t) es constante, es decir, no depende de t .
41. Demuestre que si ~f (t) = cos t~i + sin t ~j entonces ~f (t) ~f0
(t) = 0
5

6. 42. Sea ~f (t) = ~f1 (t) ~i + ~f2 (t) ~j + ~f3 (t) ~k , con las funciones ~f1 (t) ,
~f2 (t) y ~f3 (t)
dos veces derivables. Demuestre que ~f ~f0
0
= ~f ~f00 :
43. Calcule las siguientes integrales de funciones vectoriales ;
a)
1Z
0
t;
p
t; et
dt b)
1Z
0
et
1 + et
~i +
1
1 + et
~j dt
44. Determine ~u ~v si ~u = (2; 4; 1) y ~v =
1Z
0
tet
; t senh 2t; 2te 2t
dt
45. En los problemas siguientes se da el vector posición !r (t) de un móvil.
Halle los
vectores velocidad aceleración y la dirección del movimiento, así como la
velocidad,
para el valor de t dado.
a) !r (t) = tbi + t2bj + 2tbk; en t = 1
b) !r (t) = (cos t)bi + (sin t)bj + 3tbk; en t =
4
c) !r (t) = etbi + e tbj + e2tbk; en t = ln 2
46. Encuentre las componente normal y tangencial del vector aceleración
para los
puntos móviles dados
a) !r (t) = t2bi + 2tbj + etbk;
b) !r (t) = (4 cos t)bi + (4 sin t)bj + 4tbk;
c) !r (t) = (a cos !t)bi + (a sin !t)bj + !2
tbk
6