Este documento presenta varios teoremas sobre funciones derivables, incluyendo el teorema de Fermat, el teorema de Rolle, el teorema del valor medio y el teorema de Cauchy. También define funciones crecientes, decrecientes y monótonas, y explica valores extremos de funciones. Incluye ejemplos para ilustrar los teoremas.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
13/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
Definición: Se dice que una función f, sobre un intervalo I, es
a) Creciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el
intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2).
b) Decreciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en
el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2).
c) Estrictamente creciente: si para cualesquiera dos
números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) <
f(x2).
d) Estrictamente decreciente: si para cualesquiera dos
números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) >
f(x2).
e) Cuando una función en todo su dominio es únicamente
creciente o únicamente decreciente decimos que es
monótona.
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
VALORES EXTREMOS

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
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MATEMATICA I 2
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Sea f una función definida en un intervalo I, si para un numero
c ϵ I se cumple:
a) f(c) ≥ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un
máximo absoluto de f en I.
b) f(c) ≤ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un
mínimo absoluto de f en I.
c) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual
f(c) es una máximo, entonces f (c) recibe el nombre de
máximo local o máximo relativo de f y decimos que f tiene
un máximo relativo en el punto (c, f(c)).
d) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual
f(c) es una mínimo, entonces f (c) recibe el nombre de
mínimo local o mínimo relativo de f y decimos que f tiene
un mínimo relativo en el punto (c, f(c)).
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
VALORES EXTREMOS
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Teorema de Fermat.
Sea f una función en un intervalo cerrado [a,b] y
c es un punto de dicho intervalo en el cual la
función alcanza su valor máximo o su valor
mínimo si f es derivable en el punto c entonces
f’(c) = 0
El teorema anterior no es valido si el punto c se
supone que es uno de los extremos del intervalo
[a,b]
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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13/06/2018
MATEMATICA I 3
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Teorema de Rolle.
Sea f una función continua en
el intervalo cerrado [a,b] y
derivable en el intervalo
abierto (a,b). Si
f(a) = f(b)
existe al menos un numero c
en (a,b) tal que f’(c) = 0.
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
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TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Ejemplo: Determine si la función f(x) = x3 – 5x2 + 4x satisfice las
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,4]. Si es así
encuentre el o los valores de c.
Sol.: Primero encontramos f(a) = f(0) = 0 y f(b) = f(4) = 0 y
observamos que f(a) = f(b)= 0.
Seguido calculamos f’(x) = 3x2 - 10x + 4 y con esto hacemos
f’( c ) = 0 para calcular el valor de c
f’(c) = 3c2 – 10c + 4 = 0 entonces resolviendo la ecuación
cuadrática c = 2.86 y c = 0.46
Podemos observar que los dos valores de c pertenecen al
intervalo (0,4) y se cumple el Teorema de Rolle.

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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13/06/2018
MATEMATICA I 4
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Teorema del valor medio.
Sea f una función continua en el
intervalo cerrado [a,b] y derivable en
el intervalo abierto (a,b) entonces
existe número c en (a,b) tal que
f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Geométricamente el TVM afirma que la pendiente de la
recta tangente en (c, f(c)) es igual a la pendiente de la recta
secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). También pueden
haber mas de un numero c en (a,b) para los cuales las
rectas tangentes y secantes son paralelas.
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13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Ejemplos:
1. Determine si la función f(x) = x(x2 – x - 2) satisfice las condiciones del
teorema del valor medio en el intervalo [-1,1]. Si es así encuentre todos los
valores de c que satisfacen dicho teorema.
Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio
i) f es continua en [-1,1] por ser función polinomial.
ii) f es diferenciable en (-1,1) ya que es función polinomial.
entonces encontraremos el número c en (-1, 1) tal que f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
a = -1 ⇒ f(a) = f(-1) = (-1)((-1)2 – (-1) - 2) = 0
b = 1 ⇒ f(b) = f(1) = 1(12 – 1 - 2) = -2
f’(x) = 3x2 - 2x – 2 ⇒ f’(c) = 3c2 – 2c – 2
3c2 – 2c – 2 = [(-2) – 0]/[1-(-1)]= -1
3c2 – 2c – 1 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = -1/3 y c = 1
Por tanto, el valor de c = -1/3 que pertenece al intervalo (-1,1) satisfice las
condiciones del teorema del valor medio.

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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13/06/2018
MATEMATICA I 5
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TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
2. Determine si la función f(x) = (x+1)/(x-1) satisfice las condiciones del teorema del valor
medio en el intervalo [-2,-1]. Si es así encuentre todos los valores de c que satisfacen dicho
teorema.
Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio
i) f es continua en [-2,-1] por ser discontinua en x = 1 nada mas.
ii) f es diferenciable en (-2, -1)
entonces encontraremos el número c en (-2, -1) tal que f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
a = -2 ⇒ f(a) = f(-2) = [(-2) + 1] / [(-2) – 1] = 1/3
b = -1 ⇒ f(b) = f(-1) = [(-1) + 1] / [(-1) – 1] = 0
f’(x) = (x -1)(1) – (x+1) = - 2 ⇒ f’(c) = – 2 .
(x – 1)2 (x – 1)2 (c – 1)2
– 2 . = 0 – (1/3) = -1 ⇒ 6 = (c – 1)2
(c – 1)2 -1 – (-2) 3
c2 – 2c – 5 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 3.45 y c = -1.45
Por tanto, el valor de c = -1.45 que pertenece al intervalo (-2,-1) satisfice las condiciones
del teorema del valor medio.
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13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
Teorema de Cauchy.
Supongamos que las funciones f y g son continuas en el
intervalo cerrado [a,b] y derivables en (a,b), g’(x) ≠ 0.
Entonces existe un numero c ϵ (a, b) tal que:
f’(c) = f(b) - f(a)
g’(c) g(b) - g(a)
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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13/06/2018
MATEMATICA I 6
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13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Ejemplo: Dadas las funciones f(x) = 3x2 + 3x – 1 y g(x) = x3 – 4x + 2, encuentre
un numero c en [0,1] según el Teorema de Cauchy.
Las funciones f y g son continuas y diferenciables para todo x en (0,1)
f(a) = f(0) = 5 f(b) = f(1) = -1 g(a) = g(0) = 2 g(b) = g(1) = -1
f’(x) = 6x + 3 f’(c) = 6c + 3
g’(x) = 3x2 - 4 g’(c) = 3c2 - 4
f’(c) = f(b) - f(a) ⇒ 6c + 3 = 5 – (-1)
g’(c) g(b) - g(a) 3c2 – 4 -1 – 2
(6c + 3)(-3) = 6(3c2 – 4) ⇒ -18c – 9 = 18c2 – 24
18c2 + 18c – 15 = 0
entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 0.54 y c = -1.54
Por tanto, el valor de c = 0.54 que pertenece al intervalo (0,1) satisfice las
condiciones del teorema de Cauchy.
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13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en el Ejercicio 4.4 los No. 1 al
20 de la pág. 215.
DERIVADA DE FUNCIONES DADAS EN FORMA
PARAMETRICAS

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
13/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ