El documento presenta las operaciones algebraicas con funciones vectoriales, incluyendo suma, resta, producto por una constante, producto por una función real, producto punto y producto cruz. Se definen formalmente cada una de estas operaciones y se provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se aplican. Adicionalmente, se presentan ejercicios relacionados al tema para que el estudiante practique.

1. DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
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TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
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TEMA: OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES SEMANA: 04
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES
Operaciones Algebraicas con funciones
vectoriales
Sean 𝐹 𝑦 𝐺 funciones vectoriales en 𝑅 𝑛
y f una función
real, las cuales tienen el mismo dominio 𝑰. Entonces,
para todo t en 𝑰 se definen las siguientes funciones:
1. La suma de las funciones vectoriales 𝐹 𝑦 𝐺 ,
denotada por 𝐹 + 𝐺 es la función definida
por
(𝐹 + 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 𝐺(𝑡)
2. La Resta de las funciones vectoriales 𝐹 𝑦 𝐺 ,
denotada por 𝐹 − 𝐺 es la función definida
por (𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡)
3. (𝑐𝐹)(𝑡) = 𝑐𝐹(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐
4. El producto de la función f(t) por la función
vectorial F , denotada por 𝑓𝐹 es la función
definida por
(𝑓𝐹)(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐹(𝑡)
5. El producto punto de las funciones vectoriales
F y G , denotada por F · G es la función definida
por
(𝐹 · 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) · 𝐺(𝑡)
x y z
x y z
i j k
FxG F F F
G G G
 =
  ( ) j ( )y z y z x z x z x y x yF G G F i F G G F F G G F    
6. El producto cruz o vectorial de las funciones
vectoriales F y G , denotada por F x G es la
función definida por
(𝐹 × 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) × 𝐺(𝑡) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 3
7. Si el dominio de 𝐹 contiene la imagen de una
función real g entonces se define la función
compuesta 𝐹𝑜𝑔 como (𝐹𝑜𝑔)(𝑡) = 𝐹(𝑔(𝑡))
para todo t en el dominio de g.
Todas las funciones en esta definición son funciones
vectoriales en 𝑅 𝑛
, excepto la definida en 5 que
representa una función real. La función vectorial
definida en 6 representa una función vectorial en el
espacio 𝑅 𝑛
.
Ejemplo 01: dadas las funciones vectoriales
𝐹(𝑡) = 3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘
𝐺(𝑡) = (3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1) + 2𝑘
Y la función real:
𝑓(𝑡) = 𝑡2
Encontrar:
a) (𝐹 + 𝐺)(𝑡)
(𝐹 + 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 𝐺(𝑡)
(𝐹 + 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘)
+ ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘)
(𝐹 + 𝐺)(𝑡) = (6𝑡 − 1)𝑖 + (3𝑡 + 3)𝑗 + (4𝑡 + 2)𝑘
b) (𝐹 − 𝐺)(𝑡)
(𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡)
(𝐹 − 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘)
− ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘)
(𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + (4𝑡 − 2)𝑘

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c) (𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡)
(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) ∙ 𝐺(𝑡)
(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘)
∙ ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘)
(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 3𝑡(3𝑡 − 1) + (2𝑡 + 2)(𝑡 + 1) + (4𝑡)(2)
(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 9𝑡2
− 3𝑡 + 4𝑡2
+ 4𝑡 + 2 + 8𝑡
(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 13𝑡2
+ 9𝑡 + 2
d) (𝐹𝑥𝐺)(𝑡)
(𝐹𝑥𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡)𝑥𝐺(𝑡)
x y z
x y z
i j k
FxG F F F
G G G

  ( ) j ( )y z y z x z x z x y x yF G G F i F G G F F G G F     
3 2 2 4
3 1 1 2
i j k
FxG t t t
t t
 
 
   
 
2(2t 2) 4t(t 1) 2(3t) 4t()3t 1
3 (t 1) (3t 1)(2t 2)k
i j
t
      
    
2 2 2
4(t 1) 2(6t 5t) (3t t 2)ki j       
e) (𝐹𝑜𝑓)(𝑡)
(𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐹(𝑓(𝑡))
(𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐹(𝑡2
)
(𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 3𝑡2
𝑖 + (2𝑡2
+ 2)𝑗 + 4𝑡2
𝑘
f) (𝐺𝑜𝑓)(𝑡)
(𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐺(𝑓(𝑡))
(𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐺(𝑡2
)
(𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = (3𝑡2
− 1)𝑖 + (𝑡2
+ 1)𝑗 + 2𝑘
Ejemplo 02: Dadas las funciones vectoriales
2
(t) (t,t,t )f  y 2 3
g(t) (t,t ,t )
Halle
a)  ( 1)f g 
b)  (1)f g
c)  (2)fxg
Solución
a) Se tiene,
𝑓(1) = (−1, −1, 1) y 𝑔(−1) = (−1, 1 − 1).
Luego
(𝑓 + 𝑔)(−1) = 𝑓(−1) + 𝑔(−1) =
= (−1, −1,1) + (−1,1, −1) = (−2,0,0)
b) Como
𝑓(1) = (1,1,1) y 𝑔(1) = (1,1,1), entonces
(𝑓. 𝑔)(1) = 𝑓(1). 𝑔(1) = (1,1,1). (1,1,1) = 3
c) Dado que
𝑓(2) = (2,2,4) y 𝑔(2) = (2,4,8), entonces ( )(2)fxg
(2)xg(2) 2 2 4 (0, 8,4)
2 4 8
i j k
f   
Ejercicios
1. Si
2 3
( ) ( , , )f t t t t y
2 3
( ) ( , , ).
4 9
t t
g t t Hallar
( )(1)f g y ( )(1)fxg .
2. En las siguientes Funciones Vectoriales de Variable
Escalar, hallar el Vector para t. indicado:
a)
2
( ) 5 3 ; 2F t t i t j t  
b)
3
( ) ; 0t
F t e i Cost j t k t   
c)
2 3 4
( ) (3 , , 1); 3F t t t t t  
3. Efectuar las operaciones con:
12)(  ttf ; )1,,3()( 2
 ttttF ;
),,2()( 32
tttG  , en t = 3
a) Ff b) GF  c) ( )F f

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d) GF  e) F G f) F G
4. Sean
2 3
( ) ( 1,0, )f t t t  y ( ) ( , cos ,0)g t sent t 
hallar
a) ( )f m n
b) ( 3)g t 
c)
2
( ) ( 1)f sent xg t 
5. sean
22
( ) ( , 4 ),f t t
t
 
2
( ) (ln( 1), 2 8)g t t t t   
Calcular:
a) ( ) ( )f t g t
b) ( ) ( )f t g t
c) ( ) ( )f t xg t
d) 4 ( ) 2 ( )f t g t , y sus dominios de definición.
JOHANN BERNOULLI
(Lectura)
Johann Bernoulli (Basilea,
Suiza 27 de julio de 1667 -
misma ciudad, 11 de enero
de 1748), también conocido
como Jean o John, fue un
matemático, médico y
filósofo suizo. Su padre de
religión calvinista deseaba
que su hijo se convirtiera en
comerciante y aceptó entrar como aprendiz en el
negocio familiar de especias y medicinas, pero terminó
por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vio
obligado a rectificar su orientación originaria, entonces
su padre decidió que se convirtiera en médico,
profesión también relacionada con el negocio familiar.
En 1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el
título de médico, sin embargo, durante este tiempo
junto a su hermano Jakob también se dedicó a
aprender el lenguaje de los números. Las novedades
matemáticas de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal
cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a París
para guiar a los matemáticos franceses en el uso del
cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de
Guillaume de l´Hopital. En Francia se convirtió en
defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con
Isaac Newton por quien había sido el primero en
enunciar los principios del cálculo infinitesimal. Se
centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la ecuación
diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano.
Sus hijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron
grandes matemáticos.
Bibliografía
LARSON. HOSTETLER. Cálculo y geometría analítica.
Tercera edición. McGRAW-WILL
Referencias
https://ingejoel.jimdo.com/c%C3%A1lculo-
vectorial/
http://www.vitutor.net/1/vectores_espacio.html
https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-
02/ed99-0289-02.html
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