El documento explica la función valor absoluto y cómo determinar el valor de x en ecuaciones que involucran esta función. Se define la función valor absoluto como la distancia entre un número y cero. Se presentan ejemplos y actividades para practicar el cálculo del valor absoluto y la resolución de ecuaciones. También se explica la composición de funciones y cómo calcular funciones compuestas aplicando las funciones en orden sucesivo.

1. LICEO CARMELA CARVAJAL DE PRAT
PROVIDENCIA
DPTO. DE MATEMATICA
FUNCION VALOR ABSOLUTO.-
Sabemos que el valor absoluto de un número indica la distancia que hay desde cero al número, es decir,
existe una relación entre el número y su valor absoluto, por lo tanto hay una variable que es
independiente x (el número) y una variable dependiente y (el valor absoluto de x), entonces podemos
definir la Función Valor Absoluto como de modo que:
Observaciones de repaso:
*Si queremos determinar el valor de x en: , debemos considerar los dos valores de x
que satisfacen la igualdad:
* Si la expresión es de la forma: con ; debemos resolver una ecuación tomando
en cuenta las dos posibilidades :
i)
ii)
Ejemplo: Sea ; entonces:
i)
ii)
Podemos comprobar que x = -2 x = -8 satisfacen la ecuación
* La expresión , no tiene solución pues y en este caso -3 .
ACTIVIDAD N°1:
1) Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones :
a) b) c) d)
2) Determina y comprueba si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a)
b) (Desigualdad Triangular)
3) Si f es función Real tal que .Calcula: a) b) c) d)
4) Determina para qué valores de x la función no está definida.
5) Construye una tabla con valores de x R tal que -5 y representa en un mismo plano las siguientes
tres funciones:
a) i) f1(x) = ; f2(x) = f3(x) =
ii) f1(x) = ; f2(x) = + 2 f3(x) =
b) Escribe una conclusión referida al desplazamiento del vértice de la figura con respecto al origen.
GUÍA DE APRENDIZAJE N°10
F U N C I O N E S (PARTE IV)
FECHA DE EDICIÓN 14/11/11
SECTOR: M A T E M A T I C A Nivel : 2° MEDIO
PROFESORA: BLANCA E. RAMÍREZ N.
MAIL DE PROFESORES: b.e.r.n.matematica@gmail.com , amaliaterceros@gmail.com
aleibanezlunaccp@yahoo.com
UNIDAD TEMÁTICA: ALGEBRA Y FUNCIONES
CONTENIDO: FUNCION VALOR ABSOLUTO Y COMPOSICION DE FUNCIONES.
APRENDIZAJE ESPERADO: Conocer y graficar la función Valor absoluto y Función Compuesta.
FECHA DE ENTREGA: Es guía de estudio para desarrollar en tres días y autoevaluar tu trabajo.

2. CARACTERÍSTICAS DEL GRAFICO DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.-
1) Representación de la función:
Tabla de valores
* Representación gráfica de las funciones
2) 3)
Tabla de valores: Tabla de valores:
4) 5)
Tabla de valores: Tabla de valores:
CONCLUSION.-
Al observar la gráfica de las funciones de la forma
podemos concluir que:
1) Si el vértice de la función está en
2) Si con el vértice de la función está en
3) Si con el vértice de la función está en
4) Si con el vértice de la figura está en
5) Si con el vértice de la figura está en
x F(x)
-5 5
-4 4
-1 1
0 0
1 1
4 4
5 5
x f(x)
-1 4
0 3
1 2
2 1
3 0
4 1
5 2
x f(x)
-4 1
-3 0
-2 1
-1 2
0 3
1 4
2 5
x f(x)
-5 2
-3 0
-1 -2
0 -3
2 -1
3 0
5 2
x f(x)
-4 7
-3 6
-2 5
-1 4
0 3
1 4
2 5

3. C O M P O S I C I Ó N D E F U N C I O N E S.-
Hasta el momento hemos trabajado con funciones simples, tal que el valor de una variable Y
depende del valor de una variable X, es decir:
X f f(X) (x se transforma en f(x) = y)
Ahora si f(x) es la variable independiente de otra función g, tendríamos dos funciones que actúan en
forma sucesiva g ( f(x) ), es decir:
x f f(x) g g(f(x))
g o f
(g o f)(x) = g ( f(x) )
Esta nueva función se llama “f compuesta con g” y se lee: “g de f(x)”
* Concentrémonos en el siguiente ejemplo:
Supongamos que el gasto mensual en alimentación de una familia(g) corresponde a la tercera parte
del sueldo(s) de la mamá, entonces:
g(s) = .
Por otra parte a la mamá le pagan $15.000 por cada hora trabajada, es decir, su sueldo(s) depende
del número de horas de trabajo, entonces:
s(h) = 15.000h
Por lo tanto, si queremos expresar la función del gasto en alimentación de la familia en función de
las horas trabajadas, tenemos la siguiente función compuesta:
g( s(h) ) = ( s(h) ) = (15.000 h) = 5.000h
DEFINICIÓN:
Dadas dos funciones f y g, llamaremos “función f compuesta con g” a la función g o f
que se define por g ( f(x) ).
La función (g o f)(x) transforma x en g( f(x) ).
OBSERVACIÓNES:
Obs.1) Para definir la función el dominio de la función g, debe coincidir con el
recorrido de la función f, es decir Dom g = Rec f
Si f es una función definida de A a B, entonces g debe ser función definida de B a C.
Si f : A B g : B C g o f : A C
* EJEMPLO.-
Supongamos que f y g son funciones definidas de tal que: f(x) = 2x + 3 y g(x) = 3x + 2.
Para encontrar (g o f)(x) debemos calcular g( f(x) ) = 3 f(x) + 2
=3(2x + 3) + 2
= 6x + 9 + 2
= 6x + 11
Sea x = 5 g(f(5)) = 3 f(5) + 2
= 3(2 ) + 2
= 3 (13) + 2
= 39 + 2 = 41
O bien, si ya sabemos que g( f(x) ) = 6x + 11
Para x = 5, tenemos: g( f(5) ) = 6 5 + 11 = 30 + 11 = 41
Obs.2) Se puede también calcular la función y comprobar que:
* Comprueba que utilizando las funciones dadas en el ejemplo anterior (Obs.1).
* Existen casos muy particulares en que al hacer la composición en ambos sentidos se obtienen
resultados iguales . Busca dos funciones en que esto se cumpla.
Obs.3) La función (f o g o h)(x) = f(g o h) = f(g(h))

4. ACTIVIDAD N°2.- (Ejercicios de EDUCACIÓN MATEMATICA 2 para 2° MEDIO de Editorial SANTILLANA)
1) Grafica las siguientes expresiones construyendo tabla de valores:
a)
b)
c)
d)
2) Si
a) Determina el dominio y el recorrido de
b) Grafica
3) ¿Qué relación existe entre la expresión y la función valor absoluto?
4) ¿Qué valores puede tomar x para que ? Grafica.
5) Indica , sin graficar, el punto (x , y) correspondiente al vértice de las siguientes funciones:
a) f(x) = 2
b) f(x) =
c) f(x) =
d) f(x) =
6) Considera las funciones y . Calcula:
a) f(1) + g(1) + h(1) = c) (g o f)(x) e) (h o f o g)(-1)
b) (f o g)(x) d) (f o h o g)(x) f)
7) El nivel diario medio de monóxido de carbono está dado por f(n) = 1,3 n, donde n es el número de
habitantes de cierta ciudad. Se estima que la población de esta ciudad crece con el tiempo según
n(t) = 1,5 + 0,3 donde t es el tiempo contado en años desde hoy.
a) Basándote en esta hipótesis, ¿Qué nivel de monóxido de carbono hay que esperar para los habitantes
de dicha ciudad dentro de 5 años?
b) ¿Cómo expresas este problema aplicando una composición de funciones?
c) Si el nivel de monóxido de carbono es de 157,95 ¿Cuántos años habrán transcurrido para llegar a
este valor?
INSTRUCCIONES:
I) El desarrollo responsable de todas las ACTIVIDADES de las guías de funciones,
te permitirá tener claro los conocimientos para la próxima guía evaluada de
de esta Unidad y que es fundamental para los contenidos de la prueba de Nivel.
II) Las respuestas de las actividades propuestas en ésta y todas las guías anteriores se
entregarán en una próxima guía.
III) Recuerda que debes escribir un correo a tu profesora de Matemáticas con nombre,
curso y correo electrónico, aunque no necesites hacer consultas.