Lista de Ejercicios de funciones de R en R(n)

1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ciencias - Escuela Profesional de Matem´atica Ciclo 2018-2
Pr´actica Dirigida N0
01 de C´alculo Diferencial e Integral Avanzado - CM211 Agosto 22, 2018
3cm
1. En cada caso, determine el conjunto X ⊂ R m´as
grande posible donde tenga sentido la regla de
correspondencia.
(a) f(t) = ( log(t) − 1; 1 − log(t))
(b) f(t)=(cos(1−1/(1−x2
)); sin(1−1/(1+x3
)))
(c) f(t) = (t; −t(t − 1)(t − 2)3(t + 1)4)
(d) f(t) = ( −t(t − 2)6; t(t + 2)6)
2. Defina una funci´on f : [0, 3] → R3
, cuyo rango
sea el triangulo de v´ertices (1, 1, 2), (3, 1, 5) y
(4, 0, 5).
3. Defina una funci´on f : [0, 4] → R2
cuyo rango sea
un cuadrado contenido en el plano x+y +z = 1.
4. Defina una funci´on f : [0, 4] → R2
cuyo rango sea
una cincuferencia contenida en el plano
x − y − z = 2
5. Siendo f : R −→ R una funci´on real de variable
real construya una funci´on g de R en R2
cuya
traza sea la gr´afica de f; asimismo como otra
cuya traza sea gr´afica de g.
6. A trav´es del extremo de un tubo de drenaje hor-
izontal se vierte residuos mineros en un pozo
de relaves. La ca´ıda de estos residuos forma un
arco parab´olico cuyo v´ertice es el extremo del
tubo que se encuentra a 20m del suelo. Mod-
ele una funci´on vectorial de variable real cuya
traza sea la trayectoria que sigue el resido, si se
sabe que una de las part´ıculas de dicho residuo
estuvo ubicada, en un determinado instante, a
2m abajo del tubo y a 4m de la l´ınea vertical.
7. Determine una funci´on f : R −→ R2
cuya traza
sea la elipse E centrada en (1, 1), de foco y
v´ertice (1, 3), (1, 5) respectivamente; y donde
b = 4
8. Determine el valor de de verdad de cada una de
las siguientes afirmaciones:
(a) las funciones f, g : [0; 1] −→ R2
definidas
como f(t) = (t; t2
) y g(t) = (1 − t; (1 − t)2
)
tienen la misma traza.
(b) la traza de la funci´on f : R −→ R2
definida
como f(t) = ( 2t
1+t2 ; 1−t2
1+t2 ) es una circunfer-
encia.
(c) Si f : X −→ Rn
posee limite en a, entonces
la funci´on es acotada.
(d) Si f : X −→ R es acotada en una vecin-
dad de a ∈ R y g : X −→ Rn
es tal que
limt→a g(t) = 0, entonces
lim
t→
f(t)g(t) = 0
(e) Si f : R −→ R es continua, entonces
g : R −→ R2
definida como g(t) = (t, f(t))
tambi´en lo es.
9. Bosqueje la traza de cada una de las siguientes
funciones:
(a) α(t) = (et
sin(t) + 1, et
cos(t)) + 2, t ∈ R
(b) α(t) = (cos2
(t), sin2
(t)), t ∈ R
(c) α(t) = (t, |t|), t ∈ R
(d) α(t) = (t3
, t2
|t|), t ∈ R
10. Bosqueja la traza de la funci´on f : R −→ R3
definida como f(t) = (t2
+ 2; 1 − t2
; 4t2
)
11. Calcule el siguiente limite
(a) lim
t→0
(1 + 3t; sin(t); t2
− e−2t
)
(b) lim
t→2
(t − 2) sen(t); ln(t2
+ 4t − 1);
sin(t)
t2 + 1
12. Para f; g : R −→ R2
se define h: R −→ R como
h(t) = f(t); g(t) . Si
lim
t→a
f(t) = L; lim
t→a
g(t) = M

2. demuestre que lim
t→a
h(t) = L; M
13. Calcule cada uno de los siguientes limites
(a) lim
t→2
(t; t3
)
(b) lim
t→2
(t; t2
)
(c) lim
t→1
(t − 1; t2
− 1)
Seguidamente use la definici´on de limite para
demostrar la validez de sus c´alculos.
14. Demuestre que la funci´on f : R −→ R2
definida
como
f(t) = (cos(t); ln(t2
+ 1); sen(t))
tiene traza contenida en un cilindro
15. En cada caso encuentre el dominio de f y deter-
mine su continuidad:
(a) La funci´on definida como
f(t)=
sin(t − 1)
t − 1
,
t2
− 1
2(t − 1)
, (t − 1)ln(|t − 1|)
cuando t = 1 y f(1) = (1, 1, 0)
(b) La funci´on definida como
f(t) = (1 + t)1/t
, e1+t
,
e1−t
1 − t
, t = 0, y
f(0) = (e, e, e)
(c) f(t) =
1
t − [|t|]
, |t| − 3, t3
.
(d) g(t) = arcsin(t),
√
t,
1
t − π
2
.
16. Analice la continuidad de la funci´on
f(t) =



(t, 0, e−1/t2
), si t > 0
(t, e−1/t2
, 0), si t < 0
(0, 0, 0), si t = 0.
17. Construir las gr´aficas de las siguientes funciones
de R a R2
:
(a)



x(t) = t2
y(t) = 1
2
t3
(b)



x(t) = t2
y(t) = t3
3
− t
18. Escriba una fuci´on cuya traza sea la intersecci´on
de los conjuntos
S1 : e2x2
−5x
= z S1 : y + 1 = xz
†
†Hecho en LATEX