Material didáctico desarrollado para mostrar la integración de Funciones Radicales

1. Universidad Politécnica
Territorial de Maracaibo
Dra. Inés K. Sánchez O., Ing MSc,Mgs
Matemática II
Programa Nacional
de Formación -PNF
Integrales Inmediatas
Indefinidas
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INTEGRALES INMEDIATAS
Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para
encontrar una primitiva, sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. Para
ello se aplican las propiedades o teoremas que se muestran en la tabla de integrales
inmediatas.
La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas
que ya conocemos puesto que estamos haciendo el proceso inverso.
TEOREMAS O PROPIEDADES
FUNCIONES RADICALES
Para funciones radicales, se usa la propiedad 1:
PROPIEDAD No. 1: C
1
n
u
du
u
1
n
n




 , para x ≠ − 1
¿Qué nos dice esta propiedad? Cuando en el integrando tengamos la presencia de la
variable “u” elevada a un exponente diferente de –1
multiplicando al diferencial, entonces la función primitiva
o resultado será la variable “u” elevada a un nuevo
exponente, dividida por el nuevo exponente. Este nuevo
exponente será el original más 1.
 dt
t
1
4 3
Solución:
dt indica que la variable de integración es “t”
Como la variable aparece dentro de una raíz, se debe aplicar una propiedad de
potenciación para convertir la raíz en una potencia con exponente racional. Así:
1

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Propiedad de potenciación:
m
k
m k
a
a  ,
donde la cantidad que está dentro de la raíz (cantidad subradical) es la base
elevada a un nuevo exponente en forma de fracción, donde el numerador es el
exponente de la cantidad subradical y el denominador será el índice de la raíz.
Aplicando la propiedad en la integral: 
  dt
t
1
dt
t
1
3/4
4 3
Como la variable aparece en el denominador, se debe aplicar la propiedad de potenciación
(inversa). Así:
Propiedad de potenciación:
m
-
m
a
a
1
 ,
donde la potencia pasa al numerador con el signo negativo en el exponente
Aplicando la inversa en la integral: 
  dt
t
dt
t
1 3/4
-
3/4
Aplicando la propiedad 1:
C
1
4
3
t
dt
t
1
4
3
4
/
3













 C
4
1
t4
1








Para que la variable no quede expresada con un exponente racional (fracción), se
convierte a la variable en raíz, recordando que el numerador es el exponente de la
cantidad subradical y el denominador será el índice de la raíz. Así,

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Convirtiendo a la variable en raíz:
C
4
1
t
C
4
1
t 4
4
1










Se debe aplicar la técnica de la “Doble C”, puesto que nos queda una división con un
radical (fracción) en el denominador. Para ello se completa con la unidad en el numerador.
Así,
Se resuelve:
C
1
t
4
C
4
1
1
t
C
4
1
t 4
4
4







Finalmente, la función primitiva es:  dt
t
1
4 3 C
t
4 4



 dp
p
2
p
3
Solución:
Aplicando la propiedad 3: dp
p
p
2
1
dp
p
2
p
3
3 
 
Como la variable aparece en el numerador como en el denominador, se debe aplicar una
propiedad de potenciación (división de potencia de igual base). Así:
Se asume que en el numerador la
unidad multiplica a “p”
2

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Propiedad de potenciación:
k
m
k
m
a
a
a 
 ,
Se escribe la misma base y se resta el exponente del numerador menos el exponente
del denominador
Aplicando la propiedad en la integral: dp
p
2
1
dp
p
2
1
dp
p
p
2
1 2
3
1
3 






Aplicando la propiedad 1: C
1)
2
(
p
2
1 1
2







Resolviendo y multiplicando fracciones: C
2
p 1




Dividiendo signos: C
p
2
1



Finalmente, la función primitiva es: 
 dp
p
2
p
3
C
p
2
1



donde la cantidad que está dentro de la raíz (cantidad subradical) es la base elevada a un
nuevo exponente en forma de fracción, donde el numerador es el exponente de la cantidad
subradical y el denominador será el índice de la raíz.
Exponente negativo y se asume que la
variable x tiene coeficiente 1
Se aplica la inversa para que el
exponente quede positivo:
C
p
2
1



